Lisäyksen ominaisuudet. Kertolaskujen kombinatiiviset ja distributiiviset ominaisuudet Kuinka lukea yhteenlaskun kombinatiivisuus

a, b ovat lukuja, joille summaus suoritetaan, c on summauksen tulos.

Moninumeroisten lukujen lisääminen tapahtuu bittikohtaisesti.

Esimerkki: 9067542 + 34981 = 9102523

Lisäyksen lait.

1) kommutatiivinen: a + b = b + a;

Esimerkki. 310 + 1454 = 1454 + 310. Riippumatta siitä, kuinka lisäämme tuloksen, tulokseksi tulee 1764.

2) assosiatiivinen: (a + b) + c = a + (b + c);

Esimerkki: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;

3) nollan luvun yhteenlaskulaki: a + 0 = a.

Vähennyslasku

a (minuend) - b (alaosa) = c (ero)

Esimerkki: 42397 - 17963 = 24434

Vähennystoimintojen ominaisuudet:

1) laki luvun vähentämisestä summasta:

(a + b) - c = (a - c) + b, jos a > c tai a = c;

2) summan vähentämisen laki:

a - (b + c) = (a - b) - c;

3) laki luvun vähentämisestä luvusta:

4) nollasta vähentämisen laki:

5) laki summan vähentämisestä summasta:

(a + b) - (c + d) = ;

Ongelma esimerkkinä yhteen- ja vähennyslaskuoperaatioista

Laske kätevällä tavalla:

1) (4981 - 2992) - 808;
2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Käytämme 2. ja 5. vähennyslakia:

1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

Kertominen

Luvun a kertominen luvulla b (b>1) tarkoittaa b termien summan löytämistä (jokainen termi on yhtä suuri kuin a).

a x b= a + a + ... + a

Jos b = 1, niin a x 1 = a.

a (ensimmäinen tekijä) x b (toinen tekijä) = c (tuote)

Esimerkiksi: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

Kertolaislait

1) kommutatiivinen: a x b = b x a;

Esimerkki. 15 x 110 = 110 x 15.

2) assosiatiivinen: (a x b) x c = a x (b x c);

Esimerkki: (9 x 30) x 10 = 9 x (30 x 10) = 9 x 300 = 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 x 44) = 25 x 2860 = 71500.

3) kertominen nollalla: 0 x a = 0;

Esimerkki: 0 x 10 = 0.

4) yhteenlaskua (vähennyslaskua) koskeva kertolasku:

a x (b + c) = a x b + a x c;

Ongelmat esimerkkinä kertolaskuoperaatiosta

Tehtävä 1. Laske kätevällä tavalla:

1) (37 x 125) x 8;
2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67.

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37 000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900.

Tehtävä 2. 1 kW/h maksaa 12 ruplaa. Sähkösilitysrauta kuluttaa 2 kW/h tunnin käytön aikana. Silitimme vaatteita silitysraudalla kaksi päivää: ensimmäisenä päivänä - 3 tuntia, toisena - 2 tuntia. Kuinka paljon sähkö maksaa kahdelta päivältä? Ratkaise ongelma itse, ja annamme sinulle vain vastaukset: 3 tuntia - 72 ruplaa; 2 tunnin ajan - 48 hieroa.

Division

a (jaollinen): b (jakaja) = c (osamäärä)

Jaon lait:

1) a: 1 = a, koska a x 1 = a;
2) 0: a = 0, koska 0 x a = 0;
3) et voi jakaa 0:lla!

2224222: 2222 = 1001

Laki summan (eron) jakamisesta luvulla:

1) (a + b) : c = a: c + b: c, c ei ole 0;
2) (a - b): c = a: c - b: c, c ei ole 0;

Esimerkki: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Laki tuotteen jakamisesta luvulla:

(a x b) :c = (a: c) x b = (b: c) x a, c ei ole yhtä suuri kuin 0.

Piirretään ruudulliselle paperille suorakulmio, jonka sivut ovat 5 cm ja 3 cm ja jaa se neliöiksi, joiden sivut ovat 1 cm (kuva 143). Lasketaan suorakulmion solujen määrä. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi näin.

Neliöiden lukumäärä, joiden sivu on 1 cm, on 5 * 3. Jokainen tällainen neliö koostuu neljästä solusta. Siksi solujen kokonaismäärä on (5 * 3) * 4.

Sama ongelma voidaan ratkaista eri tavalla. Jokainen suorakulmion viidestä sarakkeesta koostuu kolmesta neliöstä, joiden sivu on 1 cm, joten yhdessä sarakkeessa on 3 * 4 solua. Siksi soluja on yhteensä 5 * (3 * 4).

Solujen laskeminen kuvassa 143 havainnollistaa kahdella tavalla kertomisen assosiatiivinen ominaisuus numeroille 5, 3 ja 4. Meillä on: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Jos haluat kertoa kahden luvun tulon kolmannella luvulla, voit kertoa ensimmäisen luvun toisen ja kolmannen luvun tulolla.

(ab)c = a(bc)

Kertolaskujen kommutatiivisista ja kombinatorisista ominaisuuksista seuraa, että kerrottaessa useita lukuja, tekijät voidaan vaihtaa ja sijoittaa suluihin, jolloin määräytyy laskelmien järjestys.

Esimerkiksi seuraavat yhtäläisyydet ovat totta:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Kuvassa 144 jana AB jakaa edellä mainitun suorakulmion suorakulmioiksi ja neliöiksi.

Lasketaan kahdella tavalla niiden neliöiden lukumäärä, joiden sivu on 1 cm.

Toisaalta tuloksena oleva neliö sisältää niitä 3 * 3 ja suorakulmio sisältää 3 * 2. Yhteensä saamme 3 * 3 + 3 * 2 ruutua. Toisaalta tämän suorakulmion jokaisella kolmella rivillä on 3 + 2 ruutua. Sitten niiden kokonaismäärä on 3 * (3 + 2).

Yhtä kuin 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 havainnollistaa kertolasku jakauma suhteessa yhteenlaskuun.

Jos haluat kertoa luvun kahden luvun summalla, voit kertoa tämän luvun jokaisella summauksella ja lisätä tuloksena saadut tulot.

Kirjaimellisessa muodossa tämä ominaisuus on kirjoitettu seuraavasti:

a(b + c) = ab + ac

Kertomisen jakautumisominaisuudesta suhteessa yhteenlaskeluun seuraa, että

ab + ac = a(b + c).

Tämän yhtälön avulla kaava P = 2 a + 2 b löytää suorakulmion kehän, joka kirjoitetaan tähän muotoon:

P = 2 (a + b).

Huomaa, että jakeluominaisuus on voimassa kolme tai useampia termejä. Esimerkiksi:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Kertolaskun jakautumisominaisuus suhteessa vähennyksiin on myös tosi: jos b > c tai b = c, niin

a(b − c) = ab − ac

Esimerkki 1 . Laske kätevällä tavalla:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Käytämme kertolaskun kommutatiivisia ja sitten assosiatiivisia ominaisuuksia:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Meillä on:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Esimerkki 2 . Yksinkertaista lauseke:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m - 13 m.

1) Kertolaskun kommutatiivisia ja assosiatiivisia ominaisuuksia käyttämällä saadaan:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Käyttämällä kertolaskua suhteessa vähennyslaskuun saadaan:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Esimerkki 3 . Kirjoita lauseke 5 (2 m + 7) niin, että se ei sisällä sulkeita.

Kertomisen jakautumisominaisuuden mukaan suhteessa yhteenlaskemiseen meillä on:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Tätä muutosta kutsutaan avaussulut.

Esimerkki 4 . Laske lausekkeen 125 * 24 * 283 arvo kätevällä tavalla.

Ratkaisu. Meillä on:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Esimerkki 5 . Suorita kertolasku: 3 päivää 18 tuntia * 6.

Ratkaisu. Meillä on:

3 päivää 18 tuntia * 6 = 18 päivää 108 tuntia = 22 päivää 12 tuntia.

Esimerkkiä ratkaistaessa käytettiin kertolaskuominaisuutta suhteessa yhteenlaskeluun:

3 päivää 18 tuntia * 6 = (3 päivää + 18 tuntia) * 6 = 3 päivää * 6 + 18 tuntia * 6 = 18 päivää + 108 tuntia = 18 päivää + 96 tuntia + 12 tuntia = 18 päivää + 4 päivää + 12 tuntia = 22 päivää 12 tuntia.

Numeron lisääminen toiseen on melko yksinkertaista. Katsotaanpa esimerkkiä, 4+3=7. Tämä lauseke tarkoittaa, että neljään yksikköön lisättiin kolme yksikköä ja tuloksena oli seitsemän yksikköä.
Lisäämämme numerot 3 ja 4 ovat nimeltään ehdot. Ja numeron 7 lisäämisen tulosta kutsutaan määrä.

Summa on numeroiden yhteenlasku. Plusmerkki "+".
Kirjaimellisessa muodossa tämä esimerkki näyttäisi tältä:

a+b=c

Lisäosat:
a- termi, b- ehdot, c- summa.
Jos lisäämme 4 yksikköä 3 yksikköön, niin summauksen seurauksena saamme saman tuloksen; se on yhtä suuri kuin 7.

Tästä esimerkistä päättelemme, että riippumatta siitä, kuinka vaihdamme termejä, vastaus pysyy samana:

Tätä termien ominaisuutta kutsutaan kommutatiivinen summauslaki.

Kommutatiivinen summauslaki.

Ehtojen paikkojen muuttaminen ei muuta summaa.

Kirjaimellisesti kommutatiivinen laki näyttää tältä:

a+b=b+a

Jos tarkastelemme kolmea termiä, otamme esimerkiksi luvut 1, 2 ja 4. Ja teemme yhteenlaskua tässä järjestyksessä, lisää ensin 1 + 2 ja lisää sitten tuloksena olevaan summaan 4, saamme lausekkeen:

(1+2)+4=7

Voimme tehdä päinvastoin, lisää ensin 2+4 ja sitten saatuun summaan 1. Esimerkkimme näyttää tältä:

1+(2+4)=7

Vastaus pysyy samana. Saman esimerkin molemmilla lisäystyypeillä on sama vastaus. Päättelemme:

(1+2)+4=1+(2+4)

Tätä lisäysominaisuutta kutsutaan assosiatiivinen summauslaki.

Kommutatiivinen ja assosiatiivinen yhteenlaskulaki toimii kaikille ei-negatiivisille luvuille.

Yhdistelmälisäyslaki.

Jos haluat lisätä kolmannen luvun kahden luvun summaan, voit lisätä toisen ja kolmannen luvun summan ensimmäiseen numeroon.

(a+b)+c=a+(b+c)

Yhdistelmälaki toimii monelle termille. Käytämme tätä lakia, kun meidän on lisättävä numeroita sopivassa järjestyksessä. Lisätään esimerkiksi kolme numeroa 12, 6, 8 ja 4. On kätevämpää laskea ensin yhteen 12 ja 8 ja sitten lisätä saatuun summaan kahden luvun 6 ja 4 summa.
(12+8)+(6+4)=30

Nollan yhteenlaskuominaisuus.

Kun lisäät luvun, jossa on nolla, tuloksena oleva summa on sama luku.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Kirjaimellisessa lausekkeessa nollan lisääminen näyttää tältä:

a+0=a
0+ a=a

Kysymyksiä luonnollisten lukujen yhteenlaskemisesta:
Tee lisäystaulukko ja katso kuinka kommutatiivisen lain ominaisuus toimii?
Lisäystaulukko 1-10 voi näyttää tältä:

Lisäystaulukon toinen versio.

Jos katsomme yhteenlaskutaulukoita, voimme nähdä, kuinka kommutoiva laki toimii.

Mikä on lausekkeen a+b=c summa?
Vastaus: summa on tulos termien lisäämisestä. a+b ja c.

Mitä tulee lausekkeeseen a+b=c?
Vastaus: a ja b. Lisäykset ovat numeroita, jotka laskemme yhteen.

Mitä tapahtuu numerolle, jos lisäät siihen nollan?
Vastaus: ei mitään, numero ei muutu. Nollalla summattaessa luku pysyy samana, koska nolla tarkoittaa ykkösten puuttumista.

Kuinka monta termiä esimerkissä tulee olla, jotta yhteenlaskulakia voidaan soveltaa?
Vastaus: kolmesta tai useammasta termistä.

Kirjoita kommutatiivinen laki kirjaimellisesti?
Vastaus: a+b=b+a

Esimerkkejä tehtävistä.
Esimerkki 1:
Kirjoita vastaus annettuihin lausekkeisiin: a) 15+7 b) 7+15
Vastaus: a) 22 b) 22

Esimerkki 2:
Käytä yhdistelmälakia termeihin: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Vastaus: 20.

Esimerkki #3:
Ratkaise lauseke:
a) 5921+0 b) 0+5921
Ratkaisu:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Voidaan havaita useita tähän toimintaan liittyviä tuloksia. Näitä tuloksia kutsutaan luonnollisten lukujen yhteenlaskuominaisuudet. Tässä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti luonnollisten lukujen lisäämisen ominaisuuksia, kirjoitamme ne kirjaimilla ja annamme selittäviä esimerkkejä.

Sivulla navigointi.

Luonnollisten lukujen yhteenlaskuominaisuus.

Annetaan nyt esimerkki, joka havainnollistaa luonnollisten lukujen lisäämisen assosiatiivista ominaisuutta.

Kuvitellaanpa tilanne: 1 omena putosi ensimmäisestä omenapuusta ja 2 omenaa ja 4 muuta omenaa putosi toisesta omenapuusta. Mieti nyt tätä tilannetta: 1 omena ja 2 muuta omenaa putosi ensimmäisestä omenapuusta ja 4 omenaa putosi toisesta omenapuusta. On selvää, että maassa on sama määrä omenoita sekä ensimmäisessä että toisessa tapauksessa (mikä voidaan varmistaa uudelleen laskemalla). Eli tulos, kun numero 1 lisätään numeroiden 2 ja 4 summaan, on yhtä suuri kuin lukujen 1 ja 2 summan yhteenlaskettu tulos numerolla 4.

Tarkastelun esimerkin avulla voimme muotoilla luonnollisten lukujen lisäämisen kombinatorisen ominaisuuden: lisätäksemme tiettyyn lukuon kahden luvun tietyn summan, voimme lisätä tähän numeroon annetun summan ensimmäisen termin ja lisätä numeron toisen termin. annettu summa tulokseksi saadulle tulokselle. Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa seuraavilla kirjaimilla: a+(b+c)=(a+b)+c, jossa a, b ja c ovat mielivaltaisia luonnollisia lukuja.

Huomaa, että yhtälö a+(b+c)=(a+b)+c sisältää sulut “(” ja “)”. Sulkuja käytetään lausekkeissa osoittamaan toimintojen suoritusjärjestystä - suluissa olevat toiminnot suoritetaan ensin (lisätietoja tästä on kirjoitettu osiossa). Toisin sanoen lausekkeet, joiden arvot arvioidaan ensin, sijoitetaan sulkeisiin.

Tämän kappaleen lopuksi huomautamme, että yhteenlasku-ominaisuus antaa meille mahdollisuuden määrittää yksiselitteisesti kolmen, neljän tai useamman luonnollisen luvun yhteenlasku.

Ominaisuus lisätä nolla ja luonnollinen luku, ominaisuus lisätä nolla ja nolla.

Tiedämme, että nolla EI ole luonnollinen luku. Joten miksi päätimme tarkastella tässä artikkelissa nollan ja luonnollisen luvun lisäämisen ominaisuutta? Tähän on kolme syytä. Ensimmäinen: tätä ominaisuutta käytetään, kun sarakkeeseen lisätään luonnollisia lukuja. Toiseksi: tätä ominaisuutta käytetään luonnollisten lukujen vähentämiseen. Kolmanneksi: jos oletetaan, että nolla tarkoittaa jonkin puuttumista, niin nollan ja luonnollisen luvun yhteenlasku on sama kuin kahden luonnollisen luvun lisääminen.

Tehdään jokin päättely, joka auttaa meitä muotoilemaan nollan ja luonnollisen luvun yhteenlaskuominaisuuden. Kuvitellaan, että laatikossa ei ole esineitä (eli laatikossa on 0 objektia), ja siihen sijoitetaan objektia, jossa a on mikä tahansa luonnollinen luku. Eli lisäsimme 0 ja objektit. On selvää, että tämän toiminnon jälkeen laatikossa on esineitä. Siksi yhtälö 0+a=a on totta.

Vastaavasti, jos laatikossa on kohteita ja siihen on lisätty 0 tuotetta (eli kohteita ei lisätä), tämän toiminnon jälkeen laatikossa on kohteita. Joten a+0=a.

Nyt voimme antaa nollan ja luonnollisen luvun lisäämisen ominaisuuden formuloinnin: kahden luvun summa, joista toinen on nolla, on yhtä suuri kuin toinen luku. Matemaattisesti tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa seuraavana yhtälönä: 0+a=a tai a+0=a, jossa a on mielivaltainen luonnollinen luku.

Kiinnitetään erikseen huomiota siihen, että kun lasketaan yhteen luonnollinen luku ja nolla, summauksen kommutatiivinen ominaisuus säilyy, eli a+0=0+a.

Lopuksi muotoillaan ominaisuus lisätä nolla nollaan (se on aivan ilmeistä eikä vaadi lisäkommentteja): kahden luvun summa, joista kukin on nolla, on yhtä suuri kuin nolla. Tuo on, 0+0=0 .

Nyt on aika selvittää, kuinka luonnollisia lukuja lisätään.

Bibliografia.

Matematiikka. Kaikki oppikirjat yleisoppilaitosten 1., 2., 3., 4. luokille.
Matematiikka. Kaikki oppikirjat yleisen oppilaitoksen 5. luokalle.