Tapahtumien riippumattomuus. Ehdollinen todennäköisyys. Bayes Theoremin ehdollinen todennäköisyys esimerkki

Usein elämässämme kohtaamme sen, että sinun on arvioitava mahdollisuudet tapahtuman alkamisesta. Onko syytä ostaa arpajaislippu tai ei, mikä on kolmannen lapsen lattia perheessä, onko olemassa selkeää sää huomenna tai sateet menevät uudelleen - lukemattomia esimerkkejä voidaan antaa. Yksinkertaisimmassa tapauksessa suotuisten tulosten määrä olisi jaettava tapahtumien kokonaismäärään. Jos on 10 voittavaa lippuja, ja kaikki niistä ovat 50, niin palkinnon saamisen mahdollisuudet ovat yhtä suuria kuin 10/50 \u003d 0,2, eli 20 vastaan \u200b\u200b100. ja miten toimia, jos on useita tapahtumia ja ne liittyvät läheisesti toisiinsa? Tässä tapauksessa emme ole kiinnostuneita siitä, että ei ole yksinkertaista, mutta ehdollista todennäköisyyttä. Mikä on tämä arvo ja miten sitä voidaan harkita - tämä kerrotaan juuri artikkelissamme.

Konsepti

Ehdollinen todennäköisyys on tietyn tapahtuman esiintymisen mahdollisuudet edellyttäen, että toinen tapahtuma liittyy siihen jo tapahtunut. Harkitse yksinkertainen esimerkki kolikoiden heittämisestä. Jos veto ei ole vielä ollut, kotkan putoamisen tai kypsä on sama. Mutta jos kolikko laskee kolikon peräkkäin, niin suostut odottavat kuudennen, seitsemännen, ja jopa enemmän kuin tällaisen lopputulos on epälooginen. Jokaisen jälleen kerran kotka putoaa, mahdollisuudet joen ulkonäkö kasvaa ja ennemmin tai myöhemmin se putoaa ulos.

Ehdollinen todennäköisyyskaava

Ymmärrämme nyt, miten tämä arvo lasketaan. Merkitse ensimmäinen tapahtuma B: n kautta ja toinen A. Jos alkamis mahdollisuudet poikkeavat nollasta, seuraava tasa-arvo on oikeudenmukainen:

P (a | c) \u003d p (ab) / p (b), jossa:

• P (A | C) - tuloksen ehdollinen todennäköisyys;
• P (AV) on tapahtumien A ja B yhteisen syntymisen todennäköisyys;
• P b) - Tapahtumien V. todennäköisyys.

Tämä suhde hieman muuntaminen saamme p (ab) \u003d p (A | c) * p (b). Ja jos voit hakea, voit peruuttaa työtavan ja käyttää sitä mielivaltaisella määrällä tapahtumia:

P (1, 2, 3, ... AP) \u003d P (1 | A 2 ... AP) * P (2 | A 3 ... AP) * P (3 | A 4 ... AP) ... P (P-1 | A P) * P (A P).

Harjoitella

Jotta voit helpottaa selvittää, kuinka ehdollinen lasketaan, harkitse muutamia esimerkkejä. Oletetaan, että maljakko on 8 suklaa suklaata ja 7 minttua. Koko ne ovat samat ja ajoitus kaksi heistä ovat jatkuvasti vedetty. Mitkä ovat mahdollisuudet siitä, mitä molemmat ovat suklaata? Esittelemme merkintää. Anna tuloksen, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen suklaa-karkkia, tulos toisessa suklaakarkkia. Sitten se osoittautuu seuraavat:

P (a) \u003d p (c) \u003d 8/15,

P (a | c) \u003d p (in | a) \u003d 7/14 \u003d 1/2,

P (AV) \u003d 8/15 x 1/2 \u003d 4/15 ≈ 0,27

Harkitse toista tapausta. Oletetaan, että kaksi järjestystä perhe ja tiedämme, että ainakin yksi lapsi on tyttö.

Mikä on ehdollinen todennäköisyys, että nämä vanhemmat eivät ole? Kuten edellisessä tapauksessa aloitetaan nimityksellä. Olkoon P (b) - todennäköisyys, että perheessä on vähintään yksi tyttö, P (A | c) on todennäköisyys, että toinen lapsi on myös tyttö, P (AB) on mahdollisuus siitä, että on olemassa Kaksi tyttöä perheessä. Nyt teemme laskelmia. Yhteensä lapsille voi olla 4 erilaista yhdistelmiä ja samaan aikaan vain yhdessä tapauksessa (kun kaksi poikaa perheessä), tytöt eivät ole lapsen keskuudessa. Siksi todennäköisyys p (b) \u003d 3/4 ja p (AV) \u003d 1/4. Seuraa sitten Formula:

P (a | c) \u003d 1/4: 3/4 \u003d 1/3.

Voit tulkita tällaisen tuloksen: jos emme tunneta yhden lapsen kentästä, niin kahden tytön mahdollisuudet olisivat 25 vastaan \u200b\u200b100. Mutta koska tiedämme, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys, että on olemassa Ei poikia perheessä, se kasvaa kolmannekseen.

§ 1. Peruskäsitteet

4. Ehdollinen todennäköisyys. Todennäköisyys kertolasku.

Monien tehtävien on löydettävä todennäköisyys yhdistää tapahtumia. MUTTA ja SISÄÄNJos tapahtumien todennäköisyydet tunnetaan MUTTA ja SISÄÄN.

Harkitse seuraavaa esimerkkiä. Anna kaksi kolikkoa heittää. Etsi kaksi vaakuna. Meillä on 4 ekvivalenttinen parisuhteen epätäydellinen lopputulos, joka muodostaa täydellisen ryhmän:

	1. kolikko	2. kolikko
1. tulos	vaakuna	vaakuna
2. lopputulos	vaakuna	kirjoitus
3. lopputulos	kirjoitus	vaakuna
4. lopputulos	kirjoitus	kirjoitus

Tällä tavalla, P (kädet, vaakuna) \u003d 1/4.

Kerro nyt, että kolikko putosi ensimmäiseen kolikkoon. Miten todennäköisyys, että tunnus näkyy molemmissa kolikoissa? Koska tunnus putosi ensimmäiseen kolikkoon, nyt täydellinen ryhmä koostuu kahdesta vastaavasta epäjohdonmukaisuudesta:

	1. kolikko	2. kolikko
1. tulos	vaakuna	vaakuna
2. lopputulos	vaakuna	kirjoitus

Samaan aikaan vain yksi tuloksista suosii tapahtumaa (vaakuna, vaakuna). Siksi oletukset tehdyt P (kädet, vaakuna) \u003d 1/2. Merkitä MUTTA Kahden käden ulkonäkö ja läpi SISÄÄN - varsien kerroksen ulkonäkö ensimmäisessä kolikossa. Näemme, että tapahtuman todennäköisyys MUTTA muuttunut, kun se tuli tiedettiin, että tapahtuma B. tapahtui.

Tapahtuman uusi todennäköisyys MUTTA, olettaen, että tapahtuma tapahtui B.Me merkitsemme P b (a).

Tällä tavalla, P (a) \u003d 1/4; P b (a) \u003d 1/2

Kertoilun lause. Tapahtumien A ja B yhdistämisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi niistä todennäköisyydestä toisen ehdollisesta todennäköisyydestä, lasketaan olettamuksella, että ensimmäinen tapahtuma toteutettiin, eli

P (ab) \u003d p (a) p a (b)

(4)

Todisteita. Todistamme suhdetta (4), joka perustuu klassiseen todennäköisyysmääritykseen. Anna mahdolliset tulokset E 1, E 2., ..., E N. Tämä kokemus on täydellinen ryhmä tasapainoisia paria epäjohdonmukaisia \u200b\u200btapahtumia, joista tapahtuma A. suosikki M. tulokset ja anna heidän M. Haittaa L. Tapahtuma suosii tuloksia B.. Ilmeisesti tapahtumien yhdistelmä A. ja B. suosikki L. of N. Mahdolliset testitulokset. Tämä antaa; ;
Tällä tavalla,
Muutettu paikoilta A. ja B.Samoin saat
Moninkertaistuminen lause on helposti yleistetty mihin tahansa, äärellinen tapahtumien määrä. Joten esimerkiksi kolmen tapahtuman tapauksessa 1., 2., A 3. Meillä on *
Yleisesti

Suhde (6) merkitsee sitä, että kahdesta yhtäläisyydestä (8) on seuraus toisesta.

Anna esimerkiksi tapahtuma A. - käsivarren ulkonäkö, jossa kolikon yksi heitto ja tapahtuma B. - kupelin karttojen ulkonäkö, kun kortti irrotetaan kanneesta. On selvää, että tapahtumat A. ja B. Itsenäinen.

Tapahtumien riippumattomuuden sattuessa A. jllek B. Kaava (4) on yksinkertaisempi muoto:

* Tapahtuma 1 a 2 a 3 Voit kuvitella kahden tapahtuman yhdistelmänä: Tapahtumat C \u003d 1 A 2 ja tapahtumat A 3..

Ehdollinen todennäköisyys tapahtuma A, kun suoritetaan tapahtuma b nimeltään suhde Tässä oletetaan.

Kohtuullisena tämän määritelmän kohtuullisena huomautetaan, että tapahtuma tapahtuu B. Se alkaa olla luotettava tapahtuma rooli, joten sinun on vaadittava sitä. Tapahtumien rooli A.pelaaminen AB, Sen vuoksi pitäisi olla verrannollinen . (Määritelystä seuraa, että suhteellisuuskerroin on sama.)

Nyt esitämme konseptin tapahtumien riippumattomuus.

Tämä tarkoittaa: koska tapahtuma tapahtui B.Tapahtuman todennäköisyys A.ei muuttunut.

Kun otetaan huomioon ehdollisen todennäköisyyden määrittäminen, tämä määritelmä vähennetään suhteeseen . Ei tarvitse vaatia tilan täyttymistä . Näin saapumme lopulliseen määritelmään.

Tapahtumia A ja B kutsutaan itsenäiseksi, jos P(Ab) \u003d P.(A.)P.(B.).

Viimeinen suhde toteutetaan yleensä kahden tapahtuman riippumattomuuden määrittämiseksi.

Useita tapahtumia kutsutaan riippumattomiksi aggregaatilla, jos tällaiset suhteet suoritetaan mille tahansa tarkasteltavana olevien tapahtumien osajoukosta. Joten, esimerkiksi kolme tapahtumaa A, B.ja C. Tulli riippumatta aggregaatilla, jos seuraavat neljä suhdetta suoritetaan:

Annamme useita tehtäviä ehdollinen todennäköisyys ja tapahtumien riippumattomuusja niiden ratkaisut.

Tehtävä 21. 36 kortin täydellisestä kanneesta vetää yhden kortin. Tapahtuma A. - Kartta punainen, B. - kortti ässä. He ovat riippumattomia?

Päätös. Laskelmien suorittaminen todennäköisyyden klassisen määritelmän mukaan saamme sen . Tämä tarkoittaa sitä, että tapahtumat A. ja B.itsenäinen.

Tehtävä 22.. Ratkaise sama tehtävä kannelle, josta huippu nainen on poistettu.

Päätös. . Ei ole itsenäisyyttä.

Tehtävä 23. Kaksi vuorotellen heittää kolikon. Voittaa sen, jonka vaakuna putoaa. Etsi todennäköisyys voittaa molemmat pelaajat.

Päätös. Voimme olettaa, että elementaariset tapahtumat ovat lomakkeen lopulliset sekvenssit (0, 0, 1, ..., 0, 1) . Pituussekvenssille vastaava elementaarinen tapahtuma on todennäköisyys pelaajan, joka alkaa heittää kolikon ensin voittaa, jos elementaarinen tapahtuma toteutetaan, joka koostuu parittomasta nollosta ja yksiköistä. Siksi hänen voiton todennäköisyys on yhtä suuri

Toisen pelaajan voitot vastaavat nollia ja yksiköitä. Hän on yhtä suuri

Ratkaisusta seuraa ratkaisusta, että peli päättyy äärelliselle aikaa todennäköisyydellä 1 (siitä lähtien).

Tehtävä 24. Silta tuhotaksesi sillan, sinun täytyy lyödä vähintään 2 pommeja. Pudotti 3 pommeja. Pommien lyömisen todennäköisyydet ovat yhtä suuret, 0, 1; 0, 3; 0, 4. Etsi siltojen tuhoamisen todennäköisyys.

Päätös. Anna tapahtumien A, B, C muodostavat vastaavasti 1., toinen, kolmas pommi. Sitten sillan tuhoutuminen tapahtuu vain silloin, kun tapahtuma toteutuu johtuen siitä, että tämän kaavassa olevat komponentit ovat pareittain, ja termien tekijät ovat riippumattomia, haluttu tilaus

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Tehtävä 25.Kaksi rahtialusta olisi kiinnitettävä samaan mooriin. On tunnettua, että jokainen niistä voi olla yhtä todennäköisesti keksiä milloin tahansa kiinteän päivinä ja pitäisi purkaa 8 tuntia. Löydä todennäköisyydestä, että toiseen, ei tarvitse odottaa, kunnes ensimmäinen alus lopettaa purkamisen.

Päätös.Me mittaamme aikaa päivinä ja jakeet päivän. Sitten peruskoukut ovat pari numeroita, jotka täyttävät yhden neliön, jossa x - Ensimmäisen aluksen saapumisaika, y. - toisen aluksen saapumisaika. Kaikki neliöpisteet ovat yhtä tasavertaisia. Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa tapahtuman todennäköisyys (eli yhdestä neliöstä) on yhtä suuri kuin tämän tapahtuman alueen alue. Tapahtuma A. Se koostuu yhdestä neliöpisteestä, josta eriarvoisuus suoritetaan. Tämä epätasa-arvo vastaa sitä, että ensin alus, joka tuli ensin, on aika purkaa toisen aluksen saapumishetkellä. Näiden pisteiden sarja muodostaa kaksi suorakulmainen anosittomaton kolmio, jossa on sivu 2/3. Näiden kolmiojen kokonaispinta-ala on 4/9. Tällä tavalla, .

Tehtävä 26.Tentti todennäköisyyden teoriasta oli 34-bile. Opiskelija erottaa kaksi lippua ehdotetuista liput (palauttamatta niitä). Opiskelija valmisteli vain 30 lippua? Mikä on todennäköisyys, että hän siirtää tentin valitsemalla ensimmäistä kertaa "Epäonnistunut»Lippu?

Päätös.Satunnainen valinta on se, että peräkkäin ne uuttavat yhden lipun kahdesti, ja ensimmäistä kertaa venytetty lippu ei palauta. Anna tapahtuman SISÄÄN Se on se, että ensimmäinen otetaan pois " epäonnistunut " Lippu ja tapahtuma MUTTAse on se, että toinen poistetaan onnistunut»Lippu. On selvää, että tapahtumat MUTTA ja SISÄÄN Riippuen, koska ensimmäistä kertaa hidastun lippua ei palauteta kaikkiin lippuihin. Sinun on löydettävä tapahtuman todennäköisyys. Au.

Ehdollisen todennäköisyyden kaavalla; ; , niin.

Kuten on todettu kurssin alussa, tarkoitamme, että kokeilu suoritetaan tiettynä C. C: n kiinteässä kompleksissa. Jos nämä ehdot ovat muuttuneet, tähän kokeeseen liittyvien tapahtumien todennäköisyys muuttuu. Tällaista muutosta voidaan aina ymmärtää tietyn tapahtuman ulkonäöksi (lukuun ottamatta alkuperäisen olosuhteiden K).). Ymmärtääkseen, miten määritellä tässä tapauksessa uusi (ehdollinen) todennäköisyys, harkitse vastaavia taajuuksia. Anna kokeilun suorittaminen N kertaa, tapahtuma on tapahtunut n (b) kertaa ja tapahtumat A ja B yhdessä N (AB) -tapahtumien kanssa. Sitten "ehdollinen" tapahtumien taajuus ja niiden kokeilut, joissa tapahtuma on yhtä suuri kuin

Ottaa huomioon, että todennäköisyys perii taajuuden ominaisuudet, voit antaa seuraavan

Määritelmä 1. Ilmastoitu tapahtuma A, edellyttäen, että tapahtuma tapahtui , nimeltään numero

Joskus sovelletaan toista nimeämistä

Esimerkki 1. Symmetrinen kolikon heittää kahdesti. On tunnettua, että yksi kädet laski (tapahtuma b). Löydä tapahtumien todennäköisyys, mikä on, että kädet laski ensimmäisen heitto.

Helppo laskea se , mutta . Tästä seuraa, että

On helppoa varmistaa, että ehdollisen todennäköisyydellä kiinteillä ominaisuuksilla on seuraavat ominaisuudet:

Siten ehdollinen todennäköisyys on kaikki perus todennäköisyysominaisuudet.

Seuraavalla teoreella on erittäin tärkeä rooli.

Kertoilun lause. Anna A ja B - kaksi tapahtumaa ja sitten

Sen todiste seuraa ehdollisen todennäköisyyden määrittämisestä. Tämän teoreen edut ovat, että joskus voimme laskea ehdollisen todennäköisyyden suoraan ja sitten käyttää sitä laskemaan

Esimerkki 2. NORTissa 5 palloa - 3 valkoista ja 2 mustaa. Valitsemme kaksi palloa paluuta. Löydä todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia.

Anna tapahtuman koostuu siitä, että ensimmäinen pallo on valkoinen, ja tapahtuma on toinen pallo valkoinen. Helppo laskea se Kun otimme yhden pallon ja tiedämme, että se on valkoista, meillä on 4 palloa ja niiden joukosta 2 valkoista. Sitten . Kertomalla lause

Moninkertaistumisreiitti on helppo ulottua mihinkään äärelliseen tapahtumiin.

Corollary 1. Anna satunnaisia \u200b\u200btapahtumia

Jos tapahtuman ulkonäkö ei muuta tapahtuman A todennäköisyyttä, eli. Tällaisia \u200b\u200btapahtumia kutsutaan luonnollisesti itsenäiseksi. Tässä tapauksessa kertomme

Viimeinen suhde on symmetrisesti suhteessa A: hen ja B: hen ja on järkevää. Siksi otamme sen määritelmänä.

Määritelmä 2. Tapahtumat A ja B kutsutaan itsenäiseksi, jos

Esimerkki 3. Kaksi symmetristä kolikoita heittää ylös. Tapahtuma A on se, että kolikko putosi ensimmäiseen kolikkoon, ja toisen kolikon tapahtuma putosi kädet.

Se on intuitiivinen, että tällaisten tapahtumien pitäisi olla riippumattomia. Todella, ,,

Näin ollen A ja B ovat riippumattomia määritelmän kannalta. On vähemmän ilmeistä, että itsenäiset tapahtumat A ja C, missä se tarkoittaa, että vain yksi vaakuna putosi (todistaa!).

On vaikeampaa määrittää yli kahden tapahtuman riippumattomuutta.

Määritelmä 3. Tapahtumat yhteensä,jos joku ja kaikki tapahtumat niistä, joita pidetään oikeudenmukaisina

Näytämme esimerkkeihin, jotka yhdistyvät riippumattomiksi ja viimeisen tasa-arvon täyttyminen kaikkien tapahtumien luetteloon ei riitä riippumattomuuteen aggregaatilla.

Esimerkki 4. Oikea Tetrahedron on maalattu kolmella värillä: yksi kasvot - sininen, toinen - punainen, kolmas on vihreässä, ja neljäs on kaikki kolme väriä. Tämä tetraedron heittää ylös ja huomautti, mitä kasvot se putosi.

Haluan tarkoittaa sinisen, punaisen, - vihreän ulkonäköä. Sitten, ,,

Täältä saamme sen. Samanlainen kuin muut parit. Näin ollen meillä on itsenäisyyden paria. Mutta

Tehtävä 1. Esimerkki kokeilusta ja kolmesta tapahtumasta, joista, mutta jotka eivät ole pareittain itsenäisinä.

Voi antaa seuraavan yleisemmän

Määritelmä 4. Anna tapahtumien luokkien.

Niitä kutsutaan itsenäiseksi, jos kaikki tapahtumat ovat riippumattomia kokonaisuudessaan.

Tyypillinen tilanne kuvataan seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 5. Symmetrinen pelaaminen kuutio heittää ylös kahdesti. Ilmaisee joukon tapahtumia, jotka liittyvät ensimmäisen heittoon. Määritetään samalla tavoin toisen heittojen tuloksena. Sitten - ei väliä.

Monissa tehtävissä seuraavat tulokset ovat hyödyllisiä.

Ehdotus 1. Jos tapahtumat a ja itsenäisissä, itsenäisissä ja kahdessa seuraavista :.

Todisteita. Osoitamme itsenäisyyttä.

Ehdotettujen tapahtumien parien riippumattomuutta ehdotetaan osoittamaan itsenäisesti.

Monissa tilanteissa tapaamme tällaisia \u200b\u200bkokeita, jotka voidaan hajottaa kahteen (tai useampaan) vaiheeseen. Ensimmäisessä vaiheessa meillä on useita vaihtoehtoja ja pyytää jotain siitä, mitä vuoden lopussa tapahtui - toisessa vaiheessa. Tällöin tulos on erittäin hyödyllinen. Aloitetaan seuraava määritelmä.

Määritelmä 5. Tapahtumat muodostavat täydellisen tapahtumien ryhmän (osiointitila), jos

Teorem 1. Anna tapahtumien muodostaa täydellisen tapahtumien ryhmän kaikille ja - mielivaltaiselle tapahtumalle. Sitten - Formula täydellinen todennäköisyys.

Todisteita. Tapahtumat muodostavat täydellisen ryhmän, niin meillä on

Täältä saamme

Jossa käytimme kertolaskua.

Esimerkki 6. Jotkin tehtaalla 30% tuotteista tuottaa koneen A, 25% tuotteesta - koneella B ja muut tuotteet - auto S. Autosta ja avioliitosta on 1% tuotteista tuotettuista tuotteista Auto on 1,2% ja auto C - 2%. Kaikista tuotteista yksi tuote valitaan satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, että se on viallinen?

Anna sen viitata siihen, että valittu kohde on valmistettu koneelle A, koneen B, - autolla C. merkitsee D-tapahtumasta, että valittu yksityiskohti on viallinen. Tapahtumat muodostavat täydellisen tapahtumien ryhmän. Tehtävän edellytyksen mukaan

Tapahtuma. Elementaaristen tapahtumien tilaa. Luotettava tapahtuma, mahdoton tapahtuma. Yhteiset, epätäydelliset tapahtumat. Equal-tapahtumia. Täysi tapahtumien ryhmä. Tapahtumien toiminta.

Tapahtuma - Tämä on ilmiö, jota voidaan sanoa, että se tapahtuu tai ei tapahdu, riippuen itse tapahtuman luonteesta.

Alla elementary-tapahtumatliittyy tiettyyn testiin, ymmärrä kaikki tämän testin epäsäännölliset tulokset. Jokainen tapahtuma, joka voi tapahtua tämän testin seurauksena voidaan pitää erilaisina peruskohtaan.

Elementaaristen tapahtumien tilaa kutsui mielivaltainen sarja (lopullinen tai ääretön). Sen elementit - Pisteet (Elementary-tapahtumat). Elementaaristen tapahtumien tilaa kutsutaan tapahtumiin.

Luotettava tapahtuma Kutsutaan tapahtumaksi, että tämän testin vuoksi tapahtuu välttämättä; (tarkoittaa e).

Mahdoton tapahtuma kutsutaan tällainen tapahtuma, joka johtuu tästä testistä ei voi tapahtua; (merkitsee u). Esimerkiksi yhden kuuden pisteen ulkonäkö yhden heittokuulun aikana on luotettava tapahtuma, ja 8 pisteen ulkonäkö on mahdotonta.

Kaksi tapahtumaa kutsutaan yhteinen (yhteensopiva) tässä kokemuksessa, jos yhden niistä ei sulje pois toisen syntymistä.

Kaksi tapahtumaa kutsutaan sängyt (Yhteensopimaton) tässä kokemuksessa, jos niitä ei voi esiintyä yhdessä samassa testissä. Useita tapahtumia kutsutaan epätäydellisiksi, jos ne ovat pareittain ovat käsittämättömiä.

Lomakkeen alku

Lomakkeen loppu

Tapahtuma on ilmiö, jota voidaan sanoa, että se tapahtuu tai ei tapahdu, riippuen itse tapahtuman luonteesta. Tapahtumia merkitään Latinalaisen aakkosen A, B, C suurilla kirjaimilla ... mikä tahansa tapahtuma tapahtuu testata. Heitä esimerkiksi kolikko - testi, ulkonäkö aseiden - tapahtuma; Anna lamppu laatikosta - testi, se on viallinen - tapahtuma; Otamme satunnaista palloa laatikosta - testi, pallo osoittautui mustaksi tapahtumaksi. Satunnainen tapahtuma kutsutaan tapahtumaksi, joka voi esiintyä tai Älä tapahdu Tämän testin aikana. Esimerkiksi poistaminen satunnaisella kortilla kanneesta, otit Ace; Kuvaaminen, nuolet putoaa kohteeseen. Vain todennäköisyystutkimusten teoria massa Satunnaiset tapahtumat. Luotettava tapahtuma kutsutaan tapahtumaksi, mikä johtuu tästä testistä; (tarkoittaa e). Mahdollista tapahtumaa kutsutaan tällainen tapahtuma, joka johtuu tästä testistä. ei voi tapahtua; (merkitsee u). Esimerkiksi yhden kuuden pisteen ulkonäkö yhden heittokuulun aikana on luotettava tapahtuma, ja 8 pisteen ulkonäkö on mahdotonta. Equal-tapahtumat ovat tällaisia \u200b\u200btapahtumia, joista jokainen ei etua ulkonäköön Useammin kuin toiset lukuisissa testeissä, jotka suoritetaan samoilla olosuhteilla. Parly yhteensopimattomat tapahtumat ovat tapahtumia, joista kaksi ei voi tapahtua yhdessä. Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys on tämän tapahtuman suosittujen tapahtumien suhde, jotta tasapainon yhteensopimattomat tapahtumat: P (A) \u003d missä A on tapahtuma; P (a) - tapahtuman todennäköisyys; N on yhtäläisten ja yhteensopimattomien tapahtumien kokonaismäärä; N (a) on tapahtumien määrä, joka suosii tapahtumaa A. Tämä on klassinen määritelmä satunnaisen tapahtuman todennäköisyydestä. Klassinen todennäköisyysmääritys tapahtuu testattaessa äärellisellä määrällä tasapainotustuloksia. Anna n laukausta kohde, josta osoittautui m osuiksi. Suhde w (a) \u003d kutsutaan tapahtuman esiintymisen suhteelliseksi tilastolliseksi taajuudeksi. Näin ollen W (A) on tilastollinen tiheys lyömällä. Kun suoritat sarjan laukausta (taulukko 1), tilastollinen taajuus vaihtelee tietystä vakionumerosta. Tämä numero on suositeltavaa hyväksyä arvioimaan todennäköisyyttä lyömällä. Tapahtuman todennäköisyys A kutsutaan tuntemattomaksi numeroksi p, lähellä tapahtuman A-tilastollisten taajuuksien arvoja kootaan testien määrän kasvuun. Tämä on tilastollinen nimeäminen satunnaisen tapahtuman todennäköisyydestä.

Tapahtumien toiminta

Tiikiin testiin liittyvien alkeellisten tapahtumien mukaan ne ymmärtävät kaikki tämän testin epäsäännölliset tulokset. Jokainen tapahtuma, joka voi tapahtua tämän testin seurauksena voidaan pitää erilaisina peruskohtaan. Elementaaristen tapahtumien tilaa kutsutaan mielivaltaiseksi sarjaksi (lopullinen tai ääretön). Sen elementit - Pisteet (Elementary-tapahtumat). Elementaaristen tapahtumien tilaa kutsutaan tapahtumiin. Kaikki tunnetut suhteet ja sarjat siirretään tapahtumiin. Sanotaan, että tapahtuma A on erityinen tapahtuma B (tai B on tulos A) Jos asetettu A on B. Merkitse tämä suhde sekä sarjoille: A ⊂ B tai B ⊃ A. Näin ollen, Suhde A ⊂ B Tämä tarkoittaa sitä, että kaikki A: han sisältyvät myös B, eli tapahtuma tapahtuu, tapahtuma B tapahtuu myös. Tässä tapauksessa, jos A ⊂ B ja B ⊂ A, sitten a \u003d B. Tapahtuma A, joka tapahtuu sitten ja vain, jos tapahtumaa A ei tapahdu, kutsutaan vastakkaiseen tapahtumaan A. Koska jokaisessa testissä tapahtuu yksi ja vain yksi tapahtumista - a tai a, sitten p (a) + p ( a) \u003d 1 tai p (a) \u003d 1 - P (A). Tapahtumien A ja B yhdistys tai summa kutsutaan tapahtumaksi C, joka tapahtuu, jos ja vain jos tai tapahtuu tai tapahtuu tapahtuma B tai ilmenee A: n ja B samanaikaisesti. Tämä merkitään C \u003d A ∪ B tai C \u003d A + B. Tapahtumien yhdistäminen A 1, A 2, ... A n kutsutaan tapahtuma, joka tapahtuu sitten ja vain, jos ainakin yksi näistä tapahtumista ilmenee. Se on merkitty tapahtumien yhdistelmällä 1 ∪ 2 ∪ ... ∪ a n tai k, tai 1 + A 2 + ... + a n. Tapahtumien A ja B risteys tai tuote on kutsuttu tapahtuma D, joka tapahtuu, jos vain silloin, kun tapahtumat A ja B esiintyvät samanaikaisesti ja merkitsee D \u003d A ∩ B tai D \u003d A × B. Yhdistämällä tai tapahtumien avulla a 1, a 2, ... A n kutsutaan tapahtuma, joka tapahtuu, jos ja vain jos tapahtuma A 1 esiintyy ja tapahtuma A 2 jne. Ja tapahtuma A n. Kohdistus on merkitty seuraavasti: 1 ∩ 2 ∩ ... ∩ A n tai k, tai 1 × 2 × ... × A n.

Aiheen numero 2. Todennäköisyyden aksiomaattinen määritelmä. Klassinen, tilastollinen, geometrinen määritelmä tapahtuman todennäköisyydestä. Ominaisuudet todennäköiset. Teoreet lisäävät ja lisääntyvät todennäköisyydet. Itsenäiset tapahtumat. Ehdollinen todennäköisyys. Ainakin yhden tapahtuman esiintymisen todennäköisyys. Kaava täydellinen todennäköisyys. Formula Bayes.

Tapahtuman tapahtuman objektiivisen tilaisuuden määrän numeerinen mittaus on kutsuttu tapahtuman todennäköisyys. Tämä määritelmä, kvalitatiivisesti heijastava käsitys tapahtuman todennäköisyydestä ei ole matemaattinen. Joten sellainen on sellainen, on tarpeen määrittää sen laadullisesti.

Mukaan klassinen määritelmä Tapahtumien todennäköisyys on yhtä suuri kuin sille, jotka edistävät sille mahdollisuutta, tapausten kokonaismäärään, toisin sanoen:

Jos P (A) on tapahtuman todennäköisyys A.

Tapahtumien tapausten määrä a

Tapausten kokonaismäärä.

Todennäköisyyden tilastollinen määritelmä:

Tapahtuman A tilastollinen todennäköisyys kutsutaan tämän tapahtuman ulkonäön suhteelliseksi taajuudeksi tuotettuissa kokeissa, eli:

Missä - tapahtuman A. tilastollinen todennäköisyys

Suhteellinen taajuus (taajuus) Tapahtumat A.

Testien määrä, jossa tapahtuma ilmestyi

Kokonaisesti.

Toisin kuin klassisessa määritelmässä otettua "matemaattista" todennäköisyyttä, tilastollinen todennäköisyys on kokeellisen kokeellisen aineen ominaisuus.

Jos tapahtuma A suosittelee joitain tapauksia, jotka määräytyvät suoraan ilman testejä, eli niiden tosiasiallisesti tuotettujen testien osuus, jossa tapahtuma A on ilmestynyt.

Geometrinen todennäköisyys Määritelmä:

Tapahtuman a geometrinen todennäköisyys on nimeltään tapahtuman A suosittelemattoman syntymisen suhde kaikilla alueilla, eli:

Yhdellä ulottuvuudella:

Sinun pitäisi arvioida pisteiden todennäköisyys CD /

On osoittautunut, että tämä todennäköisyys ei riipu CD: n sijainnista AB: n segmentissä ja riippuu vain sen pituudesta.

Entering-pisteiden todennäköisyys ei riipu lomakkeista eikä sijainnista A: sta ja riippuu vain tämän segmentin alueesta.

Ehdollinen todennäköisyys

Todennäköisyyttä kutsutaan ehdollinen Jos se lasketaan tietyissä olosuhteissa ja on ilmoitettu:

Tämä tapahtuma A. on laskettu edellyttäen, että tapahtuma on jo tapahtunut.

Esimerkki. Tuotamme testin, poistaa kaksi korttia kanneelta: ensimmäinen todennäköisyys on ehdoton.

Laske todennäköisyys purkaa kannen ässä:

Laske 2-fuzan ulkonäkö kanneesta:

A * B - tapahtumien yhteinen ulkonäkö

– todennäköisyys kertolasku

Seuraava:

Tapahtumien yhteiseen ulkonäköön kertolasku on:

Toisin sanoen jokainen myöhempi todennäköisyys lasketaan kirjanpitoon, että kaikki aiemmat edellytykset ovat jo tapahtyneet.

Tapahtuman riippumattomuus:

Itsenäisesti kutsutaan 2 tapahtumaa, jos ulkonäkö ei ole ristiriidassa toisen syntymisen kanssa.

Esimerkiksi, jos kannen ässät palautetaan uudelleen, ne ovat itsenäisiä. Toistuva, eli kortti katsoi ja palasi takaisin kannelle.

Yhteiset ja epätäydelliset tapahtumat:

Yhteinen2 tapahtumaa kutsutaan, jos yksi niistä ei ole ristiriidassa toisen syntymisen kanssa.

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyden lisääminen:

Todennäköisyys yhdestä kahdesta yhteisestä tapahtumasta on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyys ilman yhteistä ulkonäköä.

Kolme yhteistä tapahtumaa:

Invoitteita kutsutaan tapahtumiksi, jos kaksi niistä ei voi näkyä samanaikaisesti satunnaisen kokeilun yhden testin seurauksena.

Lause:Todennäköisyys yhdestä kahdesta epäjohdonmukaisesta tapahtumasta on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyys.

Tapahtumien määrän todennäköisyys:

Todennäköisyys Lisäys Teorem:

Epätäydellisten tapahtumien lopullisen määrän todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyys:

Corollary 1:

Koko konsernin muodostavien tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

Corollary 2:

Kommentti:On korostettava, että keskusteltiin, että teoremia voidaan soveltaa vain epätäydellisiin tapahtumiin.

Todennäköisten tapahtumien todennäköisyys:

Vastapäätäkaksi ainoastaan \u200b\u200bmahdollisia tapahtumia, jotka muodostavat täydellisen ryhmän, kutsutaan. Yksi kahdesta vastakkaisesta tapahtumasta on merkitty läpi MUTTA, Muut - kautta.

Esimerkki: Hit ja puuttuu, kun kuvasi tavoite - vastakkaiset tapahtumat. Jos a - osuma, sitten - Slip.

Lause:Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyden summa on yhtä suuri kuin yksi:

Huomautus 1:Jos yhden kahden vastakkaisen tapahtuman todennäköisyys on osoitettu P: llä, toisen tapahtuman todennäköisyys merkitään tällä tavoin edellisen teorian nojalla:

Muistio 2:Kun ratkaistaan \u200b\u200btehtäviä, jotka löytävät tapahtuman todennäköisyydet usein, on usein edullista laskea ensimmäisen todennäköisyyden tapahtuman todennäköisyys ja löytää haluttu todennäköisyys kaavalla:

Vähintään yhden tapahtuman todennäköisyys on ulkonäkö:

Oletetaan, että kokeilun seurauksena yksi, jokin osa tai mikä tahansa tapahtuma saattaa näkyä.

Lause:Vähintään yhden tapahtuman todennäköisyys itsenäisten tapahtumien joukosta on yhtä suuri kuin yksikön välinen ero ja niiden todennäköisyys ei ole tapahtumien ulkonäkö.