Mitä kahta tasoa kutsutaan kohtisuoraksi? Kohtisuorat tasot, tasojen kohtisuoran ehto. Avaruudessa voi olla kohtisuoraa

Jos toinen kahdesta tasosta kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuoran suoran läpi, annetut tasot ovat kohtisuorassa () (kuva 28)

α – taso, V– siihen nähden kohtisuorassa oleva suora, β – suoran läpi kulkeva taso V, Ja Kanssa– suora, jota pitkin tasot α ja β leikkaavat.

Seuraus. Jos taso on kohtisuorassa kahden tietyn tason leikkausviivaa vastaan, se on kohtisuorassa kumpaankin näistä tasoista

Ongelma 1. Todista, että minkä tahansa avaruuden suoran pisteen kautta voidaan vetää kaksi erilaista siihen kohtisuoraa suoraa.

Todiste:

Aksiooman mukaan minä on piste, joka ei ole linjalla A. Lauseen 2.1 mukaan pisteen läpi SISÄÄN ja suora A voimme piirtää tason α. (Kuva 29) Lauseen 2.3 mukaan pisteen läpi Aα-tasossa voimme piirtää suoran A. Aksiooman C 1 mukaan on olemassa piste KANSSA, joka ei kuulu ryhmään α. Lauseen 15.1 mukaan pisteen läpi KANSSA ja suora A voimme piirtää tason β. β-tasossa voidaan Lauseen 2.3 mukaan piirtää pisteen a kautta suora A. Rakenteen mukaan suorilla b ja c on vain yksi yhteinen piste A ja molemmat ovat kohtisuorassa

Tehtävä 2. Kahden pystysuoraan seisovan pilarin yläpäät, jotka on erotettu toisistaan ​​3,4 m:n etäisyydellä, on yhdistetty poikkipalkilla. Yhden tolpan korkeus on 5,8 m ja toisen 3,9 m. Selvitä poikkipalkin pituus.

AC= 5,8 m, ВD= 3,9 m, AB- ? (Kuva 30)

AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)

Pythagoraan lauseella ∆:stä AEV saamme:

AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)

AB= = 3,9 (m)

Tehtävät

Kohde. Opi analysoimaan esineiden suhteellista sijaintia avaruudessa yksinkertaisimmissa tapauksissa, käyttämään planimetrisiä faktoja ja menetelmiä stereometristen ongelmien ratkaisemisessa.

1. Todista, että minkä tahansa avaruuden suoran pisteen kautta voit piirtää siihen nähden kohtisuoran suoran.

2. Suorat AB, AC ja AD ovat kohtisuorassa pareittain. Etsi segmentti-CD, jos:

1) AB = 3 cm , aurinko= 7 cm, ILMOITUS= 1,5 cm;

2) VD= 9 cm, ILMOITUS= 5 cm, Aurinko= 16 cm;

3) AB = b, BC = a, AD = d;

4) ВD = с, ВС = а, АD = d

3. Piste A on etäisyyden päässä a tasasivuisen kolmion, jossa on sivu, kärkipisteistä A. Etsi etäisyys pisteestä A kolmion tasoon.

4. Osoita, että jos suora on yhdensuuntainen tason kanssa, niin sen kaikki pisteet ovat samalla etäisyydellä tasosta.

5. Puhelinpylväästä, jossa se on kiinnitetty 8 m korkeudelle maanpinnasta, venytetään 15 m pitkä puhelinjohto taloon, jossa se on kiinnitetty 20 m korkeuteen. Etsi etäisyys talon ja pylvään väliin olettaen, että lanka ei roikkua.

6. Pisteestä tasoon piirretään kaksi kaltevaa rinnettä, jotka ovat 10 cm ja 17 cm. Näiden kaltevien projektioiden ero on 9 cm. Etsi kaltevien projektiot.

7. Kaksi kaltevaa piirretään pisteestä tasoon, joista toinen on 26 cm suurempi kuin toinen. Kaltevat ulokkeet ovat 12 cm ja 40 cm. Etsi vinot.

8. Kaksi kaltevaa viivaa piirretään pisteestä tasoon. Laske vinojen pituudet, jos niiden suhde on 1:2 ja vinojen projektiot ovat 1 cm ja 7 cm.

9. Kaksi kaltevaa rinnettä, jotka ovat 23 cm ja 33 cm, piirretään pisteestä tasoon.

etäisyys tästä pisteestä tasoon, jos kaltevat projektiot ovat suhteessa 2:3.

10. Laske etäisyys janan AB keskikohdasta tasoon, joka ei leikkaa tätä segmenttiä, jos etäisyydet pisteistä a ja B tasoon ovat: 1) 3,2 cm ja 5,3 cm, 7,4 cm ja 6,1 cm; 3) a ja c.

11. Ratkaise edellinen tehtävä edellyttäen, että jana AB leikkaa tason.

12. 1 m pitkä jana leikkaa tason, sen päät ovat etäällä tasosta etäisyydellä 0,5 m ja 0,3 m. Laske janan projektion pituus tasoon.

13. Pisteistä A ja B pudotetaan kohtisuorat tasolle. Laske pisteiden A ja B välinen etäisyys, jos kohtisuorat ovat 3 m ja 2 m, niiden kantapisteiden välinen etäisyys on 2,4 m ja jana AB ei leikkaa tasoa.

14. Pisteistä A ja B, jotka sijaitsevat kahdessa kohtisuorassa tasossa, pudotetaan kohtisuorat AC ja BD tasojen leikkausviivalle. Laske janan AB pituus, jos: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.

15. Tasasivuisen kolmion ABC pisteistä A ja B palautetaan kolmion tasoon nähden kohtisuorat AA 1 ja BB 1. Etsi etäisyys kärjestä C janan A 1 B 1 keskelle, jos AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m ja jana A 1 B 1 ei leikkaa kolmion tasoa

16. Suorakulmaisen kolmion ABC terävien kulmien pisteistä A ja B pystytetään kolmion tasoon nähden kohtisuorat AA 1 ja BB 1. Etsi etäisyys kärjestä C janan A 1 B 1 keskelle, jos A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m ja segmentti A 1 B 1 ei leikkaa kolmion taso.

TUNNIN TEKSTIOTTELU:

Ajatus tasosta avaruudessa antaa meille mahdollisuuden saada esimerkiksi pöydän tai seinän pinta. Pöydällä tai seinällä on kuitenkin äärelliset mitat, ja taso ulottuu rajojensa yli äärettömään.

Tarkastellaan kahta leikkaavaa tasoa. Kun ne leikkaavat, ne muodostavat neljä dihedraalista kulmaa, joilla on yhteinen reuna.

Muistetaan mikä on dihedraalinen kulma.

Todellisuudessa kohtaamme esineitä, jotka ovat kaksikulmaisen kulman muotoisia: esimerkiksi hieman auki oleva ovi tai puoliavoin kansi.

Kun kaksi tasoa alfa ja beeta leikkaavat, saadaan neljä dihedral-kulmaa. Olkoon yksi dihedraalisista kulmista yhtä suuri kuin (phi), sitten toinen yhtä suuri kuin (1800 -), kolmas, neljäs (1800 -).

Tarkastellaan tapausta, jossa yksi dihedraalisista kulmista on 900.

Sitten kaikki dihedraaliset kulmat ovat tässä tapauksessa yhtä suuret kuin 900.

Otetaan käyttöön kohtisuorien tasojen määritelmä:

Kahta tasoa kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kaksitasoinen kulma on 90°.

Sigma- ja epsilon-tasojen välinen kulma on 90 astetta, mikä tarkoittaa, että tasot ovat kohtisuorassa

Otetaan esimerkkejä kohtisuorasta tasosta.

Seinä ja katto.

Sivuseinä ja pöytälevy.

Muotoilkaamme merkki kahden tason kohtisuorasta:

LAUSE: Jos toinen kahdesta tasosta kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuoran suoran läpi, nämä tasot ovat kohtisuorassa.

Todistakaamme tämä merkki.

Ehdolla tiedetään, että suora AM on tasossa α, suora AM on kohtisuorassa tasoon β nähden,

Todista: tasot α ja β ovat kohtisuorassa.

Todiste:

1) Tasot α ja β leikkaavat suoraa AR pitkin, kun taas AM on AR, koska AM on ehdon mukaan β, eli AM on kohtisuorassa mihin tahansa β-tasossa olevaan suoraan nähden.

2) Piirretään β-tasoon suora AT, joka on kohtisuorassa AP:tä vastaan.

Saamme kulman TAM - dihedraalisen kulman lineaarisen kulman. Mutta kulma TAM = 90°, koska MA on β. Joten α β.

Q.E.D.

Kahden tason kohtisuoran merkistä meillä on tärkeä seuraus:

JOHTOPÄÄTÖS: Taso, joka on kohtisuorassa viivaan nähden, jota pitkin kaksi tasoa leikkaavat, on kohtisuorassa kumpaankin näistä tasoista.

Eli: jos α∩β=с ja γ с, niin γ α ja γ β.

Todistakaamme tämä seuraus: jos gammataso on kohtisuorassa suoraa c vastaan, niin näiden kahden tason yhdensuuntaisuuden perusteella gamma on kohtisuorassa alfaa vastaan. Samoin gamma on kohtisuorassa betaan nähden

Muotoilkaamme uudelleen tämä seuraus dihedraalisen kulman osalta:

Kaksitahoisen kulman lineaarisen kulman läpi kulkeva taso on kohtisuorassa tämän dihedraalisen kulman reunaan ja pintaan nähden. Toisin sanoen, jos olemme rakentaneet dihedraalisen kulman lineaarisen kulman, niin sen läpi kulkeva taso on kohtisuorassa tämän dihedraalisen kulman reunaan ja pintoihin nähden.

Kun on annettu: ΔABC, C = 90°, AC on α-tasossa, α- ja ABC-tasojen välinen kulma = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Etsi: etäisyys pisteestä B tasoon α.

1) Muodostetaan VC α. Silloin KS on auringon projektio tälle tasolle.

2) BC AC (ehdon mukaan), mikä tarkoittaa kolmen kohtisuoran (TPP) lauseen mukaan KS AC. Siksi VSK on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma tason α ja kolmion ABC tason välillä. Eli VSK = 60°.

3) ΔBCA:sta Pythagoraan lauseen mukaan:

Vastaus VK on yhtä suuri kuin 6 kolmen cm:n juurta

Kahden tason kohtisuoran käytännön käyttö (soveltava luonne).

Tämä oppitunti auttaa niitä, jotka haluavat saada käsityksen aiheesta "Kahden tason kohtisuoran merkki". Sen alussa toistamme dihedral- ja lineaarikulmien määritelmän. Sitten tarkastelemme, mitä tasoja kutsutaan kohtisuoraksi, ja todistamme kahden tason kohtisuoran merkin.

Aihe: Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus

Oppitunti: Kahden tason kohtisuoran merkki

Määritelmä. Dihedraalinen kulma on kuvio, joka muodostuu kahdesta samaan tasoon kuulumattomasta puolitasosta ja niiden yhteisestä suorasta a (a on reuna).

Riisi. 1

Tarkastellaan kahta puolitasoa α ja β (kuva 1). Heidän yhteinen rajansa on l. Tätä lukua kutsutaan dihedraaliseksi kulmaksi. Kaksi leikkaavaa tasoa muodostavat neljä dihedraalista kulmaa, joilla on yhteinen reuna.

Dihedraalinen kulma mitataan sen lineaarikulmalla. Valitsemme mielivaltaisen pisteen dihedraalisen kulman yhteisestä reunasta l. Puolitasoissa α ja β vedetään tästä pisteestä kohtisuorat a ja b suoraa l vastaan ​​ja saadaan dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.

Suorat a ja b muodostavat neljä kulmaa, jotka ovat yhtä suuria kuin φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Muista, että suorien viivojen välinen kulma on pienin näistä kulmista.

Määritelmä. Tasojen välinen kulma on pienin näiden tasojen muodostamista dihedraalisista kulmista. φ on tasojen α ja β välinen kulma, jos

Määritelmä. Kahta leikkaavaa tasoa kutsutaan kohtisuoraksi (keskinsä kohtisuoraksi), jos niiden välinen kulma on 90°.

Riisi. 2

Reunalle l valitaan mielivaltainen piste M (kuva 2). Piirretään kaksi kohtisuoraa suoraa MA = a ja MB = b reunaan l tasoon α ja β tasoon. Meillä on kulma AMB. Kulma AMB on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Jos kulma AMB on 90°, tasoja α ja β kutsutaan kohtisuoraksi.

Suora b on rakenteeltaan kohtisuorassa suoraa l vastaan. Suora b on kohtisuorassa suoraa a vastaan, koska tasojen α ja β välinen kulma on 90°. Havaitsemme, että suora b on kohtisuorassa kahta tasosta α leikkaavaa suoraa a ja l vastaan. Tämä tarkoittaa, että suora b on kohtisuorassa tasoon α nähden.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että suora a on kohtisuorassa tasoon β nähden. Suora a on rakenteeltaan kohtisuorassa suoraa l vastaan. Suora a on kohtisuorassa suoraa b vastaan, koska tasojen α ja β välinen kulma on 90°. Havaitsemme, että suora a on kohtisuorassa kahta tasosta β leikkaavaa suoraa b ja l vastaan. Tämä tarkoittaa, että suora a on kohtisuorassa tasoon β nähden.

Jos toinen kahdesta tasosta kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuorassa olevan linjan läpi, tällaiset tasot ovat kohtisuorassa.

Todistaa:

Riisi. 3

Todiste:

Leikkaavat tasot α ja β suoraa AC:tä pitkin (kuva 3). Todistaaksesi, että tasot ovat keskenään kohtisuorassa, sinun on muodostettava lineaarinen kulma niiden välille ja osoitettava, että tämä kulma on 90°.

Suora AB on kohtisuorassa tasoa β ja siten tasossa β olevaa suoraa AC vastaan.

Piirretään β-tasoon suora AD, joka on kohtisuorassa suoraa AC vastaan. Tällöin BAD on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.

Suora AB on kohtisuorassa tasoa β ja siten tasossa β olevaa suoraa AD vastaan. Tämä tarkoittaa, että lineaarinen kulma BAD on 90°. Tämä tarkoittaa, että tasot α ja β ovat kohtisuorassa, mikä on todistettava.

Taso, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan, jota pitkin kaksi annettua tasoa leikkaavat, on kohtisuorassa kumpaankin näistä tasoista (kuva 4).

Todistaa:

Riisi. 4

Todiste:

Suora l on kohtisuorassa tasoon γ nähden ja taso α kulkee suoran l kautta. Tämä tarkoittaa, että tasojen kohtisuoran mukaan tasot α ja γ ovat kohtisuorassa.

Suora l on kohtisuorassa tasoon γ nähden ja taso β kulkee suoran l kautta. Tämä tarkoittaa, että tasojen kohtisuoran mukaan tasot β ja γ ovat kohtisuorassa.

Tasojen kohtisuoran suhdetta tarkastellaan - yksi tärkeimmistä ja eniten käytetyistä avaruuden geometriassa ja sen sovelluksissa.

Kaikista erilaisista keskinäisistä järjestelyistä

kaksi tasoa, jossa tasot ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ansaitsee erityistä huomiota ja tutkimusta (esimerkiksi huoneen vierekkäisten seinien tasot,

aita ja tontti, ovi ja lattia jne. (Kuva 417, a–c).

Yllä olevat esimerkit antavat meille mahdollisuuden nähdä yksi tutkittavan suhteen pääominaisuuksista - kunkin tason sijainnin symmetria suhteessa toiseen. Symmetria varmistetaan sillä, että tasot näyttävät olevan "kudottu" kohtisuorasta. Yritetään selventää näitä havaintoja.

Olkoon taso α ja siinä suora c (kuva 418, a). Piirretään jokaisen suoran c pisteen kautta suoria viivoja, jotka ovat kohtisuorassa tasoon α nähden. Kaikki nämä suorat ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa (miksi?) ja muodostavat Tehtävän 1 § 8 perusteella tietyn tason β (kuva 418, b). On luonnollista kutsua tasoa β:ksi kohtisuorassa taso α.

Kaikki tasossa α sijaitsevat suorat kohtisuorassa viivoja vastaan ​​muodostavat puolestaan ​​tason α ja ovat kohtisuorassa tasoon β nähden (kuva 418, c). Todellakin, jos a on mielivaltainen suora, niin se leikkaa suoran c jossain pisteessä M. Suora b, joka on kohtisuorassa α:aan nähden, kulkee pisteen M kautta tasossa β, joten b a . Siksi a c, a b, siis a β. Siten taso α on kohtisuorassa tasoon β nähden ja suora on niiden leikkausviiva.

Kahta tasoa kutsutaan kohtisuoraksi, jos jokainen niistä muodostuu suorista, jotka ovat kohtisuorassa toiseen tasoon nähden ja kulkevat näiden tasojen leikkauspisteiden kautta.

Tasojen α ja β kohtisuoraa osoittaa tuttu merkki: α β.

Eräs esimerkki tästä määritelmästä voidaan kuvitella, jos tarkastellaan maalaistalon huoneen fragmenttia (kuva 419). Siinä lattia ja seinä on valmistettu laudoista, jotka ovat kohtisuorassa seinään ja lattiaan nähden. Siksi ne ovat kohtisuorassa. Käytännössä

Tämä tarkoittaa, että lattia on vaakasuorassa ja seinä pystysuorassa.

Yllä olevaa määritelmää on vaikea käyttää, kun varsinaisesti tarkistetaan tasojen kohtisuoraa. Mutta jos analysoimme huolellisesti tähän määritelmään johtaneita päätelmiä, huomaamme, että tasojen α ja β kohtisuoraisuus varmistettiin β-tasossa olevan suoran b läsnäololla, joka on kohtisuorassa α-tasoon nähden (kuva 418, c). . Pääsimme kahden tason kohtisuoraan kriteeriin, jota käytetään useimmiten käytännössä.

406 Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus

Lause 1 (tasojen kohtisuoran testi).

Jos toinen kahdesta tasosta kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuoran suoran läpi, nämä tasot ovat kohtisuorassa.

 Kulkekoon taso β tasoon α nähden kohtisuorassa olevan suoran b kautta ja on tasojen α ja β leikkausviiva (kuva 420, a). Kaikki tason β suorat, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​suoran b kanssa ja leikkaavat suoran c, yhdessä suoran b kanssa muodostavat tason β. Lauseen mukaan kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, joista toinen on kohtisuorassa tasoon nähden (Lause 1 § 19), ne kaikki yhdessä suoran b kanssa ovat kohtisuorassa tasoon α nähden. Toisin sanoen taso β koostuu suorista viivoista, jotka kulkevat tasojen α ja β leikkausviivan kautta ja ovat kohtisuorassa tasoon α nähden (kuva 420, b).

Nyt tasossa α suorien b leikkauspisteen A kautta piirretään viiva, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​(kuva 420, c). Suora on kohtisuorassa tasoa β vastaan, joka perustuu suoran ja tason kohtisuoraan (a c rakenteellisesti ja b, koska b α). Toistamalla edelliset argumentit, huomaamme, että taso α koostuu tasoon β nähden kohtisuorassa olevista viivoista, jotka kulkevat tasojen leikkauslinjan kautta. Määritelmän mukaan tasot α ja β ovat kohtisuorassa.■

Tämä ominaisuus mahdollistaa tasojen kohtisuoran määrittämisen tai varmistamisen.

Esimerkki 1. Kiinnitä suojus pylvääseen niin, että se on pystysuorassa.

 Jos pilari seisoo pystysuorassa, riittää, että kiinnität pilariin satunnaisesti suojakilven ja kiinnität sen (kuva 421, a). Yllä käsitellyn piirteen mukaan suojan taso on kohtisuorassa maan pintaan nähden. Tässä tapauksessa ongelmalla on ääretön määrä ratkaisuja.

Tasojen kohtisuoraisuus

Jos pilari seisoo vinosti maahan nähden, riittää, että kiinnität pystysuoraan pylvääseen (kuva 421, b) ja kiinnität sitten suojuksen sekä kiskoon että pylvääseen. Tässä tapauksessa suojan asento on melko selvä, koska pylväs ja kisko määrittävät yhden tason.■

Edellisessä esimerkissä "tekninen" tehtävä pelkistettiin matemaattiseksi ongelmaksi tason piirtämisestä, joka on kohtisuorassa toiseen tasoon nähden tietyn suoran kautta.

Esimerkki 2. Neliön ABCD kärjestä A piirretään jana AK kohtisuoraan sen tasoon nähden, AB = AK = a.

1) Määritä tasojen AKC ja ABD suhteellinen sijainti,

AKD ja ABK.

2) Muodosta taso, joka kulkee linjan BD kautta kohtisuorassa tasoon ABC nähden.

3) Piirrä janan KC keskikohdan F läpi tasoa KAC vastaan ​​kohtisuorassa oleva taso.

4) Etsi kolmion BDF pinta-ala.

 Tehdään piirustus, joka vastaa esimerkin ehtoja (kuva 422).

1) Tasot AKC ja ABD ovat kohtisuorassa tasojen kohtisuoraisuuden ominaisuuden mukaan (Lause 1): AK ABD ehdon mukaan. Tasot AKD ja ABK ovat myös kohtisuorassa

ovat polaarisia, perustuen tasojen kohtisuoraan (Lause 1). Itse asiassa suora AB, jonka kautta taso ABK kulkee, on kohtisuorassa tasoon AKD nähden suoran ja tason kohtisuoran etumerkin mukaan (Lause 1 § 18): AB AD neliön vierekkäisinä sivuina; AB AK koska

AK ABD.

2) Tasojen kohtisuoraan perustuen haluttuun rakenteeseen riittää suora BD piirtäminen joidenkin pisteiden läpi

408 Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus

linja, joka on kohtisuorassa tasoon ABC nähden. Ja tätä varten riittää, että piirretään viiva tämän pisteen läpi yhdensuuntaisesti linjan AK kanssa.

Itse asiassa suora AK on ehdon mukaan kohtisuorassa tasoon ABC nähden ja siksi lauseen mukaan kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta,

meidän, joista toinen on kohtisuorassa tasoon nähden (Lause 1§19),

rakennettu suora on kohtisuorassa tasoon ABC nähden.

Rakentaminen.

Pisteen läpi

B suoritamme

OLLA,

rinnakkain

(Kuva 423). Taso BDE on haluttu.

3) Olkoon F janan KC keskipiste. Pro-

johdamme pisteen läpi

kohtisuorassa-

kone

Tämä suora viiva

lapset suoraan

FO, missä

O - neliön keskipiste

ABCD (kuva 424). Todellakin,FO ||AK ,

kuin keskimäärin

kolmion viiva

Koska

kohtisuorassa-

pinnalla

suora FO

höh-

det on kohtisuorassa siihen nähden noin lauseen mukaan

kaksi yhdensuuntaista suoraa, joista yksi

ry kohtisuorassa tasoon nähden (Lause 1

§ 19). Siksi

FO DB. Ja koska AC DB, sitten DB AOF (tai

KAC). Lentokone

BDF kulkee kohtisuoran linjan läpi

nal plane KAC, eli se on haluttu.

4) Kolmiossa

BDF-segmenttiFO

Korkeus vedettynä

sivu BD (katso kuva 424). Meillä on:BD =

2 a neliön diagonaalina

rata; FO = 1

AK =

1 a, kolmion keskiviivan ominaisuudella.

Siten S = 2 BD FO =

2 2 a

2 a =

. ■

Vastaus: 4)

a 2.

kohtisuoran ominaisuuksien tutkiminen

koneista ja sen sovelluksista, aloitetaan yksinkertaisimmasta

se, mutta erittäin hyödyllinen lause.

Lause 2 (suoraan kohtisuoraan kohtisuorien tasojen leikkausviivaan nähden).

Jos kaksi tasoa ovat kohtisuorassa, niin yhteen tasoon kuuluva suora, joka on kohtisuorassa näiden tasojen leikkauskohtaan, on kohtisuorassa toiseen tasoon nähden.

 Olkoon kohtisuorat tasot

α ja β leikkaavat suoraa c pitkin, ja β tasossa oleva suora b on kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​ja leikkaa sen pisteessä B (kuva 425). Määritelmän mukaan

jakamalla tasojen kohtisuorat β-tasossa suora kulkee pisteen B kautta

b 1, kohtisuorassa tasoon α nähden. On selvää, että se on kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan. Mutta mitä-

Jos leikkaat pisteen tasossa olevalle suoralle, voit piirtää vain yhden suoran, joka on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan. Siksi

suorat b ja b 1 osuvat yhteen. Tämä tarkoittaa, että yhden tason suora, joka on kohtisuorassa kahden kohtisuoran tason leikkausviivaan nähden, on kohtisuorassa toiseen tasoon nähden. ■

Soveltakaamme tarkasteltua lausetta toisen tasojen kohtisuoran merkin perustelemiseen, mikä on tärkeä kahden tason suhteellisen sijainnin myöhemmän tutkimuksen kannalta.

Olkoot tasot α ja β kohtisuorassa, suora c on niiden leikkausviiva. Vedämme mielivaltaisen pisteen A kautta suoran c

tasoissa α ja β suorat a ja b, jotka ovat kohtisuorassa suoria c vastaan ​​(kuva 426). Teorian mukaan

Me 2, suorat a ja b ovat kohtisuorassa tasoja β ja α vastaan, joten ne ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden: a b . Suoraan

määritellyt a ja b määrittävät tietyn tason γ. Leikkausviiva tasojen α ja β kanssa

kohtisuorassa tasoon γ nähden, perustuen suoran ja tason kohtisuoraan (Lause 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Jos otamme huomioon suoran c pisteen A valinnan mielivaltaisuuden ja sen, että ainoa siihen kohtisuorassa oleva taso kulkee suoran pisteen A läpi, voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen.

Lause 3 (tasosta, joka on kohtisuorassa kohtisuorien tasojen leikkausviivaa vastaan).

Taso, joka on kohtisuorassa kahden kohtisuoran tason leikkausviivaa vastaan, leikkaa nämä tasot kohtisuoraa suoraa pitkin.

Siten on saatu vielä yksi kohtisuorien tasojen ominaisuus. Tämä ominaisuus on ominaista, eli jos se on totta jollekin kahdelle tasolle, niin tasot ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Meillä on vielä yksi merkki tasojen kohtisuorasta.

Lause 4 (toinen kriteeri tasojen kohtisuoralle).

Jos kahden tason suorat leikkauspisteet kolmannella tasolla, joka on kohtisuorassa niiden leikkausviivaa vastaan, ovat kohtisuorassa, niin myös nämä tasot ovat kohtisuorassa.

 Leikkaavat tasot α ja β pitkin suoraa с ja taso γ, joka on kohtisuorassa suoraa с vastaan, leikkaa tasot α ja β vastaavasti

vastaavasti suoria viivoja a ja b pitkin (kuva 427). Ehdon mukaan a b . Koska γc, niin c. Ja siksi suora on kohtisuorassa tasoon β nähden suoran ja tason kohtisuoran merkin mukaan (Lause 1 § 18). Se siitä-

kyllä ​​tästä seuraa, että tasot α ja β ovat kohtisuorassa tasojen kohtisuorassa merkin mukaan (Lause 1).■

Huomionarvoisia ovat myös lauseet kolmannen tason kahden tason kohtisuoran ja niiden keskinäisen sijainnin välisistä yhteyksistä.

Lause 5 (kahden kolmanteen tasoon nähden kohtisuorassa olevan tason leikkausviivasta).

Jos kaksi kolmanteen tasoon nähden kohtisuorassa olevaa tasoa leikkaavat, niin niiden leikkausviiva on kohtisuorassa tähän tasoon nähden.

 Leikkaavat tasoa γ vastaan ​​kohtisuorassa olevat tasot α ja β pitkin suoraa viivaa (a || γ), ja A on suoran leikkauspiste

Tasojen kohtisuoraisuus
taso γ (kuva 428). Piste A kuuluu
elää tasojen γ ja α, γ leikkausviivoja pitkin
ja β, ja ehdon mukaan αγ ja βγ. Siksi mukaan
tason kohtisuoran määrittäminen
pisteen A kautta voit piirtää suoria viivoja,
makaa α-tasoissa	ja β ja kohtisuorassa
napatasot γ. Koska pisteen kautta
on mahdollista piirtää vain yksi suora viiva
kohtisuorassa tasoon nähden, sitten rakennettu
suorat viivat ovat yhtäpitäviä ja osuvat yhteen viivan kanssa
tasojen α ja β leikkauspisteet. Siten suora a on viiva
tasojen α ja β leikkauspiste on kohtisuorassa tasoon γ nähden. ■

Tarkastellaan lausetta, joka kuvaa tasojen yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran suhdetta. Meillä oli jo vastaava tulos suorille ja tasoille.

Lause 6 (kolmanteen tasoon nähden kohtisuorassa olevista yhdensuuntaisista tasoista).

Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta tasosta on kohtisuorassa kolmanteen nähden, niin toinen taso on kohtisuorassa sitä vastaan.

 Olkoot tasot α ja β yhdensuuntaiset ja taso γ kohtisuorassa tasoon α nähden. Koska taso γ

leikkaa tason α, niin sen on leikattava myös sen suuntainen taso β. Otetaanpa pro-

mielivaltainen suora m, joka on kohtisuorassa tasoon γ nähden ja vedä sen läpi sekä tason β mielivaltaisen pisteen läpi taso δ (kuva 429).

Tasot δ ja β leikkaavat suoraa n pitkin, ja koska α║ β, niin ║ n (Lause 2 §18). Lauseesta 1 seuraa, että n γ, ja siksi suoran n kautta kulkeva taso β on myös kohtisuorassa tasoa γ vastaan. ■

Todistettu lause antaa toisen merkin tasojen kohtisuorasta.

Voit piirtää tason, joka on kohtisuorassa annettuun pisteeseen nähden tietyn pisteen läpi käyttämällä tasojen kohtisuoran etumerkkiä (Lause 1). Riittää, kun vedetään suora viiva tämän pisteen läpi kohtisuoraan annettuun tasoon nähden (katso Tehtävä 1 § 19). Ja sitten piirretään rakennetun suoran läpi taso, joka on kohtisuorassa annettua tasoa vastaan ​​määritellyn kriteerin mukaan. On selvää, että tällaisia ​​tasoja voidaan piirtää ääretön määrä.

Merkittävämpää on tason rakentaminen kohtisuoraan tiettyyn tasoon nähden, edellyttäen, että se kulkee tietyn suoran läpi. On selvää, että jos tietty suora on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden, niin tällaisia ​​tasoja voidaan rakentaa ääretön määrä. On vielä harkittava tapausta, jossa annettu suora ei ole kohtisuorassa annettua tasoa vastaan. Tällaisen rakenteen mahdollisuus on perusteltu suorien viivojen ja tasojen fyysisten mallien tasolla esimerkissä 1.

Tehtävä 1. Todista, että mielivaltaisen suoran kautta, joka ei ole kohtisuorassa tasoon nähden, voidaan piirtää taso, joka on kohtisuorassa annettua tasoa vastaan.

 Olkoon taso α ja suora l, l B\ a. Otetaan mielivaltainen piste M suoralle ja vedetään sen läpi suora viiva, joka on kohtisuorassa tasoon α nähden (kuva 430, a). Koska ehdon mukaan l ei ole kohtisuorassa α:ta vastaan, niin sen suorat l leikkaavat. Näiden suorien viivojen kautta on mahdollista piirtää taso β (kuva 430, b), joka tasojen kohtisuoraan kohdistuvan testin (Lause 1) mukaan tulee olemaan kohtisuorassa tasoon α nähden. ■

Esimerkki 3. Piirrä säännöllisen pyramidin SABC kärjen A kautta, jossa on kanta ABC, suora viiva, joka on kohtisuorassa sivupinnan SBC tasoon nähden.

 Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme lausetta kohtisuorasta kohtisuorien tasojen leikkausviivaa vastaan

(Lause 2). Olkoon K reunan BC keskipiste (kuva 431). Tasot AKS ja BCS ovat kohtisuorassa tasojen kohtisuoran etumerkin mukaan (Lause 1). Todellakin, BC SK ja BC AK ovat kuin mediaanit, jotka on vedetty tasakylkisten kolmioiden kantaan. Tästä syystä suoran ja tason kohtisuorassa olevan kriteerin mukaan (Lause 1 §18) suora BC on kohtisuorassa tasoon AKS nähden. Taso BCS kulkee tasoon AKS nähden kohtisuoran suoran läpi.

Rakentaminen. Piirretään pisteestä A tasoon AKS viiva AL kohtisuoraan linjaan KS - tasojen AKS ja BCS leikkausviiva (kuva 432). Lauseen mukaan kohtisuorassa kohtisuorassa olevien tasojen leikkausviivaa vastaan ​​(Lause 2) suora AL on kohtisuorassa tasoon BCS nähden. ■

	Kontrollikysymykset
	Kuvassa 433 näyttää neliön ABCD,
	linja MD on kohtisuorassa tasoon nähden
	ABCD. Mitkä konepareista eivät ole
	ovat kohtisuorassa:
		MAD ja MDC;		MBC ja MAV;
		ABC ja MDC;		MAD ja MAV?

2. Kuvassa 434 näkyy oikein- uusi nelikulmainen pyramidi

SABCD, pisteet P, M, N - keskellä -

Meillä on reunat AB, BC, BS, O - pohjan ABCD keskipiste. Mitkä pareista ovat litteitä- luut ovat kohtisuorassa:

1) ACS ja BDS 2) MOS ja POS;

3) COS ja MNP; 4) MNP ja SOB;

5) CND ja ABS?

		Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus
3. Kuvassa 435	kuvattu suorakaiteen muotoisena
kolmio		suoralla kulmalla C ja
suora viiva BP, kohtisuorassa tasoon nähden
ty ABC. Mitkä seuraavista pareista ovat litteitä?
luut ovat kohtisuorassa:
1) CBP ja ABC;		2) ABP ja ABC;

3) PAC ja PBC; 4) PAC ja PAB?

4. Kaksi tasoa ovat kohtisuorassa. Onko mahdollista yhden mielivaltaisen pisteen kautta pitäisikö heidän vetää suora viiva tähän tasoon, toiseen tasoon?

5. On mahdotonta piirtää suoraa linjaa α-tasossa, mutta ei β-tasossa. Voisiko nämä lentokoneet olla mi?

6. Kulkeeko tason α tietyn pisteen kautta suora tässä tasossa ja on kohtisuorassa tasoon nähden siten, että tasot α ja β ovat kohtisuorassa?

Pystypylvääseen kiinnitetään aidan osa, onko mahdollista väittää, että aidan taso on pystysuora?

Kuinka kiinnittää kilpi pystysuoraan kiskoon maanpinnan suuntaisesti?

Miksi ovien pinta on pystysuorassa lattiaan nähden riippumatta siitä, ovatko ne kiinni vai auki?

Miksi luotiviiva sopii tiukasti pystysuoraa seinää vasten, mutta ei välttämättä kaltevaa vasten?

Onko mahdollista kiinnittää kilpi kaltevaan pylvääseen niin, että se on kohtisuorassa maan pintaan nähden?

Kuinka käytännössä määrittää, onko taso kohtisuorassa

seinät taso lattia? perpendicular perpendicular perpendicular- suorassa, makuuasennossa - β. Totta 7.. Mahdollinen 8.9.10.11.12.

Graafiset harjoitukset

1. Kuvassa 436 näyttää kuution ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

1) Määritä tasoon nähden kohtisuorassa olevat tasot BDD 1.

2) Miten lentokoneet ja

A1 B1 CAB 1 C 1

Tasojen kohtisuoraisuus
			437 tasoneliötä ABCD ja
	ABC1 D1		kohtisuorassa. Etäisyys		CC1
	on yhtä suuri kuin b. Selvitä jakson pituus:
		AB;		D1 C;
		D1 D;		C1 D.	Dan-
	Rakenna piirustus annettujen ohjeiden mukaan
	1) Tasasivuisten kolmioiden tasot
	ABC ja ABC ovat kohtisuorassa.
		Taso ABC on kohtisuorassa tasoihin BDC ja BEA nähden.
		Tasot α ja β ovat kohtisuorassa tasoon γ nähden ja leikkaavat toisiaan
	pitkin suoraa a, niiden leikkausviivat tason γ kanssa
	ovat suoria viivoja b on.
		Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tasossa
	luut AB 1 C 1 ja BCA 1 ovat kohtisuorassa.

421. Jana OS piirretään neliön ABCD keskipisteestä O kohtisuorassa sen tasoon nähden.

1°) Määritä ACS-tasojen suhteellinen sijainti

ja ABC.

2°) Määritä ACS-tasojen suhteellinen sijainti

ja BDS.

3) Muodosta taso, joka kulkee linjan OS kautta kohtisuorassa tasoon ABS nähden.

4) Muodosta tasoa ABC vastaan ​​kohtisuorassa taso, joka kulkee sivujen AD ja CD keskipisteiden kautta.

422. Rombin ABCD diagonaalien leikkauspisteestä O piirretään jana OS, joka on kohtisuorassa rombin tasoon nähden, AB = DB =

1°) Määritä SDB:n suhteellinen sijainti ja

ABC, SDB ja ACS.

2°) Muodosta taso, joka kulkee linjan BC kautta kohtisuorassa tasoon ABD nähden.

3) Piirrä janan CS keskikohdan F läpi tasoa ABC vastaan ​​kohtisuorassa oleva taso.

4) Etsi kolmion BDF pinta-ala.

423. Annettu kuutio ABCDA1 B1 C1 D1.

1°) Määritä tasojen AB 1 C 1 suhteellinen sijainti

ja CDD1.

2°) Määritä tasojen AB 1 C 1 suhteellinen sijainti

ja CD1 A1.

3°) Muodosta pisteen A kautta kulkeva taso, joka on kohtisuorassa tasoon BB 1 D 1 nähden.

4) Muodosta kuution leikkaus, jonka taso kulkee reunojen A 1 D 1 ja B 1 C 1 keskipisteiden kautta kohtisuorassa tasoon ABC nähden. 5) Määritä tason AA 1 B ja ripojen A 1 B 1, C 1 D 1, CD keskikohdan läpi kulkevan tason suhteellinen sijainti.

6) Laske kuution poikkileikkauspinta-ala tasosta, joka kulkee reunan BB 1 ja reunan A 1 D 1 keskikohdan kautta (BB 1 = a).

7) Muodosta pisteen A kanssa symmetrinen piste suhteessa tasoon A 1 B 1 C.

424. Säännöllisen tetraedrin ABCD, jonka reuna on 2 cm, piste M on DB:n keskipiste ja piste N on pisteen AC keskikohta.

1°) Osoita, että suora DB on kohtisuorassa tasoon nähden

2°) Osoita, että taso BDM on kohtisuorassa tasoon AMC nähden.

3) Piirrä kolmion ADC mediaanien leikkauspisteen O kautta suora, joka on kohtisuorassa tasoon AMC nähden.

4) Etsi tämän janan pituus tetraedrin sisällä. 5) Missä suhteessa AMC-taso jakaa tämän segmentin?

425. Kaksi tasasivuista kolmiota ABC ja ADC ovat kohtisuorassa tasossa.

1°) Laske janan BD pituus, jos AC = 1 cm.

2) Osoita, että taso BKD (K on suoralla AC) on kohtisuorassa kunkin kolmion tasoon nähden, jos ja vain, jos K on sivun AC keskipiste.

426. Suorakulmio ABCD, jonka sivut ovat 3 cm ja 4 cm, taivutettiin diagonaalia AC pitkin siten, että kolmiot ABC ja ADC sijaitsivat kohtisuorassa tasossa. Määritä pisteiden B ja D välinen etäisyys suorakulmion ABCD taivutuksen jälkeen.

427. Piirrä tämän pisteen kautta taso, joka on kohtisuorassa kumpaankin annettuun tasoon nähden.

428°. Todista, että kuution vierekkäisten pintojen tasot ovat kohtisuorassa.

429. Tasot α ja β ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tason α pisteestä A piirretään suora AB, joka on kohtisuorassa tasoon β nähden. Osoita, että suora AB on α-tasossa.

430. Todista, että jos taso ja suora, joka ei ole tässä tasossa, ovat kohtisuorassa samaan tasoon nähden, niin ne ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

431. Toisiaan vastaan ​​kohtisuorassa olevien tasojen α ja β leikkausviivalla olevien pisteiden A ja B kautta piirretään kohtisuorat suorat: AA 1 pisteessä α, BB 1 kohdassa β. Piste X on suoralla AA 1 ja piste Y on BB 1. Osoita, että suora ВB 1 on kohtisuorassa suoraa ВХ vastaan ​​ja suora АА 1 on kohtisuorassa suoraa АY vastaan.

432*. Kolmion kummankin sivun keskeltä piirretään taso, joka on kohtisuorassa tätä sivua vastaan. Todista, että kaikki kolme piirrettyä tasoa leikkaavat yhtä suoraa, joka on kohtisuorassa kolmion tasoon nähden.

Toistettavat harjoitukset

433. Tasasivuisessa kolmiossa, jossa on sivu b määritä: 1) korkeus; 2) piirretyn ja rajatun ympyrän säteet.

434. Yhdestä pisteestä piirretään kohtisuora ja kaksi vinoviivaa tiettyyn suoraan. Määritä kohtisuoran pituus, jos vinot ovat 41 cm ja 50 cm ja niiden projektiot tälle suoralle ovat suhteessa 3:10.

435. Määritä suorakulmaisen kolmion jalat, jos bis- suorakulmainen sektriksi jakaa hypotenuusan 15 cm:n osiin ja

Perusmäärittely

Näitä kahta konetta kutsutaan

ovat kohtisuorassa , jos jokainen niistä on muodostettu suorista viivoista- mi, kohtisuorassa- mi toisesta tasosta ja kulkee näiden tasojen leikkauspisteiden kautta.

	Tärkeimmät lausunnot
Pystysuora merkki		Jos yksin
selkeys		lentokoneita	kulkea-
lentokoneita		laita läpi
		kohtisuorassa
		sitten toinen kone		b a, b β a β
		nämä koneet ovat per-
		penikulaarinen.

		perpend-		kaksi lentokonetta
aukko			ovat siis kohtisuorassa
intersectionsperpen			suora, kuuluva
dicular		tasainen	jakaa yksi kone
			ja kohtisuorassa
				risteyksiä
			nämä koneet per-		α β, b β, c = α ∩β,
			kohtisuoraan toiseen nähden		b c b α
			kone.

Määritelmä. Kahta tasoa kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kulma on 90°. Esittelemme ilman todisteita stereometrian lauseita, jotka ovat hyödyllisiä myöhempien metristen ongelmien ratkaisemisessa.

1. Merkki kahden tason kohtisuorasta: jos taso kulkee kohtisuoran läpi toiseen tasoon, niin se on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan.

2. Jos kaksi kolmanteen tasoon nähden kohtisuorassa olevaa tasoa leikkaavat, niin

niiden leikkauspiste on kohtisuorassa kolmanteen tasoon nähden.

3. Kaltevalla viivalla, joka ei ole kohtisuorassa tasoon nähden, pätee seuraava lause: ainoa kaltevan viivan läpi kulkeva taso on kohtisuorassa annettuun tasoon nähden.

Viimeinen lause antaa meille mahdollisuuden ehdottaa seuraavaa algoritmia kaltevan AB:n läpi kulkevan tason konstruoimiseksi, joka on kohtisuorassa annettua tasoa Σ vastaan:

1) pisteestä AB valitaan mielivaltainen piste E;

2) suora t muodostetaan siten, että t "E, t ^ h, t ^ f, missä h Ì Σ, f Ì Σ

(Kuva 7.10), ts. t^Σ.

Taso (AB,t) on ainoa tasoa Σ vastaan ​​kohtisuorassa oleva taso. Huomaa, että useampi kuin yksi taso, joka on kohtisuorassa Σ:ta vastaan, kulkee suoran t ^ Σ läpi.

Tehtävä. Annettu taso Σ(CD, MN), jossa CD // MN ja suora AB (kuva 7.11).

Muodosta CN:lle taso, joka kulkee AB:n kautta ja on kohtisuorassa tasoon Σ nähden.

Algoritmi ongelman projektioratkaisulle:

1) tasoviivat h(h 1 ,h 2) ja f(f 1 ,f 2) on rakennettu Σ-tasoon, jossa h 2 // x, f 1 // x;

2) suoran t projektiot t 1 ja t 2 on muodostettu siten, että t 2 " E 2, t 2 ^ f 2; t 1 " E 1, t 1 ^ h 1, jossa E О AB on mielivaltainen piste . Taso (AB, t) on ratkaisu ongelmaan.

Tehtävä. Annetut tasot Σ(AB, DC) ja Δ(KL, PT), missä

AB Ç DC, KL // PT sekä piste E. Muodosta taso, joka kulkee pisteen E kautta ja on kohtisuorassa molempiin tasoihin Σ ja Δ (kuva 9.9).

Yksi mahdollisista ratkaisuista tähän ongelmaan on seuraava. Ensin muodostetaan annettujen tasojen t = Σ Ç Δ leikkausviiva. Sitten yllä olevien stereometrian lauseiden perusteella muodostetaan taso, joka kulkee pisteen E kautta ja on kohtisuorassa suoraa t vastaan. Ainutlaatuisena tämä taso edustaa ratkaisua ongelmaan.

Toinen algoritmi tämän ongelman ratkaisemiseksi on mahdollinen (katso kuva 9.8):

1) tietystä pisteestä E kohtisuora a laskeutuu tasoon Σ;

2) pisteestä E laskee kohtisuoraa b tasoon Δ.

Taso (a, b), jossa a Ç b = E, on ongelman ratkaisu. Tarkastellaan tämän algoritmin toteutusta CN:llä (katso kuva 9.9).

1. Σ-tasossa rakennetaan tasoviivat h 1 (h 1 1, h 1 2) ja f 1 (f 1 1, f 1 2). Jossa

h 1 2 // x; f 1 1 // x.

2. Δ-tasoon rakennetaan tasoviivat h 2 (h 2 1, h 2 2) ja f 2 (f 2 1, f 2 2). Jossa

h 2 2 // x; f 2 1 //x.

3. Kaksi kohtisuoraa lasketaan pisteestä E: a ^ Σ, b ^ Δ. Jossa

a 2^ f 1 2, a 1 ^ h 1 1; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .

Kaksi pisteessä E leikkaavaa suoraa a ja b määrittelevät halutun tason, ts. taso, joka on kohtisuorassa annettuja tasoja Σ ja Δ vastaan.