Kartion kartiomainen pinta. Kartion käsite. Kartion generatrixin käsite

Määritelmä. Kartion yläosa on piste (K), josta säteet lähtevät.

Määritelmä. Kartion pohja- tämä on taso, joka muodostuu tasaisen pinnan ja kaikkien kartion yläosasta lähtevien säteiden leikkauspisteestä. Kartiolla voi olla kanta, kuten ympyrä, ellipsi, hyperbola ja paraabeli.

Määritelmä. Cone generatrix(L) on mikä tahansa segmentti, joka yhdistää kartion yläosan kartion pohjan rajaan. Generaattori on säteen segmentti, joka tulee kartion kärjestä.

Kaava. Pituuden luominen(L) suora pyöreä kartio säteen R ja korkeuden H suhteen (Pythagoraan lauseen kautta):

Määritelmä. opas kartio on käyrä, joka kuvaa kartion pohjan ääriviivaa.

Määritelmä. Sivupinta kartion on kokoelma kartion generaattoreita. Eli pinta, joka muodostuu generatrixin liikkeestä kartion ohjainta pitkin.

Määritelmä. Pinta Kartio koostuu sivupinnasta ja kartion pohjasta.

Määritelmä. Korkeus kartio (H) on jana, joka tulee ulos kartion yläosasta ja on kohtisuorassa sen pohjaan nähden.

Määritelmä. Akseli kartio (a) on suora viiva, joka kulkee kartion yläosan ja kartion pohjan keskikohdan läpi.

Määritelmä. kartiomainen (C) kartio on kartion pohjan halkaisijan ja sen korkeuden suhde. Katkaistun kartion tapauksessa tämä on katkaistun kartion poikkileikkausten D ja d halkaisijoiden välisen eron suhde niiden väliseen etäisyyteen: missä R on pohjan säde ja H on kartion korkeus. kartio.

Koneteollisuudessa käytetään lieriömäisten osien ohella osia, joissa on kartiomaiset pinnat ulkoisten kartioiden tai kartiomaisten reikien muodossa. Esimerkiksi sorvin keskellä on kaksi ulompaa kartiota, joista toinen on tarkoitettu sen asentamiseen ja kiinnittämiseen karan kartiomaiseen reikään; porassa, upottimessa, kalvimessa jne. on myös ulkokartio asennusta ja kiinnitystä varten.

1. Kartion käsite ja sen elementit

Kartion elementit. Jos käännät suorakulmaista kolmiota ABV jalan AB ympäri (kuva 202, a), muodostuu kappale ABG, ns. täysi kartio. Suoraa AB kutsutaan akseliksi tai kartion korkeus, rivi AB - kartion generatrix. Piste A on kartion yläosa.

Kun jalka BV pyörii akselin AB ympäri, muodostuu ympyräpinta, ns kartiopohja.

Kulmaa VAG sivujen AB ja AG välillä kutsutaan kartiokulma ja sitä merkitään 2α:lla. Puolesta tästä kulmasta, jonka muodostavat sivusivu AG ja akseli AB, kutsutaan kartiokulma ja sitä merkitään α:lla. Kulmat ilmaistaan asteina, minuutteina ja sekunteina.

Jos leikkaamme sen yläosan täyskartiosta sen pohjan suuntaisella tasolla (kuva 202, b), niin saadaan kappale ns. katkaistu kartio. Siinä on kaksi pohjaa, ylhäältä ja alhaalta. Kantojen välistä etäisyyttä OO 1 akselia pitkin kutsutaan katkaistun kartion korkeus. Koska tekniikassa suurimmaksi osaksi joutuu käsittelemään kartioiden osia, eli katkaistuja kartioita, niitä kutsutaan yleensä yksinkertaisesti kartioksi; tästä lähtien kutsumme kaikkia kartiopintoja kartioiksi.

Kartion elementtien välinen yhteys. Piirustuksessa on yleensä merkitty kolme kartion päämitat: suurempi halkaisija D, pienempi d ja kartion korkeus l (kuva 203).

Joskus piirustukseen on merkitty vain yksi kartion halkaisija, esimerkiksi suurempi D, kartion korkeus l ja ns. kartio. Kartio on kartion halkaisijaeron suhde sen pituuteen. Merkitse kartio sitten K-kirjaimella

Jos kartiolla on mitat: D = 80 mm, d = 70 mm ja l = 100 mm, niin kaavan (10) mukaan:

Tämä tarkoittaa, että 10 mm:n pituudella kartion halkaisija pienenee 1 mm:llä tai jokaista kartion pituuden millimetriä kohti sen halkaisijoiden välinen ero muuttuu

Joskus piirustuksessa kartion kulman sijaan kartion kaltevuus. Kartion kaltevuus osoittaa, kuinka paljon kartion generatriisi poikkeaa akselistaan.
Kartion kaltevuus määräytyy kaavan mukaan

missä tg α on kartion kaltevuus;

l on kartion korkeus millimetreinä.

Kaavan (11) avulla on mahdollista määrittää kartion kaltevuuden kulma a trigonometristen taulukoiden avulla.

Esimerkki 6 Annettu D = 80 mm; d = 70 mm; l = 100 mm. Kaavan (11) mukaan meillä on Tangenttien taulukon mukaan lähimpänä arvoa tg α = 0,05 eli tg α = 0,049, joka vastaa kartion kaltevuuskulmaa α = 2 ° 50 ". kartiokulma 2α = 2 2°50" = 5°40".

Kartion ja kartiomaisen kaltevuus ilmaistaan yleensä yksinkertaisena murto-osana, esimerkiksi: 1:10; 1:50 tai desimaali, kuten 0,1; 0,05; 0,02 jne.

2. Menetelmät kartiomaisten pintojen saamiseksi sorviin

Sorvissa kartiomaisten pintojen käsittely suoritetaan jollakin seuraavista tavoista:
a) satulan yläosan kääntäminen;
b) takatuen rungon poikittaissiirto;
c) käyttämällä kartiomaista viivainta;
d) käyttämällä leveää leikkuria.

3. Kartiopintojen työstö kääntämällä jarrusatulaa yläosaa

Valmistettaessa sorvassa lyhyitä ulko- ja sisäkartiopintoja, joilla on suuri kaltevuuskulma, on tarpeen kiertää tuen yläosaa suhteessa koneen akseliin kulmassa α kartion kaltevuuden suhteen (ks. 204). Tällä toimintatavalla syöttö voidaan tehdä vain käsin, kääntämällä jarrusatulat yläosan johtoruuvin kahvaa, ja vain moderneimmissa sorveissa on jarrusatulat yläosan mekaaninen syöttö.

Säädäksesi jarrusatula 1 yläosan haluttuun kulmaan voit käyttää jarrusatulan pyörivän osan laippaan 2 merkittyjä jakoja (kuva 204). Jos kartion kaltevuuden kulma α on annettu piirustuksen mukaan, niin jarrusatulaa kierretään yhdessä sen pyörivän osan kanssa vaaditulla määrällä asteita osoittavia jakoja. Jakojen määrä lasketaan suhteessa jarrusatulaan käytettyyn riskiin.

Jos kulmaa α ei ole annettu piirustuksessa, mutta kartion isommat ja pienemmät halkaisijat ja sen kartiomaisen osan pituus on merkitty, niin paksuuden kiertokulma määritetään kaavalla (11)

Esimerkki 7 Kartion halkaisijat D = 80 mm, d = 66 mm, kartion pituus l = 112 mm on annettu. Meillä on: Tangenttien taulukon mukaan löydämme suunnilleen: a \u003d 3 ° 35 ". Siksi paksuuden yläosaa on käännettävä 3 ° 35".

Menetelmällä kartiomaisten pintojen sorvaussatulan yläosaa kääntämällä on seuraavat haitat: se sallii yleensä vain käsinsyötön käytön, mikä vaikuttaa työn tuottavuuteen ja koneistetun pinnan puhtauteen; mahdollistaa suhteellisen lyhyiden kartiomaisten pintojen kääntämisen, jota rajoittaa jarrusatulan yläosan iskunpituus.

4. Kartiomaisten pintojen käsittely takatuen rungon poikittaissiirtomenetelmällä

Kartiomaisen pinnan saamiseksi sorviin on tarpeen, kun työkappaletta pyöritetään, leikkurin yläosaa ei liikuteta yhdensuuntaisesti, vaan jossain kulmassa keskipisteiden akseliin nähden. Tämän kulman on oltava yhtä suuri kuin kartion kaltevuuden kulma α. Helpoin tapa saada kulma keskiakselin ja syöttösuunnan välillä on siirtää keskilinjaa siirtämällä takakeskiötä sivusuunnassa. Siirtämällä takakeskiötä kohti leikkuria (itseään kohti) saadaan kääntymisen seurauksena kartio, jossa isompi pohja suunnataan kohti päätuenta; kun takakeskiosaa siirretään vastakkaiseen suuntaan, eli poispäin leikkurista (poispäin sinusta), kartion suurempi pohja on takatuen sivulla (kuva 205).

Peräosan rungon siirtymä määräytyy kaavan mukaan

missä S on takatuen rungon siirtymä päätuen karan akselista millimetreinä;
D on kartion suuren pohjan halkaisija millimetreinä;
d on kartion pienen pohjan halkaisija millimetreinä;
L on koko osan pituus tai keskipisteiden välinen etäisyys millimetreinä;
l on osan kartiomaisen osan pituus mm.

Esimerkki 8 Määritä takatuen keskikohdan siirtymä katkaistun kartion kääntämiseksi, jos D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm ja l = 200 mm. Kaavalla (12) löydämme:

Perätuen rungon siirto tapahtuu pohjalevyn päähän merkittyjen jakokohtien 1 (kuva 206) ja takaosan rungon päähän riskin 2 avulla.

Jos levyn päässä ei ole jakoja, takatuen runko siirretään käyttämällä mittaviivainta kuvan 1 mukaisesti. 207.

Suippenevien pintojen kääntämisessä takatuen runkoa siirtämällä etuna on, että tällä menetelmällä voidaan kääntää pitkiä kartioita ja kääntää tehosyötöllä.

Tämän menetelmän haitat: kyvyttömyys porata kartiomaisia reikiä; ajan menetys takatuen uudelleenjärjestelyyn; kyky käsitellä vain lempeitä kartioita; keskireikien keskipisteiden kohdistusvirhe, mikä johtaa keskipisteiden ja keskireikien nopeaan ja epätasaiseen kulumiseen ja aiheuttaa hylkyjä osan toissijaisen asennuksen aikana samoihin keskireikiin.

Keskireikien epätasainen kuluminen voidaan välttää käyttämällä erikoista kuulakeskiötä tavallisen sijasta (kuva 208). Tällaisia keskuksia käytetään pääasiassa tarkkojen kartioiden käsittelyssä.

5. Kartiopintojen käsittely kartiomaisella viivaimella

Kartiomaisten pintojen käsittelyyn, joiden kaltevuuskulma on jopa 10-12 °, nykyaikaisissa sorveissa on yleensä erityinen laite, jota kutsutaan kartioviivaimeksi. Kaavio kartion käsittelemiseksi kartioviivaimella on esitetty kuvassa. 209.

Koneen runkoon on kiinnitetty levy 11, johon on asennettu kartioviivain 9. Viivain voidaan pyörittää tapin 8 ympäri halutussa kulmassa a työkappaleen akseliin nähden. Viivaimen kiinnittämiseksi haluttuun asentoon käytetään kahta pulttia 4 ja 10. Liukusäädin 7 liukuu vapaasti viivainta pitkin, joka on liitetty tangon 5 ja puristimen 6 avulla jarrusatulat alempaan poikittaiseen osaan 12. Jotta tämä jarrusatula osa voisi liukua vapaasti ohjaimia pitkin, se irrotetaan kelkasta 3 ruuvaamalla irti poikittaisruuvi tai irrottamalla sen mutteri jarrusatulasta.

Jos ilmoitat kuljettimelle pitkittäissyötöstä, tangon 5 vangitsema liukusäädin 7 alkaa liikkua linjaa 9 pitkin. Koska liukusäädin on kiinnitetty jarrusatulan poikittaisliukukappaleeseen, ne yhdessä leikkurin kanssa liikkuu yhdensuuntaisesti linjan 9 kanssa. Tästä johtuen leikkuri käsittelee kartiomaisen pinnan, jonka kaltevuuskulma on yhtä suuri kuin kartioviivaimen kiertokulma α.

Jokaisen ajon jälkeen leikkuri asetetaan leikkaussyvyyteen satulan yläosan 2 kahvalla 1. Tätä jarrusatulaa on käännettävä 90° suhteessa normaaliasentoonsa, eli kuten kuvassa 1 on esitetty. 209.

Jos kartion D ja d kannan halkaisijat ja pituus l on annettu, niin viivaimen kiertokulma löytyy kaavasta (11).

Kun tg α:n arvo on laskettu, kulman α arvo on helppo määrittää tangenttien taulukosta.
Kartioviivaimen käytöllä on useita etuja:
1) viivaimen säätäminen on kätevää ja nopeaa;
2) kartioiden käsittelyyn siirryttäessä ei tarvitse häiritä koneen normaalia kokoonpanoa, eli ei tarvitse siirtää takatuen runkoa; koneen keskipisteet pysyvät normaaliasennossa, eli samalla akselilla, minkä vuoksi osan keskireiät ja koneen keskipisteet eivät toimi;
3) kartiomaisella viivaimella ei voi vain hioa kartiomaisia ulkopintoja, vaan myös porata kartiomaisia reikiä;
4) on mahdollista työskennellä e pitkittäisellä itsekulkevalla koneella, mikä lisää työn tuottavuutta ja parantaa käsittelyn laatua.

Kartioviivaimen haittana on tarve irrottaa jarrusatula luisti poikittaissyöttöruuvista. Tämä haitta on eliminoitu joidenkin sorvien suunnittelussa, joissa ruuvia ei ole liitetty jäykästi käsipyöräänsä ja poikittaisen itseliikkuvan hammaspyöriin.

6. Kartiomaisten pintojen käsittely leveällä leikkurilla

Pienen kartiopituuden kartiomaisten pintojen (ulko- ja sisäpintojen) käsittely voidaan suorittaa leveällä leikkurilla, jonka etukulma vastaa kartion kaltevuuden kulmaa α (kuva 210). Leikkurin syöttö voi olla pitkittäistä ja poikittaista.

Leveän leikkurin käyttö tavanomaisissa koneissa on kuitenkin mahdollista vain, jos kartiopituus ei ylitä noin 20 mm. Leveämpiä jyrsintereitä voidaan käyttää vain erityisen jäykissä koneissa ja osissa, jos se ei aiheuta terän ja työkappaleen tärinää.

7. Poraus ja kartioreikien kalvaus

Suippo on yksi vaikeimmista sorvaustöistä; se on paljon vaikeampaa kuin ulkoisten kartioiden käsittely.

Sorvien kartiomaisten reikien käsittely suoritetaan useimmissa tapauksissa poraamalla jyrsimellä jarrusatulaa yläosan käännöksellä ja harvemmin kartiomaisen viivaimen avulla. Kaikki jarrusatulat tai kartiomaisen viivaimen yläosan kääntämiseen liittyvät laskelmat suoritetaan samalla tavalla kuin käännettäessä kartiomaisia ulkopintoja.

Jos reiän on oltava kiinteässä materiaalissa, porataan ensin lieriömäinen reikä, joka sitten porataan jyrsimellä kartioksi tai koneistetaan kartiomaisilla upotteilla ja kalvilla.

Porauksen tai kalvoituksen nopeuttamiseksi poraa ensin reikä poralla, halkaisija d, joka on 1-2 mm pienempi kuin kartion pienen pohjan halkaisija (kuva 211, a). Tämän jälkeen porataan reikä yhdellä (kuva 211, b) tai kahdella (kuva 211, c) poralla askelmien saamiseksi.

Kartion hienoporauksen jälkeen se levitetään vastaavan kartiomaisen kartiomaisen kalvimen avulla. Kartioiden, joissa on pieni kartio, on kannattavampaa työstää kartiomaiset reiät heti porauksen jälkeen erikoiskalvimilla, kuten kuvassa 1 on esitetty. 212.

8. Leikkausolosuhteet porattaessa reikiä kartiomaisilla kalvilla

Kartiomaiset kalvimet toimivat vaikeammissa olosuhteissa kuin lieriömäiset: kun lieriömäiset kalvimet poistavat pienen lisäyksen pienillä leikkaussärmillä, kartiokalvaimet leikkaavat kartion generatrixissa sijaitsevien leikkaussärmiensä koko pituudelta. Siksi kartiomaisilla kalvimilla työskennellessä syöttöjä ja leikkausnopeuksia käytetään vähemmän kuin sylinterimäisten kalvinten kanssa.

Kun porataan reikiä kartiomaisilla kalvilla, syöttö tapahtuu manuaalisesti pyörittämällä takatuen käsipyörää. On huolehdittava siitä, että peräsuulake liikkuu tasaisesti.

Syöttää terästä käytettäessä 0,1-0,2 mm/kierros, valurautaa käytettäessä 0,2-0,4 mm/kierros.

Leikkausnopeus kalvattaessa kartiomaisia reikiä pikateräskalvimilla 6-10 m/min.

Jäähdytystä tulee käyttää kartiomaisten kalvinten toiminnan helpottamiseksi ja puhtaan ja sileän pinnan saamiseksi. Teräksen ja valuraudan käsittelyssä käytetään emulsiota tai sulfofresolia.

9. Kartiopintojen mittaus

Kartioiden pinnat tarkistetaan malleilla ja mittareilla; mittaus ja samalla kartion kulmien tarkistus suoritetaan goniometreillä. Kuvassa 213 näyttää, kuinka kartio testataan mallin avulla.

Eri osien ulko- ja sisäkulmat voidaan mitata yleisgoniometrillä (kuva 214). Se koostuu kannasta 1, jolle pääasteikko asetetaan kaarelle 130. Pohjaan 1 on kiinnitetty jäykästi viivain 5. Jalustan kaaria pitkin liikkuu nonia 3 kantava sektori 4. Sektoriin 4 voidaan kiinnittää pidikkeen 7 avulla neliö 2, jossa puolestaan on irrotettava viivain 5 on kiinteä. Neliö 2 ja irrotettava viivain 5 voivat liikkua sektorin 4 reunaa pitkin.

Erilaisten goniometrin mittausosien asennuksen yhdistelmien avulla on mahdollista mitata kulmia 0 - 320°. Nonierilukeman arvo on 2 ". Kulmien mittauksessa saatu lukema tehdään asteikolla ja nonierilla (kuva 215) seuraavasti: Nonierin nollaisku näyttää asteiden lukumäärän ja nonierin veto. , joka on sama kuin perusasteikon veto, osoittaa minuuttien lukumäärän. Kuvassa 215 noonien 11. veto osuu perusasteikon vetoon, mikä tarkoittaa 2 "X 11 \u003d 22". Siksi kulma tässä tapauksessa on 76 ° 22 ".

Kuvassa 216 näyttää universaalin goniometrin mittausosien yhdistelmiä, jotka mahdollistavat eri kulmien mittaamisen välillä 0 - 320°.

Massatuotannon kartioiden tarkempaan tarkistamiseen käytetään erityisiä mittareita. Kuvassa Kuviossa 217 a on esitetty kartiomainen mittaholkki ulkopuolisten kartioiden tarkastamiseksi, ja kuviossa 2 on esitetty kuviossa 217 esitetty kartiomainen mittaholkki. 217, b-kartiomainen tulppamittari kartiomaisten reikien tarkistamiseen.

Kaliipereihin tehdään reunukset 1 ja 2 päihin tai kiinnitetään riskit 3, jotka määrittävät tarkastettavien pintojen tarkkuuden.

Käytössä. riisi. Kuvassa 218 on esimerkki kartiomaisen reiän tarkistamisesta tulppamittarilla.

Reiän tarkistamiseksi mittari (katso kuva 218), jossa on reunus 1 tietyllä etäisyydellä päästä 2 ja kaksi riskiä 3, työnnetään kevyellä paineella reikään ja tarkistetaan, heiluuko mittari reiässä. Huipun puuttuminen osoittaa, että kartiokulma on oikea. Kun olet varmistanut, että kartion kulma on oikea, tarkista sen koko. Tarkkaile tätä varten, mihin pisteeseen mittari menee tarkastettavaan osaan. Jos osan kartion pää osuu yhteen reunan 1 vasemman pään tai jonkin merkin 3 kanssa tai on merkkien välissä, kartion mitat ovat oikeat. Mutta voi käydä niin, että mittari työntyy osaan niin syvälle, että molemmat riskit 3 menevät reikään tai reunuksen 1 molemmat päät tulevat ulos. Tämä osoittaa, että reiän halkaisija on suurempi kuin määritetty. Jos päinvastoin molemmat riskit ovat reiän ulkopuolella tai mikään reunuksen päistä ei tule ulos, on reiän halkaisija vaadittua pienempi.

Suipentumisen tarkastamiseksi tarkasti käytetään seuraavaa menetelmää. Osan tai mittarin mitatulle pinnalle piirretään kaksi tai kolme viivaa liidulla tai lyijykynällä kartiogeneratrixia pitkin, sitten mittari asetetaan tai laitetaan osaan ja pyöritetään osa kierrosta. Jos viivat pyyhitään epätasaisesti, tämä tarkoittaa, että osan kartio on käsitelty epätarkasti ja se on korjattava. Viivojen pyyhkiminen kaliiperin päistä osoittaa virheellisen suippenemisen; Viivojen poistaminen mittarin keskiosasta osoittaa, että kartiossa on lievää koveruutta, mikä johtuu yleensä leikkurin kärjen epätarkista sijainnista keskipisteiden korkeudella. Liituviivojen sijaan voidaan levittää ohut kerros erikoismaalia (sinistä) osan tai mittarin koko kartiomaiselle pinnalle. Tämä menetelmä antaa suuremman mittaustarkkuuden.

10. Avioliitto kartiomaisten pintojen käsittelyssä ja toimenpiteet sen estämiseksi

Kartiomaisia pintoja käsiteltäessä mainittujen sylinterimäisten pintojen hylkytyypit ovat lisäksi mahdollisia seuraavan tyyppisiä rejektejä:
1) väärä kartio;
2) kartion koon poikkeamat;
3) poikkeamat pohjan halkaisijoiden mitoissa oikealla kartiomaisella;
4) kartiomaisen pinnan generatrixin epäsuoraisuus.

1. Väärä kartio johtuu pääasiassa takatuen rungon epätarkasta siirtymisestä, jarrusatulan yläosan epätarkasta pyörimisestä, kartiomaisen viivaimen väärästä asennuksesta, väärästä teroituksesta tai leveän leikkurin asennuksesta. Siksi avioliitto voidaan estää säätämällä tarkasti takatuen kotelo, jarrusatulan yläosa tai kartiomainen viivain ennen käsittelyn aloittamista. Tällainen avioliitto on korjattavissa vain, jos kartion koko pituuden virhe kohdistuu osan runkoon, eli holkin kaikki halkaisijat ovat pienempiä ja kartiomaisen tangon halkaisijat vaadittua suurempia.

2. Kartion väärä koko oikeassa kulmassa, eli halkaisijoiden väärä koko kartion koko pituudelta saadaan, jos materiaalia ei poisteta tarpeeksi tai liikaa. Avioliitto voidaan estää vain asettamalla leikkaussyvyys raajaa pitkin huolellisesti viimeistelyvaiheissa. Avioliitto korjataan, jos materiaalia ei ole kuvattu tarpeeksi.

3. Voi käydä ilmi, että kartion toisen pään oikealla kartiolla ja tarkalla mitoilla toisen pään halkaisija on väärä. Ainoa syy on osan koko kartiomaisen osan vaaditun pituuden noudattamatta jättäminen. Avioliitto korjataan, jos osa on tarpeettoman pitkä. Tämän tyyppisen avioliiton välttämiseksi on tarpeen tarkistaa huolellisesti sen pituus ennen kartion käsittelyä.

4. Käsitellyn kartion generatrixin epäsuoraisuus saadaan, kun leikkuri asennetaan keskikohdan yläpuolelle (kuva 219, b) tai alapuolelle (kuva 219, c) (näissä kuvissa, selvyyden vuoksi, vääristymä kartion generatrix on esitetty suuresti liioiteltuna). Näin ollen tämäntyyppinen avioliitto on seurausta kääntäjän välinpitämättömästä työstä.

testikysymykset 1. Millä tavoin kartiomaisia pintoja voidaan työstää sorveilla?
2. Milloin on suositeltavaa kääntää jarrusatulaa?
3. Miten jarrusatulat yläosan kiertokulma kartiokäännössä lasketaan?
4. Miten satulan yläosan oikea pyöriminen tarkistetaan?
5. Kuinka tarkistaa takatuen rungon offset?Miten lasketaan offsetin määrä?
6. Mitkä ovat kartiomaisen viivaimen pääelementit? Kuinka säätää kartioviivainta tälle osalle?
7. Aseta yleisgoniometriin seuraavat kulmat: 50°25"; 45°50"; 75°35".
8. Mitkä työkalut mittaavat kartiomaisia pintoja?
9. Miksi kartiomaisissa kaliipereissa on reunuksia tai riskejä ja miten niitä käytetään?
10. Listaa avioliittotyypit kartiomaisten pintojen käsittelyssä. Kuinka välttää niitä?

Jotka tulevat yhdestä pisteestä (kartion kärjestä) ja jotka kulkevat tasaisen pinnan läpi.

Tapahtuu, että osaa kehosta kutsutaan kartioksi, jonka tilavuus on rajoitettu ja joka saadaan yhdistämällä jokainen segmentti, joka yhdistää tasaisen pinnan kärjen ja pisteet. Jälkimmäinen tässä tapauksessa on kartiopohja, ja kartion sanotaan lepäävän annetulla alustalla.

Kun kartion kanta on monikulmio, tämä on jo pyramidi .

pyöreä kartio- tämä on kappale, joka koostuu ympyrästä (kartion pohjasta), pisteestä, joka ei ole tämän ympyrän tasossa (kartion yläosa ja kaikki segmentit, jotka yhdistävät kartion yläosan kartion pisteisiin) pohja).

Segmenttejä, jotka yhdistävät kartion kärjen ja pohjan kehän pisteitä kutsutaan muodostaen kartion. Kartion pinta koostuu pohja- ja sivupinnasta.

Oikea sivupinta-ala n-kartioon kaiverrettu hiilipyramidi:

S n =½P n l n,

missä P n on pyramidin pohjan ympärysmitta ja l n- apoteemi.

Samalla periaatteella: katkaistun kartion sivupinnan alueelle, jossa on kantasäteet R1, R2 ja tuottaa l saamme seuraavan kaavan:

S \u003d (R 1 + R 2) l.

Suorat ja vinot pyöreät kartiot, joilla on sama pohja ja korkeus. Näillä kappaleilla on sama tilavuus:

kartioominaisuudet.

Kun pohjan pinta-alalla on raja, myös kartion tilavuudella on raja ja se on yhtä suuri kuin pohjan korkeuden ja pinta-alan tulon kolmas osa.

missä S- perusalue H- korkeus.

Siten jokaisella kartiolla, joka lepää tällä alustalla ja jonka kärki on pohjan suuntaisella tasolla, on sama tilavuus, koska niiden korkeudet ovat samat.

Jokaisen kartion, jonka tilavuus on rajallinen, painopiste on neljäsosa korkeudesta alustasta.
Suoran pyöreän kartion kärjessä oleva avaruuskulma voidaan ilmaista seuraavalla kaavalla:

missä α on kartion avautumiskulma.

Tällaisen kartion sivupinta-ala, kaava:

ja kokonaispinta-ala (eli sivupinnan ja pohjan pinta-alojen summa) kaava on:

S = πR(l+R),

missä R- pohjan säde, l- generatrixin pituus.

Pyöreän kartion tilavuus, kaava:

Katkaistun kartion (ei vain suoran tai pyöreän) tilavuuskaava on:

missä S1 Ja S2- ylä- ja alapohjan pinta-ala,

h Ja H- etäisyydet ylä- ja alapohjan tasosta yläosaan.

Tason leikkauspiste oikean pyöreän kartion kanssa on yksi kartioleikkauksista.

) - kappale euklidisessa avaruudessa, joka saadaan yhdistämällä kaikki yhdestä pisteestä lähtevät säteet ( huiput kartio) ja kulkee tasaisen pinnan läpi. Joskus kartiota kutsutaan sellaisen kappaleen osaksi, jolla on rajoitettu tilavuus ja joka saadaan yhdistämällä kaikki segmentit, jotka yhdistävät tasaisen pinnan kärjen ja pisteitä (jälkimmäistä tässä tapauksessa kutsutaan ns. perusta kartioita, ja kartiota kutsutaan perustuu tältä pohjalta). Jos kartion kanta on monikulmio, tällainen kartio on pyramidi.

Tietosanakirja YouTube

1 / 4

✪ Kuinka tehdä paperikartio.

Tekstitykset

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Janaa, joka yhdistää kärjen ja kannan rajan, kutsutaan kartion generatrix.
Kartion generaattoreiden liittoa kutsutaan generatrix(tai puolella) kartiomainen pinta. Kartion generatrix on kartiomainen pinta.
Jana, joka on pudonnut kohtisuoraan kärjestä kannan tasoon (ja myös sellaisen janan pituuteen) on ns. kartion korkeus.
Kartion avautumiskulma- kahden vastakkaisen generaattorin välinen kulma (kulma kartion yläosassa, kartion sisällä).
Jos kartion pohjalla on symmetriakeskipiste (esimerkiksi se on ympyrä tai ellipsi) ja kartion kärjen ortogonaalinen projektio pohjan tasoon osuu tämän keskipisteen kanssa, niin kartio on ns. suoraan. Suoraa, joka yhdistää kärjen ja pohjan keskustan, kutsutaan kartioakseli.
vino (taipuvainen) kartio - kartio, jonka kärjen ortogonaalinen projektio kantaan ei ole sama kuin sen symmetriakeskus.
pyöreä kartio Kartio, jonka kanta on ympyrä.
Suora pyöreä kartio(kutsutaan usein yksinkertaisesti kartioksi) voidaan saada kiertämällä suorakulmaista kolmiota jalan sisältävän viivan ympäri (tämä viiva edustaa kartion akselia).
Kartiota, joka perustuu ellipsiin, paraabeliin tai hyperbeliin, kutsutaan vastaavasti elliptinen, parabolinen Ja hyperbolinen kartio(kahdella viimeisellä on ääretön äänenvoimakkuus).
Kartion osaa, joka sijaitsee pohjan ja pohjan suuntaisen tason välissä sekä yläosan ja pohjan välissä, kutsutaan katkaistu kartio, tai kartiomainen kerros.

Ominaisuudet

Jos pohjan pinta-ala on äärellinen, niin myös kartion tilavuus on äärellinen ja on yhtä kuin kolmasosa pohjan korkeuden ja pinta-alan tulosta.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

missä S- perusalue H- korkeus. Siten kaikilla kartioilla, jotka perustuvat tiettyyn kantaan (äärellisen alueen) ja joiden kärki sijaitsee tietyllä kannan suuntaisella tasolla, on sama tilavuus, koska niiden korkeudet ovat yhtä suuret.

Minkä tahansa tilavuudeltaan rajallisen kartion painopiste sijaitsee neljänneksellä korkeudesta alustasta.
Suoran pyöreän kartion kärjessä oleva avaruuskulma on yhtä suuri kuin

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) missä α on kartion avautumiskulma.

Tällaisen kartion sivupinta-ala on yhtä suuri

S = π Rl , (\displaystyle S=\pi Rl,)

ja kokonaispinta-ala (eli sivupinnan ja pohjan pinta-alojen summa)

S = π R (l + R) , (\displaystyle S=\pi R(l+R),) missä R- pohjan säde, l = R2 + H2 (\näyttötyyli l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- generatrixin pituus.

Pyöreän (ei välttämättä suoran) kartion tilavuus on yhtä suuri kuin

V = 13 πR2H. (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)

Katkaistulla kartiolla (ei välttämättä suoralla ja pyöreällä) tilavuus on:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\näyttötyyli V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

missä S 1 ja S 2 ovat vastaavasti ylemmän (lähimpänä yläosaa) ja alemman kannan alueita, h Ja H- etäisyydet tasosta, vastaavasti ylemmistä ja alemmasta alustasta yläosaan.

Tason leikkauspiste suoran ympyräkartion kanssa on yksi kartioleikkauksista (ei-degeneroituneissa tapauksissa ellipsi, paraabeli tai hyperbola, riippuen leikkaustason sijainnista).

Kartion yhtälö

Yhtälöt, jotka määrittävät suoran ympyrän muotoisen kartion sivupinnan, jonka avautumiskulma on 2Θ, kärki origossa ja akseli, joka osuu yhteen akselin kanssa Oz :

Pallomaisessa koordinaattijärjestelmässä koordinaatit ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta .)

Sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä, jossa koordinaatit ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operaattorinimi (ctg) \Theta ) tai r = z tg Θ. (\displaystyle r=z\cdot \operaattorinimi (tg) \Theta .)

Karteesisessa koordinaattijärjestelmässä koordinaattien kanssa (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operaattorinimi (ctg) \Theta .) Tämä yhtälö kanonisessa muodossa on kirjoitettu muodossa

missä ovat vakiot a, alkaen määräytyy osuuden mukaan c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) Tämä osoittaa, että oikeanpuoleisen pyöreän kartion sivupinta on toisen kertaluvun pinta (se on ns kartiomainen pinta). Yleensä toisen asteen kartiomainen pinta lepää ellipsillä; sopivassa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä (akselit vai niin Ja OU yhdensuuntainen ellipsin akselien kanssa, kartion kärki on sama kuin origon, ellipsin keskipiste on akselilla Oz) sen yhtälöllä on muoto

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2)))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

ja ilmastointi Ja b/c yhtä suuri kuin ellipsin puoliakselit. Yleisimmässä tapauksessa, kun kartio lepää mielivaltaisella tasaisella pinnalla, voidaan osoittaa, että yhtälö kartion sivupinnalle (jossa kärki on origossa) saadaan yhtälöstä f (x, y, z) = 0, (\näyttötyyli f(x,y,z)=0,) missä on funktio f (x, y, z) (\displaystyle f(x,y,z)) on homogeeninen, eli täyttää ehdon f (α x , α y , α z) = α nf (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y) ,z)) mille tahansa reaaliluvulle α.

Skannata

Oikeanpuoleinen pyöreä kartio kiertokappaleena muodostuu suorakulmaisesta kolmiosta, joka pyörii yhden jalan ympärillä, missä h- kartion korkeus pohjan keskustasta yläosaan - on suorakulmaisen kolmion jalka, jonka ympäri pyöriminen tapahtuu. Suorakulmaisen kolmion toinen jalka r on säde kartion pohjassa. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on l- kartion generatrix.

Kartion pyyhkäisyä luotaessa voidaan käyttää vain kahta arvoa r Ja l. Pohjan säde r määrittää kartion pohjan ympyrän kehityksessä ja kartion sivupinnan sektori määrittää sivupinnan generatrixin l, joka on sivupinnan sektorin säde. Sektorikulma φ (\displaystyle \varphi ) kartion sivupinnan kehityksessä määritetään kaavalla:

φ = 360° ( r/l) .

Tänään kerromme sinulle kuinka löytää kartion generaattori, jota usein vaaditaan koulun geometria-ongelmissa.

Kartion generatrixin käsite

Oikea kartio on kuvio, joka syntyy suorakulmaisen kolmion kiertymisestä sen yhden jalan ympäri. Kartion pohja muodostaa ympyrän. Kartion pystyleikkaus on kolmio, vaakasuora osa on ympyrä. Kartion korkeus on segmentti, joka yhdistää kartion yläosan pohjan keskustaan. Kartion generatriisi on segmentti, joka yhdistää kartion kärjen mihin tahansa pisteeseen pohjan kehäviivalla.

Koska kartio muodostuu suorakulmaisen kolmion pyörityksellä, käy ilmi, että tällaisen kolmion ensimmäinen haara on korkeus, toinen on ympyrän säde pohjassa ja kartion generatriisi on hypotenuusa. On helppo arvata, että Pythagoran lause on hyödyllinen generatriisin pituuden laskemiseen. Ja nyt lisää siitä, kuinka löytää kartion generatrixin pituus.

Generaattorin löytäminen

Helpoin tapa ymmärtää generatrixin löytäminen on käyttää tiettyä esimerkkiä. Oletetaan seuraavat tehtävän ehdot: korkeus on 9 cm, pohjaympyrän halkaisija on 18 cm. On löydettävä generatriisi.

Joten kartion korkeus (9 cm) on yksi oikean kolmion jaloista, jonka avulla tämä kartio muodostettiin. Toinen jalka on perusympyrän säde. Säde on puolet halkaisijasta. Näin ollen jaamme meille annetun halkaisijan puoliksi ja saamme säteen pituuden: 18:2 = 9. Säde on 9.

Nyt on erittäin helppo löytää kartion generatrix. Koska se on hypotenuusa, sen pituuden neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa, eli säteen ja korkeuden neliöiden summa. Joten generatriisin pituuden neliö \u003d 64 (säteen pituuden neliö) + 64 (korkeuden pituuden neliö) \u003d 64x2 \u003d 128. Poimimme nyt luvun 128 neliöjuuren Tuloksena saamme kahdeksan juurta kahdesta. Tämä on kartion generatrix.

Kuten näette, tässä ei ole mitään monimutkaista. Esimerkiksi otimme ongelman yksinkertaiset ehdot, mutta koulukurssilla ne voivat olla monimutkaisempia. Muista, että generatrixin pituuden laskemiseksi sinun on selvitettävä ympyrän säde ja kartion korkeus. Nämä tiedot tuntemalla on helppo löytää generatriisin pituus.