Методы вычисления неопределенных интегралов. Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

А можно ли под знак дифференциала подводить нелинейную функцию? Да, если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух множителей: один множитель — сложная функция от какой-то нелинейной функции, а другой множитель есть производная от этой нелинейной функции. Рассмотрим сказанное на примерах.

Найти неопределенные интегралы.

Пример 1 . ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Что представляет собой данное подынтегральное выражение? Произведение степенной функции от (х 2 + х + 2) и множителя (2х + 1), который равен производной от основания степени: (х 2 + х + 2)" = 2х + 1.

Это и позволило нам подвести (2х + 1) под знак дифференциала:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Формула 1). )

Проверка. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Пример 2. ∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6 + C

И чем этот пример отличается от примера 1? Да ничем! Та же пятая степень с основанием (х 3 – х 2 + 3х + 1) умножается на трехчлен (3х 2 – 2х + 3), который является производной основания степени: (х 3 – х 2 + 3х + 1)" = 3х 2 – 2х + 3. Это основание степени мы и подвели под знак дифференциала, от чего значение подынтегрального выражения не изменилось, а затем применили ту же формулу 1). (Интегралы )

Пример 3.

Здесь производная от (2х 3 – 3х) даст (6х 2 – 3), а у нас

имеется (12х 2 – 6), то есть выражение в 2 раза большее, значит, подведем (2х 3 – 3х) под знак дифференциала, а перед интегралом поставим множитель 2 . Применим формулу 2) (лист ).

Вот что получится:

Сделаем проверку, учитывая, что:

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

1. ∫(6х+5) 3 dx. Как будем решать? Смотрим в лист и рассуждаем примерно так: подынтегральная функция представляет собой степень, а у нас есть формула для интеграла степени (формула 1) ), но в ней основание степени u и переменная интегрирования тоже u.

А у нас переменная интегрирования х , а основание степени (6х+5) . Сделаем замену переменной интегрирования: вместо dx запишем d (6х+5). Что изменилось? Так как, то, что стоит после знака дифференциала d, по умолчанию, дифференцируется,

то d (6x+5)=6dx, т.е. при замене переменной х на переменную (6х+5) подынтегральная функция возросла в 6 раз, поэтому перед знаком интеграла ставим множитель 1/6. Записать эти рассуждения можно так:

Итак, мы решили этот пример введением новой переменной (переменную х заменили на переменную 6х+5). А куда записали новую переменную (6х+5)? Под знак дифференциала. Поэтому, данный метод введения новой переменной часто называют методом (или способом) подведения (новой переменной) под знак дифференциала .

Во втором примере мы вначале получили степень с отрицательным показателем, а затем подвели под знак дифференциала (7х-2) и использовали формулу интеграла степени 1) (Интегралы ).

Разберем решение примера 3.

Перед интегралом стоит коэффициент 1/5. Почему? Так как d (5x-2)=5dx, то, подведя под знак дифференциала функцию u=5x-2, мы увеличили подынтегральное выражение в 5 раз, поэтому, чтобы значение данного выражения не изменилось — надо было разделить на 5, т.е. умножить на 1/5. Далее, была использована формула 2) (Интегралы) .

Все простейшие формулы интегралов будут иметь вид:

∫f (x) dx=F (x)+C , причем, должно выполняться равенство:

(F (x)+C)"=f (x).

Формулы интегрирования можно получить обращением соответствующих формул дифференцирования.

Действительно,

Показатель степени n может быть и дробным. Часто приходится находить неопределенный интеграл от функции у=√х. Вычислим интеграл от функции f (x)=√x, используя формулу 1) .

Запишем этот пример в виде формулы 2) .

Так как (х+С)"=1, то ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Заменяя 1/х² на х -2 , вычислим интеграл от 1/х².

А можно было получить этот ответ обращением известной формулы дифференцирования:

Запишем наши рассуждения в виде формулы 4).

Умножив обе части полученного равенства на 2, получим формулу 5).

Найдем интегралы от основных тригонометрических функций, зная их производные: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Получаем формулы интегрирования 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

После изучения показательной и логарифмической функций, добавим еще несколько формул.

Основные свойства неопределенного интеграла.

I. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

(∫f (x) dx)"=f (x).

II. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С.

∫dF (x)=F (x)+C или ∫F"(x) dx=F (x)+C.

Обратите внимание: в I, II и III свойствах знаки дифференциала и интеграла (интеграла и дифференциала) «съедают» друг друга!

IV. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла.

∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k - постоянная величина, не равная нулю.

V. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины, причем, k ≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

Можно записать:

Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .

Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.

Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:

F (x)+C , где С — любое действительное число.

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .

Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».

f (x) dx — подынтегральное выражение,

f (x) — подынтегральная функция,

х — переменная интегрирования.

F (x) — первообразная для функции f (x) ,

С — некоторая постоянная величина.

Теперь рассмотренные примеры можно записать так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Что же означает знак d?

d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.

Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) После значка дифференциала d стоит х х , а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).

Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.

∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).

Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Страница 1 из 1 1

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Линейность:

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Интегральное исчисление.

Первообразная функция.

Определение: ФункцияF(x) называетсяпервообразной функцией функцииf(x) на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F 1 (x) =F 2 (x) +C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функцииf(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение

	lnsinx+ C



	ln

Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
, где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
. Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью заменыx=(t) иdx=(t)dtполучается:

Доказательство : Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f (x ) dx = f [  (t )]  (t ) dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл
.

Сделаем замену t = sinx , dt = cosxdt .

Пример.

Замена
Получаем:

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)=uv+vu

где uиv– некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) =udv+vdu

Проинтегрировав, получаем:
, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или
;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I.
III.

II.
IV.

m,n– натуральные числа (m2,n2) иb 2 – 4ac<0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t=ax+b.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида IIIможет быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида IIIк двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax 2 +bx+cвыражениеb 2 – 4ac>0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример .

Пример.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IVтипа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N= 1.

Тогда интеграл вида
можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде
. Сделаем следующее преобразование:

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называетсярекуррентной. Если применить ееn-1 раз, то получится табличный интеграл
.

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IVв общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u 2 + s приводится к табличному, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степеньюn , а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример :

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если
- правильная рациональная дробь, знаменательP(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде:P (x ) = (x - a )  …(x - b )  (x 2 + px + q )  …(x 2 + rx + s )  ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величинA i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i применяют так называемыйметод неопределенных коэффициентов , суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Таким образом 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемыйметод произвольных значений . Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла:

Интегрирование некоторых тригонометрических

функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида
.

Здесь R– обозначение некоторой рациональной функции от переменныхsinxиcosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки
. Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Интеграл вида
если

функция R cosx .

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx .

Функция
может содержатьcosxтолько в четных степенях, а, следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительноsinx.

Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида
если

функция R является нечетной относительно sinx .

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx .

Пример.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx .

Для преобразования функции Rв рациональную используется подстановка

t = tgx.

Пример.

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Пример.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида
где n - натуральное число.

С помощью подстановки
функция рационализируется.

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

x m (a + bx n ) p dx

где m , n , иp – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где- общий знаменательm иn .

Представлен обзор методов вычисления неопределенных интегралов. Рассмотрены основные методы интегрирования, которые включают в себя интегрирование суммы и разности, вынесение постоянной за знак интеграла, замену переменной, интегрирование по частям. Также рассмотрены специальные методы и приемы интегрирования дробей, корней, тригонометрических и показательных функций.

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная F(x) от функции f(x) - это такая функция, производная которой равна f(x) :
F′(x) = f(x), x ∈ Δ ,
где Δ - промежуток, на котором выполняется данное уравнение.

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом:
,
где C - постоянная, не зависящая от переменной x .

Основные формулы и методы интегрирования

Таблица интегралов

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов - путем преобразований, привести заданный интеграл к выражению, содержащему простейшие или табличные интегралы.
См. Таблица интегралов >>>

Правило интегрирования суммы (разности)

Вынесение постоянной за знак интеграла

Пусть c - постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла:

Замена переменной

Пусть x - функция от переменной t , x = φ(t) , тогда
.
Или наоборот, t = φ(x) ,
.

С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.

Правило интегрирования по частям

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Введем обозначение. Пусть P k (x), Q m (x), R n (x) обозначают многочлены степеней k, m, n , соответственно, относительно переменной x .

Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):

Если k ≥ n , то сначала нужно выделить целую часть дроби:
.
Интеграл от многочлена S k-n (x) вычисляется по таблице интегралов.

Остается интеграл:
, где m < n .
Для его вычисления, подынтегральное выражение нужно разложить на простейшие дроби.

Для этого нужно найти корни уравнения:
Q n (x) = 0 .
Используя полученные корни, нужно представить знаменатель в виде произведения сомножителей:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ... .
Здесь s - коэффициент при x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... .

После этого разложить дробь на простейшие:

Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов.
Интегралы вида

приводятся к табличным подстановкой t = x - a .

Рассмотрим интеграл:

Преобразуем числитель:
.
Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла:
,
.
Первый, подстановкой t = x 2 + ex + f приводится к табличному.
Второй, по формуле приведения:

приводится к интегралу

Приведем его знаменатель к сумме квадратов:
.
Тогда подстановкой , интеграл

также приводится к табличному.

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть R(u 1 , u 2 , ... , u n) означает рациональную функцию от переменных u 1 , u 2 , ... , u n . То есть
,
где P, Q - многочлены от переменных u 1 , u 2 , ... , u n .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:
,
где - рациональные числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - целые числа.
Пусть n - общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s .
Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:
.

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл:
,
где m, n, p - рациональные числа, a, b - действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p - целое. Подстановка x = t N , где N - общий знаменатель дробей m и n .
2) Если - целое. Подстановка a x n + b = t M , где M - знаменатель числа p .
3) Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M , где M - знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
,

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x 1 - корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

Интеграл вида:
,
где P n (x) - многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i .

II тип

Интеграл вида:
,
где P m (x) - многочлен степени m .

Подстановкой t = (x - α) -1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.

III тип

Третий и наиболее сложный тип:
.

Здесь нужно сделать подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
;
,
которые интегрируются, соответственно подстановками:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Общий случай

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида:
,
где R - рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.

При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:
1) если R(cos x, sin x) умножается на -1 от перемены знака перед одной из величин cos x или sin x , то полезно другую из них обозначить через t .
2) если R(cos x, sin x) не меняется от перемены знака одновременно перед cos x и sin x , то полезно положить tg x = t или ctg x = t .
3) подстановка во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы вида:

Если m и n - рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n - целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:

;
;
;
.

Интегрирование по частям

Применение формулы Эйлера

Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций
cos ax или sin ax , то удобно применить формулу Эйлера:
e iax = cos ax + isin ax (где i 2 = -1 ),
заменив эту функцию на e iax и выделив действительную (при замене cos ax ) или мнимую часть (при замене sin ax ) из полученного результата.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. В самом деле
$s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt $
Ответ: $s(t) = \frac{gt^2}{2} $

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида $s(t) = \frac{gt^2}{2} + C $, где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку $\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt $

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня ($\sqrt{x} $), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для $x \in X $ выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция $y=\frac{1}{k}F(kx+m) $

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл $\textstyle \int F(x)dx $. Сделаем подстановку $x= \varphi(t) $ где $\varphi(t) $ - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Интегрирование выражений вида $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
или:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$