درس "توابع و خواص آنها. ویژگی های توابع عددی بررسی تکالیف

این مطالب بر اساس استاندارد آموزشی ایالتی فدرال گردآوری شده است

درس ریاضی کلاس نهم با موضوع: "توابع عددی ، خواص و نمودارهای آنها" کتاب درسی توسط A.G. Mordkovich.

درس کنترل رشد و کشف دانش جدید
مکمل درس و ارائه.

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

توابع عددی، خواص آنها و نمودارها. درس ریاضیات در کلاس نهم در گواهینامه نهایی زیر گروه IDPO شماره 9 منطقه Zavodskoy ساراتوف 25/10/2013

اپیگراف "تنها راه منتهی به دانش، فعالیت است." برنارد شو

کار خلاقانه با یک تابع "تکه ای" بیایید، یک نمودار بسازید و آن را بخوانید. راه حل y =

کار شفاهی تابع را نام ببرید و آن را به صورت تحلیلی تعریف کنید

آزمون نظری تعریف یک تابع عددی را فرموله کنید. آنچه دامنه تعریف تابع نامیده می شود. چیزی که به آن نمودار یک تابع گفته می شود. راه های تعریف تابع را فهرست کنید. چه تابعی را افزایش (کاهش) می گویند. کدام تابع را زوج (فرد) می نامند. کوچکترین (بزرگترین) مقدار تابع به چه عددی گفته می شود. به چه تابعی محدود می گویند.

آزمون ها در قالب GIA (سطح پایه)

پاسخ ها گزینه شماره 5 گزینه شماره 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3

انجام تمرینات GIA شماره 1. نموداری از تابع y = x 2 - 4 +3 رسم کنید، با استفاده از نمودار، فواصل یکنواختی را پیدا کنید. خط مستقیم y=a برای کدام مقادیر a دو نقطه مشترک با نمودار این تابع دارد؟ پاسخ: a>3، a = -1

شماره 2. حل نابرابری گرافیکی x -2 ≤ -x 3 پاسخ: x≤ -1

یاد گرفتم یاد گرفتم تکرار کردم امروز در کلاس تثبیت کردم

پیش نمایش:

نقشه فنی یک درس ریاضی در کلاس 9 با موضوع: "توابع عددی ، خواص و نمودارهای آنها" کتاب درسی توسط A.G. Mordkovich. درسی در کنترل رشد و کشف دانش جدید.
مراحل درس	وظایف مرحله ای	فعالیت های معلم	فعالیت دانشجویی	UUD
1. خود تعیینی سازمانی برای فعالیت های یادگیری (1)	مطلوب ایجاد کنید روانشناسی نگرش کاری	با سلام بسیج توجه کودکان	غیبت ها را گزارش می کنند و به ریتم تجاری درس می پیوندند.	شخصی: خود مختاری نظارتی : ارزیابی آمادگی برای درس
2. تعیین اهداف و مقاصد درس. ایجاد انگیزه برای فعالیت های یادگیری دانش آموزان. (3)	به روز رسانی دانش پایه و روش های فعالیت	موضوع و هدف درس را اطلاع می دهد، تاریخ را روی تخته می نویسد امروز در درس نتایج مطالعه فصل "توابع عددی" را خلاصه می کنیم. بیایید به تمرین مهارت های ساخت و خواندن نمودارهای توابع مورد مطالعه ادامه دهیم و ببینیم موضوع مورد مطالعه تا چه حد در تست های امتحانی ارائه شده است.	نوشتن در دفترچه یادداشت	تنظیمی: تعیین هدف ارتباطی:آمادگی برای تأمل
3. به روز رسانی دانش (12)	به روز رسانی دانش پایه و روش های فعالیت به منظور آمادگی برای درس آزمایشی.	برای درس، از شما خواسته شد که یک تابع "تکه ای" ایجاد کنید، یک نمودار بسازید و آن را بخوانید. بیایید خلاقیت شما را ببینیم. 1. 2 دانش آموز را به میل خود به هیئت فرا می خواند. 2. یک نمایش اسلاید موازی از نمودارهای تمام توابع عددی مورد مطالعه را انجام می دهد. (پیوست شماره 2). 3. گفتگوی پیش رو در مورد مسائل نظری انجام می دهد (پیوست شماره 3) 4. برای تکالیف و کارهای شفاهی با در نظر گرفتن تکالیف نمره می دهد.	1. دو نفر در هیئت مدیره کار می کنند. (پیوست شماره 1) 2. بقیه دانش آموزان تابع تصویر شده را از روی صندلی خود نام می برند و آن را به صورت تحلیلی تعریف می کنند. 3. دانش آموزان در پرسش های شفاهی مشارکت فعال دارند.	نظارتی: خودتنظیمی ارادی در شرایط دشوار ارتباط: بیان افکار، استدلال عقیده خود شناختی: توانایی به کارگیری دانش در مسائل عملی شخصی: شکل گیری انگیزه پایدار برای یادگیری و تثبیت چیزهای جدید
4. تعمیم و نظام سازی دانش.(8)	بازتاب میانی	ما خواص توابع عددی را مطالعه و بررسی کردیم. بیایید کمی تست کنیم و مطمئن شویم که دانش شما قوی است. تست های پیشنهادی با سطح سختی اولیه مطابقت دارند، شما 7 دقیقه فرصت دارید. آرزو می کنم موفق شوی! 1. آزمون ها را توزیع می کند (پیوست شماره 4) 2. پس از پایان زمان، تکه های کاغذ را جمع آوری می کند، پاسخ های صحیح را روی تخته می نویسد گزینه شماره 5 گزینه شماره 6 3142 3. بسیاری آزمون را به خوبی انجام دادند، برخی متوجه شدند که باید آن را تکرار کنند.	تست را حل کنید، در صورت لزوم در دفتر خود یادداشت کنید. پس از پایان زمان، اوراق تحویل داده می شود. پاسخ آنها را بررسی کنید.	نظارتی: کیفیت و سطح کسب دانش را درک کنید شناختی: موثرترین راه ها را برای حل مشکلات انتخاب کنید شخصی: توسعه مهارت های خود تحلیلی و خودکنترلی
5. کاربرد دانش و مهارت در موقعیت جدید. (15)	توسعه مهارت های پژوهشی، خود تشخیصی و خود اصلاحی نتایج	انجام تمرینات (GIA) شماره 1 نمودار تابع را رسم کنید Y = x 2 -4 +3 با استفاده از نمودار, فواصل یکنواختی را پیدا کنید خط مستقیم y=a برای کدام مقادیر a دو نقطه مشترک با نمودار این تابع دارد؟ (پیوست شماره 5) به طور خلاصه تکلیف را روی تخته یادداشت می کند، دانش آموز را برای حل آن فرا می خواند و بر حل صحیح تکلیف نظارت می کند. ارزیابی می کند. شماره 2. به صورت گرافیکی نابرابری x را حل کنید-2 ≤ -x 3 (پیوست شماره 6) دانش‌آموزان را برای ساختن نمودار توابع به چالش می‌کشد، نحوه استفاده از نقاط آزمون روی نمودار را برای تعیین راه‌حل نابرابری (سایه‌زنی) توضیح می‌دهد.	دو نفر به صورت جداگانه با استفاده از کارت های روی تخته کناری کار می کنند، بقیه راه حل کار شماره 1 را در یک دفترچه تکمیل می کنند. نمودارهای تابع بر روی تخته سفید تعاملی نشان داده شده است. آنها پیشنهاد می کنند نابرابری را با انتخاب یا جبری حل کنند. حل نامساوی را کامل کنید و جواب را بنویسید.	شخصی: شکل گیری علاقه شناختی به موضوع تحقیق، انگیزه پایدار برای مطالعه و تثبیت چیزهای جدید شناختی: تجزیه و تحلیل یک شی، برجسته کردن ویژگی های ضروری و غیر ضروری. ارتباطی:سازماندهی همکاری آموزشی با معلم و همکلاسی ها. نظارتی: تعیین سطح جدیدی از نگرش نسبت به خود به عنوان موضوع فعالیت
6. اطلاعات در مورد تکالیف (2)	اطمینان از اینکه کودکان هدف، محتوا و روش های تکمیل تکالیف را درک می کنند	سطح 1: تکرار p7، شماره 27،29 سطح 2: مرحله 7، شماره 30،33 را تکرار کنید	تکالیف را یادداشت کنید
7. بازتاب (4)	ارائه ارزیابی کیفی از کار کلاس و دانش آموزان بازتاب کودکان را در مورد انگیزه فعالیت های خود و تعامل با معلم و سایر کودکان آغاز کنید	1. پیشنهاد برای ادامه پیشنهاد "امروز سر کلاس تکرار کردم... من مطمئن شدم ... یاد گرفتم… فهمیدم…" 2. پیشنهاد می کند عبارتی را که بیشتر با کار در درس مطابقت دارد، روی کارت علامت گذاری کند 3. نمره می دهد	1. به سوالات پاسخ دهید 2. روی کارت ها علامت بزنید (پیوست شماره 7)	شناختی: تأمل در روش ها و شرایط اقدام، درک کافی از دلایل موفقیت و شکست، کنترل و ارزیابی فرآیند و نتایج فعالیت ها ارتباط: توانایی بیان افکار، استدلال

پیش نمایش:

پیوست 1.

(بررسی تکالیف)

راه حل

پیش نمایش:

پیوست 2

کار شفاهی

تابع را نام ببرید و آن را به صورت تحلیلی تعریف کنید

پیش نمایش:

پیش نمایش:

پیوست 3

بررسی نظری

1. تعریف یک تابع عددی را فرموله کنید.

درس 1-2. تعریف تابع عددی و روشهای تعیین آن

09.07.2015 11704 0

هدف: در مورد تعریف تابع و نحوه تعریف آن بحث کنید.

I. ارتباط با موضوع و هدف دروس

II. بررسی مطالب پایه نهم

جنبه های مختلف این مبحث قبلاً در پایه های 7-9 پوشش داده شده است. اکنون باید اطلاعات مربوط به توابع را گسترش و خلاصه کنیم. یادآوری می کنیم که این مبحث یکی از مهمترین موضوعات برای کل درس ریاضی است. کارکردهای مختلف تا فارغ التحصیلی و بیشتر در موسسات آموزش عالی مورد مطالعه قرار خواهد گرفت. این مبحث ارتباط نزدیکی با حل معادلات، نابرابری ها، مسائل کلمه، پیشروی ها و غیره دارد.

تعریف 1. اجازه دهید دو مجموعه از اعداد واقعی داده شود D و E و قانون مشخص شده است f که طبق آن هر عدد x∈ دی با عدد مفرد مطابقت دارد y∈ E (تصویر را ببینید). سپس می گویند که تابع y = f(x ) یا y(x) با دامنه تعریف (O.O.) D و ناحیه تغییر (O.I.) E. در این مورد، مقدار x را متغیر مستقل (یا آرگومان تابع)، مقدار y را متغیر وابسته (یا مقدار تابع) می نامند.

دامنه تابع f نشانگر D(f ). مجموعه ای که از تمام اعداد تشکیل شده است f(x ) (محدوده عملکرد f)، E(f) را نشان دهید.

مثال 1

تابع را در نظر بگیریدبرای پیدا کردن y برای هر مقدار x، باید عملیات زیر را انجام دهید: عدد 2 (x - 2) را از مقدار x کم کنید، جذر این عبارت را استخراج کنید.و در آخر عدد 3 را اضافه کنیدمجموعه ای از این عملیات (یا قانونی که بر اساس آن مقدار y برای هر مقدار x جستجو می شود) تابع y(x) نامیده می شود. به عنوان مثال، برای x = 6 پیدا می کنیمبنابراین، برای محاسبه تابع y در یک نقطه معین x، لازم است این مقدار x را با تابع داده شده y(x) جایگزین کنید.

بدیهی است که برای یک تابع معین، برای هر عدد مجاز x، فقط یک مقدار y می توان یافت (یعنی برای هر مقدار x یک مقدار y مطابقت دارد).

حال اجازه دهید دامنه تعریف و دامنه تغییرات این تابع را در نظر بگیریم. استخراج ریشه دوم عبارت (x - 2) تنها در صورتی امکان پذیر است که این مقدار غیر منفی باشد، یعنی x - 2 ≥ 0 یا x ≥ 2.از آنجایی که با تعریف یک ریشه حسابیسپس عدد 3 را به تمام قسمت های این نابرابری اضافه می کنیم، به دست می آید:یا 3 ≤ سال< +∞. Находим

توابع گویا اغلب در ریاضیات استفاده می شوند. در این مورد، توابع فرم f(x ) = p(x) (که در آن p(x) چند جمله ای است) کل توابع گویا نامیده می شوند. توابع فرم(که در آن p(x) و q(x ) - چند جمله ای ها) توابع کسری- گویا نامیده می شوند. واضح است که کسری استدر صورتی تعریف می شود که مخرج باشد q(x ) از بین نمی رود. بنابراین، دامنه تعریف تابع گویا کسری- مجموعه تمام اعداد حقیقی که ریشه های چند جمله ای از آنها حذف می شود q(x).

مثال 2

تابع منطقیتعریف شده برای x - 2 ≠ 0، یعنی.ایکس ≠ 2. بنابراین، دامنه تعریف این تابع مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی است که با 2 برابر نیستند، یعنی اتحاد بازه های (-∞؛ 2) و (2؛ ∞).

به یاد بیاورید که اتحاد مجموعه های A و B مجموعه ای است شامل تمام عناصر موجود در حداقل یکی از مجموعه های A یا B. اتحاد مجموعه های A و B با نماد A نشان داده می شود. U ب. بنابراین، اتحاد قطعات و (3؛ 9) یک بازه است (فاصله های غیر متقاطع) با نشان داده می شوند.

با بازگشت به مثال، می توانیم بنویسیم:از آنجایی که برای تمام مقادیر قابل قبول x کسرناپدید نمی شود، سپس تابع f(x ) همه مقادیر را می گیرد به جز 3. بنابراین

مثال 3

اجازه دهید دامنه تعریف تابع گویا کسری را پیدا کنیم

مخرج کسرها در x = 2، x = 1 و x = -3 ناپدید می شوند. بنابراین دامنه تعریف این تابع

مثال 4

اعتیاد دیگر یک تابع نیست در واقع، اگر بخواهیم مقدار y را محاسبه کنیم، به عنوان مثال، برای x = 1، سپس با استفاده از فرمول بالا می یابیم: y = 2 1 - 3 = -1، و با استفاده از فرمول پایین تر به دست می آوریم: y = 12 + 1 = 2. بنابراین، یک مقدار x(x = 1) با دو مقدار y (y = -1 و y = 2) مطابقت دارد. بنابراین، این وابستگی (طبق تعریف) یک تابع نیست.

مثال 5

نمودارهای دو وابستگی نشان داده شده است y(x ). بیایید تعیین کنیم که کدام یک از آنها یک تابع است.

در شکل و نمودار تابع داده شده است، زیرا در هر نقطه x 0 فقط یک مقدار y0 مطابقت دارد. در شکل b نمودار نوعی وابستگی است (اما تابع نیست)، زیرا چنین نقاطی وجود دارند (به عنوان مثال، x 0 ) که با بیش از یک مقدار y (مثلا y1 و y2) مطابقت دارد.

اجازه دهید اکنون راه های اصلی تعیین توابع را در نظر بگیریم.

1) تحلیلی (با استفاده از فرمول یا فرمول ها).

مثال 6

بیایید به توابع نگاه کنیم:

علیرغم شکل غیرمعمول آن، این رابطه یک تابع را نیز تعریف می کند. برای هر مقدار x به راحتی می توان مقدار y را پیدا کرد. به عنوان مثال، برای x = -0.37 (از x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0، سپس از عبارت پایین تر استفاده می کنیم) داریم:از روش یافتن y مشخص است که هر مقدار x تنها با یک مقدار y مطابقت دارد.

ج) 3x + y = 2y - x2. اجازه دهید مقدار y را از این رابطه بیان کنیم: 3x + x2 = 2y - y یا x2 + 3x = y. بنابراین، این رابطه تابع y = x2 + 3x را نیز تعریف می کند.

2) جدولی

مثال 7

بیایید یک جدول از مربع های y برای اعداد x بنویسیم.

		2,25		6,25

داده های جدول همچنین یک تابع را تعریف می کند - برای هر مقدار x (در جدول داده شده)، یک مقدار منفرد y را می توان یافت. به عنوان مثال، y(1.5) = 2.25، y(5) = 25 و غیره

3) گرافیک

در یک سیستم مختصات مستطیلی، برای به تصویر کشیدن وابستگی عملکردی y(x)، استفاده از یک نقشه خاص - یک نمودار از تابع، راحت است.

تعریف 2. نمودار یک تابع y(x ) مجموعه تمام نقاط دستگاه مختصات است که ابسیساهای آن برابر با مقادیر متغیر مستقل x و مختصات آن برابر مقادیر مربوط به متغیر وابسته y است.

به موجب این تعریف، تمام جفت نقاط (x0, y0) که وابستگی تابعی y(x) را برآورده می‌کنند در نمودار تابع قرار دارند. هر جفت نقطه دیگری که وابستگی را برآورده نمی کند y(x ، توابع روی نمودار قرار نمی گیرند.

مثال 8

یک تابع داده شده است آیا نقطه دارای مختصات متعلق به نمودار این تابع است: a) (-2; -6); ب) (-3؛ -10)؟

1. مقدار تابع y را در آن بیابیداز آنجایی که y(-2) = -6 است، پس نقطه A (-2; -6) به نمودار این تابع تعلق دارد.

2. مقدار تابع y را در آن تعیین کنیداز آنجایی که y (-3) = -11، سپس نقطه B (-3؛ -10) به نمودار این تابع تعلق ندارد.

مطابق این نمودار تابع y = f(x ) یافتن دامنه تعریف آسان است D(f ) و محدوده E(f ) کارکرد. برای انجام این کار، نقاط نمودار بر روی محورهای مختصات پیش بینی می شود. سپس ابسیساهای این نقاط حوزه تعریف را تشکیل می دهند D(f دستورات - محدوده مقادیر E(f).

بیایید روش های مختلف برای تعریف یک تابع را با هم مقایسه کنیم. روش تحلیلی را باید کاملترین روش در نظر گرفت. این به شما امکان می دهد جدولی از مقادیر تابع برای برخی از مقادیر آرگومان ایجاد کنید، یک نمودار از تابع بسازید و تحقیقات لازم را در مورد تابع انجام دهید. در عین حال، روش جدولی به شما امکان می دهد تا به سرعت و به راحتی مقدار تابع را برای برخی از مقادیر آرگومان پیدا کنید. نمودار یک تابع به وضوح رفتار آن را نشان می دهد. بنابراین، نباید با روش‌های مختلف تعیین یک کارکرد مخالفت کرد. در عمل از هر سه روش تعیین یک تابع استفاده می شود.

مثال 9

با توجه به تابع y = 2x2 - 3x +1.

بیایید پیدا کنیم: a) y (2); ب) y (-3x)؛ ج) y (x + 1).

برای یافتن مقدار یک تابع برای مقدار معینی از آرگومان، لازم است این مقدار آرگومان به شکل تحلیلی تابع جایگزین شود. بنابراین دریافت می کنیم:

مثال 10

معلوم است که y(3 - x) = 2x2 - 4. بیایید پیدا کنیم: a) y(x); ب) y(-2).

الف) آن را با حرف نشان می دهیم z = 3، سپس x = 3 - z . بیایید این مقدار x را به شکل تحلیلی این تابع y(3 - x) = 2x2 - 4 جایگزین کنیم و دریافت کنیم: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z) 2 - 4 یا y (z) = 2 (3 - z) 2 - 4 یا y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4، یا y (z) = 2x2 - 12 z + 14. از آنجایی که مهم نیست که آرگومان تابع با چه حرفی مشخص شود - z، x، t یا هر دیگری، بلافاصله دریافت می کنیم: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

ب) اکنون یافتن y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46 آسان است.

مثال 11

مشخص است که بیایید x(y) را پیدا کنیم.

اجازه دهید با حرف مشخص کنیم z = x - 2، سپس x = z + 2، و شرایط مشکل را بنویسید:یا به ما همان شرط را برای آرگومان می نویسیم (- z): برای راحتی کار، متغیرهای جدیدی را معرفی می کنیم a = y (z) و b = y (- z ). برای چنین متغیرهایی ما یک سیستم معادلات خطی به دست می آوریم

ما به ناشناخته ها علاقه مندیمآ.

برای یافتن آن از روش جمع جبری استفاده می کنیم. بنابراین، اجازه دهید معادله اول را در عدد (-2) و معادله دوم را در عدد 3 ضرب کنیم.

بیایید این معادلات را اضافه کنیم:جایی که از آنجایی که آرگومان تابع را می توان با هر حرفی نشان داد، داریم:

در پایان خاطرنشان می کنیم که تا پایان کلاس 9 ویژگی ها و نمودارهای زیر مورد مطالعه قرار گرفتند:

الف) تابع خطی y = kx +متر (گراف یک خط مستقیم است)؛

ب) تابع درجه دوم y = ax2 +ب x + c (گراف - سهمی)؛

ج) تابع خطی کسری(گراف - هذلولی)، در توابع خاص

د) تابع توان y = xa (به ویژه تابع

ه) توابع y = |x|.

برای مطالعه بیشتر مواد، توصیه می کنیم خواص و نمودارهای این توابع را تکرار کنید. درس های زیر روش های اصلی تبدیل نمودارها را پوشش می دهند.

1. یک تابع عددی را تعریف کنید.

2. نحوه تعریف تابع را توضیح دهید.

3. آنچه را که اتحاد مجموعه های A و نامیده می شودب

4. به چه توابعی اعداد صحیح گویا می گویند؟

5- چه توابعی را گویا کسری می نامند؟ دامنه تعریف چنین توابعی چیست؟

6. آنچه که نمودار یک تابع نامیده می شود f(x)؟

7. خصوصیات و نمودارهای توابع اصلی را ارائه دهید.

IV. تکلیف درس

§ 1، شماره 1 (a, d); 2 (ج، د)؛ 3 (الف، ب)؛ 4 (ج، د)؛ 5 (الف، ب)؛ 6 (ج)؛ 7 (الف، ب)؛ 8 (ج، د)؛ 10 (آ ) 13 (ج، د)؛ 16 (الف، ب)؛ 18.

V. تکالیف

§ 1، شماره 1 (ب، ج); 2 (الف، ب)؛ 3 (ج، د)؛ 4 (الف، ب)؛ 5 (ج، د)؛ 6 (گرم)؛ 7 (ج، د)؛ 8 (الف، ب)؛ 10 (ب)؛ 13 (الف، ب)؛ 16 (ج، د)؛ 19.

VI. کارهای خلاقانه

1. تابع y = را پیدا کنید f(x)، اگر:

پاسخ ها:

2. تابع y = را پیدا کنید f(x) اگر:

پاسخ ها:

VII. جمع بندی دروس

این تناظری است که در آن هر عنصر x از مجموعه D، طبق برخی قاعده ها، بسته به x با یک عدد y مرتبط است. نماد: y = f(x) x y متغیر مستقل یا متغیر وابسته به آرگومان یا مقدار تابع D(f) E(f) دامنه تابع دامنه تابع تابع عددی با دامنه D

یکنواختی تابع تابع y=f(x) فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x از دامنه تعریف برابری f(-x)=f(x) برقرار باشد. تابع y=f(x) فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x از دامنه تعریف برابری f(-x)=-f(x) برقرار باشد.

یکنواختی یک تابع (افزایش و کاهش یک تابع) به تابع y=f(x) گفته می شود که در مجموعه X є D(f) در حال افزایش است اگر برای هر یک از نقاط x 1 و x 2 از مجموعه X به طوری که x 1 f (x 2) f(x 2)">

چگونه یک نمودار از یک تابع تناوبی بسازیم اگر تابع y=f(x) دارای نقطه T است، برای ساختن نمودار تابع ابتدا باید یک شاخه (موج، بخشی) از نمودار را در هر بازه ای از طول بسازید. T، و سپس این شاخه را در امتداد محور x به سمت راست و چپ توسط T، 2T، 3T و غیره تغییر دهید.

مرزبندی یک تابع یک تابع y=f(x) از پایین در مجموعه X є D(f) نامیده می شود اگر همه مقادیر این تابع در مجموعه X از یک عدد معین بیشتر باشد. (یعنی اگر عدد m وجود داشته باشد به طوری که برای هر مقدار x є X نابرابری برقرار باشد: f(x) > m. تابع y=f(x) از بالا در مجموعه X є D(f) محدود خوانده می شود اگر تمام مقادیر این تابع در مجموعه X کمتر از یک عدد معین است (یعنی اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای هر مقدار x є X نابرابری زیر برقرار است: f(x) m. تابع y=f(. x) محدود شده در بالا در مجموعه X є D(f) نامیده می شود، اگر تمام مقادیر این تابع در مجموعه X کمتر از یک عدد معین باشد (یعنی اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای هر مقدار x є X باشد. نابرابری زیر برقرار است: f(x)

بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع شماره m کوچکترین مقدار تابع y=f(x) در مجموعه X є D(f) نامیده می شود، اگر: 1) نقطه x o є X وجود داشته باشد به طوری که f(x o )=m; 2) برای هر مقدار x є X نابرابری f(x)f(x o) ارضا می شود عدد M بزرگترین مقدار تابع y=f(x) در مجموعه X є D(f) نامیده می شود. 1) یک نقطه x o є X وجود دارد که f(x o)=M; 2) برای هر مقدار x є X نابرابری f(x)f(xo) ارضا می شود

تحدب یک تابع یک تابع در یک بازه X با Dif به سمت بالا محدب است) اگر با اتصال هر دو نقطه از نمودار آن به ابسیسا X توسط یک پاره، متوجه شویم که قسمت مربوط به نمودار بالای قطعه ترسیم شده قرار دارد. یک تابع در یک بازه X با D(f) به سمت پایین محدب در نظر گرفته می شود اگر با اتصال هر دو نقطه از نمودار آن به ابسیسا X با یک قطعه، متوجه شویم که قسمت مربوط به نمودار زیر پاره ترسیم شده قرار دارد.

پیوستگی یک تابع، تداوم یک تابع در بازه X به این معنی است که نمودار یک تابع در یک بازه معین نقطه شکست ندارد (یعنی یک خط ثابت است). اظهار نظر. در واقع فقط زمانی می توانیم در مورد تداوم یک تابع صحبت کنیم که ثابت شود تابع پیوسته است. اما تعریف مربوطه پیچیده است و ما هنوز قادر به انجام آن نیستیم (آن را بعداً در بند 26 ارائه خواهیم کرد). همین امر را می توان در مورد مفهوم تحدب نیز گفت. بنابراین، هنگام بحث درباره این دو ویژگی توابع، همچنان بر مفاهیم بصری و شهودی تکیه خواهیم کرد.

نقاط افراطی و منتهی الیه تابع. نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط انتهایی تابع می نامند. تعریف. نقطه x 0 را نقطه حداقل تابع f می نامند اگر برای تمام x از همسایگی x 0 نابرابری f(x) f(x 0) برقرار باشد. تعریف. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f نامیده می شود اگر برای همه x از یک همسایگی x 0 نابرابری f(x) f(x 0) برقرار باشد.

طرح مطالعه تابع 1 - دامنه تعریف 2 - زوج (فرد) 3 - کوچکترین دوره مثبت 4 - فواصل افزایش و کاهش 5 - نقاط منتهی و انتهایی تابع 6 - مرز بودن تابع 7 - تداوم تابع 8 - بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع 9 - محدوده مقادیر 10 - تحدب تابع

آنها خواص زیادی دارند:

1. تابع فراخوانی می شود یکنواخت در یک بازه A، اگر در این بازه کم یا زیاد شود

2. تابع فراخوانی می شود افزایش می یابد در یک بازه معین A، اگر برای هر یک از اعداد در مجموعه A شرط زیر برآورده شود:.

نمودار یک تابع افزایشی یک ویژگی خاص دارد: هنگام حرکت در امتداد محور x از چپ به راست در طول بازه آمختصات نقاط نمودار افزایش می یابد (شکل 4).

3. تابع فراخوانی می شود در حال کاهش در یک فاصله زمانی آ، اگر برای هر عدد تعداد زیادی از آنها وجود دارد آشرط برقرار است:.

نمودار یک تابع کاهشی یک ویژگی خاص دارد: هنگام حرکت در امتداد محور x از چپ به راست در طول بازه آمختصات نقاط نمودار کاهش می یابد (شکل 4).

4. تابع فراخوانی می شود زوج در برخی از مجموعه ها ایکس،در صورت تحقق شرط: .

نمودار یک تابع زوج به صورت متقارن در مورد محور ارتین است (شکل 2).

5. تابع فراخوانی می شود فرد در برخی از مجموعه ها ایکس،در صورت تحقق شرط: .

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است (شکل 2).

6. اگر تابع y = f(x)
f(x) f(x)، سپس می گویند که تابع y = f(x)می پذیرد کوچکترین ارزش در=f(x)در ایکس= ایکس(شکل 2، تابع کوچکترین مقدار را در نقطه با مختصات (0;0) می گیرد).

7. اگر تابع y = f(x)بر روی مجموعه X تعریف شده است و به گونه ای وجود دارد که برای هر نابرابری وجود دارد f(x) f(x)، سپس می گویند که تابع y = f(x)می پذیرد بالاترین ارزش در=f(x)در ایکس= ایکس(شکل 4، تابع بزرگترین و کوچکترین مقادیر را ندارد) .

اگر برای این تابع y = f(x)تمام خواص ذکر شده مطالعه شده است، سپس آنها می گویند مطالعهکارکرد.

تابع عددیاین تناظر بین یک مجموعه اعداد نامیده می شود ایکسو بسیاری از آراعداد واقعی، که در آن هر عدد از مجموعه ایکسبا یک عدد از یک مجموعه مطابقت دارد آر.یک دسته از ایکستماس گرفت دامنه تابع . توابع با حروف نشان داده می شوند f، g، hو غیره اگر f- عملکرد تعریف شده در مجموعه ایکس، سپس عدد واقعی y،مربوط به شماره ایکسبسیاری از آنها وجود دارد ایکس، اغلب نشان داده می شود f(x)و بنویس
y = f(x).متغیر ایکسبه این می گویند استدلال. مجموعه اعداد فرم f(x)تماس گرفت محدوده عملکرد

تابع با استفاده از یک فرمول مشخص می شود. مثلا ، y = 2ایکس - 2. اگر هنگام تعیین یک تابع با استفاده از فرمول، دامنه تعریف آن مشخص نشده باشد، فرض می شود که دامنه تعریف تابع، حوزه تعریف عبارت است. f(x).

1. تابع فراخوانی می شود یکنواخت در یک بازه A، اگر در این بازه کم یا زیاد شود

2. تابع فراخوانی می شود افزایش می یابد در یک بازه معین A، اگر برای هر یک از اعداد مجموعه A شرط زیر برقرار باشد: .

نمودار یک تابع افزایشی یک ویژگی خاص دارد: هنگام حرکت در امتداد محور x از چپ به راست در طول بازه آمختصات نقاط نمودار افزایش می یابد (شکل 4).

3. تابع فراخوانی می شود در حال کاهش در یک فاصله زمانی آ، اگر برای هر عدد تعداد زیادی از آنها وجود دارد آشرط برقرار است: .

نمودار یک تابع کاهشی یک ویژگی خاص دارد: هنگام حرکت در امتداد محور x از چپ به راست در طول بازه آمختصات نقاط نمودار کاهش می یابد (شکل 4).

4. تابع فراخوانی می شود زوج در برخی از مجموعه ها ایکس،در صورت تحقق شرط: .

نمودار یک تابع زوج به صورت متقارن در مورد محور ارتین است (شکل 2).

5. تابع فراخوانی می شود فرد در برخی از مجموعه ها ایکس،در صورت تحقق شرط: .

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است (شکل 2).

6. اگر تابع y = f(x)
f(x) f(x)، سپس می گویند که تابع y = f(x)می پذیرد کوچکترین ارزش در =f(x)در ایکس= ایکس(شکل 2، تابع کوچکترین مقدار را در نقطه با مختصات (0;0) می گیرد).

7. اگر تابع y = f(x)بر روی مجموعه X تعریف شده است و به گونه ای وجود دارد که برای هر نابرابری وجود دارد f(x) f(x)، سپس می گویند که تابع y = f(x)می پذیرد بالاترین ارزش در =f(x)در ایکس= ایکس(شکل 4، تابع بزرگترین و کوچکترین مقادیر را ندارد) .

اگر برای این تابع y = f(x)تمام خواص ذکر شده مطالعه شده است، سپس آنها می گویند مطالعهکارکرد.

محدودیت ها

عدد A حد تابع نامیده می شود زیرا x تمایل به ∞ دارد اگر برای هر E> 0، δ (E)> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای همه x نابرابری را برآورده کند |x|>δ نابرابری |F(x) -A|

عدد A حد تابع نامیده می شود زیرا X به X 0 تمایل دارد اگر برای هر E> 0، δ (E)> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام X≠X 0 نابرابری را برآورده کند |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

محدودیت های یک طرفه

هنگام تعیین حد، X به صورت دلخواه، یعنی از هر جهتی، به X0 تمایل دارد. وقتی X به X0 تمایل دارد، به طوری که همیشه کمتر از X0 باشد، آنگاه حد را حد در نقطه X0 در سمت چپ می گویند. یا محدودیت چپ دست. حد سمت راست نیز به همین ترتیب تعیین می شود.