En kropps rörelse under påverkan av gravitationen: definition, formler. Kropparnas rörelse under inverkan av tyngdkraften Tyngdkraftens beroende av kropparnas massa.

Verkan av universella gravitationskrafter i naturen förklarar många fenomen: planeternas rörelse i solsystemet, jordens konstgjorda satelliter, flygbanorna för ballistiska missiler, rörelsen av kroppar nära jordens yta - alla förklaras på grundval av lagen om universell gravitation och dynamikens lagar.

Tyngdlagen förklarar solsystemets mekaniska struktur, och Keplers lagar som beskriver planetrörelsens banor kan härledas från den. För Kepler var hans lagar rent beskrivande - vetenskapsmannen sammanfattade helt enkelt sina observationer i matematisk form, utan att ge några teoretiska grunder för formlerna. I världsordningens stora system enligt Newton blir Keplers lagar en direkt konsekvens av mekanikens universella lagar och den universella gravitationens lag. Det vill säga, vi observerar återigen hur empiriska slutsatser som erhållits på en nivå förvandlas till strikt underbyggda logiska slutsatser när vi går till nästa steg av fördjupning av vår kunskap om världen.

Newton var den förste som uttryckte idén att gravitationskrafter inte bara bestämmer rörelsen av solsystemets planeter; de verkar mellan alla kroppar i universum. En av manifestationerna av den universella gravitationskraften är tyngdkraften - detta är det vanliga namnet för kropparnas attraktionskraft mot jorden nära dess yta.

Om M är jordens massa, RЗ är dess radie, m är massan av en given kropp, då är tyngdkraften lika med

där g är accelerationen av fritt fall;

nära jordens yta

Tyngdkraften är riktad mot jordens centrum. I frånvaro av andra krafter faller kroppen fritt till jorden med tyngdaccelerationen.

Medelvärdet för accelerationen på grund av gravitationen för olika punkter på jordens yta är 9,81 m/s2. Genom att känna till tyngdaccelerationen och jordens radie (RЗ = 6,38·106 m), kan vi beräkna jordens massa

Den bild av solsystemets struktur som följer av dessa ekvationer och kombinerar jordisk och himmelsk gravitation kan förstås med ett enkelt exempel. Anta att vi står vid kanten av en skir klippa, bredvid en kanon och en hög med kanonkulor. Om du helt enkelt tappar en kanonkula vertikalt från kanten av en klippa, kommer den att börja falla ner vertikalt och jämnt accelererat. Dess rörelse kommer att beskrivas av Newtons lagar för likformigt accelererad rörelse av en kropp med acceleration g. Om du nu skjuter en kanonkula mot horisonten kommer den att flyga och falla i en båge. Och i det här fallet kommer dess rörelse att beskrivas av Newtons lagar, bara nu tillämpas de på en kropp som rör sig under påverkan av gravitationen och har en viss initial hastighet i horisontalplanet. Nu, när du laddar kanonen med allt tyngre kanonkulor och skjuter om och om igen, kommer du att upptäcka att när varje på varandra följande kanonkula lämnar pipan med en högre initial hastighet, faller kanonkulorna längre och längre från klippans bas.

Föreställ dig nu att vi har packat så mycket krut i en kanon att hastigheten på kanonkulan räcker för att flyga jorden runt. Om vi ​​försummar luftmotståndet kommer kanonkulan, efter att ha flugit runt jorden, återgå till sin startpunkt med exakt samma hastighet som den först flög ut ur kanonen. Vad som kommer att hända härnäst är klart: kärnan kommer inte att stanna där och kommer att fortsätta att slingra sig cirkel efter cirkel runt planeten.

Med andra ord kommer vi att få en konstgjord satellit som kretsar runt jorden, som en naturlig satellit - Månen.

Så, steg för steg, gick vi från att beskriva rörelsen hos en kropp som enbart faller under påverkan av "jordisk" gravitation (Newtons äpple) till att beskriva rörelsen hos en satellit (Månen) i omloppsbana, utan att ändra karaktären av gravitationen inflytande från "jordiskt" till "himmelskt". Det var denna insikt som gjorde det möjligt för Newton att koppla samman de två gravitationskrafterna som ansågs olika till sin natur före honom.

När vi rör oss bort från jordens yta ändras tyngdkraften och tyngdaccelerationen i omvänd proportion till kvadraten på avståndet r till jordens centrum. Ett exempel på ett system med två samverkande kroppar är jord-månesystemet. Månen ligger på ett avstånd från jorden rL = 3,84·106 m. Detta avstånd är ungefär 60 gånger jordens radie RЗ. Följaktligen är accelerationen av fritt fall aL, på grund av gravitationen, i månens omloppsbana

Med en sådan acceleration riktad mot jordens centrum rör sig månen i omloppsbana. Därför är denna acceleration centripetalacceleration. Det kan beräknas med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration

där T = 27,3 dagar är månens rotationsperiod runt jorden.

Sammanträffandet av resultaten av beräkningar utförda på olika sätt bekräftar Newtons antagande om den enda karaktären hos den kraft som håller månen i omloppsbana och tyngdkraften.

Månens eget gravitationsfält bestämmer gravitationsaccelerationen gL på dess yta. Månens massa är 81 gånger mindre än jordens massa och dess radie är ungefär 3,7 gånger mindre än jordens radie.

Därför kommer accelerationen gЛ att bestämmas av uttrycket

Astronauterna som landade på månen befann sig i förhållanden med så svag gravitation. En person under sådana förhållanden kan göra stora språng. Till exempel, om en person på jorden hoppar till en höjd av 1 m, kan han hoppa till en höjd av mer än 6 m på månen.

Låt oss överväga frågan om konstgjorda jordsatelliter. Jordens konstgjorda satelliter rör sig utanför jordens atmosfär, och de påverkas endast av gravitationskrafter från jorden.

Beroende på den initiala hastigheten kan en kosmisk kropps bana vara annorlunda. Låt oss betrakta fallet med en konstgjord satellit som rör sig i en cirkulär jordbana. Sådana satelliter flyger på höjder av storleksordningen 200–300 km, och avståndet till jordens centrum kan ungefär tas vara lika med dess radie RЗ. Då är centripetalaccelerationen för satelliten som tilldelas den av gravitationskrafter ungefär lika med gravitationsaccelerationen g. Låt oss beteckna satellitens hastighet i låg omloppsbana om jorden med υ1 - denna hastighet kallas den första kosmiska hastigheten. Med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration får vi

Med en sådan hastighet skulle satelliten cirkla runt jorden i tid

Faktum är att rotationsperioden för en satellit i en cirkulär bana nära jordens yta är något längre än det angivna värdet på grund av skillnaden mellan radien för den faktiska omloppsbanan och jordens radie. En satellits rörelse kan ses som ett fritt fall, liknande rörelsen hos projektiler eller ballistiska missiler. Den enda skillnaden är att satellitens hastighet är så hög att krökningsradien för dess bana är lika med jordens radie.

För satelliter som rör sig längs cirkulära banor på ett betydande avstånd från jorden, försvagas jordens gravitation i omvänd proportion till kvadraten på banans radie r. Således är hastigheten för satelliter i höga omloppsbanor mindre än i låg omloppsbana om jorden.

Satellitens omloppsperiod ökar med ökande omloppsradie. Det är lätt att beräkna att med en omloppsradie r lika med cirka 6,6 RЗ, kommer satellitens omloppsperiod att vara lika med 24 timmar. En satellit med en sådan omloppsperiod, uppskjuten i ekvatorialplanet, kommer att hänga orörlig över en viss punkt på jordens yta. Sådana satelliter används i rymdradiokommunikationssystem. En bana med radien r = 6,6 RЗ kallas geostationär.

Den andra kosmiska hastigheten är den lägsta hastighet som måste tilldelas en rymdfarkost på jordens yta så att den, efter att ha övervunnit gravitationen, förvandlas till en artificiell satellit för solen (konstgjord planet). I det här fallet kommer skeppet att röra sig bort från jorden längs en parabolisk bana.

Figur 5 illustrerar utrymningshastigheter. Om rymdfarkostens hastighet är lika med υ1 = 7,9·103 m/s och är riktad parallellt med jordens yta, kommer skeppet att röra sig i en cirkulär bana på låg höjd över jorden. Vid initiala hastigheter som överstiger υ1 men lägre än υ2 = 11,2·103 m/s, kommer fartygets bana att vara elliptisk. Vid en initial hastighet på υ2 kommer fartyget att röra sig längs en parabel, och med en ännu högre initialhastighet, längs en hyperbel.

Kosmiska hastigheter

Hastigheterna nära jordens yta anges: 1) υ = υ1 – cirkulär bana;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – parabolisk bana; 5) υ > υ2 – hyperbolisk bana;

6) Månens bana

Således fick vi reda på att alla rörelser i solsystemet följer Newtons lag om universell gravitation.

Baserat på den lilla massan av planeterna, och särskilt andra kroppar i solsystemet, kan vi ungefär anta att rörelser i det cirkumsolära rymden följer Keplers lagar.

Alla kroppar rör sig runt solen i elliptiska banor, med solen i ett av fokuserna. Ju närmare en himlakropp är solen, desto snabbare är dess omloppshastighet (planeten Pluto, den mest avlägsna kända, rör sig 6 gånger långsammare än jorden).

Kroppar kan också röra sig i öppna banor: parabel eller hyperbel. Detta händer om kroppens hastighet är lika med eller överstiger värdet av den andra kosmiska hastigheten för solen på ett givet avstånd från den centrala kroppen. Om vi ​​talar om en planets satellit, måste flykthastigheten beräknas i förhållande till planetens massa och avståndet till dess centrum.

Gravitation, även känd som attraktion eller gravitation, är en universell egenskap hos materia som alla föremål och kroppar i universum besitter. Tyngdkraftens väsen är att alla materiella kroppar attraherar alla andra kroppar runt dem.

Jordens gravitation

Om gravitation är ett allmänt begrepp och kvalitet som alla objekt i universum besitter, så är gravitationen ett specialfall av detta omfattande fenomen. Jorden drar till sig alla materiella föremål som finns på den. Tack vare detta kan människor och djur säkert röra sig över jorden, floder, hav och hav kan stanna kvar inom sina stränder, och luften kan inte flyga över rymdens stora vidder, utan bilda atmosfären på vår planet.

En rättvis fråga uppstår: om alla föremål har gravitation, varför lockar jorden människor och djur till sig själv, och inte vice versa? För det första lockar vi också jorden till oss, det är bara det att, jämfört med dess attraktionskraft, är vår gravitation försumbar. För det andra beror tyngdkraften direkt på kroppens massa: ju mindre kroppen är, desto lägre är dess gravitationskrafter.

Den andra indikatorn som attraktionskraften beror på är avståndet mellan föremålen: ju större avståndet är, desto mindre blir gravitationseffekten. Tack vare detta rör sig planeterna i sina banor och faller inte på varandra.

Det är anmärkningsvärt att jorden, månen, solen och andra planeter har sin sfäriska form just på grund av tyngdkraften. Den verkar i riktning mot mitten och drar mot sig den substans som utgör planetens "kropp".

Jordens gravitationsfält

Jordens gravitationsfält är ett kraftenergifält som bildas runt vår planet på grund av verkan av två krafter:

• allvar;
• centrifugalkraften, som har sitt utseende till följd av jordens rotation runt sin axel (dygnsrotation).

Eftersom både gravitation och centrifugalkraft verkar konstant är gravitationsfältet ett konstant fenomen.

Fältet påverkas något av gravitationskrafterna från solen, månen och några andra himlakroppar, såväl som jordens atmosfäriska massor.

Den universella gravitationens lag och Sir Isaac Newton

Den engelske fysikern, Sir Isaac Newton, enligt en berömd legend, såg han en dag när han gick i trädgården under dagen, månen på himlen. Samtidigt föll ett äpple från grenen. Newton studerade då rörelselagen och visste att ett äpple faller under påverkan av ett gravitationsfält och att månen roterar i omloppsbana runt jorden.

Och sedan kom den lysande vetenskapsmannen, upplyst av insikt, på idén att kanske äpplet faller till marken, lyder samma kraft tack vare som månen är i sin bana och inte rusar slumpmässigt genom galaxen. Detta är hur lagen om universell gravitation, även känd som Newtons tredje lag, upptäcktes.

På språket för matematiska formler ser denna lag ut så här:

F=GMm/D 2 ,

Där F- den ömsesidiga tyngdkraften mellan två kroppar;

M- massan av den första kroppen;

m- massan av den andra kroppen;

D 2- avståndet mellan två kroppar;

G- gravitationskonstant lika med 6,67x10 -11.

Enligt Newtons andra lag är förutsättningen för rörelsens konfiguration, med andra ord förutsättningen för kropparnas acceleration, kraft. Mekanik handlar om krafter av olika fysisk natur. Många mekaniska fenomen och processer bestäms av krafternas inverkan allvar. Den globala gravitationens lag upptäcktes av I. Newton 1682. Redan 1665 föreslog 23-årige Newton att de krafter som håller månen i sin bana är av samma karaktär som de krafter som får ett äpple att falla till jorden. Enligt hans gissning finns det mellan universums alla kroppar attraktionskrafter (gravitationskrafter) riktade längs remsan som förbinder masscentra(Fig. 1.10.1). För en kropp i form av en homogen boll sammanfaller tyngdpunkten med bollens centrum.

Under de följande åren försökte Newton hitta en fysisk förklaring till lagar för planetrörelse, upptäcktes av astrologen J. Kepler i början av 1600-talet, och ger ett kvantitativt uttryck för gravitationskrafter. Newton visste hur planeterna rör sig och ville ta reda på vilka krafter som verkar på dem. Denna väg kallas problem med omvänd mekanik. Om mekanikens huvuduppgift är att bestämma koordinaterna för en kropp med känd massa och dess hastighet vid varje tidpunkt baserat på kända krafter som verkar på kroppen och givna initiala förhållanden ( enkelt mekanikproblem), då när du löser ett omvänt problem måste du hitta krafterna som verkar på kroppen, om det är tydligt hur den rör sig. Lösningen på detta problem ledde Newton till upptäckten av lagen om global gravitation. Alla kroppar attraheras av varandra med en kraft som är direkt proportionell mot deras massor och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan dem:

Proportionalitetskoefficienten G är likartad för alla kroppar i naturen. Han kallas gravitationskonstant

Många fenomen i naturen förklaras av verkan av globala gravitationskrafter. Rörelsen av planeter i solsystemet, rörelsen av jordens konstgjorda satelliter, flyglinjerna för ballistiska missiler, rörelsen av kroppar nära jordens yta - alla dessa fenomen förklaras på grundval av lagen om global gravitation och dynamikens lagar. En av manifestationerna av den globala gravitationskraften är allvar. Detta är det vanliga namnet för kropparnas attraktionskraft mot jorden nära dess yta. Om M är jordens massa, RЗ är dess radie, m är massan av en given kropp, då är tyngdkraften lika med

där g - gravitationsacceleration vid jordens yta:

Tyngdkraften är orienterad mot jordens centrum. I frånvaro av andra krafter faller kroppen fritt mot jorden med tyngdaccelerationen. Medelvärdet för accelerationen på grund av gravitationen för olika punkter på jordens yta är 9,81 m/s2. Genom att känna till tyngdaccelerationen och jordens radie (RЗ = 6,38·106 m), kan vi beräkna jordens massa M:

När vi rör oss bort från jordens yta ändras tyngdkraften och tyngdaccelerationen bakåt i proportion till kvadraten på avståndet r till jordens centrum. Ris. 1.10.2 illustrerar förändringen i gravitationskraften som verkar på en astronaut i ett rymdskepp när han rör sig bort från jorden. Kraften med vilken astronauten attraheras av jorden nära dess yta antas vara 700 N.

Ett exempel på ett system med två samverkande kroppar är jord-månesystemet. Månen ligger på ett avstånd från jorden rЛ = 3,84·106 m. Detta avstånd är ungefär 60 gånger större än jordens radie RЗ. Som följer är gravitationsaccelerationen aL, på grund av gravitationen, i månens omloppsbana

Med en sådan acceleration riktad mot jordens centrum rör sig månen i omloppsbana. Som följer är denna acceleration centripetalacceleration. Det kan beräknas med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration (se §1.6):

där T = 27,3 dagar är perioden för månens bana runt jorden. Sammanträffandet av resultaten av beräkningar utförda med olika metoder bekräftar Newtons antagande om den enda karaktären hos den kraft som håller månen i omloppsbana och tyngdkraften. Månens eget gravitationsfält bestämmer gravitationsaccelerationen gL på dess yta. Månens massa är 81 gånger mindre än jordens massa och dess radie är ungefär 3,7 gånger mindre än jordens radie. Därför kommer accelerationen gА att bestämmas av uttrycket:

Astronauterna som landade på månen befann sig i förhållanden med så svag gravitation. En person under sådana förhållanden kan göra enorma hopp. Till exempel, om en person på jorden hoppar till en höjd av 1 m, kan han på månen hoppa till en höjd av mer än 6 m. Låt oss nu överväga frågan om konstgjorda jordsatelliter. Konstgjorda satelliter rör sig utanför jordens atmosfär, och påverkas endast av gravitationskrafter från jorden. Beroende på starthastigheten kan den galaktiska kroppens rörelselinje vara olika (se §1.24). Vi kommer här endast att betrakta fallet med en konstgjord satellit som rör sig radiellt nära jorden bana. Sådana satelliter flyger på höjder av storleksordningen 200-300 km, och avståndet till jordens centrum kan ungefär tas vara lika med dess radie RЗ. Då är centripetalaccelerationen för satelliten som tilldelas den av gravitationskrafter ungefär lika med gravitationsaccelerationen g. Låt oss beteckna satellitens hastighet i låg omloppsbana om jorden som υ1. Denna hastighet kallas första kosmiska hastigheten. Med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration (se §1.6) får vi:

Om satelliten rör sig med en sådan hastighet, skulle satellitens omloppsbana i en radiell omloppsbana nära jordens yta något överskrida det angivna värdet på grund av skillnaden mellan den faktiska omloppsbanan och den. jordens radie. Satellitens rörelse kan betraktas som fritt fall, liknande rörelsen av projektiler eller ballistiska missiler. Skillnaden ligger enbart i det faktum att satellitens hastighet är så hög att krökningsradien för dess rörelselinje är lika med jordens radie. För satelliter som rör sig längs radiella banor på ett betydande avstånd från jorden, försvagas jordens gravitation bakåt i proportion till kvadraten på radien r för rörelselinjen. Satellithastigheten υ hittas från tillståndet

Således är hastigheten för satelliter i stora banor mindre än i låg omloppsbana om jorden. Anropsperioden T för en sådan satellit är lika med

Här är T1 perioden för satellitens anrop i låg omloppsbana om jorden. Satellitens anropsperiod ökar med ökande omloppsradie. Det är lätt att beräkna att med en omloppsradie r lika med ungefär 6,6RZ kommer satellitanropsperioden att vara lika med 24 timmar. En satellit med en sådan anropsperiod, uppskjuten i ekvatorialplanet, kommer att sväva orörligt över en viss punkt på jordens yta. Sådana satelliter används i kosmiska radiokommunikationssystem. En bana med radien r = 6,6R3 kallas geostationär.

DEFINITION

Den universella gravitationens lag upptäcktes av I. Newton:

Två kroppar attraherar varandra med , direkt proportionell mot deras produkt och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan dem:

Beskrivning av lagen om universell gravitation

Koefficienten är gravitationskonstanten. I SI-systemet har gravitationskonstanten betydelsen:

Denna konstant, som kan ses, är mycket liten, därför är gravitationskrafterna mellan kroppar med små massor också små och praktiskt taget inte märkbara. Kosmiska kroppars rörelse bestäms dock helt av gravitationen. Närvaron av universell gravitation eller, med andra ord, gravitationsinteraktion förklarar vad jorden och planeterna "understöds" av, och varför de rör sig runt solen längs vissa banor och inte flyger bort från den. Lagen om universell gravitation tillåter oss att bestämma många egenskaper hos himlakroppar - massorna av planeter, stjärnor, galaxer och till och med svarta hål. Denna lag gör det möjligt att beräkna planeternas banor med stor noggrannhet och skapa en matematisk modell av universum.

Med hjälp av lagen om universell gravitation kan kosmiska hastigheter också beräknas. Till exempel är den lägsta hastighet med vilken en kropp som rör sig horisontellt ovanför jordens yta inte kommer att falla på den, utan kommer att röra sig i en cirkulär bana 7,9 km/s (första flykthastighet). För att lämna jorden, d.v.s. för att övervinna sin gravitationsattraktion måste kroppen ha en hastighet på 11,2 km/s (andra flykthastighet).

Tyngdkraften är ett av de mest fantastiska naturfenomenen. I frånvaro av gravitationskrafter skulle universums existens inte ens kunna uppstå. Tyngdkraften är ansvarig för många processer i universum - dess födelse, existensen av ordning istället för kaos. Tyngdkraftens natur är fortfarande inte helt klarlagd. Hittills har ingen kunnat utveckla en anständig mekanism och modell för gravitationsinteraktion.

Allvar

Ett specialfall av manifestationen av gravitationskrafter är gravitationskraften.

Tyngdkraften är alltid riktad vertikalt nedåt (mot jordens centrum).

Om tyngdkraften verkar på en kropp, så gör kroppen det. Typen av rörelse beror på riktningen och storleken på den initiala hastigheten.

Vi möter effekterna av gravitationen varje dag. , efter ett tag befinner han sig på marken. Boken, släppt från händerna, ramlar ner. Efter att ha hoppat flyger en person inte ut i rymden utan faller ner till marken.

Med tanke på det fria fallet av en kropp nära jordens yta som ett resultat av denna kropps gravitationsinteraktion med jorden, kan vi skriva:

varifrån kommer accelerationen av fritt fall:

Tyngdaccelerationen beror inte på kroppens massa, utan beror på kroppens höjd över jorden. Globen är något tillplattad vid polerna, så kroppar som ligger nära polerna är belägna lite närmare jordens centrum. I detta avseende beror tyngdaccelerationen på områdets latitud: vid polen är den något större än vid ekvatorn och andra breddgrader (vid ekvatorn m/s, vid nordpolens ekvator m/s.

Samma formel låter dig hitta tyngdaccelerationen på ytan av vilken planet som helst med massa och radie.

Exempel på problemlösning

EXEMPEL 1 (problem med att "väga" jorden)

Utöva	Jordens radie är km, tyngdaccelerationen på planetens yta är m/s. Med hjälp av dessa data uppskattar du ungefär jordens massa.
Lösning	Tyngdacceleration på jordens yta: var kommer jordens massa ifrån: I C-systemet, jordens radie m. Genom att ersätta numeriska värden av fysiska kvantiteter i formeln uppskattar vi jordens massa:
Svar	Jordmassa kg.

EXEMPEL 2

Utöva

En jordsatellit rör sig i en cirkulär bana på en höjd av 1000 km från jordens yta. Med vilken hastighet rör sig satelliten? Hur lång tid tar det för satelliten att göra ett varv runt jorden?

Lösning

Enligt , är kraften som verkar på satelliten från jorden lika med produkten av satellitens massa och accelerationen med vilken den rör sig: Gravitationskraften verkar på satelliten från jordens sida, vilket enligt lagen om universell gravitation är lika med: var och är massorna av satelliten respektive jorden. Eftersom satelliten befinner sig på en viss höjd över jordens yta är avståndet från den till jordens mitt: var är jordens radie.