Yleinen dynamiikan yhtälö. Esimerkki ongelman ratkaisemisesta. Mahdollisten liikkeiden periaate. Yleinen dynamiikan yhtälö Dynaamiikan yleinen yhtälö Teoreettinen mekaniikka esimerkkejä ratkaisuista

D'Alembertin periaatteen perusteella seuraavat yhtäläisyydet ovat totta:

missä on aktiivinen voima; – yhteyksien reaktio; – pisteen hitausvoima (kuva 3.36).

Kertomalla jokainen relaatio (3.45) skalaarisesti pisteen mahdollisella siirtymällä ja summaamalla kaikki järjestelmän pisteet, saadaan

(3.46)

Yhtälö (3.46) on yleinen dynamiikan yhtälö mekaaniselle järjestelmälle, jolla on mitä tahansa rajoituksia. Jos yhteydet ovat ihanteelliset, niin ja lauseke (3.46) saa jonkin seuraavista muodoista:

Yleinen dynamiikan yhtälö (yhtenäinen d’Alembert–Lagrange-periaate).Ihanteellisilla yhteyksillä varustetun järjestelmän millä tahansa liikehetkellä kaikkien aktiivisten voimien ja järjestelmän pisteiden hitausvoimien alkeisvoimien summa on nolla missä tahansa järjestelmän mahdollisessa liikkeessä.

Yleistetyt koordinaatit

Anna järjestelmän koostua N pistettä ja sen sijainti määräytyy 3:lla N järjestelmäpisteiden koordinaatit (Kuva 3.37). järjestelmälle määrätty l

holonomiset kaksisuuntaiset yhteydet, joiden yhtälöt s=1,2,…,l.

Joten 3 N koordinaatit linkitetty l yhtälöt ja riippumattomat koordinaatit ovat n=3N-l.

Kuten n riippumattomia koordinaatteja, voit valita mitä tahansa riippumattomia parametreja

Kutsutaan itsenäisiä parametreja, jotka määrittävät yksiselitteisesti järjestelmän sijainnin järjestelmän yleiset koordinaatit.

Riisi. 3.37

Yleensä ne ovat järjestelmän pisteiden karteesisten koordinaattien toimintoja:

Voit ilmaista suorakulmaiset koordinaatit yleistetyinä koordinaatteina:

Saatamme järjestelmän kunkin pisteen sädevektorille

Jos liitännät ovat paikallaan, aika ei eksplisiittisesti tule sisään (3.47). Holonomisille yhteyksille pisteen mahdollisen liikkeen vektori voidaan ilmaista muodossa:

Jos yhteydet ovat holonomisia, niin riippumattomien mahdollisten liikkeiden (tai muunnelmien) määrä on sama kuin riippumattomien yleistettyjen koordinaattien lukumäärä. Siten, holonomisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tämän järjestelmän riippumattomien yleistettyjen koordinaattien lukumäärä, ts. n=3N-l.

Ei-holonomisissa järjestelmissä riippumattomien variaatioiden (mahdollisten siirtymien) määrä on yleensä pienempi kuin yleistettyjen koordinaattien määrä. Siksi ei-holonomisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä, joka on yhtä suuri kuin riippumattomien mahdollisten siirtymien lukumäärä, on myös pienempi kuin järjestelmän yleisten koordinaattien lukumäärä.

Yleistettyjen koordinaattien derivaattoja ajan suhteen kutsutaan yleistetyiksi nopeuksiksi ja niitä merkitään

Yleistyneet voimat

Riisi. 3.38

Yleisten voimien määritelmä. Harkitse holonomista järjestelmää N aineellisia pisteitä, joilla on n vapausasteilla ja voimajärjestelmän vaikutuksen alaisena (Kuva 3.38). Järjestelmän sijainti määritetään n yleistetyt koordinaatit nuo.

Mahdollisen liikkeen vektori -

(3.48)

Lasketaan järjestelmään vaikuttavien voimien perustöiden summa järjestelmän mahdolliselle siirtymälle:

(3.49)

Korvaamalla (3.48) arvolla (3.49) ja muuttamalla summausjärjestystä saadaan

(3.50)

Skalaarimäärä kutsutaan yleistetyksi voimaksi, joka liittyy yleistettyyn koordinaattiin q i.

Yleisen voiman ulottuvuus. Kaavasta (3.50) saadaan yleisen voiman ulottuvuus [ K]=[A]/[q]. Jos yleistetyllä koordinaatilla on pituusmitta, niin yleistetyllä voimalla on voiman mitta [N], mutta jos yleisellä koordinaatilla on kulma (mitta - 1), niin yleistetyllä voimalla on voiman momentin mitta [ N×m].

Yleistettyjen voimien laskeminen. 1. Yleistetty voima voidaan laskea kaavalla, joka määrittää sen:

Missä F kx,Fyx,F kz– voiman projektiot koordinaattiakseleille; x k,y yx,z k– voimankäyttöpisteen koordinaatit

2. Yleistetyt voimat ovat kertoimia vastaaville yleistettyjen koordinaattien vaihteluille perustyön lausekkeessa (3.50):

3. Jos järjestelmälle kerrotaan mahdollinen liike siten, että vain yksi yleinen koordinaatti muuttuu q j sitten (3.52) meillä on

Indeksi qi osoittajassa osoittaa, että työn summa lasketaan mahdolliselle liikkeelle, jonka aikana vain koordinaatti muuttuu (vaihtelee) qi.

4. Mahdolliset voimat:

(3.53)

missä on voimafunktio.

Lausekkeesta (3.51), yhtäläisyydet (3.53) huomioiden, seuraa, että

Täten,

missä on järjestelmän potentiaalienergia.

3.5.6. Dynaamiikan yleinen yhtälö yleistetyissä voimissa.
Voimien tasapainon edellytykset

Yleinen dynamiikkayhtälö (3.50)

Mahdollisen liikkeen vektori kohdan (3.48) mukaan on yhtä suuri kuin

Kun tämä lauseke otetaan huomioon, dynamiikan yleinen yhtälö saa muodon

Muunnetaan se muuttamalla summausjärjestystä

(3.54)

Tässä – yleistettyä koordinaattia vastaavien aktiivisten voimien yleinen voima qi; – yleistettyä koordinaattia vastaava yleinen inertiavoima qi.Silloin yhtälö (3.54) saa muodon

Yleisten koordinaattien lisäykset ovat mielivaltaisia ​​ja toisistaan ​​riippumattomia. Siksi niiden kertoimien viimeisessä yhtälössä on oltava nolla:

(3.55)

Nämä yhtälöt vastaavat yleistä dynamiikan yhtälöä.

Jos mekaaniseen järjestelmään vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret kuin nolla, ts. Jos mekaaninen järjestelmä liikkuu tasaisesti suorassa linjassa tai ylläpitää lepotilaa, sen pisteiden hitausvoimat ovat nolla. Tästä seuraa, että järjestelmän yleiset hitausvoimat ovat nolla , yhtälöt (3.55) saavat muodon

(3.56)

Yhtälöt (3.56) ilmaisevat voimien tasapainon ehdot yleistetyissä voimissa.

Konservatiivisten voimien tapauksessa

Näin ollen konservatiivisen voimajärjestelmän tasapainoehdoilla on muoto

Mahdollisten siirtymien periaate tarjoaa yleisen menetelmän staattisten ongelmien ratkaisemiseen. Toisaalta d'Alembertin periaate sallii staattisten menetelmien käytön dynaamisten ongelmien ratkaisemiseksi. Siksi soveltamalla näitä kahta periaatetta samanaikaisesti voimme saada yleisen menetelmän dynamiikkaongelmien ratkaisemiseksi.

Tarkastellaan materiaalipisteiden järjestelmää, joille asetetaan ihanteelliset yhteydet. Jos kaikkiin järjestelmän pisteisiin lisätään vastaavat inertiavoimat niihin vaikuttavien aktiivisten voimien ja reaktioreaktioiden lisäksi, niin tuloksena oleva voimajärjestelmä on d'Alembertin periaatteen mukaan tasapainossa. Sitten, soveltamalla mahdollisten siirtymien periaatetta näihin voimiin, saamme

Mutta ehdon (98) viimeinen summa on yhtä suuri kuin nolla ja on lopulta:

Saadusta tuloksesta seuraa seuraava D'Alembert-Lagrange-periaate: kun mekaaninen järjestelmä, jolla on ideaaliset liitännät, liikkuu, kullakin ajanhetkellä kaikkien kohdistettujen aktiivisten voimien ja kaikkien inertiavoimien perustöiden summa järjestelmän mahdolliseen liikkeeseen. on yhtä suuri kuin nolla.

Yhtälöä (102), joka ilmaisee tämän periaatteen, kutsutaan dynamiikan yleiseksi yhtälöksi. Analyyttisessä muodossa yhtälöllä (102) on muoto

Yhtälöt (102) tai (103) antavat meille mahdollisuuden muodostaa mekaanisen järjestelmän liikkeen differentiaaliyhtälöitä.

Jos järjestelmä on joukko kiinteitä kappaleita, yhtälöiden laatimiseksi on tarpeen lisätä jokaiseen kappaleeseen vaikuttaviin aktiivisiin voimiin voima, joka kohdistuu mihin tahansa keskustaan, joka on yhtä suuri kuin hitausvoimien päävektori, ja pari momentilla yhtä suuri kuin hitausvoimien päämomentti suhteessa tähän keskustaan ​​(tai johonkin näistä arvoista, katso § 134), ja soveltaa sitten mahdollisten liikkeiden periaatetta.

Tehtävä 173. Keskipakosäätimessä, joka pyörii tasaisesti pystyakselin ympäri kulmanopeudella c (kuva 362), kunkin kuulan paino ja on yhtä suuri kuin kytkimen paino Q. Jätetään huomioimatta sauvojen paino , määritä kulma a if

Ratkaisu. Lisäämme aktiivisiin voimiin keskipakoinertiavoimat (kytkennän inertiavoima on ilmeisesti nolla) ja muodosta yleinen dynamiikkayhtälö muotoon (103). Sitten laskemalla kaikkien voimien projektiot koordinaattiakseleille saadaan

Voimien kohdistamispisteiden koordinaatit ovat yhtä suuret:

Erottelemalla nämä ilmaisut huomaamme:

Korvaamalla kaikki löydetyt arvot yhtälöön (a), saamme

Täältä vihdoinkin

Koska pallot poikkeavat, kun . Kulman kasvaessa a kasvaa, taipumus 90°:een

Tehtävä 174. Kuvassa näkyvässä hississä. Kuvassa 363 hammaspyörään, jonka paino ja hitaussäde on akselinsa suhteen, kohdistetaan pyörimismomentti M. Määritä nostetun kuorman 3 kiihtyvyys painolla Q jättäen huomioimatta köyden painon ja akseleiden kitkan. Rumpu, johon köysi on kierretty, on kytketty jäykästi toiseen vaihteeseen; niiden kokonaispaino on yhtä suuri kuin , ja hitaussäde suhteessa pyörimisakseliin Hammaspyörien säteet vastaavat rummun säteitä.

Ratkaisu. Kuvaamme järjestelmään vaikuttavan aktiivisen voiman Q ja momentin M (voimat eivät toimi); lisäämme niihin kuorman hitausvoiman ja momentin parin, johon pyörivien kappaleiden hitausvoimat pienenevät (ks. § 134).

Johdanto

Kinematiikka käsittelee yksinkertaisimpien mekaanisten liikkeiden kuvauksia. Tässä tapauksessa ei puututtu syihin, jotka aiheuttavat muutoksia kehon asennossa muihin kehoihin nähden, vaan referenssijärjestelmä valittiin mukavuussyistä tiettyä ongelmaa ratkaistaessa. Dynamiikassa kiinnostavat ensinnäkin syyt, miksi jotkut kappaleet alkavat liikkua suhteessa muihin kappaleisiin, sekä kiihtyvyyden ilmaantumista aiheuttavat tekijät. Mekaniikan laeilla on kuitenkin tarkalleen ottaen eri muotoja eri viitejärjestelmissä. On todettu, että on olemassa sellaisia ​​viitejärjestelmiä, joissa lait ja mallit eivät riipu viitejärjestelmän valinnasta. Tällaisia ​​viitejärjestelmiä kutsutaan inertiajärjestelmät(ISO). Näissä vertailujärjestelmissä kiihtyvyyden suuruus riippuu vain vaikuttavista voimista, eikä se riipu vertailujärjestelmän valinnasta. Inertiaalinen viitekehys on heliosentrinen viitekehys, jonka alkuperä on Auringon keskustassa. Inertiajärjestelmään nähden tasaisesti suoraviivaisesti liikkuvat vertailujärjestelmät ovat myös inertiaalisia, ja vertailujärjestelmät, jotka liikkuvat kiihtyvyydellä inertiajärjestelmään nähden ovat ei-inertiaalinen. Näistä syistä maan pinta on tarkalleen ottaen ei-inertiaalinen viitekehys. Monissa ongelmissa Maahan liittyvää vertailukehystä voidaan pitää inertiana hyvällä tarkkuudella.

Dynaamiikan peruslait inertiassa ja ei-inertiassa

Viitejärjestelmät

Kehon kykyä säilyttää tasaisen suoraviivaisen liikkeen tila tai olla levossa ISO:ssa kutsutaan kehon inertia. Kehon hitausmitta on paino. Massa on skalaarisuure, joka mitataan kilogrammoina (kg) SI-järjestelmässä. Vuorovaikutuksen mitta on suure ns voimalla. Voima on vektorisuure, mitattuna newtoneina (N) SI-järjestelmässä.

Newtonin ensimmäinen laki. Inertiavertailujärjestelmissä piste liikkuu tasaisesti suorassa linjassa tai on levossa, jos kaikkien siihen vaikuttavien voimien summa on nolla, eli:

missä ovat voimat, jotka vaikuttavat tiettyyn pisteeseen.

Newtonin toinen laki. Inertiajärjestelmissä kappale liikkuu kiihtyvyydellä, jos kaikkien siihen vaikuttavien voimien summa ei ole nolla ja kappaleen massan ja sen kiihtyvyyden tulo on yhtä suuri kuin näiden voimien summa, eli:

Newtonin kolmas laki. Voimat, joilla kappaleet vaikuttavat toisiinsa, ovat suuruudeltaan yhtä suuret ja suunnaltaan vastakkaiset, eli: .

Voimat vuorovaikutuksen mittareina syntyvät aina pareittain.

Useimpien ongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti Newtonin lakien avulla on välttämätöntä noudattaa tiettyä toimintosarjaa (eräänlainen algoritmi).

Algoritmin pääkohdat.

1. Analysoi ongelman tila ja selvitä, minkä elinten kanssa kyseinen keho on vuorovaikutuksessa. Määritä tämän perusteella kyseessä olevaan kappaleeseen vaikuttavien voimien määrä. Oletetaan, että kehoon vaikuttavien voimien lukumäärä on yhtä suuri kuin . Tee sitten kaavamaisesti oikea piirros, johon piirrät kaikki kehoon vaikuttavat voimat.

2. Määritä tehtävän ehdon avulla kyseessä olevan kappaleen kiihtyvyyssuunta ja kuvaa kiihtyvyysvektori kuvassa.

3. Kirjoita Newtonin toinen laki vektorimuodossa, eli:

Missä kehoon vaikuttavia voimia.

4. Valitse inertiavertailujärjestelmä. Piirrä kuvaan suorakulmainen karteesinen koordinaattijärjestelmä, jonka OX-akseli on suunnattu kiihtyvyysvektoria pitkin, OY- ja OZ-akselit on suunnattu kohtisuoraan OX-akseliin nähden.

5. Käytä vektoriyhtälöiden perusominaisuutta, kirjoita Newtonin toinen laki vektorien projektioille koordinaattiakseleille, eli:

6. Jos tehtävässä on voimien ja kiihtyvyyksien lisäksi määrittää koordinaatit ja nopeus, niin Newtonin toisen lain lisäksi on käytettävä myös kinemaattisia liikeyhtälöitä. Kun yhtälöjärjestelmä on kirjoitettu, on kiinnitettävä huomiota siihen, että yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä tässä tehtävässä.

Tarkastellaan ei-inertiaalista viitekehystä, joka pyörii vakiokulmanopeudella akselin ympäri, joka liikkuu translaationaalisesti nopeudella suhteessa inertiakehykseen. Tässä tapauksessa inertiakehyksen () pisteen kiihtyvyys suhteutetaan ei-inertiakehyksen () kiihtyvyyteen suhteella:

missä on ei-inertiaalisen järjestelmän kiihtyvyys suhteessa inertiajärjestelmään, ei-inertiaalisen järjestelmän pisteen lineaarinen nopeus. Viimeisestä suhteesta, kiihtyvyyden sijaan korvaamme yhtälön (1), saamme lausekkeen:

Tätä suhdetta kutsutaan Newtonin toinen laki ei-inertiaalisessa viitekehyksessä.

Inertiavoimat. Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

1. – eteenpäin suuntautuva inertiavoima;

2. – Coriolis-voima;

3 – keskipakoinen hitausvoima.

Tehtävissä inertian translaatiovoimaa vektoria vasten on kuvattu ei-inertiallisen vertailukehyksen () translaatioliikkeen kiihtyvyydellä, hitauden keskipakovoima on esitetty pyörimiskeskipisteestä pitkin sädettä (); Coriolis-voiman suunta määräytyy säännön mukaan gimlet vektorien ristitulolle.

Tarkkaan ottaen inertiavoimat eivät ole voimia täydessä merkityksessä, koska Newtonin kolmas laki ei päde heille, ts. niitä ei ole yhdistetty.

Voimat

Universaalin painovoiman voima. Universaalin gravitaatiovoima syntyy kappaleiden ja massojen välisessä vuorovaikutuksessa ja se lasketaan suhteesta:

. (4)

Suhteellisuuskerrointa kutsutaan gravitaatiovakio. Sen arvo SI-järjestelmässä on yhtä suuri kuin .

Reaktion voima. Reaktiovoimat syntyvät, kun keho on vuorovaikutuksessa erilaisten rakenteiden kanssa, jotka rajoittavat sen sijaintia avaruudessa. Esimerkiksi kierteeseen ripustettuun kappaleeseen vaikuttaa reaktiovoima, jota yleensä kutsutaan voimaksi jännitystä. Langan kiristysvoima suuntautuu aina lankaa pitkin. Sen arvon laskemiseen ei ole kaavaa. Yleensä sen arvo saadaan joko Newtonin ensimmäisestä tai toisesta laista. Reaktiovoimat sisältävät myös voimat, jotka vaikuttavat hiukkaseen tasaisella pinnalla. He kutsuvat häntä normaali reaktiovoima, merkitsee. Reaktiovoima on aina suunnattu kohtisuoraan tarkasteltavaan pintaan nähden. Vartalon sivulta tasaiseen pintaan vaikuttavaa voimaa kutsutaan normaali painevoima(). Newtonin kolmannen lain mukaan reaktiovoima on suuruudeltaan yhtä suuri kuin normaalipaineen voima, mutta näiden voimien vektorit ovat vastakkaisia.

Elastinen voima. Kappaleissa syntyy elastisia voimia, jos kappaleet muuttavat muotoaan, ts. jos kehon muoto tai tilavuus muuttuu. Kun muodonmuutos loppuu, elastiset voimat katoavat. On huomattava, että vaikka kimmovoimat syntyvät kappaleiden muodonmuutoksen aikana, muodonmuutos ei aina johda elastisten voimien syntymiseen. Elastisia voimia syntyy kappaleissa, jotka pystyvät palauttamaan muotonsa ulkoisen vaikutuksen lakkaamisen jälkeen. Tällaisia ​​kappaleita ja niitä vastaavia muodonmuutoksia kutsutaan elastinen. Muovisen muodonmuutoksen yhteydessä muutokset eivät katoa kokonaan ulkoisen vaikutuksen lakkaamisen jälkeen. Silmiinpistävä esimerkki elastisten voimien ilmenemisestä voivat olla muodonmuutoksille alttiissa jousissa syntyvät voimat. Epämuodostuneissa kappaleissa esiintyville kimmoisille muodonmuutoksille kimmovoima on aina verrannollinen muodonmuutoksen suuruuteen, eli:

, (5)

missä on jousen kimmokerroin (tai jäykkyys), jousen muodonmuutosvektori.

Tätä lausuntoa kutsutaan Hooken laki.

Kitkavoima. Kun yksi kappale liikkuu toisen pinnalla, syntyy voimia, jotka estävät tätä liikettä. Tällaisia ​​voimia kutsutaan yleensä liukuvat kitkavoimat. Staattisen kitkavoiman suuruus voi vaihdella käytetyn ulkoisen voiman mukaan. Tietyllä ulkoisen voiman arvolla staattinen kitkavoima saavuttaa maksimiarvonsa. Tämän jälkeen vartalo alkaa liukua. On kokeellisesti osoitettu, että liukukitkavoima on suoraan verrannollinen kehon normaalipaineen pintaan. Newtonin kolmannen lain mukaan kappaleen normaalipaineen voima pintaan on aina yhtä suuri kuin reaktiovoima, jolla pinta itse vaikuttaa liikkuvaan kappaleeseen. Kun tämä otetaan huomioon, kaava liukuvan kitkavoiman suuruuden laskemiseksi on muotoa:

, (6)

missä on reaktiovoiman suuruus; liukukitkakerroin. Liikkuvaan kappaleeseen vaikuttava liukuva kitkavoima kohdistuu aina sen nopeutta vasten kosketuspintoja pitkin.

Vastustuksen voima. Kun kappaleet liikkuvat nesteissä ja kaasuissa, syntyy myös kitkavoimia, mutta ne eroavat merkittävästi kuivakitkavoimista. Näitä voimia kutsutaan viskoosi kitkavoimat, tai vastustusvoimat. Viskoosiset kitkavoimat syntyvät vain kappaleiden suhteellisen liikkeen aikana. Vastusvoimat riippuvat monista tekijöistä, nimittäin: kappaleiden koosta ja muodosta, väliaineen ominaisuuksista (tiheys, viskositeetti), suhteellisen liikkeen nopeudesta. Pienillä nopeuksilla vetovoima on suoraan verrannollinen kehon nopeuteen suhteessa väliaineeseen, eli:

. (7)

Suurilla nopeuksilla vetovoima on verrannollinen kappaleen nopeuden neliöön suhteessa väliaineeseen, eli:

, (8)

missä on joitain suhteellisuuskertoimia, ns vastuskertoimet.

Dynaamiikan perusyhtälö

Aineellisen pisteen dynamiikan perusyhtälö ei ole muuta kuin Newtonin toisen lain matemaattinen ilmaus:

. (9)

Inertiaalisessa vertailukehyksessä kaikkien voimien summa sisältää vain voimat, jotka ovat vuorovaikutuksen mittareita, ei-inertiaalisissa kehyksissä voimien summa sisältää inertiavoimat.

Matemaattisesta näkökulmasta relaatio (9) on vektorimuodossa olevan pisteen liikkeen differentiaaliyhtälö. Sen ratkaisu on materiaalipisteen dynamiikan pääongelma.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Tehtävä nro 1. Lasi asetetaan paperiarkille. Millä kiihtyvyydellä arkki pitää saada liikkeelle, jotta se saadaan ulos lasin alta, jos lasin ja paperiarkin välinen kitkakerroin on 0,3?

Oletetaan, että jollain paperiarkkiin vaikuttavalla voimalla lasi liikkuu yhdessä arkin kanssa. Kuvataan erikseen massaiseen lasiin vaikuttavat voimat. Seuraavat kappaleet vaikuttavat lasiin: Maa painovoimalla, paperiarkki reaktiovoimalla, paperiarkki, jonka kitkavoima on suunnattu lasin liikenopeudella. Lasin liike kiihtyy tasaisesti, joten kiihtyvyysvektori suuntautuu lasin liikenopeutta pitkin.

Kuvataan lasin kiihtyvyysvektori kuvassa. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki vektorimuodossa lasiin vaikuttaville voimille:

.

Ohjataan OX-akseli lasin kiihtyvyysvektoria pitkin ja OY-akseli ¾ pystysuoraan ylöspäin. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki projektioksina näille koordinaattiakseleille ja saadaan seuraavat yhtälöt:

(1.1)

Kun paperiarkkiin vaikuttava voima kasvaa, sen kitkavoiman suuruus, jolla paperiarkki vaikuttaa lasiin, kasvaa. Tietyllä voiman arvolla kitkavoiman suuruus saavuttaa maksimiarvon, joka on yhtä suuri kuin liukukitkavoima. Tästä hetkestä lähtien lasi alkaa liukua suhteessa paperin pintaan. Kitkavoiman raja-arvo on suhteessa lasiin vaikuttavaan reaktiovoimaan seuraavasti:

Yhtälöstä (1.2) ilmaisemme reaktiovoiman suuruuden ja korvaamme sen sitten viimeiseen suhteeseen, meillä on . Tuloksena olevasta suhteesta löydämme kitkavoiman suuruuden ja laitamme sen yhtälöön (1.1), saamme lausekkeen lasin maksimikiihtyvyyden määrittämiseksi:

Korvaamalla määrien numeeriset arvot viimeiseen yhtälöön, löydämme lasin maksimikiihtyvyyden arvon:

.

Tuloksena oleva lasin kiihtyvyysarvo on yhtä suuri kuin paperiarkin pienin kiihtyvyys, jolla se voidaan "vetää ulos" lasin alta.

Vastaus: .

Kuvataan kaikki kehoon vaikuttavat voimat. Ulkoisen voiman lisäksi maapallo vaikuttaa kehoon painovoimalla, vaakasuora pinta reaktiovoimalla ja kehon nopeutta vastaan ​​suunnatulla kitkavoimalla. Keho liikkuu tasaisesti kiihdytettynä, ja siksi sen kiihtyvyysvektori on suunnattu liikkeen nopeutta pitkin. Kuvataan vektori kuvassa. Valitsemme koordinaattijärjestelmän kuvan osoittamalla tavalla. Kirjoitamme Newtonin toisen lain vektorimuodossa:

.

Käytämme vektoriyhtälöiden pääominaisuutta, kirjoitamme yhtälöt viimeiseen vektoriyhtälöön sisältyvien vektorien projektioille:

Kirjoitamme ylös liukukitkavoiman suhteen

Yhtälöstä (2.2) saadaan reaktiovoiman suuruus

Tuloksena olevasta lausekkeesta korvaamme yhtälön (2.3) reaktiovoiman suuruuden sijaan, saamme lausekkeen

Kun tuloksena oleva kitkavoiman lauseke korvataan yhtälöllä (2.1), saadaan kaava kappaleen kiihtyvyyden laskemiseksi:

Korvaamme SI-järjestelmän numeeriset tiedot viimeiseen kaavaan ja löydämme kuorman kiihtyvyyden suuruuden:

Vastaus: .

Voiman pienimmälle suuruudelle määritämme lepokappaleeseen vaikuttavan kitkavoiman suunnan. Kuvitellaan, että voima on pienempi kuin vähimmäisvoima, joka riittää kehon pysymiseen levossa. Tässä tapauksessa runko liikkuu alaspäin ja siihen kohdistettu kitkavoima suunnataan pystysuunnassa ylöspäin. Kehon pysäyttämiseksi sinun on lisättävä käytetyn voiman suuruutta. Lisäksi tähän kappaleeseen vaikuttaa maapallo pystysuoraan alaspäin suuntautuvalla painovoimalla sekä seinä, jonka reaktiovoima on suunnattu vaakasuoraan vasemmalle. Kuvataan kuvassa kaikki kehoon vaikuttavat voimat. Otetaan suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, jonka akselit suunnataan kuvan osoittamalla tavalla. Levossa olevalle keholle kirjoitetaan Newtonin ensimmäinen laki vektorimuodossa:

.

Löydetylle vektoriyhtälölle kirjoitetaan yhtäläiset vektorien projektiot koordinaattiakseleille, saadaan seuraavat yhtälöt:

Ulkoisen voiman minimiarvolla staattisen kitkavoiman suuruus saavuttaa maksimiarvon, joka on yhtä suuri kuin liukukitkavoiman suuruus:

Yhtälöstä (3.1) selvitetään reaktiovoiman suuruus ja korvataan se yhtälöllä (3.3), saadaan seuraava kitkavoiman lauseke:

.

Korvataan tämän suhteen oikea puoli kitkavoiman sijasta yhtälössä (3.2) ja saadaan kaava kohdistetun voiman suuruuden laskemiseksi:

Viimeisestä kaavasta löydämme voiman suuruuden:

.

Vastaus: .

Kuvataan kaikki ilmassa pystysuunnassa alaspäin liikkuvaan palloon vaikuttavat voimat. Maa vaikuttaa siihen painovoimalla ja ilma vastusvoimalla. Kuvataan kuvassa tarkasteltuja voimia. Alkuhetkellä kaikkien voimien resultantilla on maksimiarvo, koska pallon nopeus on nolla ja vastusvoima on myös nolla. Tällä hetkellä pallon suurin kiihtyvyys on yhtä suuri kuin . Kun pallo liikkuu, sen nopeus kasvaa ja sen seurauksena ilmanvastusvoima kasvaa. Jossain vaiheessa vastusvoima saavuttaa arvon, joka on yhtä suuri kuin painovoima. Tästä hetkestä lähtien pallo liikkuu tasaisesti. Kirjoitetaan Newtonin ensimmäinen laki vektorimuodossa pallon tasaiselle liikkeelle:

.

Ohjataan OY-akseli pystysuunnassa alaspäin. Tälle vektoriyhtälölle kirjoitetaan yhtäläisyys vektorien projektioille OY-akselille:

. (4.1)

Vastusvoima riippuu pallon poikkileikkausalasta ja sen nopeuden suuruudesta seuraavasti:

, (4.2)

missä on suhteellisuuskerroin, jota kutsutaan vastuskertoimeksi.

Yhtälöistä (4.1) ja (4.2) seuraa seuraava suhde:

. (4.3)

Ilmoitetaan pallon massa sen tiheyden ja tilavuuden kautta ja tilavuus puolestaan ​​pallon säteen kautta:

. (4.4)

Tästä lausekkeesta löydämme massan ja korvaamme sen yhtälöllä (4.3), saamme seuraavan yhtälön:

. (4.5)

Ilmaisemme pallon poikkileikkausalan sen säteen perusteella:

Kun otetaan huomioon suhde (4.6), tasa-arvo (4.5) on seuraavanlainen:

.

Merkitään ensimmäisen pallon säteenä; toisen pallon säteenä. Kirjoitetaan kaavat ensimmäisen ja toisen pallon tasaisen liikkeen nopeuksille:

Saatuista yhtälöistä löydämme nopeussuhteen:

.

Tehtävän ehdoista pallojen säteiden suhde on kaksi. Käyttämällä tätä ehtoa löydämme nopeussuhteen:

.

Vastaus: .

Kaltevaa tasoa pitkin ylöspäin liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavat ulkoiset kappaleet: a) Maa, jonka painovoima on suunnattu pystysuoraan alaspäin; b) kalteva taso, jonka reaktiovoima on suunnattu kohtisuoraan kaltevaan tasoon nähden; c) kalteva taso, jonka kitkavoima kohdistuu kehon liikettä vastaan; d) ulkoinen kappale, jonka voima on suunnattu ylöspäin kaltevaa tasoa pitkin. Näiden voimien vaikutuksesta keho liikkuu tasaisesti kiihdytettynä kaltevaa tasoa ylöspäin, ja siksi kiihtyvyysvektori suuntautuu kehon liikettä pitkin. Kuvataan kiihtyvyysvektori kuvassa. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki vektorimuodossa:

.

Valitaan suorakulmainen karteesinen koordinaattijärjestelmä, jonka OX-akseli on suunnattu kappaleen kiihtyvyyttä pitkin ja OY-akseli kohtisuoraan kaltevaan tasoon nähden. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki projektioksina näille koordinaattiakseleille ja saadaan seuraavat yhtälöt:

Liukukitkavoima on suhteessa reaktiovoimaan seuraavalla suhteella:

Yhtälöstä (5.2) löydämme reaktiovoiman suuruuden ja korvaamme sen yhtälöllä (5.3), saamme seuraavan lausekkeen kitkavoimalle:

. (5.4)

Korvaamalla yhtälön (5.4) oikea puoli kitkavoiman sijaan yhtälöön (5.1), saadaan seuraava yhtälö tarvittavan voiman suuruuden laskemiseksi:

Lasketaan voiman suuruus:

Vastaus: .

Kuvataan kaikki kappaleisiin ja lohkoon vaikuttavat voimat. Tarkastellaan lohkon yli heitetyn langan yhdistämien kappaleiden liikettä. Lanka on painoton ja venymätön, joten jännitysvoiman suuruus missä tahansa langan osassa on sama, ts. Ja .

Kappaleiden siirtymät minkä tahansa ajanjakson aikana ovat samat, ja siksi näiden kappaleiden nopeuksien ja kiihtyvyyksien arvot ovat milloin tahansa samat. Siitä, että lohko pyörii ilman kitkaa ja on painoton, seuraa, että kierteen vetovoima lohkon molemmilla puolilla on sama, eli: .

Tämä merkitsee ensimmäiseen ja toiseen kappaleeseen vaikuttavan langan jännitysvoimien yhtäläisyyttä, ts. . Kuvataan kuvassa ensimmäisen ja toisen kappaleen kiihtyvyysvektorit. Kuvataan kaksi OX-akselia. Ohjataan ensimmäinen akseli ensimmäisen kappaleen kiihtyvyysvektoria pitkin, toinen - toisen kappaleen kiihtyvyysvektoria pitkin. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki kullekin kappaleelle projektiossa näille koordinaattiakseleille:

Kun otetaan huomioon, että , ja ilmaistaen ensimmäisestä yhtälöstä, korvaamme toisella yhtälöllä, saamme

Viimeisestä yhtälöstä löydämme kiihtyvyysarvon:

.

Yhtälöstä (1) löydämme jännitysvoiman suuruuden:

Vastaus: , .

Kun pieni rengas pyörii kehän ympärillä, siihen vaikuttaa kaksi voimaa: painovoima, joka on suunnattu pystysuunnassa alaspäin, ja reaktiovoima, joka kohdistuu renkaan keskustaan. Kuvataan nämä voimat kuvassa ja näytetään siinä myös renkaan liikerata. Renkaan keskikiihtyvyysvektori sijaitsee liikeradan tasossa ja on suunnattu kohti pyörimisakselia. Kuvataan se kuvassa. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki vektorimuodossa pyörivälle renkaalle:

.

Valitaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jonka OX-akseli suuntautuu keskikiihtyvyyttä pitkin ja OY-akseli - pystysuoraan ylöspäin pyörimisakselia pitkin. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki projektioksina näille koordinaattiakseleille:

Yhtälöstä (7.2) selvitetään reaktiovoiman suuruus ja korvataan se yhtälöllä (7.1), saadaan lauseke:

. (7.3)

Keskikiihtyvyys on suhteessa pyörimisnopeuteen seuraavasti: , missä on pienen renkaan pyörimissäde. Korvaamalla viimeisen yhtälön oikean puolen kaavaan (7.3), saadaan seuraava relaatio:

. (7.4)

Kuvasta löydämme kulman alfa tangentin arvon . Kun tämä lauseke otetaan huomioon, yhtäläisyys (7.4) on muotoa:

Viimeisestä yhtälöstä löydämme vaaditun korkeuden:

Vastaus: .

Kiekon mukana pyörivään kappaleeseen vaikuttaa kolme voimaa: painovoima, reaktiovoima ja pyörimisakseliin suunnattu kitkavoima. Kuvataan kaikki kuvion voimat. Esitetään tässä kuvassa keskipetaalisen kiihtyvyysvektorin suunta. Kirjoitamme Newtonin toisen lain vektorimuodossa:

.

Valitaan suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä kuvan osoittamalla tavalla. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki projektioihin koordinaattiakseleille:

; (8.1)

. (8.2)

Kirjataan ylös keskikiihtyvyyden suhde:

. (8.3)

Korvataan yhtälön (8.3) oikea puoli yhtäläiseksi (8.1) keskikiihtyvyyden sijaan, saadaan:

. (8.4)

Yhtälöstä (8.4) käy selväksi, että kitkavoiman suuruus on suoraan verrannollinen pyörimissäteeseen, joten pyörimissäteen kasvaessa staattinen kitkavoima kasvaa ja tietyllä arvolla staattinen kitkavoima saavuttaa suurin arvo, joka on yhtä suuri kuin liukukitkavoima ().

Kun otetaan huomioon yhtäläisyys (8.2), saadaan lausekkeet suurimmalle staattiselle kitkavoimalle:

.

Korvaamalla tuloksena olevan yhtälön oikean puolen kitkavoiman sijaan yhtälöllä (4), saadaan seuraava relaatio:

Tästä yhtälöstä löydämme pyörimissäteen raja-arvon:

Vastaus: .

Pisaran lennon aikana siihen vaikuttaa kaksi voimaa: painovoima ja vastusvoima. Kuvataan kaikki kuvion voimat. Valitaan pystysuoraan suunnattu akseli OY, jonka origo tulee olemaan maan pinnalla. Kirjataan muistiin dynamiikan perusyhtälö:

.

Projisoitaessa tasa-arvoa OY-akselille saadaan seuraava suhde:

Jaetaan viimeisen yhtälön molemmat puolet ja kerrotaan samanaikaisesti molemmat puolet :lla, ottaen huomioon, että saadaan lauseke:

Jaetaan tämän lausekkeen molemmat puolet , saamme suhteen:

.

Integroimme jälkimmäisen suhteen ja saamme nopeuden riippuvuuden ajasta: .

Löydämme vakion alkuehdoista ( ), saamme halutun nopeuden riippuvuuden ajasta:

.

Määritämme maksiminopeuden ehdon perusteella :

.

Vastaus: ; .

Kuvataan kuviossa kiekkoon vaikuttavat voimat. Kirjoitetaan Newtonin toinen laki projektioihin OX-, OY- ja OZ-akseleille

Koska , sitten koko aluslevyn liikeradalle kaava pätee kitkavoimalle, joka OZ:n yhtäläisyys huomioon ottaen muuttuu muotoon:

Kun tämä suhde otetaan huomioon, OX-akselin tasa-arvo saa muodon

Projisoimme Newtonin toisen lain kiekon lentoradan tangenttiin tarkasteltavassa kohdassa ja saamme suhteen:

missä on tangentiaalisen kiihtyvyyden suuruus. Vertaamalla viimeisten yhtälöiden oikeaa puolta päättelemme, että .

Koska ja , niin edellinen relaatio huomioon ottaen meillä on yhtäläisyys , jonka integrointi johtaa lausekkeeseen , jossa on integrointivakio. Korvataan viimeinen lauseke , saamme nopeuden riippuvuuden kulmasta:

Määritetään vakio alkuehdoista (kun . ) . Tämän huomioon ottaen kirjoitamme lopullisen riippuvuuden muistiin

.

Pienin nopeusarvo saavutetaan, kun , ja nopeusvektori on suunnattu samansuuntaisesti OX-akselin kanssa ja sen arvo on yhtä suuri kuin .

Yleinen dynamiikan yhtälö systeemille, jossa on mitä tahansa yhteyksiä (yhdistetty D'Alembert-Lagrange-periaate tai yleinen mekaniikan yhtälö):

missä on aktiivinen voima, joka kohdistetaan järjestelmän :nteen pisteeseen; – sidosten reaktiovoimakkuus; – pisteinertiavoima; – mahdollinen liike.

Järjestelmän tasapainotilanteessa, kun kaikki järjestelmän pisteiden inertiavoimat katoavat, se muuttuu mahdollisten siirtymien periaatteeksi. Sitä käytetään yleensä järjestelmissä, joissa on ihanteelliset liitännät, joiden ehto täyttyy

Tässä tapauksessa (229) on jokin seuraavista:

,

,

. (230)

Täten, yleisen dynamiikan yhtälön mukaan ihanteellisten yhteyksien omaavan järjestelmän millä tahansa liikehetkellä kaikkien aktiivisten voimien ja järjestelmän pisteiden hitausvoimien alkeisvoimien summa on yhtä suuri kuin nolla järjestelmän kaikissa mahdollisissa liikkeessä. yhteyksien kautta.

Dynaamisuuden yleisyhtälölle voidaan antaa muita, vastaavia muotoja. Laajentamalla vektorien skalaarituloa, se voidaan ilmaista muodossa

missä ovat järjestelmän :nnen pisteen koordinaatit. Ottaen huomioon, että inertiavoimien projektiot koordinaattiakseleilla näiden akseleiden kiihtyvyysprojektioiden kautta ilmaistaan ​​suhteilla

,

dynamiikan yleisyhtälölle voidaan antaa muoto

Tässä muodossa sitä kutsutaan yleinen dynamiikan yhtälö analyyttisessä muodossa.

Yleistä dynamiikan yhtälöä käytettäessä on osattava laskea järjestelmän inertiavoimien alkeistyö mahdollisille siirtymille. Käytä tätä varten vastaavia kaavoja tavallisille voimille saadulle perustyölle. Tarkastellaanpa niiden soveltamista jäykän kappaleen inertiavoimiin sen liikkeen tietyissä tapauksissa.

Eteenpäin liikkeen aikana. Tässä tapauksessa keholla on kolme vapausastetta, ja se voi asetettujen rajoitusten vuoksi suorittaa vain translaatioliikettä. Myös mahdolliset yhteydet mahdollistavat kehon liikkeet ovat translaatioita.

Inertiavoimat translaatioliikkeen aikana vähennetään resultanttiin . Saatamme kappaleen mahdolliseen translaatioliikkeeseen kohdistuvien inertiavoimien elementaaristen töiden summan

missä on massakeskipisteen ja minkä tahansa kappaleen pisteen mahdollinen siirtymä, koska kehon kaikkien pisteiden translaation mahdollinen siirtymä on sama: myös kiihtyvyydet ovat samat, ts.

Kun jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri. Keholla on tässä tapauksessa yksi vapausaste. Se voi pyöriä kiinteän akselin ympäri. Mahdollinen liike, jonka päällekkäiset liitokset sallivat, on myös rungon kiertyminen alkeiskulman verran kiinteän akselin ympäri.

Pyörimisakselin pisteeseen pienennetyt inertiavoimat pienennetään päävektoriksi ja päämomentiksi. Inertiavoimien päävektori kohdistetaan kiinteään pisteeseen, ja sen perustyö mahdollisen siirtymän suhteen on nolla. Inertiavoimien päämomentille nollasta poikkeava perustyö suoritetaan vain sen projektiolla pyörimisakselille. Siten meillä on tarkasteltavana olevan mahdollisen siirtymän inertiavoimien työn summa

,

jos kulma ilmoitetaan kulmakiihtyvyyden kaaren nuolen suunnassa.

Tasaisessa liikkeessä. Tässä tapauksessa jäykkään runkoon asetetut rajoitukset sallivat vain mahdollisen tasoliikkeen. Yleisessä tapauksessa se koostuu mahdollisesta translaatioliikkeestä yhdessä navan kanssa, jolle valitsemme massakeskipisteen, ja kiertoliikkeestä alkeiskulman läpi massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri, joka on kohtisuorassa sen kanssa samansuuntaista tasoa vastaan. keho pystyy suorittamaan tasoliikettä.

Koska jäykän kappaleen tasoliikkeen hitausvoimat voidaan vähentää päävektoriksi ja päämomentiksi (jos valitsemme pelkistyskeskukseksi massakeskipisteen), niin hitausvoimien alkeisvoimien summa tasoinen mahdollinen siirtymä pienennetään hitausvoimien paluuvektorin perustyöksi massakeskipisteen mahdollisessa siirtymässä ja hitausvoimien päähitausmomentin perustyöksi elementaarisessa pyörimissiirtymässä akselin läpi kulkevan akselin ympäri. massan keskipiste. Tässä tapauksessa nollasta poikkeava perustyö voidaan suorittaa vain projisoimalla päähitausvoimien momentti akselille, ts. . Tarkasteltavana olevassa tapauksessa meillä on siis

Mahdollisten siirtymien periaatetta, joka tarjoaa yleisen menetelmän staattisten ongelmien ratkaisemiseen, voidaan soveltaa dynamiikkaongelmien ratkaisemiseen. Kuten tiedetään, D’Alembertin periaatteen mukaan kaikkien mekaaniseen järjestelmään vaikuttavien voimien ja inertiavoimien kokonaisuus muodostaa tasapainoisen voimajärjestelmän kullakin ajan hetkellä. Sitten soveltamalla mahdollisten siirtymien periaatetta näihin voimiin mekaaniselle järjestelmälle saadaan yhtälö

Tämä yhtälö ilmaisee seuraavan D'Alembert-Lagrange-periaatteen: Kun mekaaninen järjestelmä liikkuu kullakin ajanhetkellä, kaikkien järjestelmään vaikuttavien voimien ja kaikkien inertiavoimien perustöiden summa järjestelmän mahdollisessa liikkeessä on nolla. Kutsutaan yhtälöä (24.1). yleinen dynamiikan yhtälö.

Yhtälön (24.1) ensimmäinen termi sisältää aktiivisten voimien työn ja sidosreaktioiden työn. Jos järjestelmälle asetetaan ihanteelliset yhteydet, niin heidän reaktioihinsa

ja yleinen dynamiikkayhtälö systeemille, jolla on ihanteelliset yhteydet, saa muodon

Koska yhtälöt (24.1), (24.2) sisältävät inertiavoimien työn, joiden suuruus ilmaistaan ​​pisteiden kiihtyvyyden kautta, nämä yhtälöt mahdollistavat mekaanisen järjestelmän liikkeen differentiaaliyhtälöiden muodostamisen. Jos järjestelmä on joukko kiinteitä kappaleita, on suositeltavaa korvata jokaisen kappaleen kaikkien pisteiden inertiavoimien joukko niiden voimaekvivalentteilla: voima, joka kohdistuu johonkin keskustaan, joka on yhtä suuri kuin kappaleen hitausvoimien päävektori. kappale ja hitausvoimapari, jonka momentti on yhtä suuri kuin hitausvoiman päämomenttivoimat suhteessa tähän keskustaan.

Järjestelmälle, jossa on s vapausasteet, työyhtälö

(24.2) voidaan kirjoittaa yleistettyjen voimien ja yleistettyjen koordinaattien muodossa muotoon

Missä Qj - yleinen aktiivinen voima; Q1*- yleistettyä koordinaattia vastaava yleinen inertiavoima q f .

Mahdollisista liikkeistä lähtien 8q, ovat toisistaan ​​riippumattomia ja kumpikaan niistä ei ole yhtä suuri kuin nolla yleisessä tapauksessa, niin ehto (24.3) täyttyy, jos

Missä s- yleistettyjen koordinaattien lukumäärä tai järjestelmän vapausasteiden lukumäärä.

Yhtälöt (24.4) ilmaisevat yleinen dynamiikan yhtälö yleistetyissä voimissa.

Ongelma 24.1. Mekaaninen järjestelmä (kuva 24.1) koostuu kaksivaiheisesta hihnapyörästä minä(paino R]- 20 N, askelsäteet R- 0,4 m, G - 0,2 m, pyörimissäde suhteessa pyörimisakseliin p = 0,3 m), kierretty langoilla, joiden päihin on kiinnitetty kuorma A(paino R 2= 10 N) ja tela (kiinteä homogeeninen sylinteri, joka painaa P 3 = 80 N). Rulla rullaa liukumatta karkealla kaltevalla pinnalla, jonka kaltevuuskulma a = 30°. Järjestelmä liikkuu pystytasossa painovoiman ja vääntömomentin vaikutuksesta M - 6 N m kohdistettu hihnapyörään minä Määritä hihnapyörän kulmakiihtyvyys olettaen, että rungot ovat ehdottoman jäykkiä ja kierteet venymättömiä.

Ratkaisu. 1. Tarkastellaan kappaleista koostuvan mekaanisen järjestelmän liikettä 1, 2, 3, yhdistetty lankoilla. Järjestelmän liitännät ovat ihanteellisia. Järjestelmällä on yksi vapausaste. Valitaan yleistetyksi koordinaatiksi kulma cp, - hihnapyörän kiertokulma 1.

Hihnapyörän kulmakiihtyvyyden e määrittämiseksi käytämme yleistä dynamiikkayhtälöä (24.2).

missä 28/4 ^ on aktiivisten voimien perustöiden summa; 28/4” on hitausvoimien alkeistyön summa.

2. Kuvaamme aktiivisia voimia piirustuksessa Rx, R2, R3 ja vääntömomentti M. Emme näytä ideaalisten sidosten reaktioita (pisteissä O ja L) piirustuksessa.

Asetamme hihnapyörän kulmakiihtyvyyden s suunnan vastapäivään. Tämän mukaisesti kuvaamme kiihtyvyyden piirustuksessa a 2 kuormitus ja kiihtyvyys ja sisään massan keskipiste SISÄÄN sylinterimäinen rulla. Nyt lisätään inertiavoimat järjestelmään vaikuttaviin aktiivisiin voimiin, jotka suunnataan vastakkain vastaavaa kiihtyvyyttä vastaan. Näiden määrien numeeriset arvot määritetään kaavoilla

Hitausmomenttien arvot korvataan näillä kaavoilla J 0 hihnapyörä ja J sisään kiinteä homogeeninen sylinteri 3.

3. Ilmoita järjestelmälle mahdollinen liike 5фj >0; lastin aikana L siirtyy 5 s2, piste SISÄÄN rulla liikkuu 5 s B, ja luistinrata 3 pyörii 5φ 3 kulman läpi vastapäivään.

Muodostamalla yhtälön (a), saamme

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi ja kulmakiihtyvyyden e määrittämiseksi on suoritettava kaksi valmisteluoperaatiota: ilmaista kaikki siirtymät yleisen koordinaatin lisäyksellä ja ilmaista kaikkien kiihtyvyyksien suuruus halutulla kiihtyvyydellä.

Kaikki yhtälöön (c) liittyvät liikkeet ilmaistaan ​​5 cpj:lla:

Viimeistä yhtäläisyyttä laadittaessa otettiin huomioon, että piste TO sylinteri 3 on hetkellinen nopeuksien keskus.

Kiihtyvyysarvot a 2, a in, s 3 osallistuvat kaavoihin (b), ilmaisemme halutun kulmakiihtyvyyden s kautta:

Korvaamalla suureet (b) yhtälössä (c) yhtälöt (e) ja suhteet (d) huomioiden, saamme sen yksinkertaistamisen jälkeen muotoon

Koska bf, 0, yhtälöimme kaarevissa suluissa olevan lausekkeen nollaan. Tuloksena olevasta yhtälöstä löydämme halutun arvon

Laskelmat antavat seuraavan vastauksen: s = 2,4 s; merkki osoittaa, että hihnapyörän kulmakiihtyvyys on suunnattu laskennan alussa odotetulla tavalla, eli kuten kuvassa 1 on esitetty. 24.1.

Esimerkiksi jos samassa tehtävässä vääntömomentti oli sama M = 2 N m, niin kaavan (g) avulla suoritettujen laskelmien tuloksena saisimme e = -2,4 s -1; tämä tarkoittaisi, että tarkasteltavana olevassa tapauksessa hihnapyörän kulmakiihtyvyys olisi suunnattu vastakkaiseen suuntaan kuin kuvassa 2 esitetty. 24.1.

Dynaamisten tehtävien ratkaisut sisältävät erikoistapauksena ratkaisun vastaavaan staattiseen tehtävään. Jos tarkasteltavana olevan mekaanisen järjestelmän (ks. kuva 24.1) tasapainotila määritettäisiin mahdollisten siirtymien periaatteen mukaisesti, niin saadaan mitoitusyhtälö

Kuten näemme, yhtälön vasemmalla puolella on lauseke kaavan (g) osoittajalle, eli on määritelty ehto, jossa 8 = 0 (joka vastaa järjestelmän loppuosaa tai liikettä tasaisella kierrolla hihnapyörä). Tämän yhtäläisyyden tarkoitus on, että järjestelmän yleinen aktiivinen voima mahdollisella 8φ:n siirtymällä on nolla, ts. Q" = 0.