انتگرال های پیچیده

این مقاله مبحث انتگرال نامشخص را کامل می کند و شامل انتگرال هایی است که به نظر من بسیار دشوار است. این درس با درخواست مکرر بازدیدکنندگان ایجاد شده است که آرزو می کنند نمونه های دشوارتر نیز در سایت تجزیه و تحلیل شود.

فرض بر این است که خواننده این متن به خوبی آماده شده است و می داند چگونه از تکنیک های اساسی ادغام استفاده کند. افراد ساختگی و افرادی که از انتگرال اطمینان زیادی ندارند باید به اولین درس مراجعه کنند - انتگرال نامعین. نمونه ای از راه حل ها، جایی که می توانید از ابتدا به مبحث مسلط شوید. دانشجویان باتجربه تر می توانند با تکنیک ها و روش های ادغام که در مقالات من هنوز برآورده نشده است آشنا شوند.

چه انتگرال در نظر گرفته خواهد شد؟

ابتدا ، انتگرال هایی را با ریشه در نظر خواهیم گرفت که برای حل آنها به طور پی در پی استفاده می کنیم جایگزینی متغیر و ادغام توسط قطعات... یعنی در یک مثال ، دو تکنیک به طور همزمان ترکیب می شوند. و حتی بیشتر.

سپس با یک جالب و اصلی آشنا خواهیم شد روش کاهش انتگرال به خودش... تعداد کمی از انتگرال ها به این روش حل می شوند.

شماره سوم برنامه به انتگرال کسرهای پیچیده اختصاص می یابد که در مقالات قبلی از گیشه گذشته اند.

چهارم ، انتگرال اضافی توابع مثلثاتی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. به طور خاص ، روش هایی وجود دارد که از جایگزینی مثلثاتی جهانی وقت گیر جلوگیری می کند.

(2) در یکپارچه ، عدد را بر اصطلاح مخرج به اصطلاح تقسیم می کنیم.

(3) ما از ویژگی خطی انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در آخرین انتگرال بلافاصله ما عملکرد را زیر علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.

(4) انتگرال های باقی مانده را بگیرید. توجه داشته باشید که از پرانتز می توان در لگاریتم استفاده کرد ، نه مدول ، زیرا.

(5) ما تعویض معکوس را انجام می دهیم ، از تعویض مستقیم "te" بیان می کنیم:

دانش آموزان مازوخیست می توانند جواب را از هم متمایز کنند و اصل اصلی را همانند من دریافت کنند. نه ، نه ، من چک را به معنای صحیح انجام دادم \u003d)

همانطور که می بینید ، در طول راه حل ، حتی بیش از دو روش راه حل باید مورد استفاده قرار گیرد ، بنابراین ، برای مقابله با چنین انتگرال ها ، مهارت های یکپارچه سازی مطمئن و کوچکترین تجربه لازم نیست.

البته در عمل ، ریشه مربع بیشتر رایج است ، در اینجا سه \u200b\u200bمثال برای یک راه حل مستقل آورده شده است:

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این مثالها از یک نوع هستند ، بنابراین راه حل کامل در انتهای مقاله فقط برای مثال 2 است ، در مثالهای 3-4 - یک پاسخ. فکر می کنم کدام جایگزینی در ابتدای راه حل ها استفاده شود ، واضح است. چرا نمونه هایی از همین نوع را انتخاب کردم؟ آنها اغلب در نقش خود با هم ملاقات می کنند. بیشتر اوقات ، شاید ، فقط چیزی شبیه به .

اما نه همیشه ، وقتی ریشه یک تابع خطی در زیر توابع باختی ، سینوس ، کسینوس ، توان و سایر توابع یافت می شود ، باید چندین روش به طور هم زمان اعمال شود. در تعدادی از موارد ، امکان "راحت پیاده شدن" وجود دارد ، یعنی بلافاصله پس از تعویض ، یک انتگرال ساده بدست می آید که به صورت ابتدایی گرفته می شود. ساده ترین کارهایی که در بالا پیشنهاد شد ، مثال 4 است که در آن ، پس از جایگزینی ، یک انتگرال نسبتاً ساده بدست می آید.

با کاهش انتگرال به خودش

روشی مبتکرانه و زیبا. بیایید بلافاصله نگاهی به کلاسیک های این سبک بیندازیم:

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک دوجمله ای مربعی زیر ریشه وجود دارد و هنگامی که می خواهید این مثال را ادغام کنید ، کتری می تواند ساعت ها رنج ببرد. چنین انتگرال را قطعه قطعه گرفته و به خود تقلیل می دهد. در اصل ، دشوار نیست. اگر می دانید چگونه.

اجازه دهید انتگرال مورد نظر را با یک حرف لاتین مشخص کنیم و راه حل را شروع کنیم:

ما قطعه به قطعه ادغام می شویم:

(1) تابع یکپارچه را برای تقسیم مدت آماده کنید.

(2) انتگرال را بر اساس مدت تقسیم می کنیم. شاید همه درک نکنند ، من با جزئیات بیشتری خواهم نوشت:

(3) ما از ویژگی خطی انتگرال نامعین استفاده می کنیم.

(4) آخرین انتگرال (لگاریتم "طولانی") را بگیرید.

اکنون به ابتدای راه حل نگاه می کنیم:

و در پایان:

چی شد؟ در نتیجه دستکاری های ما ، انتگرال به خود کاهش می یابد!

بیایید شروع و پایان را برابر کنیم:

با تغییر علامت به سمت چپ بروید:

و دیو را به سمت راست می بریم. در نتیجه:

دقیقاً باید ثابت را زودتر اضافه می کردیم ، اما در پایان اضافه می کردیم. من اکیداً توصیه می کنم موارد سختگیرانه را در اینجا بخوانید:

توجه داشته باشید: دقیق تر ، مرحله نهایی راه حل به شرح زیر است:

بدین ترتیب:

ثابت را می توان به عنوان دوباره طراحی کرد. چرا می توانید دوباره تعیین کنید؟ چون هنوز هم قبول می کند هر مقادیر ، و از این نظر هیچ تفاوتی بین ثابت ها و.
در نتیجه:

یک ترفند تغییر طراحی ثابت مشابه به طور گسترده ای در استفاده می شود معادلات دیفرانسیل... و در آنجا سختگیر خواهم شد. و در اینجا چنین آزادی فقط توسط من مجاز است تا شما را با موارد غیرضروری اشتباه نگیرم و بر روی روش ادغام تمرکز کنم.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک انتگرال معمول دیگر برای یک راه حل مستقل است. راه حل کامل و پاسخ در انتهای آموزش. تفاوت با جواب مثال قبل خواهد بود!

اگر یک مثلث مربع زیر ریشه مربع وجود داشته باشد ، در هر صورت محلول به دو مثال تحلیل شده کاهش می یابد.

به عنوان مثال ، انتگرال را در نظر بگیرید ... تمام کاری که شما باید انجام دهید پیش پرداخت است یک مربع کامل انتخاب کنید:
.
بعد ، یک جایگزینی خطی انجام می شود ، که با "بدون هیچ پیامدی" توزیع می شود:
، در نتیجه یک انتگرال است. چیزی آشنا ، درست است؟

یا چنین مثالی ، با دوجمله مربع:
یک مربع کامل انتخاب کنید:
و ، پس از جایگزینی خطی ، یک انتگرال به دست می آوریم که با توجه به الگوریتم در نظر گرفته شده نیز حل شده است.

دو نمونه معمولی دیگر از نحوه کاهش یک انتگرال به خود را در نظر بگیرید:
- انتگرال بیان ضرب در سینوس ؛
- انتگرال توان ضرب در کسینوس.

در انتگرال های ذکر شده توسط قطعات ، ما باید دو بار از قبل ادغام کنیم:

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید

Integrand نمایی است که در سینوس ضرب می شود.

ما دو بار با قطعات ادغام می شویم و انتگرال را به خود کاهش می دهیم:

در نتیجه ادغام مضاعف توسط قطعات ، انتگرال به خود کاهش می یابد. بیایید ابتدا و انتهای راه حل را برابر کنیم:

با تغییر علامت به سمت چپ بروید و انتگرال خود را بیان کنید:

انجام شده. در طول راه ، توصیه می شود که سمت راست را شانه کنید ، یعنی نماد را در خارج از براکت ها قرار دهید ، و در براکت ها سینوس و کسینوس را به ترتیب "خوب" مرتب کنید.

حالا بیایید به ابتدای مثال ، یا بهتر بگوییم به ادغام توسط قطعات برگردیم:

زیرا ما غرفه دار را تعیین کرده ایم. این س arال مطرح می شود که دقیقاً نماینده باید همیشه با مشخص شود؟ لازم نیست. در واقع ، در انتگرال در نظر گرفته شده اساساً فرقی نمی کنهچه چیزی را برای نشان دادن ، ممکن است به راه دیگری بروید:

چرا این امکان وجود دارد؟ از آنجا که نماینده به خود تبدیل می شود (هم در تمایز و هم در تلفیق) ، سینوس و کسینوس متقابل به یکدیگر تبدیل می شوند (دوباره ، هم در تمایز و هم در تلفیق).

یعنی می توانید یک تابع مثلثاتی را نیز تعیین کنید. اما ، در مثال در نظر گرفته شده ، این کمتر منطقی است ، زیرا کسری ظاهر می شود. در صورت تمایل می توانید به روش دوم این مثال را حل کنید ، پاسخ ها باید یکسان باشد.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این مثالی برای راه حل خودتان است. قبل از تصمیم گیری ، به این فکر کنید که در این حالت تعیین سود برای عملکرد ، توان یا مثلثات بیشتر است؟ راه حل کامل و پاسخ در انتهای آموزش.

و البته به خاطر داشته باشید که بیشتر پاسخ های این درس برای تمایز به اندازه کافی آسان هستند!

نمونه ها سخت ترین در نظر گرفته نشده اند. در عمل ، انتگرال ها بیشتر رایج هستند ، جایی که ثابت هم در نمایشگر است و هم در آرگومان تابع مثلثاتی ، به عنوان مثال:. بسیاری از افراد مجبور می شوند در چنین انتگرال گم شوند و من خودم اغلب گیج می شوم. واقعیت این است که احتمال وجود کسری در محلول بسیار زیاد است و از دست دادن چیزی با بی توجهی بسیار آسان است. علاوه بر این ، احتمال زیاد خطا در علائم وجود دارد ، توجه داشته باشید که نماینده دارای یک علامت منفی است ، و این مشکل اضافی را ایجاد می کند.

در مرحله آخر ، اغلب چیزی مانند موارد زیر به دست می آید:

حتی در پایان راه حل ، باید بسیار مراقب باشید و به طور شایسته با کسرها مقابله کنید:

ادغام کسرهای مرکب

کم کم داریم به خط استوا درس نزدیک می شویم و شروع به بررسی انتگرال کسرها می کنیم. باز هم ، همه آنها فوق العاده پیچیده نیستند ، فقط به یک دلیل یا دلیل دیگر ، مثالها در مقالات دیگر کمی "خارج از موضوع" بودند.

ادامه موضوع ریشه ها

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در مخرج زیر ریشه سه ضلعی مربع به علاوه خارج از ریشه "ضمائم" به شکل "x" است. یک انتگرال از این نوع با استفاده از یک تعویض استاندارد حل می شود.

ما تصمیم گرفتیم:

جایگزینی ساده است:

ما به زندگی پس از جایگزینی نگاه می کنیم:

(1) پس از جایگزینی ، اصطلاحات زیر ریشه را به یک مخرج مشترک می رسانیم.
(2) از زیر ریشه بیرون می آوریم.
(3) عدد و مخرج را با کاهش دهید. در همان زمان ، در زیر ریشه ، من اصطلاحات را به ترتیب راحت مرتب کردم. با داشتن برخی از تجربیات ، می توان با انجام کلامی اقدامات نظر داده شده ، مراحل (1) ، (2) را حذف کرد
(4) انتگرال حاصل ، همانطور که از درس به یاد دارید ادغام برخی کسرها، حل کرد روش انتخاب مربع کامل... یک مربع کامل انتخاب کنید.
(5) با ادغام ، یک لگاریتم معمولی "طولانی" بدست می آوریم.
(6) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم. اگر در ابتدا ، سپس بازگشت :.
(7) اقدام نهایی با مدل موی نتیجه انجام می شود: زیر ریشه ، ما دوباره اصطلاحات را به یک مخرج مشترک می رسانیم و آنها را از زیر ریشه بیرون می آوریم.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این مثالی برای راه حل خودتان است. در اینجا ، یک ثابت به X تنها اضافه شده است و جایگزینی آن تقریباً یکسان است:

تنها کاری که باید انجام شود علاوه بر این بیان "x" از جایگزین است:

راه حل کامل و پاسخ در انتهای آموزش.

گاهی اوقات در چنین انتگرال ممکن است یک دو جمله ای مربع زیر ریشه وجود داشته باشد ، این مسئله باعث تغییر محلول نمی شود ، حتی ساده تر خواهد بود. تفاوت را احساس کنید:

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید

جوابها و جوابهای مختصر در انتهای درس. لازم به ذکر است که مثال 11 دقیقاً است انتگرال دوجمله ایکه روش حل آن در درس در نظر گرفته شد انتگرال توابع غیر منطقی.

انتگرال چند جمله ای غیر قابل تجزیه درجه 2 در درجه

(چند جمله ای در مخرج)

نادرتر ، اما ، با این وجود ، در مثالهای عملی ، شکل انتگرال مشاهده می شود.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید

اما به مثال با عدد خوش شانس 13 برگردیم (صادقانه بگویم ، درست حدس نزدم). این انتگرال همچنین از دسته کسانی است که اگر نمی دانید چگونه آن را حل کنید ، تقریباً می توانید خود را عذاب دهید.

راه حل با یک تحول مصنوعی شروع می شود:

من فکر می کنم همه قبلاً درک کرده اند که چگونه عدد را با اصطلاح مخرج به اصطلاح تقسیم می کنند.

انتگرال حاصل قطعه به قطعه گرفته می شود:

برای یک انتگرال از فرم (یک عدد طبیعی است) ، ما مشتق شده ایم راجعه فرمول کاهش درجه:
جایی که - انتگرال درجه پایین تر.

اجازه دهید اعتبار این فرمول را برای انتگرال حل شده بررسی کنیم.
در این حالت: از فرمول استفاده می کنیم:

همانطور که مشاهده می کنید ، پاسخ ها یکسان است.

مثال 14

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این مثالی برای راه حل خودتان است. محلول نمونه دو مرتبه پشت سر هم از فرمول فوق استفاده می کند.

اگر تحت مدرک وجود دارد تجزیه ناپذیر مثلث مربع ، سپس با انتخاب یک مربع کامل ، محلول به دو جمله کاهش می یابد ، به عنوان مثال:

اگر یک چند جمله ای اضافی در شمارنده وجود داشته باشد ، چه می کنید؟ در این حالت ، از روش ضرایب تعریف نشده استفاده می شود و انتگرال به مجموع کسرها گسترش می یابد. اما در عمل من از چنین مثالی هرگز ملاقات، بنابراین من از این پرونده در مقاله صرف نظر کردم انتگرال های یک تابع منطقی کسری، اکنون از آن چشم پوشی می کنم. اگر هنوز چنین انتگرال وجود دارد ، به کتاب درسی مراجعه کنید - در آنجا همه چیز ساده است. من مناسب نمی دانم که مطالبی (حتی موارد ساده) را که احتمال ملاقات با آنها صفر است ، وارد کنم.

ادغام توابع مثلثاتی پیچیده

صفت "دشوار" برای اکثر مثالها مجدداً تا حد زیادی مشروط است. بیایید در درجه های بالا با تانژانت ها و لپه ها شروع کنیم. از نظر روشهای استفاده شده برای حل مماس و ملزم ، آنها تقریباً یکسان هستند ، بنابراین من بیشتر در مورد مماس صحبت خواهم کرد ، دلالت بر این دارد که روش نشان داده شده برای حل یکپارچه برای ملزوم نیز معتبر است.

در درس فوق ، ما نگاه کردیم تعویض مثلثاتی جهانی برای حل نوع خاصی از انتگرال توابع مثلثاتی. عیب جایگزینی مثلثاتی جهانی این است که هنگام استفاده از آن ، انتگرال های دست و پا گیر با محاسبات دشوار اغلب بوجود می آیند. و در بعضی موارد می توان از جایگزینی مثلثاتی جهانی جلوگیری کرد!

مثال متعارف دیگری را در نظر بگیرید ، انتگرال وحدت تقسیم بر سینوس:

مثال 17

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در اینجا می توانید از تعویض مثلثاتی عمومی استفاده کنید و جواب بگیرید ، اما یک راه منطقی تر وجود دارد. من برای هر مرحله یک راه حل کامل با نظرات ارائه می دهم:

(1) ما از فرمول مثلثاتی سینوسی دو زاویه استفاده می کنیم.
(2) ما یک تحول مصنوعی انجام می دهیم: در مخرج تقسیم و ضرب در.
(3) طبق فرمول معروف در مخرج ، کسر را به مماس تبدیل می کنیم.
(4) ما عملکرد را زیر علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.
(5) انتگرال را بگیرید.

چند مثال ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 18

انتگرال نامعین را پیدا کنید

نکته: اولین قدم استفاده از فرمول بازیگران است و اقدامات مشابه مثال قبلی را با دقت انجام دهید.

مثال 19

انتگرال نامعین را پیدا کنید

خوب ، این یک مثال بسیار ساده است.

در انتهای درس راه حل ها و پاسخ های کامل را بیان کنید.

من فکر می کنم اکنون هیچ کس با انتگرال مشکلی نخواهد داشت:
و غیره.

ایده پشت روش چیست؟ ایده این است که فقط با استفاده از تبدیل ها ، فرمول های مثلثاتی ، مماس ها و مشتقات تانژانت را در یکپارچه سازماندهی کنیم. یعنی ما در مورد جایگزینی صحبت می کنیم: ... در مثالهای 17-19 ، ما واقعاً این جایگزینی را اعمال کردیم ، اما انتگرال ها آنقدر ساده بودند که موضوع با یک عمل معادل درمان شد - عملکرد را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید.

همانطور که قبلاً ذکر کردم ، استدلال مشابهی می تواند برای گیاه ماده گیاهی انجام شود.

همچنین یک پیش نیاز رسمی برای استفاده از جایگزین فوق وجود دارد:

مجموع قدرت کسینوس و سینوس حتی یک عدد صحیح منفی است، به عنوان مثال:

برای یک انتگرال - یک عدد صحیح منفی حتی شماره.

! توجه داشته باشید اگر integrand حاوی فقط سینوس یا فقط کسینوس باشد ، انتگرال نیز برای یک درجه عجیب و غریب منفی در نظر گرفته می شود (ساده ترین موارد در مثال های شماره 17 ، 18 است).

برای این قانون چند کار معنی دار تر در نظر بگیرید:

مثال 20

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مجموع قدرت سینوس و کسینوس: 2 - 6 \u003d –4 یک عدد صحیح منفی است ، حتی به این معنی که انتگرال را می توان به مماس و مشتق آن تقلیل داد:

(1) تبدیل مخرج.
(2) طبق فرمول معروف ، ما بدست می آوریم.
(3) تبدیل مخرج.
(4) ما از فرمول استفاده می کنیم .
(5) عملکرد را زیر علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.
(6) ما جایگزینی را انجام می دهیم. دانش آموزان با تجربه تر ممکن است جایگزینی را انجام ندهند ، اما هنوز هم بهتر است که مماس را با یک حرف جایگزین کنید - خطر سردرگمی کمتر است.

مثال 21

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این مثالی برای راه حل خودتان است.

نگه دارید ، دورهای قهرمان شروع می شود \u003d)

اغلب در مجتمع داخلی "hodgepodge" وجود دارد:

مثال 22

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این انتگرال در ابتدا شامل یک مماس است ، که بلافاصله یک تفکر آشنا را القا می کند:

تحولات مصنوعی در همان ابتدای کار و بقیه مراحل را بدون نظر می گذارم ، زیرا همه چیز قبلاً در بالا بحث شد.

چند مثال خلاقانه برای راه حل خود:

مثال 23

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 24

انتگرال نامعین را پیدا کنید

بله ، البته در آنها ، می توانید درجه سینوس ، کسینوس را پایین بیاورید ، از جایگزینی مثلثاتی جهانی استفاده کنید ، اما اگر آن را از طریق مماس ترسیم کنید ، راه حل بسیار کارآمدتر و کوتاهتر خواهد بود. جواب و جواب کامل در پایان درس

آیا به دنبال x root of x antiderivative هستید؟ ... یک راه حل دقیق همراه با توضیحات و توضیحات به شما کمک می کند حتی با سخت ترین مشکل کنار بیایید و انتگرال از ریشه x نیز از این قاعده مستثنی نیست. ما به شما کمک می کنیم تا برای انجام تکالیف درسی ، آزمون ها ، مسابقات المپیاد و همچنین ورود به دانشگاه آماده شوید. و هر مثال ، هر پرسش ریاضی را که وارد کنید ، ما در حال حاضر یک راه حل داریم. به عنوان مثال ، "x ریشه x antiderivative است."

استفاده از مسائل مختلف ریاضی ، ماشین حساب ها ، معادلات و توابع در زندگی ما گسترده است. از آنها در بسیاری از محاسبات ، ساخت ساختمان و حتی ورزش استفاده می شود. انسان از ریاضیات در دوران باستان استفاده می کرد و از آن زمان به بعد استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. با این حال ، اکنون علم ساکن نیست و ما می توانیم از ثمرات فعالیت های آن لذت ببریم ، به عنوان مثال ، یک ماشین حساب آنلاین که می تواند مسائلی از جمله x را حل کند ، یک ریشه x antiderivative ، یک انتگرال از ریشه x ، انتگرال ریشه x ، انتگرال ریشه مربع ، ریشه انتگرال 1 x 2 ، ریشه انتگرال x ، ریشه انتگرال x 2 1 ، ریشه انتگرال x ، انتگرال ریشه ، انتگرال ریشه x ، انتگرال مربع ریشه ، انتگرال ریشه ، انتگرال ریشه x ، انتگرال با ریشه ، ریشه x انتگرال ، ریشه x antiderivative ، root x x انتگرال ، ریشه x antiderivative ، ضد ریشه 3 ریشه x ، antiderivative x root x ، antiderivative of ریشه x ، ضد ریشه x ، antiderivative x ، antiderivative a root x ، antiderivative of a root ، antiderivative of a root of x، antiderivative of a root of x، antiderivative of a root، an antiderivative of a ریشه x ، آنتی ویروسی از ریشه x. در این صفحه یک ماشین حساب پیدا خواهید کرد که به شما کمک می کند هر س anyالی از جمله ریشه x ماده ضدزوجی را حل کنید. (به عنوان مثال ، انتگرال از ریشه x).

از کجا می توانید مشکلی در ریاضیات و همچنین x root x antiderivative Online را حل کنید؟

می توانید مشکل x root x antiderivative را در وب سایت ما حل کنید. یک حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد در عرض چند ثانیه یک مشکل آنلاین با هر پیچیدگی را حل کنید. تمام کاری که شما باید انجام دهید اینست که فقط داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید یک دستورالعمل ویدئویی تماشا کنید و دریابید که چگونه وظیفه خود را به درستی در وب سایت ما وارد کنید. و اگر هنوز سوالی دارید ، می توانید آنها را در گپ پایین سمت چپ صفحه ماشین حساب بپرسید.

تعریف عملکرد ضد تولید

• تابع y \u003d F (x)ضد سازنده عملکرد نامیده می شود y \u003d f (x) در یک بازه مشخص ایکس،اگر برای همه باشد ایکس ∈ ایکس برابری برقرار است: F ′ (x) \u003d f (x)

به دو روش قابل خواندن است:

1. f مشتق یک تابع F
2. F ضد اشتقاق برای عملکرد f

خاصیت داروهای ضد اشتها

• اگر یک F (x)- ضد عملکرد برای عملکرد f (x) در یک بازه معین ، تابع f (x) بی نهایت ضد ویروسی زیادی دارد ، و همه این ضد ضدها را می توان به صورت زیر نوشت: F (x) + C، جایی که C یک ثابت دلخواه است.

تفسیر هندسی

• نمودارهای تمام آنتی ویروس های یک عملکرد معین f (x) با استفاده از ترجمه های موازی در امتداد محور O از نمودار هر یک از آنتی ویروس ها بدست می آیند در.

قوانین محاسبه آنتی ویروس ها

1. ضریب جمع برابر است با مجموع آنتی ویروس ها... اگر یک F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)، و G (x) ضد اشتها برای است g (x)سپس F (x) + G (x) - ضد اشتقاق برای f (x) + g (x).
2. عامل ثابت را می توان به خارج از علامت مشتق منتقل کرد... اگر یک F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)، و ک - ثابت ، پس k F (x) - ضد اشتقاق برای k f (x).
3. اگر یک F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)، و k ، b - علاوه بر این ، دائمی k ≠ 0سپس 1 / k F (kx + b) - ضد اشتقاق برای f (kx + b).

یاد آوردن!

هر عملکردی F (x) \u003d x 2 + C ، جایی که C یک ثابت دلخواه است ، و فقط چنین تابعی ضد اشتقاق عملکرد است f (x) \u003d 2 برابر.

• برای مثال:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x) ؛

  f (x) \u003d 2x ، از آنجا که F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x) ؛

  f (x) \u003d 2x ، از آنجا که F "(x) \u003d (х 2 –3)" \u003d 2x \u003d f (x) ؛

رابطه بین نمودارهای یک تابع و ضد اشتقاق آن:

1. اگر نمودار تابع باشد f (x)\u003e 0 در فاصله ، سپس نمودار آنتی ویروس آن F (x) در این فاصله افزایش می یابد.
2. اگر نمودار تابع باشد f (x) بر روی فاصله ، سپس نمودار آنتی ویروس آن F (x) در این فاصله کاهش می یابد.
3. اگر یک f (x) \u003d 0، نمودار آنتی ویروس آن است F (x) در این مرحله از افزایش به کاهش (یا بالعکس) تغییر می کند.

برای نشان دادن ضد اشتقاق ، از علامت انتگرال نامعین استفاده می شود ، یعنی یک انتگرال بدون نشان دادن حدود ادغام.

انتگرال نامعین

تعریف:

• انتگرال نامعین یک تابع f (x) عبارت F (x) + C است ، یعنی مجموعه تمام ضد مشتقات یک تابع معین f (x). انتگرال نامعین به صورت زیر مشخص می شود: \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C

• f (x)- integrand نامیده می شود.
• f (x) dx- integrand نامیده می شود.
• ایکس - متغیر ادغام نامیده می شود.
• F (x) - یکی از آنتی ویروس های عملکرد f (x) ؛
• از جانب یک ثابت دلخواه است.

خواص انتگرال نامشخص

1. مشتق انتگرال نامشخص برابر است با انتگرال: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. عامل ثابت یکپارچه را می توان خارج از علامت انتگرال گرفت: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. انتگرال حاصل جمع (اختلاف) توابع برابر است با مجموع (اختلاف) انتگرال این توابع: \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
4. اگر یک k ، bثابت هستند ، و k ≠ 0 ، بنابراین \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot F (kx + b) + C.

جدول آنتی ویروس ها و انتگرال های نامعین

تابع f (x)	ضد اشتقاق F (x) + C	انتگرال نامشخص \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C
0	ج	\\ int 0 dx \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + C	\\ int kdx \u003d kx + C
f (x) \u003d x ^ m ، m \\ not \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + C	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + C
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C
f (x) \u003d \\ sin x	F (x) \u003d - \\ cos x + C	\\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ sin x + C	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctan x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + C	\\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \\ not \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C

فرمول نیوتن-لایب نیتس

بگذار f (x) تابع داده شده ، F آنتی ویروس خودسرانه آن است.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - F (a)

جایی که F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)

یعنی انتگرال تابع f (x) در فاصله برابر است با اختلاف داروهای ضد اشتعال در نقاط ب و آ.

ناحیه ذوزنقه ای منحنی

ذوزنقه منحنی یک شکل است که توسط نمودار یک تابع غیر منفی و مداوم روی یک بخش محدود شده است f، محور Ox و خطوط مستقیم x \u003d یک و x \u003d ب.

سطح یک ذوزنقه خمیده با فرمول نیوتن-لایب نیتس یافت می شود:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx