Monimutkaiset integraalit

Tämä artikkeli täydentää aihetta määrittelemättömistä integraaleista ja sisältää integraalit, jotka ovat mielestäni melko vaikeita. Oppitunti luotiin vierailijoiden toistuvista pyynnöistä, jotka ilmaisivat toiveensa siitä, että myös sivustolla analysoitiin vaikeempia esimerkkejä.

Oletetaan, että tämän tekstin lukija on hyvin valmistautunut ja osaa soveltaa integraation perustekniikoita. Nukkien ja ihmisten, jotka eivät ole kovin luottavaisia \u200b\u200bintegraaleihin, tulisi viitata ensimmäiseen oppituntiin - Määrittelemätön integraali. Esimerkkejä ratkaisuista, jossa voit hallita aihetta käytännössä tyhjästä. Kokeneemmat opiskelijat voivat tutustua integraatiotekniikoihin ja -menetelmiin, joita ei ole vielä kohdattu artikkeleissani.

Mitä integraaleja otetaan huomioon?

Ensinnäkin tarkastelemme integraaleja, joilla on juuret, joiden ratkaisuun käytämme peräkkäin muuttuva korvaaminen ja osien integrointi... Toisin sanoen yhdessä esimerkissä yhdistetään kaksi tekniikkaa kerralla. Ja vielä enemmän.

Sitten tutustumme mielenkiintoiseen ja omaperäiseen menetelmä integraalin vähentämiseksi itselleen... Ei niin vähän integraaleja on ratkaistu tällä tavalla.

Ohjelman kolmas numero menee monimutkaisten murto-osien integraaleihin, jotka lentivät edellisen artikkelin lipunmyynnin ohi.

Neljänneksi analysoidaan trigonometristen toimintojen integraaleja. Erityisesti on olemassa menetelmiä, jotka välttävät aikaa vievän yleisen trigonometrisen korvaamisen.

(2) Integraatissa jaetaan osoittaja termillä nimittäjän termillä.

(3) Käytämme määrittelemättömän integraalin lineaarisuusominaisuutta. Viimeisessä integraalissa välittömästi tuomme funktion differentiaalimerkin alle.

(4) Ota loput integraalit. Huomaa, että sulkeita voidaan käyttää logaritmissa, ei moduulia, koska.

(5) Suoritamme käänteisen korvaamisen ilmaisemalla suorasta substituutiosta "te":

Masokistiset opiskelijat voivat erottaa vastauksen ja saada alkuperäisen integandin kuten minä. Ei, ei, tein tarkistuksen oikeassa mielessä \u003d)

Kuten näette, ratkaisun aikana jouduttiin käyttämään jopa enemmän kuin kahta ratkaisumenetelmää, joten tällaisten integraalien käsittelemiseksi tarvitset itsevarmoja integraatiotaitoja eikä pienintä kokemusta.

Käytännössä neliöjuuri on tietysti yleisempi, tässä on kolme esimerkkiä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 2

Etsi määrittelemätön integraali

Esimerkki 3

Etsi määrittelemätön integraali

Esimerkki 4

Etsi määrittelemätön integraali

Nämä esimerkit ovat samantyyppisiä, joten täydellinen ratkaisu artikkelin lopussa on vain esimerkille 2, esimerkeissä 3-4 - yksi vastaus. Mielestäni mikä korvaava vaihtoehto ratkaisujen alussa on ilmeinen. Miksi valitsin saman tyyppisiä esimerkkejä? He tapaavat usein tehtävässään. Useammin ehkä vain jotain .

Mutta ei aina, kun lineaarisen funktion juuri löytyy arktangentin, sinin, kosinin, eksponentin ja muiden funktioiden alta, on käytettävä useita menetelmiä kerralla. Useissa tapauksissa on mahdollista "päästä helposti pois", toisin sanoen heti vaihdon jälkeen saadaan yksinkertainen integraali, joka otetaan elementaarisesti. Helpoin yllä ehdotetuista tehtävistä on esimerkki 4, jossa korvaamisen jälkeen saadaan suhteellisen yksinkertainen integraali.

Pienentämällä integraalia itselleen

Nerokas ja kaunis menetelmä. Katsotaanpa heti genren klassikoita:

Esimerkki 5

Etsi määrittelemätön integraali

Juuren alla on neliömäinen binomi, ja yritettäessä integroida tätä esimerkkiä kattila voi kärsiä tuntikausia. Tällainen integraali otetaan pala palalta ja pienennetään itsekseen. Periaatteessa ei vaikeaa. Jos tiedät miten.

Merkitään tarkasteltava integraali latinalaisella kirjaimella ja aloitetaan ratkaisu:

Integroimme pala palalta:

(1) Valmista integrointitoiminto termijakaumalle.

(2) Jaamme integroidun termin. Ehkä kaikki eivät ymmärrä, kirjoitan tarkemmin:

(3) Käytämme määrittelemättömän integraalin lineaarisuusominaisuutta.

(4) Ota viimeinen integraali ("pitkä" logaritmi).

Nyt katsotaan ratkaisun alku:

Ja lopussa:

Mitä tapahtui? Manipulaatioidemme seurauksena integraali supistui itsekseen!

Yhdistetään alku ja loppu:

Siirry vasemmalle merkinvaihdolla:

Ja me kuljettaa deuce oikealle puolelle. Tuloksena:

Vakio, tiukasti ottaen, olisi pitänyt lisätä aiemmin, mutta lisätä sen lopussa. Suosittelen lämpimästi, että luet tiukat ehdot täältä:

Huomautus: Tarkemmin sanottuna ratkaisun viimeinen vaihe näyttää tältä:

Täten:

Vakio voidaan suunnitella uudelleen. Miksi voit nimetä uudelleen? Koska se hyväksyy edelleen minkä tahansa arvot, ja tässä mielessä ei ole eroa vakioiden ja.
Tuloksena:

Samanlaista jatkuvaa uudelleensuunnittelutemppua käytetään laajalti differentiaaliyhtälöt... Ja siellä olen tiukka. Ja tässä sallin tällaisen vapauden vain, jotta en sekoita sinua tarpeettomiin asioihin ja että keskityn itse integraatiomenetelmään.

Esimerkki 6

Etsi määrittelemätön integraali

Toinen tyypillinen integraali itsenäiselle ratkaisulle. Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa. Ero edellisen esimerkin vastaukseen on!

Jos neliöjuuren alla on neliön muotoinen trinomi, ratkaisu joka tapauksessa pienennetään kahteen analysoituun esimerkkiin.

Harkitse esimerkiksi integraalia ... Sinun tarvitsee vain tehdä etukäteen valitse koko neliö:
.
Lisäksi suoritetaan lineaarinen korvaaminen, jolla ei ole mitään seurauksia:
, mikä johtaa integraaliin. Jotain tuttua, eikö?

Tai tällainen esimerkki neliön muotoisella binomilla:
Valitse täydellinen neliö:
Lineaarisen korvaamisen jälkeen saadaan integraali, joka myös ratkaistaan \u200b\u200bjo tarkastellun algoritmin mukaisesti.

Harkitse vielä kahta tyypillistä esimerkkiä integraalin vähentämisestä itsestään:
- eksponentin integraali kerrottuna sinillä;
- eksponentin integraali kerrottuna kosinilla.

Luetteloiduissa integraaleissa osittain, meidän on integroitava jo kaksi kertaa:

Esimerkki 7

Etsi määrittelemätön integraali

Integraali on eksponentti kerrottuna sinillä.

Integroimme osittain kahdesti ja pienennämme integraalin itseensä:

Osien kaksoisintegraation seurauksena integraali supistui itsekseen. Yhdistetään ratkaisun alku ja loppu:

Siirry vasemmalle merkinvaihdolla ja ilmaise integraali:

Tehty. Matkan varrella on suositeltavaa kammata oikea puoli, ts. laita eksponentti sulkujen ulkopuolelle ja järjestä suluissa sini ja kosini "mukavassa" järjestyksessä.

Palataan nyt esimerkin alkuun tai pikemminkin osien integrointiin:

Sillä olemme nimenneet näytteilleasettajan. Kysymys syntyy, tarkalleen eksponentti tulisi aina merkitä? Ei välttämättä. Itse asiassa pidettynä integraalina pohjimmiltaan ei eroamitä tarkoitetaan, voitiin mennä toiseen suuntaan:

Miksi tämä on mahdollista? Koska eksponentti muuttuu itsekseen (sekä erilaistumisen että integraation aikana), sini- ja kosinimuunnokset muuttuvat keskenään (taas sekä erilaistumisen että integraation aikana).

Toisin sanoen voit myös määrittää trigonometrisen funktion. Tarkastellussa esimerkissä tämä ei kuitenkaan ole yhtä järkevää, koska murto-osia ilmestyy. Halutessasi voit yrittää ratkaista tämän esimerkin toisella tavalla, vastausten on oltava samat.

Esimerkki 8

Etsi määrittelemätön integraali

Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Mieti ennen päätöksentekoa, mikä on tässä tapauksessa kannattavampaa määrittää, eksponentti- tai trigonometrinen funktio? Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa.

Ja tietysti pidä mielessä, että suurin osa tämän oppitunnin vastauksista on tarpeeksi helppo erottaa!

Esimerkkejä ei pidetty vaikeimpina. Käytännössä integraalit ovat yleisempiä, jolloin vakio on sekä eksponentissa että trigonometrisen funktion argumentissa, esimerkiksi :. Monien ihmisten on eksyttävä sellaisessa integraalissa, ja minä itse sekaan usein. Tosiasia on, että fraktioiden esiintyminen liuoksessa on erittäin todennäköistä, ja on erittäin helppo menettää jotain huomaamattomasti. Lisäksi merkkeissä on suuri virhetodennäköisyys, huomaa, että eksponentilla on miinusmerkki, ja tämä aiheuttaa lisävaikeuksia.

Viimeisessä vaiheessa se käy usein ilmi seuraavasta:

Jopa ratkaisun lopussa sinun tulee olla erittäin varovainen ja käsitellä osaavasti murto-osia:

Yhdistefraktioiden integrointi

Olemme hitaasti lähestymässä oppitunnin päiväntasaajaa ja alamme harkita murto-osien integraaleja. Jälleen, kaikki eivät ole erittäin monimutkaisia, vain jostain syystä esimerkit olivat hieman "aiheen ulkopuolella" muissa artikkeleissa.

Jatkamalla juurien teemaa

Esimerkki 9

Etsi määrittelemätön integraali

Juuren alla olevassa nimittäjässä on neliön muotoinen kolmiulotteinen plus juuren "lisäys" ulkopuolella "x": n muodossa. Tällainen integraali ratkaistaan \u200b\u200bkäyttämällä tavanomaista korvaamista.

Me päätämme:

Vaihto on yksinkertainen:

Katsomme elämää korvaamisen jälkeen:

(1) Korvaamisen jälkeen tuomme termit juuren alle yhteiseen nimittäjään.
(2) Otamme juuren alta.
(3) Pienennä osoitinta ja nimittäjää. Samalla, juuren alla, järjestin ehdot uudelleen sopivassa järjestyksessä. Jonkin kokemuksen perusteella vaiheet (1), (2) voidaan ohittaa suorittamalla kommentoidut toiminnot suullisesti.
(4) Tuloksena oleva integraali, kuten muistat oppitunnista Joidenkin fraktioiden integrointi, ratkaistu koko neliön valintamenetelmä... Valitse täydellinen neliö.
(5) Integroimalla saadaan tavallinen "pitkä" logaritmi.
(6) Suoritamme päinvastaisen korvaamisen. Jos aluksi, sitten takaisin :.
(7) Viimeinen toimenpide on suunnattu tuloksen muotoiluun: juuren alla tuomme termit taas yhteiselle nimittäjälle ja otamme ne pois juuren alta.

Esimerkki 10

Etsi määrittelemätön integraali

Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Tässä yksinäiseen X: ään on lisätty vakio, ja korvaaminen on melkein sama:

Ainoa asia, joka on tehtävä lisäksi, on ilmaista "x" korvaamisesta:

Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa.

Joskus tällaisessa integraalissa juuren alla voi olla neliömäinen binomi, tämä ei muuta ratkaisua, se on vielä yksinkertaisempi. Tunne erilaisuus:

Esimerkki 11

Etsi määrittelemätön integraali

Esimerkki 12

Etsi määrittelemätön integraali

Lyhyet ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa. On huomattava, että esimerkki 11 on täsmälleen binomi-integraali, jonka ratkaisumenetelmää tarkasteltiin oppitunnissa Irrationaalisten toimintojen integraalit.

2. asteen hajoamattoman polynomin integraali

(nimittäjässä polynomi)

Harvinaisempi, mutta kuitenkin käytännön esimerkeissä, integraalin muoto.

Esimerkki 13

Etsi määrittelemätön integraali

Mutta palataan esimerkkiin, jolla onnekas numero 13 (rehellisesti, en arvannut oikein). Tämä integraali on myös niiden joukosta, joiden kanssa voit melkein kiusata itseäsi, jos et tiedä miten ratkaista se.

Ratkaisu alkaa keinotekoisella muunnoksella:

Luulen, että kaikki jo ymmärtävät, kuinka jakaa osoittaja nimittäjän termillä termillä.

Tuloksena oleva integraali otetaan pala palalta:

Lomakkeen (on luonnollinen luku) integraalille olemme johtaneet toistuva Tutkinnon vähennyskaava:
missä - astetta alempi integraali.

Tarkistetaan tämän kaavan pätevyys ratkaistulle integraalille.
Tässä tapauksessa: ,, käytämme kaavaa:

Kuten näette, vastaukset ovat samat.

Esimerkki 14

Etsi määrittelemätön integraali

Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Näyteliuoksessa käytetään yllä olevaa kaavaa kahdesti peräkkäin.

Jos tutkinnon alle on hajoamaton neliön trinomi, sitten liuos pelkistetään binomiksi valitsemalla täydellinen neliö, esimerkiksi:

Entä jos osoittajassa on ylimääräinen polynomi? Tällöin käytetään määrittelemättömien kertoimien menetelmää, ja integrointi laajennetaan murtolukuiksi. Mutta käytän tällaista esimerkkiä ei koskaan tavannut, joten ohitin tämän tapauksen artikkelissa Murtolukuisen rationaalisen funktion integraalit, Ohitan sen nyt. Jos tällaista integraalia esiintyy edelleen, katso oppikirja - kaikki on siellä yksinkertaista. En pidä tarkoituksenmukaisena sisällyttää materiaalia (jopa yksinkertaista), jonka todennäköisyys tavata nolla.

Monimutkaisten trigonometristen toimintojen integrointi

Adjektiivi "vaikea" useimmissa esimerkeissä on jälleen pitkälti ehdollinen. Aloitetaan tangenteista ja kotangenteista korkeissa asteissa. Tangentin ja kotangentin ratkaisemiseksi käytettyjen menetelmien näkökulmasta ne ovat melkein sama asia, joten puhun enemmän tangentista, mikä tarkoittaa, että esitetty integraalin ratkaisutapa pätee myös kotangenttiin .

Yllä olevassa oppitunnissa tarkastelimme universaali trigonometrinen korvaaminen tietynlaisten trigonometristen toimintojen integraalien ratkaisemiseksi. Universaalin trigonometrisen korvaamisen haittana on, että sitä käytettäessä syntyy usein hankalia integraaleja, joilla on vaikeat laskelmat. Ja joissakin tapauksissa universaali trigonometrinen korvaaminen voidaan välttää!

Tarkastellaan toista kanonista esimerkkiä, yhtenäisyyden integraali jaettuna sinillä:

Esimerkki 17

Etsi määrittelemätön integraali

Täällä voit käyttää yleistä trigonometristä korvaamista ja saada vastauksen, mutta on järkevämpi tapa. Annan täydellisen ratkaisun ja kommentit jokaiselle vaiheelle:

(1) Käytämme kaksinkertaisen kulman siniaaltrigonometristä kaavaa.
(2) Suoritamme keinotekoisen muunnoksen: Jaa nimittäjässä ja kerro se.
(3) Nimittäjän hyvin tunnetun kaavan mukaan muunnamme jakeen tangentiksi.
(4) Tuomme funktion differentiaalimerkin alle.
(5) Ota integraali.

Pari yksinkertaista esimerkkiä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 18

Etsi määrittelemätön integraali

Vinkki: Ensimmäinen askel on käyttää valukaavaa ja suorita huolellisesti edellisen esimerkin kaltaiset toimet.

Esimerkki 19

Etsi määrittelemätön integraali

No, tämä on hyvin yksinkertainen esimerkki.

Täydelliset ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa.

Luulen, että nyt kenelläkään ei ole ongelmia integraalien kanssa:
jne.

Mikä on menetelmän idea? Ajatuksena on järjestää vain tangentit ja tangentin derivaatti integraatissa muunnosten, trigonometristen kaavojen avulla. Eli puhumme korvaamisesta: ... Esimerkeissä 17-19 käytimme itse asiassa tätä korvausta, mutta integraalit olivat niin yksinkertaisia, että asiaa käsiteltiin vastaavalla toiminnalla - toiminnon tuominen differentiaalimerkin alle.

Kuten jo mainitsin, samanlainen päättely voidaan suorittaa kotangentille.

Edellä mainitun korvaamisen soveltamiselle on myös muodollinen edellytys:

Kosinin ja sinin tehojen summa on negatiivinen kokonaisluku JOS Luku, esimerkiksi:

integraalille - negatiivinen kokonaisluku EVEN-luku.

! Huomautus jos integraali sisältää VAIN sinin tai VAIN kosinin, integraali otetaan myös negatiiviseksi parittomaksi (yksinkertaisimmat tapaukset ovat esimerkeissä nro 17, 18).

Harkitse muutama mielekkäämpää tehtävää tälle säännölle:

Esimerkki 20

Etsi määrittelemätön integraali

Sinuksen ja kosinin tehojen summa: 2 - 6 \u003d –4 on negatiivinen kokonaisluku EVEN-luku, mikä tarkoittaa, että integraali voidaan pienentää tangenteiksi ja sen derivaataksi:

(1) Muuta nimittäjä.
(2) Tunnetun kaavan mukaan saamme.
(3) Muuta nimittäjä.
(4) Käytämme kaavaa .
(5) Tuomme funktion differentiaalimerkin alle.
(6) Suoritamme korvaamisen. Kokeneemmat opiskelijat eivät välttämättä suorita korvaamista, mutta on silti parempi korvata tangentti yhdellä kirjaimella - sekaannusvaara on pienempi.

Esimerkki 21

Etsi määrittelemätön integraali

Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta.

Pidä kiinni, mestarikierrokset alkavat \u003d)

Usein integraalissa on "hodgepodge":

Esimerkki 22

Etsi määrittelemätön integraali

Tämä integraali sisältää aluksi tangentin, joka herättää heti jo tutun ajatuksen:

Keinotekoinen muutos aivan alussa ja loput vaiheista jätän kommentoimatta, koska kaikesta on jo keskusteltu edellä.

Pari luovaa esimerkkiä itseratkaisuun:

Esimerkki 23

Etsi määrittelemätön integraali

Esimerkki 24

Etsi määrittelemätön integraali

Kyllä, tietysti voit tietysti laskea sini-, kosini-astetta, käyttää yleistä trigonometristä korvausta, mutta ratkaisu on paljon tehokkaampi ja lyhyempi, jos vedät sen tangenttien läpi. Täydellinen ratkaisu ja vastaukset oppitunnin lopussa

Etsitkö x juuria x antiantivatiivista? ... Yksityiskohtainen ratkaisu, joka sisältää kuvauksen ja selitykset, auttaa sinua käsittelemään vaikeinta ongelmaa, eikä juuren x integraali ole poikkeus. Autamme sinua valmistautumaan kotitehtäviin, kokeisiin, olympialaisille sekä yliopistoon pääsyyn. Mikä tahansa esimerkki, riippumatta kirjoittamastasi matemaattisesta kyselystä, meillä on jo ratkaisu. Esimerkiksi "x on x: n antiviraation juuri".

Erilaisten matemaattisten ongelmien, laskinten, yhtälöiden ja toimintojen käyttö on yleistä elämässämme. Niitä käytetään monissa laskelmissa, talonrakentamisessa ja jopa urheilussa. Ihminen käytti matematiikkaa muinaisina aikoina, ja siitä lähtien niiden käyttö on vain lisääntynyt. Nyt tiede ei kuitenkaan pysy paikallaan ja voimme nauttia sen toiminnan hedelmistä, kuten esimerkiksi online-laskin, joka voi ratkaista ongelmia, kuten x juuren x antivatiivi, integraali juuresta x, integraali juuresta x, integraali neliöjuuri, 1 x 2: n kiinteä juuret, x: n integraali juuri, x 2: n integraali juuri, x: n integraali juuri, x: n juuren integraali, x: n juuren integraali, neliön juuren integraali, juuren osa x, integraalit juurella, x integraalin juuret, x integraalin juuret, x integraalin juuret, x integraalin juuret, x antiderivatiivien juuret, x antiderivatiiviset 3 juuret x: stä, x: n antiderivatiiviset juuret x, juurien x antivivatiivit, juurien x antivivatiivit, juurien x antivivatiivit, x, antivivatiivi x -juuri, juuren antivivatiivi, x-juuren antivivatiivi, x-juuren antivivatiivi, juuren antivivatiivi, x-juuren antivatiivistaja, x-juuren antivatiivi x. Tältä sivulta löydät laskimen, joka auttaa sinua ratkaisemaan kaikki kysymykset, mukaan lukien x antiderivatiivin x-juuret. (esimerkiksi integraali juuresta x).

Missä voit ratkaista minkä tahansa matematiikan ongelman, samoin kuin x antiderivatiivisen online-sovelluksen x-juuren?

Voit ratkaista ongelman x juuren x antivatiivista aineistoa verkkosivustollamme. Ilmainen online-ratkaisija antaa sinun ratkaista minkä tahansa monimutkaisen online-ongelman muutamassa sekunnissa. Sinun tarvitsee vain syöttää tietosi ratkaisijaan. Voit myös katsella video-ohjeita ja selvittää, miten tehtäväsi kirjoitetaan oikein verkkosivustollamme. Ja jos sinulla on vielä kysyttävää, voit kysyä ne laskin-sivun vasemmassa alakulmassa olevassa chatissa.

Antivivatiivisen toiminnon määrittely

• Toiminto y \u003d F (x)kutsutaan funktion antivivaatioksi y \u003d f (x) tietyllä aikavälillä X,jos kaikille x ∈ X tasa-arvo pitää sisällään: F '(x) \u003d f (x)

Se voidaan lukea kahdella tavalla:

1. f johdannainen funktiosta F
2. F antivivoiva toiminnalle f

Antiderivaattien ominaisuus

• Jos F (x)- antivivoiva toiminta f (x) tietyllä aikavälillä, niin funktiolla f (x) on äärettömän monta antiderivaattia, ja kaikki nämä antiderivaatit voidaan kirjoittaa F (x) + C, missä C on mielivaltainen vakio.

Geometrinen tulkinta

• Kaaviot tietyn funktion kaikista antiderivaateista f (x) saadaan minkä tahansa yhden antivivatiivin kuvaajalta yhdensuuntaisilla käännöksillä O-akselia pitkin klo.

Antiviinien laskennan säännöt

1. Summan antivatiivi on yhtä suuri kuin antidivatiivien summa... Jos F (x) - ennakoiva aine f (x)ja G (x) on antiviraalinen g (x)sitten F (x) + G (x) - ennakoiva aine f (x) + g (x).
2. Vakiokerroin voidaan siirtää johdannaisen merkin ulkopuolelle... Jos F (x) - ennakoiva aine f (x)ja k - sitten vakio k F (x) - ennakoiva aine k f (x).
3. Jos F (x) - ennakoiva aine f (x)ja k, b - lisäksi pysyvä k ≠ 0sitten 1 / k F (kx + b) - ennakoiva aine f (kx + b).

Muistaa!

Mikä tahansa toiminto F (x) \u003d x 2 + C , jossa C on mielivaltainen vakio, ja vain sellainen funktio on funktion antivatiivi f (x) \u003d 2x.

• Esimerkiksi:

  F "(x) \u003d (x2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, siitä asti kun F "(x) \u003d (x2-1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, siitä asti kun F "(x) \u003d (x 2-3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Funktion kuvaajien ja sen antivatiivien suhde:

1. Jos funktion kaavio f (x)\u003e 0 aikavälillä, sitten sen antivatiivisen käyrä F (x) kasvaa tällä aikavälillä.
2. Jos funktion kaavio f (x) välillä, sitten sen antivatiivisen käyrä F (x) vähenee tällä aikavälillä.
3. Jos f (x) \u003d 0, sitten kaavio sen antivivatiivista F (x) tässä vaiheessa muuttuu kasvavasta laskevaan (tai päinvastoin).

Antidivatiivin merkitsemiseksi käytetään määrittelemättömän integraalin merkkiä, toisin sanoen integraalia osoittamatta integraation rajoja.

Määrittelemätön integraali

Määritelmä:

• Funktion f (x) määrittelemätön integraali on lauseke F (x) + C, eli tietyn funktion f (x) kaikkien antiderivaattien kokoelma. Määrittelemätön integraali on merkitty seuraavasti: \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C

• f (x)- kutsutaan integraaliksi;
• f (x) dx- kutsutaan integraaliksi;
• x - kutsutaan integraation muuttujaksi;
• F (x) - yksi funktion f (x) antiderivaateista;
• Alkaen on mielivaltainen vakio.

Määrittelemättömät integraaliset ominaisuudet

1. Määrittelemättömän integraalin derivaatti on yhtä suuri kuin integri: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. Integraalin vakiotekijä voidaan ottaa integraalimerkin ulkopuolelle: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. Funktioiden summan (eron) integraali on yhtä suuri kuin näiden toimintojen integraalien summa (ero): \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
4. Jos k, bovat vakioita ja k ≠ 0, niin \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot F (kx + b) + C.

Taulukko antiderivaateista ja määrittelemättömistä integraaleista

Toiminto f (x)	Antivivoiva F (x) + C	Määrittelemättömät integraalit \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C
0	C	\\ int 0 dx \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + C	\\ int kdx \u003d kx + C
f (x) \u003d x ^ m, m \u003d ei -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + C	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + C
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (lna) + C	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C
f (x) \u003d \\ sin x	F (x) \u003d - \\ cos x + C	\\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ sin x + C	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctan x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + C	\\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \\ ei \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C

Newton-Leibniz-kaava

Anna olla f (x) annettu toiminto, F sen mielivaltainen ennakoiva aine.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - F (a)

missä F (x) - ennakoiva aine f (x)

Toisin sanoen funktion integraali f (x) aikavälillä on yhtä suuri kuin antiderivaattien ero pisteissä b ja a.

Kaareva puolisuunnikkaan muotoinen alue

Kaareva puolisuunnikas on luku, jota rajoittaa segmentin ei-negatiivisen ja jatkuvan funktion kaavio f, Ox-akseli ja suorat viivat x \u003d a ja x \u003d b.

Kaarevan trapetsin pinta-ala löytyy Newton-Leibniz-kaavalta:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx