Säännöllisen nelikulmaisen pyramidi-kaavan pinta-ala. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinta-ala: kaavat ja esimerkit ongelmista. Pyramidin sivupinta-ala

Määritelmä. Sivureuna on kolmio, jonka yksi kulma on pyramidin kärjessä, ja vastakkaiset puolet vastaavat pohjan (monikulmion) sivua.

Määritelmä. Kylkiluut - nämä ovat sivupintojen yhteiset sivut. Pyramidissa on yhtä monta reunaa kuin monikulmion kulmat.

Määritelmä. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on pudonnut pyramidin ylhäältä pohjaan.

Määritelmä. apoteema on kohtisuora pyramidin sivupintaan nähden, laskettuna pyramidin yläosasta pohjan sivulle.

Määritelmä. Diagonaalinen osa on pyramidin osa tasolta, joka kulkee pyramidin yläosan ja pohjan diagonaalin läpi.

Määritelmä. Oikea pyramidi on pyramidi, jossa pohja on säännöllinen monikulmio ja korkeus putoaa pohjan keskelle.

Pyramidin tilavuus ja pinta-ala

Kaava. Pyramidin tilavuus perusalan ja korkeuden läpi:

Pyramidin ominaisuudet

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, niin pyramidin pohjan ympärille voidaan kuvata ympyrä, ja pohjan keskipiste vastaa ympyrän keskustaa. Myös ylhäältä pudonnut kohtisuora kulkee pohjan (ympyrän) keskipisteen läpi.

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, niin ne ovat kallistettuja alustan tasoon samoissa kulmissa.

Sivureunat ovat samat, kun ne muodostavat yhtä suuret kulmat perustasoon nähden tai jos pyramidin pohjan ympärille voidaan kuvata ympyrä.

Jos sivupinnat ovat kaltevasti perustasoon nähden yhdessä kulmassa, ympyrä voidaan kirjoittaa pyramidin pohjaan ja pyramidin yläosa ulkonee sen keskikohtaan.

Jos sivupinnat ovat kaltevasti perustasoon nähden yhdessä kulmassa, sivupintojen särmät ovat yhtä suuret.

Säännöllisen pyramidin ominaisuudet

1. Pyramidin yläosa on yhtä kaukana kaikista alustan kulmista.

2. Kaikki sivureunukset ovat yhtä suuret.

3. Kaikki sivureunat ovat kulmassa samassa kulmassa alustaan \u200b\u200bnähden.

4. Kaikkien sivupintojen askemit ovat yhtä suuret.

5. Kaikkien sivupintojen alueet ovat yhtä suuret.

6. Kaikilla kasvoilla on samat kaksijakoiset (litteät) kulmat.

7. Pyramidin ympärillä voidaan kuvata pallo. Kuvatun pallon keskipiste on reunojen keskellä kulkevien kohtisolujen leikkauspiste.

8. Pyramidiin voidaan kirjoittaa pallo. Merkitty pallon keskipiste on puolittimien leikkauspiste, joka tulee reunan ja pohjan välisestä kulmasta.

9. Jos piirretyn pallon keskipiste on samansuuntainen kuin ympäröimän pallon keskusta, silloin tason kulmien summa kärjessä on yhtä suuri kuin π tai päinvastoin, yksi kulma on yhtä suuri kuin π / n, missä n on kulmien lukumäärä pyramidin pohjassa.

Pyramidin yhteys palloon

Pallo voidaan kuvata pyramidin ympärillä, kun polyhedron sijaitsee sen pyramidin pohjassa, jonka ympyrä voidaan kuvata (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste tulee olemaan kohtisuoraan kulkevien tasojen leikkauspiste pyramidin sivureunojen keskipisteiden läpi.

Pallo voidaan aina kuvata minkä tahansa kolmion tai säännöllisen pyramidin ympärillä.

Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisemmän diched-nurkan puolittimen tasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä kohta on pallon keskusta.

Pyramidin yhdistäminen kartioon

Kartioksi kutsutaan pyramidi, jos niiden yläosa osuu yhteen ja kartion pohja on kirjoitettu pyramidin pohjaan.

Kartio voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin asteikot ovat yhtä suuret toistensa kanssa.

Kartion sanotaan olevan rajoitettu pyramidin ympärille, jos niiden yläosa osuu yhteen ja kartion pohja on rajoitettu pyramidin pohjan ympärille.

Kartio voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret toistensa kanssa.

Pyramidin kytkentä sylinteriin

Pyramidia kutsutaan sylinteriin, jos pyramidin yläosa on sylinterin yhdellä pohjalla ja pyramidin pohja on kirjoitettu sylinterin toiseen pohjaan.

Sylinteri voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos pyramidin pohjan ympärille voidaan kuvata ympyrä.

Määritelmä. Katkaistu pyramidi (pyramidaalinen prisma) on polyhedron, joka sijaitsee pyramidin pohjan ja poikkileikkaustason välillä, joka on yhdensuuntainen pohjan kanssa. Siten pyramidilla on suurempi pohja ja pienempi pohja, joka on samanlainen kuin suurempi. Sivupinnat ovat puolisuunnikkaita.

Määritelmä. Kolmiomainen pyramidi (tetraedri) - tämä on pyramidi, jossa kolme pintaa ja pohja ovat mielivaltaisia \u200b\u200bkolmioita.

Tetraedrolla on neljä pintaa ja neljä kärkeä ja kuusi reunaa, joissa millään kahdella reunalla ei ole yhteisiä kärkiä, mutta ne eivät kosketa.

Jokaisessa kärjessä on kolme pintaa ja reunaa, jotka muodostuvat kolmion kulma.

Tetrahedronin kärjen ja vastakkaispinnan keskipisteen yhdistävää segmenttiä kutsutaan mediaani tetraedri (GM).

Bimedian on segmentti, joka yhdistää kosketuksettomien vastakkaisten reunojen keskipisteet (KL).

Kaikki tetraedron bimediaanit ja mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (S). Tässä tapauksessa bimedialaiset jaetaan kahteen osaan, ja mediaanit suhteessa 3: 1 ylhäältä lukien.

Määritelmä. Kalteva pyramidi "Pyramidi" on pyramidi, jossa yksi kylkiluista muodostaa tylpän kulman (p) kannan kanssa.

Määritelmä. Suorakulmainen pyramidi on pyramidi, jossa yksi sivupinnoista on kohtisuora pohjaan nähden.

Määritelmä. Akuutti kulmainen pyramidi - pyramidi, jossa apoteemi on yli puolet pohjapuolen pituudesta.

Määritelmä. Likainen pyramidi - pyramidi, jossa apoteemi on alle puolet pohjapuolen pituudesta.

Määritelmä. Säännöllinen tetraedri - tetraedri, jossa kaikki neljä pintaa ovat tasasivuisia kolmioita. Se on yksi viidestä säännöllisestä monikulmioista. Säännöllisessä tetraedrissä kaikki kaksisuuntaiset kulmat (kasvojen välillä) ja kolmikulmaiset kulmat (kärjessä) ovat yhtä suuret.

Määritelmä. Suorakulmainen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka suora kulma on kolmen reunan välillä (reunat ovat kohtisuorassa). Kolme kasvoja muodostuu suorakulmainen kolmion kulma ja kasvot ovat suorakulmaisia \u200b\u200bkolmioita, ja pohja on mielivaltainen kolmio. Minkä tahansa pinnan apoteemi on yhtä suuri kuin puolet sen pohjan sivusta, jolle apoteemi putoaa.

Määritelmä. Tasainen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jossa sivupinnat ovat keskenään yhtä suuret ja pohja on säännöllinen kolmio. Tällaisessa tetraedrissa kasvot ovat tasakylkisiä kolmioita.

Määritelmä. Ortosentrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jossa kaikki korkeudet (kohtisuorat), jotka ovat laskeutuneet ylhäältä vastakkaiselle puolelle, leikkaavat yhdessä pisteessä.

Määritelmä. Tähtipyramidi jota kutsutaan moniarvoiseksi, jonka pohja on tähti.

Määritelmä. Bipyramid - monihalkaisija, joka koostuu kahdesta erilaisesta pyramidista (pyramidit voidaan myös leikata), jolla on yhteinen pohja ja kärjet sijaitsevat perustason vastakkaisilla puolilla.

Tyypilliset tason ja kolmiulotteisen tilan geometriset ongelmat ovat ongelmia eri muotoisten pintojen pinta-alojen määrittämisessä. Tässä artikkelissa esitetään kaava säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinta-alasta.

Mikä on pyramidi?

Tässä on tiukka geometrinen määritelmä pyramidille. Oletetaan, että on jokin monikulmio, jossa on n puolta ja n kulmaa. Valitse mielivaltainen piste avaruudessa, joka ei ole määritellyn n-gon tasossa, ja yhdistä se monikulmion jokaiseen kärkeen. Saamme kuvan, jolla on tietty tilavuus, jota kutsutaan n-puoliseksi pyramidiksi. Otetaan esimerkki alla olevasta kuvasta, kuinka viisikulmainen pyramidi näyttää.

Minkä tahansa pyramidin kaksi tärkeätä elementtiä on sen pohja (n-gon) ja sen yläosa. Nämä elementit on kytketty toisiinsa n kolmiolla, jotka eivät yleensä ole yhtä toisiaan. Yläpuolelta kohtisuoraan kutsutaan kuvan korkeudeksi. Jos se leikkaa kannan geometrisessa keskuksessa (samaan aikaan monikulmion massakeskipisteen kanssa), niin tällaista pyramidiä kutsutaan suoraksi. Jos pohja on tämän ehdon lisäksi säännöllinen monikulmio, niin koko pyramidia kutsutaan säännölliseksi. Alla oleva kuva osoittaa, millaiset säännölliset pyramidit näyttävät kolmion, neliön, viisikulmaisen ja kuusikulmaisen emäksen kanssa.

Pyramidin pinta

Ennen kuin siirrytään kysymykseen säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinta-alasta, tulisi asettua yksityiskohtaisemmin itse pinnan käsitteeseen.

Kuten edellä mainittiin ja kuvioissa esitetään, mikä tahansa pyramidi on muodostettu joukko pintoja tai sivuja. Yksi sivu on pohja ja n sivut ovat kolmioita. Koko kuvan pinta on kummankin sivun pinta-alojen summa.

Pinta on kätevää tutkia esimerkiksi kuvan avaamisen esimerkillä. Alla olevissa kuvissa on esitetty tasaisen kuvion säännöllinen nelikulmainen pyramidi.

Näemme, että sen pinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin samanlaisten tasakylkisten kolmioiden neljän alueen ja neliön pinta-ala.

Kaikkien kuvion sivupintojen muodostavien kolmioiden kokonaispinta-alaa kutsutaan yleensä sivupinta-alaksi. Seuraavaksi näytämme, kuinka se voidaan laskea tavalliselle nelikulmaiselle pyramidille.

Nelikulmaisen säännöllisen pyramidin sivupinta-ala

Laskeaksesi määritetyn muodon sivupinta-ala, katso takaisin yllä olevaan tasaiseen kuvioon. Oletetaan, että tiedämme neliön pohjan sivut. Merkitään sitä symbolilla a. Voidaan nähdä, että jokaisella neljästä identtisestä kolmiosta on pituus a. Niiden kokonaispinta-alan laskemiseksi sinun on tiedettävä tämä arvo yhdelle kolmiolle. Geometriakurssista tiedetään, että kolmion S t pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan ja korkeuden tulo, joka tulisi jakaa kahtia. so:

Missä h b on tasoonpäin muodostetun kolmion korkeus, joka on vedetty pohjaan a. Pyramidin kohdalla tämä korkeus on apoteemi. Nyt on jäljellä kerrottu saatu lauseke 4: llä, jotta saadaan sivupinnan alue Sb tarkasteltavalle pyramidille:

S b \u003d 4 * S t \u003d 2 * h b * a.

Tämä kaava sisältää kaksi parametria: apoteeman ja pohjapuolen. Jos jälkimmäinen tunnetaan suurimmassa osassa ongelmien olosuhteita, ensin on laskettava tietämällä muut määrät. Tässä on kaavat apoteeman h b laskemiseksi kahdessa tapauksessa:

kun sivureunan pituus tiedetään;
kun pyramidin korkeus tiedetään.

Jos merkitsemme sivureunan (tasakulmaisen kolmion sivu) symbolilla L, niin apotema h b määritetään kaavalla:

h b \u003d √ (L 2 - a 2/4).

Tämä lauseke on seurausta Pythagoran lauseen soveltamisesta sivupinnan kolmioon.

Jos pyramidin korkeus h tiedetään, apotema h b voidaan laskea seuraavasti:

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4).
Tätä lauseketta ei ole myöskään vaikea saada, jos tarkastellaan pyramidin sisällä suorakulmaista kolmioa, jonka muodostavat jalat h ja a / 2 ja hypotenuusi h b.
Oletetaan, kuinka näitä kaavoja voidaan soveltaa ratkaisemalla kaksi mielenkiintoista ongelmaa.

Tunnettu pinta-alaongelma

Tiedetään, että nelikulmaisen sivupinnan ala on 108 cm2. On tarpeen laskea sen apoteeman h b arvo, jos pyramidin korkeus on 7 cm.
Kirjoita nyt kaava sivupinnan alueelle S b korkeuden läpi. Meillä on:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.

Tässä korvasimme yksinkertaisesti vastaavan apoteema-kaavan lausekkeessa Sb. Neljään tasa-arvon molemmat puolet

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Muutetaan muuttujia saadaksesi arvon a:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 \u003d 0.

Korvataan nyt tunnetut arvot ja ratkaistaan \u200b\u200basteen yhtälö:

t 2 + 196 * t - 11664 \u003d 0.

Kirjoitimme vain tämän yhtälön positiivisen juuren. Silloin pyramidin pohjan sivut ovat yhtä suuret:

a \u003d √t \u003d √47.8355 ≈ 6.916 cm.

Saadaksesi apoteeman pituus, käytä vain kaavaa:

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.

Cheops-pyramidin sivupinta

Otetaan määritettynä Egyptin suurimman pyramidin sivun arvo. Tiedetään, että sen pohjassa on neliö, jonka sivupituus on 230.363 metriä. Rakennuksen korkeus oli alun perin 146,5 metriä. Korvaamalla nämä numerot vastaavaan kaavaan S b, saadaan:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 +230,363 2/4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Löydetty arvo on hiukan suurempi kuin 17 jalkapallokentän alue.

Ennen kuin tutkit tätä geometrista kuvaa ja sen ominaisuuksia koskevia kysymyksiä, sinun tulisi ymmärtää joitain termejä. Kun ihminen kuulee pyramidista, hän näkee valtavia rakennuksia Egyptissä. Näin he näyttävät yksinkertaisimmilta. Mutta niitä on erityyppisiä ja muotoisia, mikä tarkoittaa, että geometristen muotojen laskentakaava on erilainen.

Kuvatyypit

Pyramid - geometrinen muoto, useiden pintojen nimeäminen ja esittäminen. Itse asiassa tämä on sama monihalkaisija, jonka pohjassa on monikulmio, ja sivuilla on kolmiot, jotka yhdistävät yhdessä pisteessä - kärjessä. Lukua on kaksi päätyyppiä:

oikea;
katkaistu.

Ensimmäisessä tapauksessa säännöllinen monikulmio on juuressa. Tässä kaikki sivupinnat ovat yhtä suuret keskenään ja itse hahmo ilahduttaa perfektionistin silmää.

Toisessa tapauksessa on kaksi alustaa - suuri pohjassa ja pieni yläosan välissä, toistaen pääosan muoto. Toisin sanoen katkaistu pyramidi on monihalkaisija, jonka leikkaus on kannan suuntainen.

Ehdot ja nimitykset

Perustermit:

Säännöllinen (tasasivuinen) kolmio - hahmo, jolla on kolme yhtä suurta kulmaa ja samat sivut. Tässä tapauksessa kaikki kulmat ovat 60 astetta. Luku on yksinkertaisin säännöllisestä monikerroksesta. Jos tämä luku on pohjassa, niin monihalkaisijaa kutsutaan säännölliseksi kolmioksi. Jos pohjassa on neliö, pyramidiä kutsutaan säännölliseksi nelikulmaiseksi pyramidiksi.
kärki - korkein kohta, jossa kasvot yhtyvät. Yläosan korkeuden muodostaa suora viiva, joka kulkee pyramidin ylhäältä alas.
Reuna - yksi monikulmion tasoista. Se voi olla kolmion muodossa kolmion muodossa olevan pyramidin tapauksessa tai trapetsin muodossa katkaistun pyramidin kohdalla.
Poikkileikkaus - leikkauksesta saatu litteä luku. Ei pidä sekoittaa leikkaukseen, koska leikkaus osoittaa myös sen, mikä on leikkauksen takana.
apoteema - segmentti, joka on vedetty pyramidin yläosasta pohjaan. Se on myös kasvojen korkeus, missä toinen korkeuspiste on. Tämä määritelmä on pätevä vain tavanomaiseen monihalkaisijaan nähden. Esimerkiksi, jos se ei ole katkaistu pyramidi, niin kasvot ovat kolmio. Tässä tapauksessa tämän kolmion korkeudesta tulee apoteemi.

Aluekaavat

Etsi pyramidin sivupinta-ala mikä tahansa tyyppi voidaan tehdä monella tavalla. Jos luku ei ole symmetrinen ja se on monikulmio, jolla on eri sivut, niin tässä tapauksessa on helpompi laskea kokonaispinta-ala kaikkien pintojen kokonaismäärän perusteella. Toisin sanoen sinun on laskettava kunkin kasvon pinta-ala ja lisättävä ne yhteen.

Sen mukaan, mitkä parametrit tunnetaan, voidaan tarvita kaavoja neliön, puolisuunnikkaan, mielivaltaisen neliön jne. Laskemiseksi. Itse kaavat eri tapauksissa eroavat myös.

Alueen löytäminen on paljon helpompaa oikean muodon avulla. Riittää tietää vain muutama avainparametri. Useimmissa tapauksissa vain tällaisille muotoille vaaditaan laskelmat. Siksi annetaan seuraavat kaavat. Muuten joudut maalaamaan kaiken usealle sivulle, mikä vain hämmentää ja hämmentää.

Peruskaava laskennalle säännöllisen pyramidin sivupinta-ala on seuraava:

S \u003d ½ Pa (P - emäksen kehä, a - apoteemi)

Katsotaanpa yhtä esimerkkiä. Moniarvoisella pohjalla on segmentit A1, A2, A3, A4, A5 ja ne kaikki ovat yhtä suuria kuin 10 cm. Olkoon Apothem yhtä suuri kuin 5 cm. Ensin sinun on löydettävä kehä. Koska pohjan kaikki viisi sivua ovat samat, löydät sen seuraavasti: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Seuraavaksi käytämme peruskaavaa: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm neliössä.

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinta-ala helpoin laskea. Kaava näyttää tältä:

S \u003d ½ * ab * 3, missä a - apoteemi, b - pohjapinta. Kolmikerroin tarkoittaa tässä pohjareunojen lukumäärää ja ensimmäinen osa on sivupinta-ala. Katsotaanpa esimerkkiä. Kuvio, jonka apoteemi on 5 cm ja pohjareuna 8 cm, lasketaan: S \u003d 1/2 * 5 * 8 * 3 \u003d 60 cm neliönä.

Katkaistun pyramidin sivupinta-ala laskenta on hieman vaikeampaa. Kaava näyttää tältä: S \u003d 1/2 * (p_01 + p_02) * a, missä p_01 ja p_02 ovat emästen kehät ja on apoteemi. Katsotaanpa esimerkkiä. Esimerkiksi nelikulmaisessa muodossa jalustien sivujen mitat ovat 3 ja 6 cm, apoteemi on 4 cm.

Täältä on ensin löydettävä perustojen kehät: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02 \u003d 6 * 4 \u003d 24 cm. Jäännös on korvattava arvot peruskaavaan ja saadaan: S \u003d 1/2 * (12 + 24) * 4 \u003d 0,5 * 36 * 4 \u003d 72 cm neliössä.

Siten voit löytää minkä tahansa monimutkaisuuden omaavan säännöllisen pyramidin sivupinnan. Pitäisi olla varovainen eikä sekoittaa nämä laskelmat koko polyedron kokonaispinta-alan kanssa. Ja jos joudut vielä tekemään tämän, niin riittää, että lasketaan monihalkaisijan suurimman pohjan pinta-ala ja lisätään se monihalkaisijan sivupinnan alueeseen.

Video

Tämä video auttaa sinua yhdistämään tietoja siitä, kuinka löytää eri pyramidien sivupinta-ala.

Mitä muotoa kutsumme pyramidiksi? Ensinnäkin se on monihalkaisija. Toiseksi mielivaltainen monikulmio sijaitsee tämän monihalkaisijan päässä ja pyramidin sivuilla (sivupinnoilla) on välttämättä kolmen muotoinen muoto, joka lähentyy yhtä yhteistä kärkeä. Nyt kun olemme käsitelleet termiä, selvitetään nyt kuinka löytää pyramidin pinta-ala.

On selvää, että tällaisen geometrisen rungon pinta-ala muodostuu pohjan ja sen koko sivupinnan pinta-alojen summasta.

Pyramidin pohjan alueen laskeminen

Laskentakaavan valinta riippuu pyramidin pohjassa sijaitsevan monikulmion muodosta. Se voi olla oikea, ts. Samanpituisilla sivuilla, tai väärin. Tarkastellaan molempia vaihtoehtoja.

Pohjassa on säännöllinen monikulmio

Koulukurssilta tiedetään:

neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun pituus neliössä;
tasasivuisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun neliö jaettuna 4: llä ja kerrottuna kolmen neliöjuurilla.

Mutta on myös yleinen kaava minkä tahansa säännöllisen monikulmion (Sn) alueen laskemiseksi: sinun täytyy kertoa tämän monikulmion kehän (P) arvo merkityn ympyrän säteellä (r) ja jakaa sitten tulos kahdella: Sn \u003d 1 / 2P * r ...

Juuressa - epäsäännöllinen monikulmio

Kaava sen alueen löytämiseksi on jakaa ensin koko monikulmio kolmioiksi, laskemalla niiden pinta-ala kaavalla: 1 / 2a * h (missä a on kolmion perusta, h on korkeus, joka on pudonnut tähän pohjaan), lisää kaikki tulokset.

Pyramidin sivupinta-ala

Lasketaan nyt pyramidin sivupinnan pinta-ala, ts. kaikkien sen sivupintojen pinta-alojen summa. 2 vaihtoehtoa ovat myös mahdollisia täällä.

Olkaamme mielivaltainen pyramidi, ts. yksi, jonka pohjassa on epäsäännöllinen monikulmio. Sitten sinun pitäisi laskea kunkin kasvon pinta-ala erikseen ja lisätä tulokset. Koska pyramidin sivut voivat määritelmän mukaan olla vain kolmioita, laskelma suoritetaan yllä olevan kaavan mukaan: S \u003d 1 / 2a * h.
Olkoon pyramidi oikein, ts. säännöllinen monikulmio sijaitsee sen pohjassa ja pyramidin yläosan projektio on sen keskellä. Sitten sivupinnan pinnan (Sb) laskemiseksi riittää, että löytää puoli peruspolygonin (P) kehän tulosta sivupinnan korkeudella (h) (sama kaikille pinnoille): Sb \u003d 1/2 P * h. Monikulmion kehä määritetään lisäämällä sen kaikkien sivujen pituudet.

Säännöllisen pyramidin kokonaispinta-ala saadaan laskemalla yhteen sen pohjan pinta-ala koko sivupinnan kanssa.

Esimerkkejä

Lasketaan esimerkkinä algebrallisesti useiden pyramidien pinta-alat.

Kolmiomaisen pyramidin pinta-ala

Tällaisen pyramidin juuressa on kolmio. Kaavalla Sо \u003d 1 / 2a * h saadaan pohjan pinta-ala. Käytämme samaa kaavaa löytääksemme pyramidin kunkin pinnan alueen, jolla on myös kolmion muoto, ja saamme 3 aluetta: S1, S2 ja S3. Pyramidin sivupinnan alue on kaikkien alueiden summa: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Lisäämällä sivujen ja pohjan alueet saadaan halutun pyramidin kokonaispinta-ala: Sп \u003d Sо + Sb.

Nelikulmaisen pyramidin pinta-ala

Sivupinta-ala on 4 termin summa: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, joista kukin lasketaan käyttämällä kaavaa kolmiota varten. Ja jalustan pinta-alaa on etsittävä nelikulman muodosta riippuen - oikea tai väärä. Pyramidin kokonaispinta-ala saadaan jälleen lisäämällä peruspinta-ala ja annetun pyramidin kokonaispinta-ala.

Kolmiomainen pyramidi kutsutaan moniarvoiseksi, jonka pohjassa on säännöllinen kolmio.

Tällaisessa pyramidissa pohjan reunat ja sivupintojen reunat ovat keskenään yhtä suuret. Siten sivupintojen alue saadaan kolmen samanlaisen kolmion pinta-alojen summasta. Voit löytää normaalin pyramidin sivupinnan kaavan avulla. Ja voit tehdä laskelman useita kertoja nopeammin. Tätä varten sinun on sovellettava kaavaa kolmion muotoisen pyramidin sivupinta-alalle:

missä p on pohjan kehä, jossa kaikki sivut ovat yhtä suuret kuin b, a on apoteemi, laskettuna ylhäältä tähän pohjaan. Tarkastellaan esimerkkiä kolmion muotoisen pyramidin alueen laskemisesta.

Ongelma: Anna oikea pyramidi. Kolmion alaosa, joka sijaitsee maassa, on b \u003d 4 cm. Pyramidin apoteemi on a \u003d 7 cm. Löydä pyramidin sivupinnan alue.
Koska ongelman olosuhteiden mukaan tiedämme kaikkien tarvittavien elementtien pituudet, löydämme kehän. Muista, että säännöllisessä kolmiossa kaikki sivut ovat yhtä suuret, ja siksi kehä lasketaan kaavalla:

Korvaa tiedot ja löydä arvo:

Nyt, tuntemalla kehä, voimme laskea sivupinnan:

Jos haluat käyttää kolmionmuotoista pyramidi-alueen kaavaa kokonaisarvon laskemiseksi, sinun on löydettävä monihalkaisijan pohjan pinta-ala. Tätä varten käytetään kaavaa:

Kolmiomaisen pyramidin pohjan alueen kaava voi olla erilainen. Minkä tahansa tietyn luvun parametrien laskenta on sallittua, mutta useimmiten tätä ei vaadita. Tarkastellaan esimerkkiä kolmionmuotoisen pyramidin pohjan alueen laskemisesta.

Ongelma: Tavallisessa pyramidissa alustassa olevan kolmion sivu on a \u003d 6 cm. Laske alustan pinta-ala.
Laskeaksemme tarvitsemme vain pyramidin pohjassa olevan säännöllisen kolmion sivun pituuden. Korvataan tiedot kaavaan:

Melko usein vaaditaan monihalkaisijan kokonaispinta-alan löytämistä. Tämä vaatii sivupinnan ja pohjan pinnan lisäämisen.

Tarkastellaan esimerkkiä kolmion muotoisen pyramidin alueen laskemisesta.

Ongelma: Annetaan säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi. Pohjan sivu on b \u003d 4 cm, apoteemi on \u003d 6 cm. Löydä pyramidin kokonaispinta-ala.
Ensin etsitään sivupinta-ala käyttämällä jo tunnettua kaavaa. Lasketaan kehä:

Korvaamme tiedot kaavaan:
Nyt etsitään pohjan alue:
Tietäen pohja- ja sivupinnan pinta-ala, löydämme pyramidin kokonaispinta-alan:

Säännöllisen pyramidin pinta-alaa laskettaessa ei pidä unohtaa, että säännöllinen kolmio on juuressa ja monet tämän monihalkaisijan elementit ovat yhtä suuret toistensa kanssa.