1 مکعب متوازی الاضلاع که ویژگی های لبه های وجه ها را تعیین می کند. متوازی الاضلاع مستطیلی - هایپر مارکت دانش. اطلاعات Parallelepiped درباره

در هندسه، مفاهیم کلیدی صفحه، نقطه، خط مستقیم و زاویه هستند. با استفاده از این اصطلاحات، می توانید هر شکل هندسی را توصیف کنید. چند وجهی معمولاً با شکل های ساده تری توصیف می شود که در یک صفحه قرار دارند، مانند دایره، مثلث، مربع، مستطیل و غیره. در این مقاله به این خواهیم پرداخت که یک متوازی الاضلاع چیست، انواع متوازی الاضلاع، خواص آن، از چه عناصری تشکیل شده است، و همچنین فرمول های اساسی برای محاسبه مساحت و حجم برای هر نوع متوازی الاضلاع را بیان می کنیم.

تعریف

متوازی الاضلاع در فضای سه بعدی منشوری است که همه اضلاع آن متوازی الاضلاع هستند. بر این اساس، فقط می تواند سه جفت متوازی الاضلاع یا شش وجه داشته باشد.

برای تجسم یک متوازی الاضلاع، یک آجر استاندارد معمولی را تصور کنید. آجر نمونه خوبی از یک متوازی الاضلاع مستطیلی است که حتی یک کودک می تواند تصور کند. نمونه های دیگر شامل خانه های پنلی چند طبقه، کابینت، ظروف نگهداری مواد غذایی با شکل مناسب و غیره است.

انواع شکل

فقط دو نوع متوازی الاضلاع وجود دارد:

1. مستطیل شکل که تمام وجوه جانبی آن نسبت به قاعده زاویه 90 درجه دارند و مستطیل هستند.
2. شیب دار که لبه های کناری آن با زاویه خاصی نسبت به پایه قرار دارند.

این رقم را می توان به چه عناصری تقسیم کرد؟

• مانند هر شکل هندسی دیگری، در متوازی الاضلاع هر 2 وجهی که دارای یک یال مشترک باشند، مجاور نامیده می شوند و آنهایی که آن را ندارند، موازی هستند (بر اساس ویژگی متوازی الاضلاع که دارای جفت اضلاع متضاد موازی است).
• رئوس یک متوازی الاضلاع که روی یک وجه قرار نمی گیرند مخالف نامیده می شوند.
• قطعه ای که این رئوس را به هم متصل می کند یک مورب است.
• طول سه لبه یک مکعب که در یک راس به هم می رسند، ابعاد آن (یعنی طول، عرض و ارتفاع آن) است.

ویژگی های شکل

1. همیشه با توجه به وسط مورب به صورت متقارن ساخته می شود.
2. نقطه تلاقی همه قطرها، هر مورب را به دو بخش مساوی تقسیم می کند.
3. طول چهره های مقابل برابر است و روی خطوط موازی قرار دارند.
4. اگر مربع های تمام ابعاد یک متوازی الاضلاع را اضافه کنید، مقدار حاصل برابر با مربع طول قطر خواهد بود.

فرمول های محاسباتی

فرمول برای هر مورد خاص از موازی شکل متفاوت خواهد بود.

برای یک متوازی الاضلاع دلخواه، درست است که حجم آن برابر است با مقدار مطلق حاصل ضرب اسکالر سه گانه بردارهای سه ضلع که از یک راس سرچشمه می گیرند. با این حال، هیچ فرمولی برای محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع دلخواه وجود ندارد.

برای یک متوازی الاضلاع مستطیلی فرمول های زیر اعمال می شود:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V حجم شکل است.
• Sb - مساحت سطح جانبی؛
• Sp - سطح کل.
• الف - طول؛
• ب - عرض؛
• ج - ارتفاع

یکی دیگر از موارد خاص متوازی الاضلاع که در آن همه اضلاع مربع هستند، یک مکعب است. اگر هر یک از اضلاع مربع با حرف a مشخص شود، می توان از فرمول های زیر برای مساحت سطح و حجم این شکل استفاده کرد:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - مساحت شکل،
• V حجم شکل است،
• a طول صورت شکل است.

آخرین نوع متوازی الاضلاع مورد نظر ما یک متوازی الاضلاع مستقیم است. شما می‌پرسید تفاوت بین متوازی الاضلاع راست و مکعب چیست؟ واقعیت این است که پایه یک متوازی الاضلاع مستطیلی می تواند هر متوازی الاضلاع باشد، اما قاعده یک متوازی الاضلاع مستقیم فقط می تواند یک مستطیل باشد. اگر محیط قاعده را برابر با مجموع طول همه ضلع ها به صورت Po نشان دهیم و ارتفاع را با حرف h نشان دهیم، حق داریم از فرمول های زیر برای محاسبه حجم و مساحت کل استفاده کنیم. و سطوح جانبی

تعریف

چند وجهیسطح بسته ای را می نامیم که از چند ضلعی تشکیل شده و قسمت خاصی از فضا را محدود می کند.

قطعاتی که اضلاع این چندضلعی ها هستند نامیده می شوند دندهچند وجهی، و خود چندضلعی ها هستند لبه ها. رئوس چند ضلعی ها را رئوس چند وجهی می گویند.

ما فقط چند وجهی محدب را در نظر خواهیم گرفت (این یک چندوجهی است که در یک طرف هر صفحه که دارای صورت آن است) قرار دارد.

چند ضلعی هایی که یک چندوجهی را تشکیل می دهند، سطح آن را تشکیل می دهند. قسمتی از فضا که به یک چندوجهی محدود شده است، درون آن نامیده می شود.

تعریف: منشور

دو چند ضلعی مساوی \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) را در صفحات موازی در نظر بگیرید به طوری که قطعات \(A_1B_1، \A_2B_2، ...، A_nB_n\)موازی. چند وجهی که توسط چند ضلعی های \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) و متوازی الاضلاع تشکیل شده است. \(A_1B_1B_2A_2، \A_2B_2B_3A_3، ...\)، نامیده می شود (\(n\)-gonal) منشور.

چند ضلعی های \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) را پایه های منشوری، متوازی الاضلاع می نامند. \(A_1B_1B_2A_2، \A_2B_2B_3A_3، ...\)- صورت های جانبی، بخش ها \(A_1B_1، \ A_2B_2، \ ...، A_nB_n\)- دنده های جانبی
بنابراین، لبه های جانبی منشور موازی و مساوی با یکدیگر هستند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم - یک منشور \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\)، که در قاعده آن یک پنج ضلعی محدب قرار دارد.

ارتفاعمنشورها عمودی هستند که از هر نقطه یک قاعده به صفحه قاعده دیگر می افتند.

اگر لبه های جانبی بر پایه عمود نباشند، چنین منشوری نامیده می شود شیب دار(شکل 1)، در غیر این صورت - سر راست. در یک منشور مستقیم، لبه های جانبی ارتفاع هستند و وجوه جانبی مستطیل های مساوی هستند.

اگر یک چندضلعی منتظم در قاعده منشور مستقیم قرار گیرد، منشور نامیده می شود درست.

تعریف: مفهوم حجم

واحد اندازه‌گیری حجم، یک واحد مکعب است (مکعبی با اندازه‌گیری \(1\times1\times1\) واحد\(^3\)، که در آن واحد یک واحد اندازه‌گیری معین است).

می توان گفت که حجم یک چندوجهی مقدار فضایی است که این چند وجهی محدود می کند. در غیر این صورت: این کمیتی است که مقدار عددی آن نشان می دهد که یک مکعب واحد و اجزای آن چند بار در یک چندوجهی معین قرار می گیرند.

حجم دارای همان ویژگی های مساحت است:

1. حجم ارقام مساوی برابر است.

2. اگر یک چندوجهی از چند چند وجهی غیر متقاطع تشکیل شده باشد، حجم آن برابر است با مجموع حجم های این چندوجهی ها.

3. حجم یک کمیت غیر منفی است.

4. حجم بر حسب cm\(^3\) (سانتی متر مکعب)، m\(^3\) (متر مکعب) و غیره اندازه گیری می شود.

قضیه

1. مساحت سطح جانبی منشور برابر است با حاصل ضرب محیط پایه و ارتفاع منشور.
مساحت سطح جانبی مجموع مساحت وجوه جانبی منشور است.

2. حجم منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع منشور: \

تعریف: موازی شکل

متوازیالسطوحمنشوری با متوازی الاضلاع در قاعده آن است.

تمام وجوه متوازی الاضلاع (وجود دارد \(6\) : \(4\) وجه های جانبی و \(2\) پایه) متوازی الاضلاع هستند و وجوه مقابل (موازی یکدیگر) متوازی الاضلاع مساوی هستند (شکل 2) .

مورب یک متوازی الاضلاعقطعه ای است که دو راس یک متوازی الاضلاع را به هم متصل می کند که روی یک وجه قرار ندارند ((8\) از آنها وجود دارد: \(AC_1،\A_1C،\BD_1،\B_1D\)و غیره.).

متوازی الاضلاع مستطیلییک متوازی الاضلاع راست با یک مستطیل در قاعده آن است.
زیرا از آنجایی که این یک متوازی الاضلاع راست است، وجوه جانبی مستطیل هستند. این بدان معنی است که به طور کلی تمام وجوه یک متوازی الاضلاع مستطیلی مستطیل هستند.

تمام قطرهای یک متوازی الاضلاع مستطیلی با هم برابر هستند (این از تساوی مثلث ها ناشی می شود. \(\مثلث ACC_1=\مثلث AA_1C=\مثلث BDD_1=\مثلث BB_1D\)و غیره.).

اظهار نظر

بنابراین، یک متوازی الاضلاع تمام خصوصیات یک منشور را دارد.

قضیه

مساحت سطح جانبی یک متوازی الاضلاع مستطیلی است \

مساحت کل یک متوازی الاضلاع مستطیلی است \

قضیه

حجم یک مکعب برابر است با حاصل ضرب سه یال آن که از یک راس بیرون می آیند (سه بعد مکعب): \

اثبات

زیرا در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، لبه های جانبی بر قاعده عمود هستند، سپس ارتفاع آن نیز هستند، یعنی \(h=AA_1=c\) زیرا پس پایه یک مستطیل است \(S_(\text(اصلی))=AB\cdot AD=ab\). این فرمول از اینجا می آید.

قضیه

مورب \(d\) یک متوازی الاضلاع مستطیلی با استفاده از فرمول (که در آن \(a,b,c\) ابعاد متوازی الاضلاع است) پیدا می شود.

اثبات

بیایید به شکل نگاه کنیم. 3. چون پایه یک مستطیل است، سپس \(\مثلث ABD\) مستطیل است، بنابراین، با قضیه فیثاغورث \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

زیرا پس تمام لبه های جانبی بر پایه ها عمود هستند \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)عمود بر هر خط مستقیم در این صفحه، یعنی. \(BB_1\perp BD\) . این بدان معنی است که \(\مثلث BB_1D\) مستطیلی است. سپس، توسط قضیه فیثاغورث \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\)، thd.

تعریف: مکعب

مکعبیک متوازی الاضلاع مستطیل شکل است که تمام وجوه آن مربع مساوی است.

بنابراین، سه بعد با یکدیگر برابر هستند: \(a=b=c\) . بنابراین موارد زیر درست است

قضایا

1. حجم یک مکعب با لبه \(a\) برابر است با \(V_(\text(مکعب))=a^3\) .

2. مورب مکعب با استفاده از فرمول \(d=a\sqrt3\) پیدا می شود.

3. مساحت کل یک مکعب \(S_(\text(مکعب کامل))=6a^2\).

متوازی الاضلاع یک منشور چهار گوش با متوازی الاضلاع در قاعده آن است. ارتفاع یک متوازی الاضلاع فاصله بین صفحات پایه های آن است. در شکل ارتفاع با قطعه نشان داده شده است . دو نوع متوازی الاضلاع وجود دارد: مستقیم و مایل. به عنوان یک قاعده، یک معلم ریاضی ابتدا تعاریف مناسب را برای یک منشور ارائه می دهد و سپس آنها را به یک موازی شکل منتقل می کند. ما هم همین کار را خواهیم کرد.

یادآوری می کنم که منشوری را اگر لبه های کناری آن عمود بر قاعده ها باشد، راست می گویند و اگر عمود نباشد، منشور را مایل می گویند. این اصطلاح نیز توسط متوازی الاضلاع به ارث می رسد. یک متوازی الاضلاع راست چیزی نیست جز یک نوع منشور مستقیم که لبه کناری آن با ارتفاع منطبق است. تعاریف مفاهیمی مانند صورت، لبه و رأس که در کل خانواده چند وجهی مشترک است حفظ شده است. مفهوم چهره های متضاد ظاهر می شود. متوازی الاضلاع دارای 3 جفت وجه متضاد، 8 رأس و 12 لبه است.

مورب متوازی الاضلاع (قطر یک منشور) قطعه ای است که دو راس یک چند وجهی را به هم متصل می کند و روی هیچ یک از وجوه آن قرار ندارد.

بخش مورب - بخشی از یک متوازی الاضلاع که از قطر آن و مورب قاعده آن عبور می کند.

ویژگی های یک متوازی الاضلاع مایل:
1) تمام وجوه آن متوازی الاضلاع و وجوه مقابل متوازی الاضلاع هستند.
2)قطرهای یک متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و در این نقطه نصف می شوند.
3)هر موازی از شش هرم مثلثی با حجم مساوی تشکیل شده است. برای نشان دادن آنها به دانش آموز، معلم ریاضی باید نیمی از موازی را با قسمت مورب آن قطع کند و آن را جداگانه به 3 هرم تقسیم کند. پایه های آنها باید روی وجوه مختلف موازی پایه اصلی قرار گیرد. یک معلم ریاضی کاربرد این ویژگی را در هندسه تحلیلی پیدا خواهد کرد. برای بدست آوردن حجم هرم از طریق محصول مخلوط بردارها استفاده می شود.

فرمول های حجم یک متوازی الاضلاع:
1) ، جایی که مساحت پایه است ، h ارتفاع است.
2) حجم یک متوازی الاضلاع برابر است با حاصلضرب سطح مقطع و لبه جانبی.
معلم خصوصی ریاضی: همانطور که می دانید فرمول در همه منشورها مشترک است و اگر استاد راهنما قبلاً آن را ثابت کرده باشد، تکرار همان کار برای متوازی الاضلاع فایده ای ندارد. با این حال، هنگام کار با یک دانش آموز سطح متوسط ​​(فرمول برای دانش آموز ضعیف مفید نیست)، توصیه می شود معلم دقیقاً برعکس عمل کند. منشور را به حال خود رها کنید و یک اثبات دقیق برای متوازی الاضلاع انجام دهید.
3) ، حجم یکی از شش هرم مثلثی تشکیل دهنده متوازی الاضلاع کجاست.
4) اگر، پس

مساحت سطح جانبی یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است:
سطح کل یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است، یعنی مساحت + دو ناحیه قاعده: .

درباره کار یک معلم خصوصی با متوازی الاضلاع مایل:
یک معلم ریاضی اغلب روی مسائل مربوط به متوازی الاضلاع مایل کار نمی کند. احتمال حضور آنها در آزمون یکپارچه دولتی بسیار کم است و آموزش های آموزشی به طرز نامناسبی ضعیف است. یک مشکل کم و بیش مناسب در مورد حجم یک موازی پایه شیبدار مشکلات جدی مرتبط با تعیین محل نقطه H - پایه ارتفاع آن را ایجاد می کند. در این صورت می توان به معلم ریاضی توصیه کرد که متوازی الاضلاع را به یکی از شش اهرام آن (که در خاصیت شماره 3 مورد بحث قرار گرفته است) برش دهد، سعی کند حجم آن را پیدا کرده و در 6 ضرب کند.

اگر لبه کناری یک متوازی الاضلاع با اضلاع قاعده زوایای برابر داشته باشد، H روی نیمساز زاویه A قاعده ABCD قرار می گیرد. و اگر، برای مثال، ABCD یک لوزی است، پس

وظایف معلم خصوصی ریاضی:
1) وجه های یک متوازی الاضلاع با ضلع 2 سانتی متر و زاویه تند با یکدیگر برابر هستند. حجم متوازی الاضلاع را بیابید.
2) در یک متوازی الاضلاع مایل، لبه کناری 5 سانتی متر است. برش عمود بر آن چهار ضلعی است که مورب های آن عمود بر یکدیگر به طول های 6 سانتی متر و 8 سانتی متر است. حجم متوازی الاضلاع را محاسبه کنید.
3) در متوازی الاضلاع مایل مشخص می شود که و در ABCD قاعده لوزی با ضلع 2 سانتی متر و زاویه است. حجم متوازی الاضلاع را تعیین کنید.

معلم ریاضیات، الکساندر کولپاکوف

قضیه. در هر متوازی الاضلاع، وجوه متضاد برابر و موازی هستند.

بنابراین، وجوه (شکل) BB 1 C 1 C و AA 1 D 1 D موازی هستند، زیرا دو خط متقاطع BB 1 و B 1 C 1 از یک وجه موازی با دو خط متقاطع AA 1 و A 1 D 1 هستند. دیگری. این وجوه برابرند، زیرا B 1 C 1 = A 1 D 1، B 1 B = A 1 A (به عنوان اضلاع متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع) و ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

قضیه. در هر متوازی الاضلاع، هر چهار مورب در یک نقطه قطع می شوند و در آن به دو نیم می شوند.

بیایید (شکل) دو مورب را در موازی شکل، به عنوان مثال AC 1 و DB 1 در نظر بگیریم و خطوط مستقیم AB 1 و DC 1 را رسم کنیم.

از آنجایی که لبه های AD و B 1 C 1 به ترتیب برابر و موازی با لبه BC هستند، پس آنها با یکدیگر مساوی و موازی هستند.

در نتیجه، شکل ADC 1 B 1 متوازی الاضلاع است که در آن C 1 A و DB 1 مورب هستند و در متوازی الاضلاع قطرها به نصف یکدیگر را قطع می کنند.

این اثبات را می توان برای هر دو قطر تکرار کرد.

بنابراین، مورب AC 1 BD 1 را به نصف قطع می کند، مورب BD 1 A 1 C را به نصف قطع می کند.

بنابراین، تمام مورب ها به نصف و در نتیجه در یک نقطه قطع می شوند.

قضیه. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، مربع هر قطری برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن.

فرض کنید (شکل) AC 1 قطری از یک متوازی الاضلاع مستطیلی باشد.

با رسم AC، دو مثلث داریم: AC 1 C و ACB. هر دوی آنها مستطیل شکل هستند:

اولی چون متوازی الاضلاع مستقیم است و بنابراین لبه CC 1 عمود بر قاعده است،

دوم به این دلیل که متوازی الاضلاع مستطیل شکل است، به این معنی که یک مستطیل در قاعده آن وجود دارد.

از این مثلث ها می یابیم:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 و AC 2 = AB 2 + BC 2

بنابراین، AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

نتیجه. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، همه قطرها با هم برابر هستند.

یا (به طور معادل) چند وجهی با شش وجه متوازی الاضلاع. شش ضلعی.

متوازی الاضلاع تشکیل دهنده متوازی الاضلاع هستند لبه هااز این متوازی الاضلاع، اضلاع این متوازی الاضلاع هستند لبه های یک متوازی الاضلاع، و رئوس متوازی الاضلاع هستند قله ها متوازیالسطوح. در یک متوازی الاضلاع، هر صورت است متوازی الاضلاع.

به عنوان یک قاعده، هر 2 چهره مخالف شناسایی و فراخوانی می شود پایه های متوازی الاضلاعو چهره های باقی مانده - وجوه جانبی متوازی الاضلاع. لبه های متوازی الاضلاع که به پایه ها تعلق ندارند دنده های جانبی.

2 وجه از یک متوازی الاضلاع که دارای لبه مشترک هستند عبارتند از مجاورو آنهایی که لبه های مشترک ندارند - مقابل.

پاره ای که 2 راس را که به وجه 1 تعلق ندارند به هم وصل می کند موازی موازی.

طول لبه های یک متوازی الاضلاع مستطیلی که موازی نیستند هستند ابعاد خطی (اندازه گیری ها) متوازیالسطوح. یک متوازی الاضلاع مستطیلی دارای 3 بعد خطی است.

انواع موازی .

چند نوع موازی پایه وجود دارد:

مستقیممتوازی الاضلاع با لبه ای عمود بر صفحه قاعده است.

یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل که هر 3 بعد آن برابر است مکعب. هر یک از وجوه مکعب برابر است مربع ها .

هر موازی .حجم و نسبت ها در یک متوازی الاضلاع شیبدار عمدتاً با استفاده از جبر برداری تعیین می شوند. حجم یک متوازی الاضلاع برابر است با قدر مطلق حاصلضرب مخلوط 3 بردار که توسط 3 ضلع متوازی الاضلاع (که از یک راس منشأ می گیرند) تعیین می شود. رابطه بین طول اضلاع متوازی الاضلاع و زوایای بین آنها این جمله را نشان می دهد که تعیینگر گرم 3 بردار داده شده برابر است با مجذور حاصلضرب مخلوط آنها.

ویژگی های متوازی الاضلاع

• متوازی الاضلاع تقریباً در وسط قطر خود متقارن است.
• هر قطعه با انتهایی که متعلق به سطح یک متوازی الاضلاع است و از وسط قطر آن عبور می کند توسط آن به دو قسمت مساوی تقسیم می شود. تمام مورب های متوازی الاضلاع در نقطه 1 قطع می شوند و توسط آن به دو قسمت مساوی تقسیم می شوند.
• وجوه مخالف متوازی الاضلاع موازی و دارای ابعاد مساوی هستند.
• مربع طول مورب یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است با