استقلال وقایع احتمال شرطی مثال احتمال احتمالی قضیه Bayes

اغلب در زندگی ما با این واقعیت مواجه هستیم که شما باید شانس شروع هر رویداد را ارزیابی کنید. آیا ارزش خرید بلیط قرعه کشی یا نه، چه طبقه ای از فرزند سوم در خانواده خواهد بود، چه فردا یا آب و هوای روشن خواهد شد فردا یا باران دوباره خواهد شد - نمونه های بی شماری می تواند داده شود. در ساده ترین مورد، تعداد نتایج مطلوب باید به تعداد کل وقایع تقسیم شود. اگر 10 بلیط برنده وجود داشته باشد، و همه آنها 50 نفر هستند، پس شانس گرفتن جایزه برابر با 10/50 \u003d 0.2 است، یعنی 20 در برابر 100. و نحوه عمل اگر رویدادهای متعددی وجود داشته باشد، و آنها نزدیک به یکدیگر هستند؟ در این مورد، ما به هیچ وجه ساده نیست، اما احتمال شرطی. این ارزش چیست و چگونه می توان آن را در نظر گرفت - این فقط در مقاله ما گفته می شود.

مفهوم

احتمال شرطی شانس وقوع یک رویداد خاص است، به شرطی که یک رویداد دیگر مرتبط با آن در حال حاضر اتفاق افتاده است. یک مثال ساده با سکه های پرتاب را در نظر بگیرید. اگر قرعه کشی نشده است، شانس افتادن عقاب یا رسیده، همان خواهد بود. اما اگر سکه سکه را در یک ردیف قرار دهد، پس موافقت میکنید که انتظار داشته باشید که 6، 7، و حتی بیش از 10 تکرار از این نتیجه، غیر منطقی باشد. با هر بار یک بار از عقاب سقوط، شانس ظهور رودخانه رشد می کند و دیر یا زود آن را از بین می برد.

فرمول احتمالی شرطی

بگذارید در حال حاضر درک کنیم که چگونه این مقدار محاسبه می شود. اولین رویداد را از طریق B نشان می دهد، و دوم توسط A. اگر شانس شروع از صفر متفاوت باشد، برابری زیر عادلانه خواهد بود:

p (a | c) \u003d p (ab) / p (b)، جایی که:

• P (A | C) - احتمال شرطی نتیجه؛
• P (AV) احتمال ظهور مفصلی رویدادهای A و B وجود دارد؛
• p (b) - احتمال وقوع رویدادها V.

کمی تبدیل این نسبت ما به دست می آوریم P (AV) \u003d P (A | C) * P (B). و اگر شما می توانید درخواست کنید، می توانید فرمول کار را بردارید و از آن در تعداد دلخواه حوادث استفاده کنید:

P (A 1، A 2، A 3، ... AP) \u003d P (A 1 | A 2 ... AP) * P (A 2 | A 3 ... AP) * P (A 3 | A 4 ... AP) ... P (A P-1 | a p) * p (a p).

تمرین

برای اینکه چگونگی محاسبه شرطی را کاهش دهید، چند نمونه را در نظر بگیرید. فرض کنید یک گلدان وجود دارد که در آن 8 شکلات شکلاتی و 7 نعنا وجود دارد. در اندازه، آنها یکسان هستند و دو نفر از آنها به طور مداوم بیرون می آیند. شانس هر دو آنها شکلات چیست؟ ما نشانه ای را معرفی می کنیم. نتیجه را بگذارید، به این معنی که اولین آب نبات شکلات، نتیجه در آب نبات شکلات دوم است. سپس به موارد زیر اشاره می شود:

p (a) \u003d p (c) \u003d 8/15،

p (a | c) \u003d p (در | a) \u003d 7/14 \u003d 1/2،

P (AV) \u003d 8/15 x 1/2 \u003d 4/15 ≈ 0.27

مورد دیگری را در نظر بگیرید فرض کنید یک خانواده دو مرتبه وجود دارد و ما می دانیم که حداقل یک کودک یک دختر است.

احتمال احتمالی این والدین چیست؟ همانطور که در مورد قبلی، بیایید با تعیین تعیین کنیم. اجازه دهید p (b) - احتمال وجود دارد که حداقل یک دختر در خانواده وجود دارد، P (A | C) احتمال دارد که فرزند دوم نیز یک دختر باشد، P (AB) شانس این واقعیت است که وجود دارد دو دختر در خانواده. در حال حاضر ما محاسبات را انجام خواهیم داد. در مجموع، 4 ترکیب مختلف کودکان کودکان و در عین حال تنها در یک مورد (زمانی که دو پسر در خانواده)، دختران در میان کودکان نخواهند بود. بنابراین، احتمال P (B) \u003d 3/4 و P (AV) \u003d 1/4. سپس فرمول ما را دنبال کنید:

p (a | c) \u003d 1/4: 3/4 \u003d 1/3.

شما می توانید نتیجه را چنین تفسیر کنید: اگر ما در مورد زمینه یکی از کودکان شناخته نشدیم، پس از آن شانس دو دختر در برابر 100 سالگی خواهد بود. اما از آنجایی که ما می دانیم که یک کودک یک دختر است، احتمال وجود دارد که وجود داشته باشد هیچ پسران در خانواده، آن را به یک سوم افزایش می دهد.

§ 1. مفاهیم پایه

4. احتمال شرطی. قضیه ضرب احتمالی.

بسیاری از وظایف باید احتمال ترکیب رویدادها را پیدا کنند. ولی و که دراگر احتمال وقوع رویدادها شناخته شده باشد ولی و که در.

مثال زیر را در نظر بگیرید. اجازه دهید دو سکه پرتاب شوند احتمال دو کت اسلحه را پیدا کنید. ما 4 نتیجه معادل زوج ناقص را تشکیل می دهیم:

	سکه اول	سکه دوم
نتیجه 1	کف دست	کف دست
نتیجه دوم	کف دست	کتیبه
نتیجه سوم	کتیبه	کف دست
نتیجه 4	کتیبه	کتیبه

به این ترتیب، P (کت، کت، کت از دست) \u003d 1/4.

حالا به ما اطلاع دهید که سکه در اولین سکه سقوط کرد. احتمال این که نماد در هر دو سکه ظاهر شود، چطور خواهد بود؟ از آنجایی که نماد در اولین سکه قرار گرفت، اکنون گروه کامل شامل دو نتیجه ناسازگاری معادل است:

	سکه اول	سکه دوم
نتیجه 1	کف دست	کف دست
نتیجه دوم	کف دست	کتیبه

در عین حال، تنها یکی از نتایج، این رویداد را به وجود می آورد (کت، دست، کت از دست). بنابراین، با فرضیه ها ساخته شده است P (کت، دست، کت از دست) \u003d 1/2. نشان دادن ولی ظاهر دو کت بازو و از طریق که در - ظاهر کت از دست ها در اولین سکه. ما می بینیم احتمال یک رویداد ولی تغییر کرد زمانی که معلوم شد که این رویداد ب رخ داده است.

احتمال جدید رویداد ولی، فرض بر این است که یک رویداد رخ داده است بما نشان خواهیم داد p b (a).

به این ترتیب، p (a) \u003d 1/4؛ p b (a) \u003d 1/2

قضیه ضرب احتمال ترکیب رویدادهای A و B برابر با محصول احتمال یکی از آنها در احتمال احتمالی دیگری است، محاسبه شده تحت این فرض که اولین رویداد انجام شد، یعنی

p (ab) \u003d p (a) p a (b)

(4)

شواهد و مدارک. ما اعتبار رابطه را (4) بر اساس تعریف احتمالی کلاسیک ثابت می کنیم. اجازه دهید نتایج احتمالی e 1, E 2, ..., E n. این تجربه یک گروه کامل از جفت های عجیب و غریب حوادث ناسازگار است که این رویداد را تشکیل می دهد آ. لطف M. نتایج و اجازه دهید آنها M. اغراق آمیز L. رویداد به دست آوردن نتایج ب. بدیهی است، ترکیبی از رویدادها آ. و ب لطف L. از n. نتایج ممکن است. این می دهد؛ ؛
به این ترتیب،
تغییر یافته توسط مکان ها آ. و ب، به همین ترتیب دریافت کنید
قضیه ضرب به راحتی به هر یک از رویدادها محدود می شود. بنابراین، به عنوان مثال، در مورد سه رویداد 1, A 2, 3 ما داریم *
به طور کلی

رابطه (6) نشان می دهد که از دو برابر (8) یک نتیجه از دیگری است.

به عنوان مثال، یک رویداد بگذارید آ. - ظاهر کت از دست ها با تک پرتاب سکه و رویداد ب - ظاهر نقشه های کت و شلوار Bubnic هنگام برداشتن کارت از عرشه. بدیهی است که حوادث آ. و ب مستقل.

در صورت استقلال حوادث آ. به ب فرمول (4) یک فرم ساده را انجام می دهد:

* رویداد 1 A 2 A 3 شما می توانید به عنوان ترکیبی از دو رویداد تصور کنید: حوادث c \u003d a 1 a 2 و حوادث 3.

احتمال شرطی رویداد A هنگام اجرای یک رویداد B رابطه نامیده می شود این در اینجا فرض شده است که.

به عنوان یک اثربخشی منطقی از این تعریف، ما یادآوری می کنیم که زمانی که یک رویداد رخ می دهد ب این شروع به نقش یک رویداد قابل اعتماد می کند، بنابراین شما باید آن را تقاضا کنید. نقش حوادث آ.بازی کردن ab، بنابراین باید متناسب باشد . (از تعریف آن تعریف می شود که ضریب تناسب برابر است.)

حالا مفهوم را معرفی می کنیم استقلال وقایع

این به این معنی است: از آنجا که این رویداد اتفاق افتاد باحتمال رویداد آ.تغییر نکرده.

با توجه به تعیین احتمال شرطی، این تعریف به رابطه کاهش می یابد . نیازی نیست که نیاز به تحقق شرایط داشته باشد . بنابراین، ما به تعریف نهایی می رسیم.

رویدادهای A و B مستقل هستند اگر p(اب) \u003d P.(آ.)پ.(ب).

آخرین نسبت معمولا برای تعیین استقلال دو رویداد گرفته شده است.

رویدادهای متعددی به عنوان مستقل به عنوان مستقل ذکر شده است، اگر چنین نسبتا برای هر زیرمجموعه ای از حوادث مورد بررسی انجام شود. بنابراین، به عنوان مثال، سه رویداد a، بو C. گمرک مستقل در مجموع اگر چهار نسبت زیر انجام شود:

ما تعدادی از وظایف را در احتمال شرطی و استقلال وقایعو راه حل های آنها.

وظیفه 21 از عرشه کامل 36 کارت یک کارت را بیرون بکشید. رویداد آ. - نقشه قرمز، ب - کارت Ace آیا آنها مستقل خواهند بود؟

تصمیم گیری انجام محاسبات با توجه به تعریف کلاسیک از این احتمال، ما این را دریافت می کنیم . این به این معنی است که حوادث آ. و بمستقل.

وظیفه 22. همان کار را برای یک عرشه حل کنید که از آن بانوی پیک برداشته شده است.

تصمیم. . هیچ استقلال وجود ندارد

وظیفه 23 دو متناوب یک سکه را پرتاب می کنند. برنده کسی که کت و شلوار خود را از بین می رود. احتمال برنده شدن برای هر دو بازیکن را پیدا کنید.

تصمیم گیری ما می توانیم فرض کنیم که حوادث ابتدایی توالی نهایی فرم (0، 0، 1، ...، 0، 1) . برای دنباله ای از طول، رویداد ابتدایی مربوطه دارای احتمال یک بازیکن است که شروع به پرتاب اولین سکه می کند اگر یک رویداد ابتدایی اجرا شود، متشکل از تعداد عدد صفر و واحدها است. بنابراین، احتمال برنده شدن او برابر است

برنده شدن از بازیکن دوم مربوط به تعداد حتی صفر و واحدها است. او برابر است

این از راه حل که بازی به پایان می رسد در یک زمان محدود با احتمال 1 (از آن زمان) به پایان می رسد.

وظیفه 24 به منظور از بین بردن پل، شما باید حداقل 2 بمب ضربه بزنید. 3 بمب را ترک کرد. احتمالات بمب های ضربه ای برابر است، به ترتیب، 0، 1؛ 0، 3؛ 0، 4. احتمال تخریب پل را پیدا کنید.

تصمیم گیری اجازه دهید حوادث A، B، C به ترتیب وارد اولین بمب اول، دوم، سوم شود. سپس تخریب پل تنها زمانی اتفاق می افتد که این رویداد به علت این واقعیت که اجزاء در این فرمول به صورت جفت هستند و عوامل در شرایط مستقل هستند، شانس مورد نظر برابر است

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

وظیفه 25دو کشتی محموله باید به همان مور سوار شوند. شناخته شده است که هر یک از آنها می تواند به همان اندازه به احتمال زیاد در هر زمان از روزهای ثابت مطرح شود و باید 8 ساعت تخلیه شود. این احتمال را پیدا کنید که کشتی که به دوم برسد، مجبور نیست منتظر بمانید تا اولین کشتی تخلیه شود.

تصمیم گیریما زمان را در روزها و کسری از روز اندازه گیری خواهیم کرد. سپس رویدادهای ابتدایی یک جفت اعداد است که یک مربع را پر می کنند، جایی که ایکس - زمان ورود کشتی اول y - زمان ورود کشتی دوم. تمام نقاط مربع به همان اندازه برابر هستند. این به این معنی است که احتمال هر رویداد (به عنوان مثال مجموعه از یک مربع) برابر با منطقه منطقه مربوط به این رویداد است. رویداد آ. این شامل یک نقطه مربع است که برای نابرابری انجام می شود. این نابرابری مربوط به این واقعیت است که کشتی که برای اولین بار آمد، وقت خود را برای بارگیری در زمان ورود کشتی دوم بارگیری خواهد کرد. مجموعه ای از این نکات دو مثلث بدون آنز مستطیلی را با یک طرف 2/3 شکل می دهد. کل مساحت این مثلث 4/9 است. به این ترتیب ،.

وظیفه 26امتحان در مورد نظریه احتمالات 34 ساله بود. یک دانش آموز دو بار یک بلیط را از بلیط های پیشنهادی استخراج می کند (بدون بازگشت آنها). دانشجو تنها 30 بلیط را تهیه کرد؟ احتمال این است که او را با انتخاب اولین بار امتحان کنید "ناموفق"بلیط؟

تصمیم گیرییک انتخاب تصادفی این است که در یک ردیف آنها یک بلیط را دو بار استخراج می کنند و بلیط برای اولین بار کشیده نشده است. اجازه دهید رویداد که در این اولین کسی است که باید برداشته شود " ناموفق " بلیط و رویداد ولیاین همان است که دوم از بین می رود موفقیت آمیز"بلیط. بدیهی است که حوادث ولی و که در بسته به، از آنجا که بلیط عقب مانده برای اولین بار به تمام بلیط بازگردانده نمی شود. لازم است احتمال وقوع یک رویداد را پیدا کنید. au.

توسط فرمول احتمال شرطی؛ ؛ ، بنابراین .

همانطور که در ابتدای دوره ما اشاره شد، به این معنی است که آزمایش در یک مجموعه ثابت ثابت از C. C. C. انجام می شود. اگر این شرایط تغییر کرده باشد، احتمال وقوع رویدادهای مربوط به این آزمایش نیز تغییر می کند. چنین تغییری همیشه می تواند به عنوان ظاهر یک رویداد خاص (به جز مجموعه اولیه شرایط K) درک شود. برای درک نحوه تعیین در این مورد یک احتمال جدید (شرطی)، فرکانس های مربوطه را در نظر بگیرید. اجازه دهید آزمایش انجام شود، این رویداد در زمان وقوع N (B) بار، و رویدادهای A و B همراه با N (AB) زمان انجام می شود. سپس فرکانس "شرطی" رویدادها و در میان این آزمایشات که در آن رویداد برابر است

به یاد داشته باشید که احتمال خواص فرکانس را به ارث می برد، می توانید زیر را به دست آورید

تعریف 1. احتمال احتمالی یک رویداد A، ارائه شده است که یک رویداد رخ داده است ، شماره نامیده می شود

گاهی اوقات یک نامگذاری دیگر اعمال می شود

مثال 1 سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. شناخته شده است که یک کت اسلحه کاهش یافت (رویداد ب). احتمال وقوع رویدادها را پیدا کنید، که این است که کت از دست ها در طول پرتاب اولین بار کاهش یافت.

آسان برای محاسبه آن ، ولی . از این رو آن را دنبال می کند

آسان است که تأیید کنید که با یک ثابت در احتمال شرطی، خواص زیر را دارد:

بنابراین، احتمال احتمالی دارای ویژگی های احتمالی اولیه است.

قضیه زیر نقش مهمی ایفا می کند.

قضیه ضرب اجازه دهید A و B - دو رویداد و پس از آن

اثبات آن از تعیین احتمال شرطی برخوردار است. مزایای این قضیه این است که گاهی اوقات ما می توانیم احتمال احتمالی را به طور مستقیم محاسبه کنیم و سپس از آن برای محاسبه استفاده کنیم

مثال 2. در URN از 5 توپ - 3 سفید و 2 سیاه و سفید. ما دو توپ را بدون بازگشت انتخاب می کنیم. پیدا کردن احتمال هر دو توپ سفید است.

اجازه دهید این رویداد شامل این واقعیت است که توپ اول سفید است، و رویداد دومین توپ سفید است. آسان برای محاسبه آن پس از خروج از یک توپ و می دانیم که آن سفید است، ما 4 توپ و از جمله آنها 2 سفید. سپس . توسط قضیه ضرب

قضیه ضرب آسان به هر تعداد محدودی از رویدادها آسان است.

نتیجه 1. اجازه دهید - حوادث تصادفی، سپس

اگر ظاهر یک رویداد در احتمال وقوع یک رویداد را تغییر نمی دهد، این است. ، چنین حوادثی به طور طبیعی مستقل نامیده می شود. در این مورد، توسط قضیه ضرب ما دریافت می کنیم

آخرین نسبت به طور متقارن نسبت به A و B متقارن است و در آن حساس است. بنابراین، ما آن را به عنوان یک تعریف می گیریم.

تعریف 2. رویدادهای A و B مستقل هستند

مثال 3 دو سکه متقارن پرتاب می شوند. رویداد A این است که سکه در اولین سکه سقوط کرد و این رویداد در سکه دوم از کت بازوها افتاد.

این شهودی است که چنین حوادثی باید مستقل باشد. واقعا ,,

بنابراین، A و B مستقل از تعریف هستند. کمتر واضح است که رویدادهای مستقل A و C، جایی که به این معنی است که تنها یک کت از اسلحه سقوط کرد (ثابت کنید!).

تعیین استقلال بیش از دو رویداد دشوار است.

تعریف 3 رویدادها مستقل هستند در مجموع،اگر برای هر کسی و هر رویدادی از کسانی که منصفانه در نظر گرفته شده اند

ما بر روی نمونه هایی که استقلال جفتی و تحقق آخرین برابری را برای لیست تمام رویدادها به دست می آوریم، نشان خواهیم داد.

مثال 4. تتراهید صحیح با سه رنگ رنگ شده است: یک چهره - در آبی، دوم - قرمز، سوم در سبز است، و در چهارم هر سه رنگ وجود دارد. این tetrahedron پرتاب می شود و اشاره کرد که چهره آن کاهش یافته است.

به من بفهمم ظاهر آبی، قرمز، سبز. سپس، ,,

از اینجا ما این را دریافت می کنیم. شبیه به زوج های دیگر. بنابراین، ما جفت استقلال داریم. ولی

وظیفه 1. نمونه ای از آزمایش و سه رویداد را مطرح کنید، که برای آن، اما که به صورت مستقل نیستند.

می تواند به طور کلی بیشتر باشد

تعریف 4. اجازه دهید برخی از کلاس های رویدادها.

آنها مستقل هستند اگر هر رویدادی مستقل در مجموع باشد.

وضعیت معمولی در مثال زیر شرح داده شده است.

مثال 5 مکعب بازی متقارن دو بار را پرتاب می کند. نشان می دهد مجموعه ای از رویدادهای مرتبط با نتیجه اولین پرتاب. به طور مشابه برای نتیجه پرتاب دوم تعیین شده است. سپس - مهم نیست.

در بسیاری از وظایف، نتیجه زیر مفید است.

پیشنهاد 1 اگر رویدادها و مستقل، سپس مستقل و هر دو از موارد زیر باشند :.

شواهد و مدارک. ما استقلال را ثابت می کنیم.

استقلال جفت های باقی مانده حوادث پیشنهاد شده است که به طور مستقل اثبات شود.

در بسیاری از موارد، ما با چنین آزمایش هایی مواجه هستیم که می تواند به دو (یا بیشتر) تجزیه شود. در مرحله اول، ما چندین گزینه داریم و از چیزی در مورد آنچه که در پایان اتفاق افتاد - در مرحله دوم می پرسم. در این مورد، نتیجه بسیار مفید است. بیایید با تعریف زیر شروع کنیم.

تعریف 5. رویدادها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند (فضای پارتیشن بندی) اگر

تئوری 1. اجازه دهید رویدادها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل دهند، برای همه و یک رویداد دلخواه. سپس - فرمول کامل فرمول.

شواهد و مدارک. همانطور که رویدادها یک گروه کامل را تشکیل می دهند، پس ما داریم

از اینجا ما دریافت می کنیم

از کجا از قضیه ضرب استفاده کردیم.

مثال 6 در برخی از کارخانه، 30٪ از محصولات توسط دستگاه تولید می شود، 25٪ از محصول - دستگاه B، و بقیه محصولات - ماشین S. از ماشین و ازدواج 1٪ از محصولات تولید شده توسط این خودرو 1.2٪ و ماشین C - 2٪ است. از تمام محصولات، یک محصول به صورت تصادفی انتخاب شده است. احتمال این است که معیوب باشد؟

اجازه دهید آن را به رویداد مراجعه کنید که آیتم انتخاب شده بر روی دستگاه A، بر روی دستگاه B، - توسط ماشین C ساخته شده است. با استفاده از D نشان داده شده است که جزئیات انتخاب شده معیوب است. رویدادها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند. تحت شرایط کار

رویداد. فضای حوادث ابتدایی. رویداد قابل اعتماد، یک رویداد غیرممکن است. رویدادهای مشترک، ناقص. حوادث برابر گروه کامل رویدادها. عملیات در حوادث

رویداد - این یک پدیده است که می توان گفت آن را می گوید رخ می دهد یا اتفاق نمی افتد، بسته به ماهیت رویداد خود.

زیر رویدادهای ابتداییهمراه با یک آزمون خاص، درک تمام نتایج غیرقابل اثبات این آزمون. هر رویداد که ممکن است به عنوان یک نتیجه از این آزمون رخ دهد، می تواند به عنوان انواع رویدادهای ابتدایی در نظر گرفته شود.

فضای رویدادهای ابتدایی یک مجموعه دلخواه (محدود یا بی نهایت) نامیده می شود. عناصر آن - نقاط (رویدادهای ابتدایی). زیر مجموعه های فضای حوادث ابتدایی رویدادها نامیده می شود.

رویداد قابل اعتماد به نام یک رویداد که به دلیل این آزمون لزوما رخ می دهد؛ (نشان دهنده E) است.

رویداد غیر ممکن چنین رویدادی را که به دلیل این آزمون است نامیده می شود نمی تواند اتفاق بیفتد؛ (نشان می دهد شما). به عنوان مثال، ظاهر یکی از شش امتیاز در طی یک پرتاب از مکعب بازی یک رویداد قابل اعتماد است و ظاهر 8 امتیاز غیرممکن است.

دو رویداد نامیده می شود مفصل (سازگار) در این تجربه، اگر ظاهر یکی از آنها، ظهور دیگری را رد نمی کند.

دو رویداد نامیده می شود غیر تخت (ناسازگار) در این تجربه، اگر آنها نمی توانند با هم در همان آزمون رخ دهد. چندین رویداد ناقص هستند اگر آنها در جفت هستند، غیر قابل درک هستند.

شروع فرم

پایان فرم

رویداد یک پدیده است که می توان گفت آن را می گوید رخ می دهد یا اتفاق نمی افتد، بسته به ماهیت رویداد خود. رویدادها توسط حروف بزرگ الفبای لاتین A، B، C، ... هر رویداد به علت تست. به عنوان مثال، سکه را پرتاب کنید - تست، ظاهر کت از اسلحه - رویداد؛ لامپ را از جعبه بگذارید - تست، معیوب است - رویداد؛ ما توپ تصادفی را از جعبه خارج می کنیم - تست، توپ تبدیل به سیاه و سفید شد. رویداد تصادفی یک رویداد است که می تواند روی دادن یا اتفاق نمی افتد در طول این آزمون به عنوان مثال، حذف یک کارت تصادفی از عرشه، شما ACE گرفتید؛ تیراندازی، فلش به هدف می افتد. تئوری مطالعات احتمالی تنها جرم رویدادهای تصادفی یک رویداد قابل اعتماد یک رویداد نامیده می شود که به دلیل این آزمون لزوما رخ می دهد؛ (نشان دهنده E) است. رویداد غیرممکن به نام چنین رویدادی است که به دلیل این آزمون است. نمی تواند اتفاق بیفتد؛ (نشان می دهد شما). به عنوان مثال، ظاهر یکی از شش امتیاز در طی یک پرتاب از مکعب بازی یک رویداد قابل اعتماد است و ظاهر 8 امتیاز غیرممکن است. حوادث برابر چنین حوادثی هستند، هر کدام از آنها هیچ مزیتی در ظاهر وجود ندارد اغلب در طول آزمایش های متعدد که با شرایط مشابه انجام می شود، بیشتر از دیگران است. رویدادهای ناسازگار به طور غیرمستقیم رویدادها هستند، دو نفر از آنها نمی توانند با هم اتفاق بیفتند. احتمال وقوع تصادفی، نسبت تعداد رویدادهایی است که به این رویداد به نفع این رویداد به دست می آید، به تعداد کل وقایع ناسازگار تعادلی: P (a) \u003d جایی که یک رویداد است؛ p (a) - احتمال یک رویداد؛ n تعداد کل رویدادهای برابر و ناسازگار است؛ n (a) تعداد رویدادهایی است که به این رویداد کمک می کند. این تعریف کلاسیک از احتمال یک رویداد تصادفی است. تعریف احتمال کلاسیک برای آزمایش با تعداد محدودی از نتایج آزمون تعادلی رخ می دهد. اجازه دهید N عکس ها بر روی هدف، که معلوم شد به نظر می رسد. نسبت W (a) \u003d فرکانس آماری نسبی از وقوع رویداد A نامیده می شود. در نتیجه، W (a) فرکانس آماری ضربه ای است. هنگام انجام یک سری از عکس ها (جدول 1)، فرکانس آماری در مورد یک عدد ثابت مشخص نوسان خواهد شد. این شماره توصیه می شود برای برآورد احتمال ضربه زدن به آن بپردازید. احتمال رویداد A شماره ناشناخته P نامیده می شود، نزدیک به آن مقادیر فرکانس های آماری رویداد A با افزایش تعداد آزمایش ها مونتاژ می شود. این یک تعیین آماری احتمال وقوع یک رویداد تصادفی است.

عملیات در حوادث

تحت حوادث ابتدایی مرتبط با یک آزمون خاص، آنها همه نتایج غیر قابل تشخیص این آزمون را درک می کنند. هر رویداد که ممکن است به عنوان یک نتیجه از این آزمون رخ دهد، می تواند به عنوان انواع رویدادهای ابتدایی در نظر گرفته شود. فضای حوادث ابتدایی یک مجموعه دلخواه (محدود یا بی نهایت) نامیده می شود. عناصر آن - نقاط (رویدادهای ابتدایی). زیر مجموعه های فضای حوادث ابتدایی رویدادها نامیده می شود. همه روابط شناخته شده و مجموعه ها بر روی مجموعه ها به رویدادها منتقل می شوند. گفته شده است که رویداد A یک مورد خاص از رویدادهای B (یا B نتیجه است) اگر مجموعه A یک زیر مجموعه از B باشد. این نسبت را نشان می دهد و همچنین برای مجموعه ها: a ⊂ B یا B ⊃ A. بنابراین، نسبت ⊂ ب این به این معنی است که تمام رویدادهای ابتدایی موجود در A نیز در B نیز شامل می شوند، یعنی زمانی که یک رویداد رخ می دهد، یک رویداد B نیز رخ می دهد. در این مورد، اگر یک ⊂ B و B ⊂ a، سپس یک \u003d B. رویداد A، که اتفاق می افتد پس از آن و تنها اگر رویداد A رخ نمی دهد، به نام رویداد مخالف A.، زیرا در هر آزمون رخ می دهد یک و تنها یکی از رویدادها - A یا A، سپس p (a) + p (a) + p ( a) \u003d 1، یا p (a) \u003d 1 - p (a). انجمن یا مجموع حوادث A و B یک رویداد C نامیده می شود، که در صورتی اتفاق می افتد و تنها در صورتی رخ می دهد یا یک رویداد B رخ می دهد یا در همان زمان رخ می دهد. این توسط C \u003d a ∪ B یا C \u003d a + B نشان داده شده است. ترکیب رویدادهای 1، 2، ... A N یک رویداد است که پس از آن رخ می دهد و تنها اگر حداقل یکی از این رویدادها رخ دهد. این ترکیب توسط ترکیبی از رویدادها 1 ∪ a 2 ∪ ... ∪ a n، یا k، یا 1 + a 2 + ... + a n نشان داده شده است. تقاطع یا محصول رویدادهای A و B یک رویداد D نامیده می شود، که تنها زمانی اتفاق می افتد، که تنها زمانی اتفاق می افتد که رویدادهای A و B به طور همزمان رخ می دهد و D \u003d a ∩ B یا D \u003d a × B را نشان می دهد. با ترکیب یا کار رویدادها a 1، 2، ... A یک رویداد است که اتفاق می افتد اگر و تنها اگر رویداد 1 اتفاق می افتد، و رویداد 2، و غیره، و رویداد a n. هماهنگی به شرح زیر است: a 1 ∩ a 2 ∩ ... ∩ a n یا a k، یا 1 × A 2 × ... × a n.

شماره شماره 2 تعریف Axiomatic از احتمال. تعریف کلاسیک، آماری، هندسی احتمال احتمال یک رویداد. خواص احتمالا تئوری های اضافی و ضرب احتمالات. رویدادهای مستقل احتمال شرطی احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادها. فرمول کامل فرمول فرمول Bayes.

اندازه عددی از درجه فرصت هدف از رویداد رویداد نامیده می شود احتمال وقوع رویداد این تعریف، مفهوم انعطاف پذیری کیفی از احتمال وقوع یک رویداد ریاضی نیست. به طوری که آن را به گونه ای، لازم است که آن را به صورت کیفی تعیین کنید.

مطابق با تعریف کلاسیک احتمال وقوع رویدادها برابر با نسبت تعداد موارد ناشی از آن است، به تعداد کل موارد، یعنی:

جایی که p (a) احتمال رویداد A است.

تعداد موارد حوادث مربوطه a

تعداد کل موارد.

تعریف آماری احتمالی:

احتمال آماری رویداد A فراوانی نسبی ظاهر این رویداد در آزمایشات تولید شده است، یعنی:

کجا - احتمال آماری رویداد A.

فرکانس نسبی (فرکانس) رویدادهای A.

تعداد آزمایشاتی که در آن رویداد ظاهر شد

تست کل

در مقایسه با احتمال "ریاضی" در تعریف کلاسیک، احتمال آماری یک ویژگی آزمایشی آزمایشی است.

اگر مواردی وجود داشته باشد که رویداد A، که به طور مستقیم تعیین می شود، بدون هیچ گونه آزمایش، به طور مستقیم تعیین می شود، به این ترتیب، نسبت کسانی که در واقع آزمایش هایی را که در آن رویداد A ظاهر شده است، تعیین می شود.

تعریف احتمال هندسی:

احتمال هندسی رویداد A نسبت به اندازه گیری ظهور مورد علاقه یک رویداد A، تا آنجا که از همه مناطق نامیده می شود، نامیده می شود:

در یک بعدی مورد:

شما باید احتمال ابتلا به نقاط را به CD /

به نظر می رسد که این احتمال به محل CD در بخش AB بستگی ندارد و تنها به طول آن بستگی دارد.

احتمال ابتلا به نقاط وارد شدن به فرم ها، و نه از محل در A بستگی ندارد و تنها به منطقه این بخش بستگی دارد.

احتمال شرطی

احتمال آن نامیده می شود مشروط اگر در شرایط خاص محاسبه شود و نشان داده شده است:

این احتمال رویداد A. محاسبه شده است که این رویداد در حال حاضر اتفاق افتاده است.

مثال. ما یک آزمون را تولید می کنیم، دو کارت را از عرشه حذف می کنیم: احتمال اول بی قید و شرط است.

احتمال استخراج ACE عرشه را محاسبه کنید:

محاسبه ظاهر 2 فوسه از عرشه:

A * B - ظاهر مشترک وقایع

– قضیه ضرب احتمالی

نتیجه:

قضیه ضرب برای ظاهر مشترک رویدادها عبارتند از:

به عبارت دیگر، هر احتمال بعدی با حسابداری محاسبه می شود که تمام شرایط قبلی قبلا رخ داده است.

استقلال رویداد:

به طور مستقل 2 رویداد نامیده می شود، اگر ظاهر یک با ظهور دیگر مخالف نیست.

به عنوان مثال، اگر Aces از عرشه دوباره بهبود یابد، آنها مستقل هستند. تکرار، یعنی، کارت به نظر می رسد و بازگشت به عرشه.

رویدادهای مشترک و ناقص:

مفصل2 رویداد نامیده می شود اگر ظاهر یکی از آنها با ظهور دیگری مخالف نیست.

قضیه علاوه بر احتمال وقوع وقایع مشترک:

احتمال ظهور یکی از دو رویداد مشترک برابر با مجموع احتمالات این حوادث بدون ظاهر مشترک آنها است.

برای سه رویداد مشترک:

فاکتورها به نام رویدادها نامیده می شوند، اگر هیچ دو نفر از آنها به طور همزمان به عنوان یک نتیجه از یک آزمایش تصادفی به طور همزمان ظاهر شوند.

قضیه:احتمال ظهور یکی از دو رویداد ناسازگار برابر با مجموع احتمالات این حوادث است.

احتمال وقوع رویدادها:

قضیه احتمالی احتمالی:

احتمال تعداد تعداد محدودی از رویدادهای ناقص برابر با مجموع احتمالات این رویدادها است:

CUROLLARY 1:

مجموع احتمالات رویدادهای تشکیل دهنده گروه کامل برابر با یک است:

CUROLLARY 2:

اظهار نظر:لازم به ذکر است که قضیه علاوه بر بحث شده تنها برای رویدادهای ناقص قابل استفاده است.

احتمال وقوع رویدادهای مخالف:

مخالفاین دو رویداد ممکن تنها یک گروه کامل را تشکیل می دهند. یکی از دو رویداد مخالف از طریق آن نشان داده شده است ولی، دیگر - از طریق.

به عنوان مثال: هنگامی که شات از حوادث هدف را هدف قرار داده اید، ضربه بزنید و از دست رفته. اگر A - ضربه، سپس - لغزش.

قضیه:مجموع احتمال وقوع رویدادهای مخالف برابر با یک است:

یادداشت 1:اگر احتمال یکی از دو رویداد مخالف توسط P نشان داده شود، احتمال وقوع یک رویداد دیگر توسط Q به این طریق، به موجب قضیه قبلی، نشان داده می شود:

نکته 2:هنگام حل وظایف برای پیدا کردن احتمالات یک رویداد اغلب، اغلب مفید است برای اولین بار محاسبه احتمال یک رویداد، و سپس احتمال مورد نظر را با فرمول پیدا کنید:

احتمال حداقل یک رویداد ظاهر است:

فرض کنید که به عنوان یک نتیجه از آزمایش، یک، بخشی یا هر رویداد ممکن است ظاهر شود.

قضیه:احتمال حداقل یک رویداد از مجموعه ای از رویدادهای مستقل برابر با تفاوت بین واحد است و احتمال احتمالی آنها ظاهر نمی شود.