Toimintoa kutsutaan primitiiviseksi funktiona, jos. Ulkopuolinen oppitunti on primitiivinen. Liittäminen. Säännöt dummiesintegraalien laskemiseksi

Tulostus

Alkeellisen tehtävän määritelmä

• Toiminto y \u003d f (x)nimeltään primitiivinen toiminto y \u003d f (x) Tietyllä aikavälillä X,jos kaikki h. ∈ H. Tasa-arvo suoritetaan: F '(x) \u003d f (x)

Voit lukea kahdella tavalla:

1. f. Johdettu toiminto F.
2. F. Täydellinen toimintoon f.

Primitiivinen omaisuus

• Jos F (x)- Täydellinen toimintoon f (x) Tietyssä aukossa funktio f (x) on äärettömän monia primitiivisiä, ja kaikki nämä primitiiviset voidaan kirjoittaa F (x) + kanssajossa c on mielivaltainen vakio.

Geometrinen tulkinta

• Kaikkien primitiivisen tämän ominaisuuden kaaviot. f (x) saatu kaaviosta minkä tahansa primitiivisen rinnakkaisen siirron pitkin akselia w..

Ensisijaisen määrän laskemista koskevat säännöt

1. Ensimmäinen summa on yhtä suuri kuin primordial. Jos F (x) - Pred-kaltainen f (x)ja g (x) on primitiivinen g (x)T. F (x) + g (x) - Pred-kaltainen f (x) + g (x).
2. Pysyvän kerroin voidaan tehdä johdannaismerkistä. Jos F (x) - Pred-kaltainen f (x), I. k. - Jatkuva, sitten k · f (x) - Pred-kaltainen k · f (x).
3. Jos F (x) - Pred-kaltainen f (x), I. k, B. - Jatkuva, ja k ≠ 0T. 1 / k · f (kx + b) - Pred-kaltainen f (kx + b).

Muistaa!

Kaikki ominaisuudet F (x) \u003d x 2 + jossa C on mielivaltainen vakio, ja vain tällainen toiminto on primitiivinen toiminnalle f (x) \u003d 2x.

• Esimerkiksi:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, Koska F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, Koska F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Yhteys funktion ja sen ensisijaisen vaiheen välillä:

1. Jos kaavio on toiminnassa f (x)\u003e 0 F (x) Kasvaa tällä väleillä.
2. Jos kaavio on toiminnassa f (x)<0 aikavälillä, aikataulu on sen primitiivinen F (x) pienenee tällä aikavälillä.
3. Jos f (x) \u003d 0Sitten hänen primitiivisen kaavio F (x) Tässä vaiheessa muuttuu kasvava vähennys (tai päinvastoin).

Määrittelemätöntä integraalin merkkiä käytetään, eli integraali määrittelemättä integraatiorajoituksia.

Epävarma integraali

Määritelmä:

• Epävarma integraali toiminnasta F (x) on ekspressio f (x) + C, eli kaikkien F (x): n ensisijaisten toimintojen yhdistelmä. Merkitsee määräämättömän integraalin seuraavasti: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

• f (x)- Katso integroitu toiminto;
• f (x) dx- kutsutaan sidottuksi ilmaisuksi;
• x. - puhelun integraatiomuuttuja;
• F (x) - yksi primitiivisistä toiminnoista f (x);
• Peräkkäin - mielivaltainen vakio.

Riippumattoman integraalin ominaisuudet

1. Riippumattoman integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integraanttifunktio: (INT F (X) DX) \\ PRIME \u003d F (x).
2. Integroidun ekspression pysyvä kerroin voidaan tehdä integroituun merkkiin: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. Toimintojen määrä (ero) on yhtä suuri kuin näistä toiminnoista peräisin olevien integraalien määrä (ero): \\ int (f (x) pm g (x)) DX \u003d \\ INT F (x) DX \\ PM \\ int g (x) dx.
4. Jos k, B.- vakio ja k ≠ 0, sitten \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ CDOT F (kx + b) + c.

Primaiden ja epävarmojen integraalien taulukko

Toiminto f (x)	Tulostus F (x) + c	Epävarmat integraalit \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c
0	C.	\\ int 0 dx \u003d c
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + c	\\ int KDX \u003d KX + C
f (x) \u003d x ^ m, m \\ ei \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (M + 1) + C	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (M + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + c	\\ int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + c
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + c	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + c
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (L na) + c	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (L na) + c
f (x) \u003d \\ sin x	F (x) \u003d - cos x + c	\\ int \\ sin x dx \u003d - - cos x + c
f (x) \u003d cos x	F (x) \u003d SIN X + C	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 SIN (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ CTG X + C	\\ int \\ frac (DX) (\\ SIN (^ 2) X) \u003d - \\ CTG X + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ SIN (^ 2) X) \u003d \\ TG X + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 - x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + c	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 - x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + c	\\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2) (a \\ not \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + c	\\ Int \\ FRAC (DX) (\\ SQRT (x ^ 2-A ^ 2)) \u003d \\ FRAC (1) (2 a) L N \\ LVERT \\ FRAC (X-A) (X + A) \\ RVERT + C
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ ltent cos x \\ rvert + c	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ ltent cos x \\ rvert + c
f (x) \u003d \\ CTG X	F (x) \u003d l n \\ ltenttinen \\ sin x \\ rvert + c	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lemppu \\ sin x \\ rvert + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ SIN X)	F (x) \u003d l n \\ linnoitus \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ SIN X) \u003d L N \\ LVERT \\ TG \\ FRAC (X) (2) \\ Rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ linnoitus \\ tg (\\ flac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ COS X) \u003d L N \\ FRAC (X) (2) + \\ FRAC (\\ PI) (4)) \\ Rvert + C

Formula Newton Labitsa

Anna olla f (x) Tämä ominaisuus, F. Hänen mielivaltaisen primitiivisen.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - f (a)

missä F (x) - Pred-kaltainen f (x)

Toisin sanoen integraalitoiminto f (x) Intervalli on yhtä suuri kuin pisteiden nähtävyydet b. ja a..

Curvilinear Trapeziumin neliö

Curvilinear trapetsium Kutsutaan luku, jonka ei-negatiivinen ja jatkuva aikataulu toiminnon segmentillä f., Ox Axis ja suora x \u003d A. ja x \u003d B..

Curvilinear Trapeziumin alue löytyy Newton Labitsa Formula:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Määritelmä primitiivinen.

Välimikkeen (A; B) primitiivinen toiminto f (x) kutsutaan tällainen funktio f (x), joka suoritetaan mihin tahansa x: lle määritetystä aukosta.

Jos otat huomioon sen, että vakion C johdannainen on nolla, niin tasa-arvo on oikea . Siten funktiolla f (x) on monia primitiivisiä F (x) + C mielivaltaiselle vakiolle C: lle ja nämä ensimmäiset muotoiset eroavat toisistaan \u200b\u200bmielivaltaiseen vakioarvoon.

Määritelmä määrittelemätön integraali.

Kaikki monet ensisijaiset toiminnot f (x) kutsutaan epävarmaksi tämän toiminnon integroinniksi ja on merkitty .

Ilmaisua kutsutaan konkreettinen ilmeja f (x) - integroitu toiminto. Integraand on differentiaalitoiminto f (x).

Toiminta, jolla löydetään tuntematon toiminto sen määritellyn differentiaalin mukaan epävarma Integraatio, koska integraation tulos ei ole yksi toiminto f (x), mutta sen primitiivisen f (x) + c.

Johdannaisen ominaisuuksien perusteella voit muokata ja todistaa epävarman integraalin ominaisuudet (Proph-muotoiset ominaisuudet).

Väliaikaiset ovat epävarman integraalin ensimmäiset ja toiset kiinteistöt, jotka on annettu selitykseen.

Kolmannen ja neljännen ominaisuuden osoittamiseksi on riittävää löytää johdannaisia \u200b\u200btasa-arvon oikeista osista:

Nämä johdannaiset ovat yhtä suuria kuin inhibitoriset toiminnot, jotka ovat todisteita ensimmäisen omaisuuden vuoksi. Sitä käytetään viimeisissä siirtymisissä.

Näin ollen integraatiotehtävä on käänteinen eriyttämisongelma, ja näiden tehtävien välillä on hyvin läheistä suhdetta:

• ensimmäisen kiinteistön avulla voit tarkistaa integraation. Voit tarkistaa integraation oikeellisuuden, riittää laskemaan saadun tuloksen johdannainen. Jos eriyttämisen seurauksena saatu toiminta on yhtä suuri kuin integraanttifunktio, tämä tarkoittaa sitä, että integraatio suoritetaan oikein;
• määrittelemätön integraalin toinen ominaisuus mahdollistaa sen primitiivisen tehtävänsä tunnetussa differentiaalilla. Tällä tavoin epävarmojen integraalien suora laskenta perustuu.

Harkitse esimerkkiä.

Esimerkki.

Etsi primitiivinen toiminto, jonka arvo on yhdistetty x \u003d 1.

Päätös.

Tiedämme differentiaalisesta laskelmasta (Riittää, että tarkastelee tärkeimpien elementtitoimintojen pöytäjohdannaisia). Tällä tavalla, . Toisen omaisuuden mukaan . Toisin sanoen meillä on monia primitiivisiä. X \u003d 1, saamme arvon. Tämän arvon tulisi olla yhtä suuri kuin yksi, C \u003d 1. Haluttu primitiivinen tarkastelee.

Esimerkki.

Etsi määrittelemätön integraali Ja tulos tarkistaa erilaistumisen.

Päätös.

Trigonometrian kaksoiskulman sinien kaavan mukaan , niin

Pohjustettu toiminto ja määrittelemätön integraali

Tosiasia 1. Integraatio - Toiminta, käänteinen eriyttäminen, nimittäin toiminnan palauttaminen tämän toiminnon tunnettujen johdannaisen mukaisesti. Toiminto palautettiin F.(x.) Olla nimeltään predo-muotoinen Toiminnasta f.(x.).

Määritelmä 1. Toiminto F.(x. f.(x.) Joillakin väleillä X.Jos kaikki arvot x. Tasa-arvo suoritetaan tästä aukosta F. "(x.)=f.(x.), eli tämä ominaisuus f.(x.) on primitiivisen tehtävän johdannainen F.(x.). .

Esimerkiksi toiminto F.(x.) \u003d synti. x. on ensisijainen toiminto f.(x.) \u003d Cos. x. koko numeerisesti suoraan, koska mitä tahansa ITA: n arvoa (synti. x.) "\u003d (Cos x.) .

Määritelmä 2. Epävarmasti integraalitoiminto f.(x.) Sitä kutsutaan kokonaisuuden kaiken primitiivisen. Tämä käyttää tallennusta

∫

f.(x.)dX.

,

missä merkki ∫ nimeltään kiinteä merkki, toiminto f.(x.) - korvaava toiminto ja f.(x.)dX. - konkreettinen ilme.

Siten, jos F.(x.) - jonkinlainen ensisijainen f.(x.), T.

∫

f.(x.)dX. = F.(x.) +C.

missä C. - mielivaltainen vakio (vakio).

Ymmärtää monien primitiivisten toimintojen merkitys määräämättömänä integraalisena, seuraavaan analogisesti on tarkoituksenmukaista. Olkoon ovi (perinteinen puinen ovi). Sen toiminta on "olla ovi". Ja mikä on ovi? Puusta. Siksi suuri joukko primitiivistä integroitua toimintaa "olla ovi", toisin sanoen se on määrittelemätön integraali, on funktio "Oli + C", jossa C on vakio, joka tässä yhteydessä voi olla esimerkiksi puun puusta. Aivan kuten ovi on valmistettu puusta käyttäen joitakin työkaluja, "Made" -toiminnon johdannainen primitiivisestä toiminnasta kaavat, joita opimme opiskelemalla johdannaista .

Sitten taulukko yhteisten esineiden toiminnoista ja vastaavasta primitiivisestä ("Ovesta" - "Be Tree", "Ole lusikka" - "Metalli" jne.) On samanlainen kuin tärkeimmät määrittelemättömät integraalit , joka näytetään hieman alla. Epävarmojen integraalien taulukko sisältää yhteiset toiminnot, joiden merkinnät on osoitettu prirordialista, joista nämä toiminnot tehdään. Tehtävien löytämiseksi määräämättömän olennaisen aineen mukaan tällaiset integraatteja annetaan, mikä ilman erityistä painovoimaa voidaan integroida suoraan, eli epävarmojen integraalien taulukossa. Tehtävissä on välttämätöntä edistää tehtäviä esimuotti, jotta voit käyttää taulukkointegraaleja.

Tosiasia 2. Toiminnan palauttaminen primitiivisena, meidän on otettava huomioon mielivaltainen vakio (vakio) C., jotta ei kirjoittamatta alkeellisen luetteloa eri vakioilla 1: stä äärettömään, sinun on tallennettava monet primitiiviset mielivaltaisella vakiolla C.Esimerkiksi seuraavasti: 5 x.³ + s. Joten mielivaltainen vakio (vakio) siirtyy primitiivisen ekspressioon, koska primitiivinen voi olla toiminto, esimerkiksi 5 x.³ + 4 tai 5 x.³ + 3 ja erilaistumalla 4 tai 3 tai muut vakiot kohdistetaan nollaan.

Laitamme integraatiotehtävän: Tätä toimintoa varten f.(x.) etsi tällainen toiminto F.(x.), johdannainen yhtä suuri f.(x.).

Esimerkki 1.Etsi erilaisia \u200b\u200bominaisuuksia

Päätös. Tätä ominaisuutta varten toiminto on toiminto

Toiminto F.(x.) nimeltään primitiivinen toiminnalle f.(x.) Jos johdannainen F.(x.) Yhtä suuri f.(x.) tai että sama, ero F.(x.) Raven f.(x.) dX..

(2)

Näin ollen toiminto on primitiivinen toiminnalle. Se ei kuitenkaan ole ainoa ensisijainen. Ne toimivat myös toiminnoina

missä Peräkkäin - mielivaltainen vakio. Tämä voidaan nähdä erilaistumisen.

Näin ollen, jos toiminnossa on ensimmäinen ensisijainen ensisijainen, sillä on ääretön joukko primitiivistä, joka eroaa pysyvästi. Kaikki ensisijaiset toiminnot on kirjoitettu edellä olevassa muodossa. Tämä seuraa seuraavalta teoremista.

Teorem (muodollinen tosiasia 2).Jos F.(x.) - Voimassa toiminnassa f.(x.) Joillakin väleillä H., sitten kaikki muut primitiiviset f.(x.) Samassa aukossa voidaan esittää lomakkeessa F.(x.) + C.missä Peräkkäin- mielivaltainen vakio.

Seuraavassa esimerkissä olemme valittaneet jo integraaliseen taulukkoon, joka annetaan 3 kohdassa määrättyjen kiinteistöjen kiinteistöjen jälkeen. Teemme sen ennen perehdyttämistä koko pöydän kanssa, jotta edellä mainitun olemuksen ymmärretään. Ja taulukon ja ominaisuuksien jälkeen käytämme niitä integroimalla kaikki täyteydet.

Esimerkki 2.Etsi useita ominaisuuksia:

Päätös. Löydämme primitiivisten toimintojen sarjat, joista "nämä toiminnot tehdään". Ilmoittaessaan kaavoja integroidusta taulukosta yksinkertaisesti hyväksyä, että on olemassa tällaisia \u200b\u200bkaavoja, ja tutkimme epävarmojen integraalien taulukkoa täydellisesti.

1) Kaavan (7) soveltaminen kiinteästä taulukosta n. \u003d 3, saamme

2) käyttämällä kaavaa (10) kiinteästä taulukosta n. \u003d 1/3, meillä on

3)

sitten kaavalla (7), kun n. \u003d -1/4 Etsi

Integraalin merkin alla ei ole itse toiminta f. ja hänen työnsä ero dX. . Tämä tehdään pääasiassa osoittamaan, mikä muuttuja etsii primitiivistä. Esimerkiksi,

, ;

tässä molemmissa tapauksissa integraanttifunktio on yhtä suuri, mutta sen määräämättömät integraalit harkitsevissa tapauksissa ovat erilaiset. Ensimmäisessä tapauksessa tätä ominaisuutta pidetään toiminnon muuttujalta x. ja toisessa - toiminnassa z. .

Määrittelemätön integraalisen toiminnon löytämisprosessi kutsutaan tämän toiminnon integroimiseksi.

Määräämättömän integraalin geometrinen merkitys

Anna sen olla tarpeen löytää käyrä y \u003d f (x) Ja tiedämme jo, että kallistuskulman tangentti kussakin sen pisteessä on määritetty toiminto f (x) Tämän kohdan pahoinvoitteet.

Johdannaisen geometrisen merkityksen mukaan tangentin kallistuskulma tässä käyrän tässä kohdassa y \u003d f (x) yhtä suuri kuin johdannaisen arvo F "(x). Joten sinun on löydettävä tällainen tehtävä F (x), mille F "(x) \u003d f (x). Tehtävä tarvitaan tehtävässä F (x) on ensisijainen f (x). Ongelman ehto täyttää kukaan käyrä, vaan käyräperhe. y \u003d f (x) - Yksi tällaisista käyristä, ja jokainen toinen käyrä voidaan saada rinnakkaisesta siirtymisestä pitkin akselia Oy..

Soita kaaviosta primitiivisestä toiminnasta f (x) Integraalinen käyrä. Jos F "(x) \u003d f (x)Sitten funktion kaavio y \u003d f (x) On integraalinen käyrä.

Tosiasia 3. Epävarma integraali on geometrisesti edustettuna seitsemän kaikista integroiduista käyristä Kuten alla olevassa kuvassa. Kunkin käyrän syrjäisyys koordinaattien alusta määräytyy mielivaltaisella vakiolla (vakio) integraatiolla C..

Riippumattoman integraalin ominaisuudet

Tosiasia 4. TheOREM 1. Riippumattoman integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integraanttifunktio ja sen ero on lähdekoodi.

Tosiasia 5. TheOREM 2. Valottamaton erotus erotusfunktiosta f.(x.) Yhtä funktio f.(x.) pysyvästi .

(3)

Teoreet 1 ja 2 osoittavat, että eriys ja integraatio ovat toisiaan käänteisiä toimintoja.

Tosiasia 6. TheOREM 3. Integraandin jatkuva kertoimet voidaan tehdä merkkinä määrittelemätön integraalista .

Määritelmä. Toimintoa f (x) on nimeltään primitiivinen funktio f (x) tietyssä aukossa, jos jokaiselle X: lle tästä aukosta "(x) \u003d f (x).

Primordialin pääomaisuus.

Jos f (x) on primitiivinen toiminto f (x), sitten funktio f (x) + c, jossa C on täydellinen vakio, se on myös primitiivinen funktio f (x) (eli kaikki primitiiviset toiminnot F ( x) tallennetaan F (x) + s).

Geometrinen tulkinta.

Kaikki F (x): n ensisijaisten toimintojen kaaviot saadaan yhdestä primitiivisestä rinnakkaisesta siirrosta OU-akselin varrella.

Tulostustaulukko.

Ensisijaisen löytämisen .

Olkoon f (x) ja g (x) primitiivinen vastaavasti f (x) ja g (x). Sitten:

1. F ( X.) ± g ( X.) - Pred-kaltainen F.( X.) ± G.( X.);

2. mutta F ( X.) - Pred-kaltainen mutta F.( X.);

3. - Tyylikäs mutta F.( KX +. B.).

Tehtävät ja testit aiheesta "Pred-like"

• Tulostus

  Oppitunnit: 1 Tehtävät: 11 Testit: 1

• Johdannainen ja primitiivinen - Matematiikan matematiikan matematiikan tentin valmistelu

  Tehtävät: 3.

• Integraali - Pred-kyd ja kiinteä luokka 11

  Oppitunnit: 4 Tehtävät: 13 Testaa: 1

• Laskemalla alueet integraalien avulla - Pred-kyd ja kiinteä luokka 11

  Oppitunnit: 1 Tehtävät: 10 Testaa: 1

Ottaen tutkinut tätä aihetta, sinun on tiedettävä, mitä kutsutaan primitiiviseksi, pääomaisuuteen, geometriseen tulkintaan, alkeellisen löytämisen sääntöihin; Jotta voit löytää kaikki primitiiviset toiminnot pöydällä ja sääntöjä primitiivisen löytämiseksi sekä primitiivisen, kulkevan määritetyn pisteen kautta. Harkitse ongelmien ratkaiseminen tämän aiheen esimerkkeihin. Kiinnittää huomiota päätöksiin.

Esimerkkejä.

1. Selvitä, onko funktio f ( x.) = h. 3 – 3h. + 1 ensisijainen toiminto f.(x.) = 3(h. 2 – 1).

Päätös: F "( x.) = (h. 3 – 3h. + 1) '\u003d 3 h. 2 – 3 = 3(h. 2 – 1) = f.(x.), ts. F "( x.) = f.(x.) Siksi f (x) on primitiivinen funktio f (x).

2. Etsi kaikki primitiiviset toiminnot f (x):

mutta) f.(x.) = h. 4 + 3h. 2 + 5

Päätös: Pöydän käyttö ja primitiivisen löytämisen sääntöjä saamme:

Vastaus:

b) f.(x.) \u003d synti (3 x. – 2)

Päätös:

Täydellinen. Kaunis sana.) Aloita vähän venäläistä. Tämä sana lausutaan tällä tavalla, eikä "Pred-kaltainen" Miten se voi tuntua. Pred-kaltainen on kaikkien integraalisen laskennan peruskäsite. Kaikki integraalit - määritellään (heidän kanssaan tutustuu jo tässä lukukaudella) sekä kaksinkertainen, kolminkertainen, curvilinear, pinnallinen (ja nämä ovat toisen kurssin tärkeimmät sankarit) - rakennetaan tähän avainkonseptiin. Se on täydellinen järkevä hallita. Mennä.)

Ennen kuin pääset tutustumaan primitiivisen käsitteen mukaan, muistamme tavallisimmat johdannainen. Syventämättä porausryhmää, väitteitä ja muita asioita, voimme sanoa, että johdannainen löytyy (tai erilaistuminen) On vain matemaattinen toiminta toiminto. Ja se on se. Kaikki toiminnot otetaan (sanotaan f (x) \u003d x 2) I. tiettyjen sääntöjen mukaanmuunnettu kääntämällä uusi ominaisuus. Ja tämä on eniten uusi ominaisuus ja kutsutaan johdannainen.

Meidän tapauksessamme ennen erilaistusta oli tehtävä f (x) \u003d x 2ja erilaistumisen jälkeen se tuli jo toinen toiminto f '(x) \u003d 2x.

Johdannainen - Koska uusi ominaisuus f '(x) \u003d 2x tapahtui toiminnasta f (x) \u003d x 2. Erilaistumistoiminnan seurauksena. Ja sen kanssa eikä muusta toiminnosta ( x 3., esimerkiksi).

Karkeasti, f (x) \u003d x 2 - Tämä on äiti, ja f '(x) \u003d 2x - Hänen rakaston tyttärensä.) On ymmärrettävää. Mene eteenpäin.

Matematiikka - ihmiset ovat levottomia. Jokaisesta toiminnasta he pyrkivät löytämään opposition. :) On lisäksi - on vähennys. On moninkertaistumista - jakautuminen on. Perustaminen - juuren uuttaminen. Sinus - Arksinus. Samoin on olemassa erilaistuminen- Joten, on ja ... liittäminen.)

Ja nyt laitamme tällaisen mielenkiintoisen tehtävän. Meillä on, sanotaan, niin yksinkertainen toiminto f (x) \u003d 1. Ja meidän on vastattava tällaiseen kysymykseen:

Johdettu Mikä toiminto antaa meille tehtävänf.(x.) = 1?

Toisin sanoen, kun tytär on DNA-analyysin avulla laskea, kuka on hänen milf. :) Joten mitä lähde Toiminnot (kutsutaan se f (x)) johdannainen Toiminto f (x) \u003d 1? Tai matemaattisessa muodossa, minkä vuoksi Toiminnot f (x) Tasa-arvo suoritetaan:

F '(x) \u003d f (x) \u003d 1?

Esimerkki on alkua. Yritin.) Valitsen yksinkertaisesti toiminnon f (x) niin, että tasa-arvo toimi. :) No, miten, noutaa? Tottakai! F (x) \u003d x. Koska:

F '(x) \u003d x' \u003d 1 \u003d f (x).

Tietenkin nisäkäs F (x) \u003d x Meidän on jotenkin soittaa, kyllä.) Tapaa!

Täydellinen toimintoonf.(x.) Tätä ominaisuutta kutsutaanF.(x.), jonka johdannainen on samaf.(x.), ts. jonka tasa-arvo on oikeaF.’(x.) = f.(x.).

Siinä kaikki. Lisää tieteellisiä temppuja. Tiukassa määritelmässä lisätään lisälauseke "Välillä". Mutta toistaiseksi emme kaivaa näihin hienouksiin, koska ensisijainen tehtävämme on oppia löytämään nämä hyvin primitiiviset.

Meidän tapauksessamme osoittautuu, että toiminto F (x) \u003d x on predo-muotoinen Toiminnasta f (x) \u003d 1.

Miksi? Koska F '(x) \u003d f (x) \u003d 1. ICA: n johdannainen on yksikkö. Ei vastalauseita.)

Termi "primitiivinen" filistine tarkoittaa "rodonable", "vanhempi", "esi-isä". Muista välittömästi natiivi ja rakastettu.) Ja itse haku on primitiivinen - tämä on alkuperäisen toiminnon palauttaminen sen tunnetun johdannaisen mukaan. Toisin sanoen tämä on toiminta, käänteinen eriyttäminen. Ja kaikki on! Tämä kiehtova prosessi itsessään kutsutaan myös varsin tieteelliseksi liittäminen. Mutta integraalit - myöhemmin. Kärsivällisyys, ystävät!)

Muistaa:

Integraatio on funktion matemaattinen toiminta (sekä erilaistuminen).

Integrointi - toiminta, käänteinen eriyttäminen.

Pred-kaltainen - integraation tulos.

Ja nyt vaikeuttaa tehtävää. Löydämme nyt primitiivisen toiminnan f (x) \u003d x. Toisin sanoen löydämme tällainen ominaisuus F (x) jllek sen johdannainen Olisin yhtä suuri kuin ICSU:

F '(x) \u003d x

Kuka on ystäviä johdannaisten kanssa, ehkä jotain sellaista kuin:

(x 2) '\u003d 2x.

No, kunnioittaa ja kunnioittaa niitä, jotka muistavat johdannaisten taulukkoa!) True. Mutta on yksi ongelma. Ensimmäinen toiminto f (x) \u003d x, mutta (x 2) '\u003d 2 x.. Kaksi X. Ja meillä on erottamisen jälkeen vain X.. Ei hyvin. Mutta…

Olemme tiedemies kanssasi. Saadut sertifikaatit.) Ja tiedämme koulusta, että molemmat yhdenmukaisuuden osat voidaan kertoa ja jaetaan yhteen ja samaan numeroon (lukuun ottamatta nolla, tietenkin)! Siis tämä järjestetty. Joten ymmärrämme tämän mahdollisuuden itsellesi hyväksi.)

Loppujen lopuksi haluamme pysyä puhtaana x, eikö? Ja deuce häiritsee ... täältä ja ottaa suhde johdannaiselle (x 2) '\u003d 2x ja jakaa molemmat sen osat Tästä kahdesti:

Joten, jo puhdistaa jotain. Mene eteenpäin. Tiedämme, että mikä tahansa vakio voi ota johdannainen merkki.Kuten tämä:

Kaikki matematiikan kaavat työskentelevät sekä vasemmalta oikealle ja päinvastoin - oikeus vasemmalle. Tämä tarkoittaa sitä, että samalla menestyksellä, mikä tahansa vakio voi ja Tee johdannaisen merkki:

Meidän tapauksessamme piilotetaan kaksi nimittäjältä (tai että sama, kerroin 1/2) johdannaisen merkki:

Ja nyt huolellisesti Katsomme ennätyksemme. Mitä näemme? Näemme tasa-arvoa, joka sanoo, että johdannainen jotain (Tämä on jotain - Suluissa) vastaa ICSU.

Tuloksena oleva tasa-arvo tarkoittaa, että haluttu primitiivinen toiminnoille f (x) \u003d x Tarjoaa toiminnon F (x) \u003d x 2/2 . Se seisoo suluissa kosketuksissa. Suoraan alkeellisen tunnetta.) Tarkista tulos. Etsi johdannainen:

Erinomainen! Ensimmäinen toiminto saatiin f (x) \u003d x. Siitä, mitä oli tanssinut, ja palasi. Tämä tarkoittaa, että primitiivinen löytyy oikealle.)

Mitä jos f (x) \u003d x 2? Mikä on sen primitiivinen? Ei ongelmaa! Tiedämme teidän kanssanne (jälleen, eriyttämissääntöistä), että:

3x 2 \u003d (x 3) '

JA, tuo on,

Sai kiinni? Nyt me, huomaamattomasti itselleen oppineet harkitsemaan ensin mille tahansa virtafunktio f (x) \u003d x n. Mielessä.) Ota lähde n., lisätä sitä yksikköä kohti ja korvauksen laadussa jaamme koko mallin n + 1.:

Tuloksena oleva kaava, muuten on voimassa ei vain luonnolliselle hahmolle tutkinto n.Mutta muille - negatiivisille, murto-alueelle. Tämä helpottaa alkeellisen yksinkertaisen tahrat ja juuret.

Esimerkiksi:

Luonnollisesti, n ≠ -1. Muussa tapauksessa kaavan nimittäjässä se osoittautuu nollaksi ja kaava menettää sen merkityksen.) Tästä erityisestä tapauksesta n \u003d -1. vähän myöhemmin.)

Mikä on epävarma integraali? Taulukkointegraalit.

Sanotaan, mikä on yhtä suuri kuin tehtävä F (x) \u003d x? No, yksikkö, yksi - kuulen tyytymättömiä vastauksia ... kaikki on totta. Yksikkö. Mutta ... toiminnasta G (x) \u003d x + 1 johdannainen on myös yhtä suuri kuin yksi:

Myös johdannainen on yhtä kuin yksi ja toiminto x + 1234. ja toiminnasta x-10 ja mihin tahansa muun tyyppiseen tyyppiin x + C. missä Peräkkäin - mikä tahansa vakio. Johdannaisen johdannaiselle on nolla, ja nolla lisäystä / vähennys, ei ole kylmä tai kuuma.)

Se osoittautuu epäselvyyteen. Se osoittautuu, että toiminnoille f (x) \u003d 1 Pred-kaltainen palvella ei vain tehtävä F (x) \u003d x , mutta myös funktio F 1 (x) \u003d x + 1234 ja toiminta F 2 (x) \u003d x-10 jne!

Joo. Se on tapa.) U Jokainen ( jatkuva välein) Toiminnot Ei ole kovin hyvin alkeellista, vaan äärettömän paljon - Koko perhe! Ei yhtä äitiä tai isää, vaan koko sukutaulu, joo.)

Mutta! Kaikki sukulaisemme-kasvot yhdistyvät yksi tärkeä omaisuus. Että ne ovat sukulaisia.) Omaisuus on niin tärkeä, että integraation tekniikoiden analyysin prosessissa olemme toistuvasti muistaneet. Ja muistamme pitkään.)

Täällä tämä ominaisuus:

Kaksi alkeellista F. 1 (x.) I.F. 2 (x.) Samasta toiminnostaf.(x.) eroavat vakiona:

F. 1 (x.) - F. 2 (x.) \u003d S.

Kuka on kiinnostunut todisteista - stater kirjallisuus tai abstrakti luennot.) Okei, niin minä todistan. Todistuksen etu on perusteltu, yhdessä toiminnassa. Ottaa tasa-arvoa

F. 1 (x.) - F. 2 (x.) \u003d S.

ja erottaa molemmat osat. Toisin sanoen vain typerästi laittaa aivohalvaukset:

Siinä kaikki. Kuten he sanovat, chetd. :)

Mitä tämä ominaisuus sanoo? Ja että kaksi erilaista ensisijaista samasta toiminnosta f (x) ei voi olla erilainen jotkut ilmaisut x: llä . Vain tiukasti vakioon! Toisin sanoen, jos meillä on jonkinlainen aikataulu yksi primordista (Anna sen olla f (x)), sitten grafiikka kaikki muut Primitiivisemme rakennetaan kaavion f (x) rinnakkain siirto pelin akselilla.

Katsotaanpa miten se näyttää esimerkkinä f (x) \u003d x. Kaikki sen ensisijainen, kuten tiedämme, on yleinen näkemys. F (x) \u003d x 2/2 + c . Kuvassa se näyttää infinite monet parabol"Tärkein" parabola y \u003d x 2/2 muutos akseli Oy ylös tai alas riippuen vakion arvosta Peräkkäin.

Muista koulurakennustoiminto y \u003d f (x) + a Vaihtografiikka y \u003d f (x) "A" -yksiköt pelin akselilla?) Joten tässä on sama.)

Ja kiinnitä huomiota: Parabolas no missään ei ole leikkaa!Se on luonnollista. Loppujen lopuksi kaksi eri toimintoa Y 1 (x) ja Y 2 (x) väistämättä vastaavat väistämättä kaksi erilaista arvoa vakio – 1. ja 2.

Siksi yhtälö y 1 (x) \u003d y 2 (x) ei koskaan ole ratkaisuja:

C 1 \u003d C 2

x ε ∅ , kuten C 1 ≠ C2

Ja nyt lähestyt sujuvasti integraalisen laskennan toisen kulmakiven käsitteen. Kuten juuri asentaneet, missä tahansa toiminnassa f (x) on ääretön joukko primitiivistä f (x) + c, joka eroaa toisistaan \u200b\u200bvakioon. Tämä on ääretön joukko, sillä on myös oma erityinen nimi.) No, pyydän sinua rakastamaan ja valittamaan!

Mikä on epävarma integraali?

Monet kaikista primitiivisistä toiminnoista f.(x.) Olla nimeltään epävarma integraalitoiminnastaf.(x.).

Se on kaikki määritelmä.)

"Epävarma" - Koska kaikki primitiivisen joukon samasta toiminnasta äärettömän. Liian monta eri vaihtoehtoa.)

"Integraali" - yksityiskohtaisella dekoodauksella tämän julman sanan, tutustumme seuraavaan suuriin osiin määritä integraalit. Tällä välin, karkeassa muodossa, harkitsemme jotain integraalisesti yleinen, yksi, koko. Ja integraatio - yhdistys, yleistysTällöin siirtyminen yksityisestä (johdannaisesta) yleiselle (primitiivisille). Jotain sellaista.

Merkitsee näin määrittelemätön integraalia:

Lue samalla tavalla kuin kirjoitettu: integraali EF X de X. Tai integraali peräkkäin EF X DE X.No, ymmärrät.)

Nyt käsittelemme merkintää.

∫ - integraalinen kuvake. Piste on sama kuin johdannaisen viivakoodi.)

d. - kuvakeero. Ei peloissaan! Miksi sitä tarvitaan siellä - juuri alla.

f (x) - integraand (kautta "S").

f (x) dx - inhiboiva ekspressio. Tai suunnilleen "täyttö" integraali.

Määrittelemätön integraalin merkityksen mukaan

Tässä F (x) - että samia tulostus Toiminnasta f (x)että olemme jotenkin löysi itsensä.Kuinka täsmälleen löytynyt - älä olosuhteita. Esimerkiksi huomasimme sen F (x) \u003d x 2/2 varten f (x) \u003d x.

"Alkaen" - mielivaltainen vakio. Tai enemmän tieteellisesti, integral Constanta. Tai integraatiovakio. Kaikki.)

Ja nyt palaa ensimmäisille esimerkkeihimme etsimällä primitiivistä. Riippumattoman integraalin kannalta voit nyt rohkeasti kirjoittaa:

Mikä on kiinteä vakio ja miksi se tarvitaan?

Kysymys on erittäin mielenkiintoinen. Ja hyvin (hyvin!) TÄRKEÄÄ. Integraalinen vakio koko äärettömästä primitiivisen kohokohdan kohokohdat, joka kulkee tietyn kohdan läpi.

Mitä järkeä. Alkuperäinen ääretön joukko primitiivistä (eli määrittelemätön integraali) On tarpeen korostaa käyrää, joka kulkee määritetyn pisteen läpi. Jotenkin erityisiä koordinaatteja.Tällainen tehtävä on aina ja kaikkialla, mikä ilmenee integraalien alustavalla tuttavalla. Sekä koulussa että yliopistossa.

Tyypillinen ongelma:

Kaikkien primitiivisten toimintojen sarjoista F \u003d X, valitse se, joka kulkee kohdan (2; 2) läpi.

Alamme ajattelemme päätäsi ... Monet kaikista ensisijaisista - se tarkoittaa, sinun täytyy ensin integroi alkuperäiset toiminnot.Eli x (x). Tämän myötä olimme hieman korkeammat ja saivat tällaisen vastauksen:

Ja nyt ymmärrämme, mitä saimme. Meillä ei ole yhtä toimintaa, vaan koko funktioperhe. Mitkä? Näkymä y \u003d X 2/2 + C . Vakion C. ja tämä on vakion merkitys meille ja nyt täytyy "kiinni".) No, mitä tarttuu?)

Kalastusvarsi - yritysperhe (parabola) y \u003d X 2/2 + C.

Vakio - nämä ovat kalastusta. Monta monta. Mutta jokainen on koukku ja syötti.)

Ja mikä on syötti? Oikea! Meidän kohta (-2; 2).

Joten korvaamme koordinaatit meidän pisteemme primordialista! Saamme:

y (2) \u003d 2

Täältä etsitään helposti C \u003d 0..

Mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa sitä, että koko ääretön asetettu parabolatyyppiy \u003d X 2/2 + Cvain parabola, jolla on vakio c \u003d 0 Se sopii meille! Nimittäin:y \u003d X 2/2. Ja vain hän. Vain tämä parabola kulkee tarvitseman pisteen (-2; 2). A B.ses muut parabolat perheestämme läpi tämä kohta ei enää ole.Muita koneen muita pisteitä - kyllä, mutta sen jälkeen (2; 2) - ei enää. Sai kiinni?

Selkeys tässä on kaksi kuvaa - Kaikki Parabolan perhe (eli määrittelemätön integraali) ja jonkinlainen betoniparabolavastaava vakion erityinen arvo ja kulkee läpi erityinen kohta:

Katso, kuinka tärkeää on ottaa huomioon vakio Peräkkäin Kun integroi! Joten emme laiminlyö tätä nokka "C" ja älä unohda määrittää lopulliseen vastaukseen.

Ja nyt me selvitämme sen, miksi integraalien sisällä kaikki symboli roikkuu dX. . Opiskelijat unohtavat häntä usein ... ja tämä on muuten, myös virhe! Ja melko töykeä. Asia on, että integraatio on operaatio, käänteinen eriytyminen. Ja mikä on tarkalleen erotustulokset? Johdannainen? Totta, mutta ei aivan. Ero!

Meidän tapauksessamme toiminnassa f (x) Differentiaalinen sen ensisijainen F (x), tulee olemaan:

Kenelle tämä ketju on käsittämätön - kiireellisesti toista differentiaalisen määritelmän ja merkityksen ja miten se paljastuu! Muussa tapauksessa integraaleissa hidastat armottomasti ....

Haluan muistuttaa sinua karkeassa filistealaisessa muodossa, että kaikki toiminnot f (x) on vain työ f '(x) DX. Ja kaikki on! Ota johdannainen ja kerro hänet differentiaali-argumentilla (eli DX). Toisin sanoen kaikki erot, itse asiassa laskee tavanomaisen laskemiseen johdannainen.

Siksi tiukasti, integraali "vie" toiminnot f (x)Kuten sitä pidetään ja ero f (x) DX! Mutta yksinkertaistetussa versiossa on tavallista sanoa, että "Integraali otetaan toiminnasta". Tai: "Toiminto f integroituu(x)". Tämä on sama. Ja puhumme samalla tavalla. Mutta kuvakkeesta dX. Samaan aikaan et unohda! :)

Ja nyt kerron teille, miten et unohda sitä tallennuksen aikana. Kuvittele ensin, että lasket ICS-muuttujan tavallisen johdannaisen. Miten yleensä kirjoittaa sen?

Joten: f '(x), y' (x), y 'x. Tai kiinteämpi, eroerojen suhde: dy / dx. Kaikki nämä tiedot osoittavat meille, että johdannainen otetaan ICSU: lle. Eikä "Igrek", "TE" tai muuta muuttujaa siellä.)

Myös integraaleissa. Ennätys ∫ f (x) DX me myös ikään kuin Osoittaa, että integraatio toteutetaan tarkalleen muuttuja IX. Tietenkin se on kaikki erittäin yksinkertainen ja töykeä, mutta se on selvää, toivon. Ja mahdollisuudet unohtaa Attribuutti OMNIPRESENT dX. jyrkästi laskevat.)

Joten sama epävarma integraali - käsitellään. Täydellisesti.) Nyt olisi mukavaa oppia näitä määrittelemäimmät integraalit laskea. Tai yksinkertaisesti puhu, "Take". :) Ja täällä opiskelijat odottavat kaksi uutista - hyvää ja ei kovin. Toistaiseksi aloitamme hyvällä tavalla.)

Uutiset ovat hyviä. Integraaleille sekä johdannaisille on oma levy. Ja kaikki integraalit, jotka tapaamme matkalla, jopa kauhea ja luotettavuutta, me tiettyjen sääntöjen mukaan Me jotenkin vähentämme kaikkein taulukkoa.)

Joten, täällä hän on taulukkointegraalit!

Tässä on niin kaunis merkki integraaleista suosituimmista toiminnoista. Suosittelen maksamaan erillistä huomiota kaavojen 1-2 ryhmään (vakio ja virtatoiminto). Nämä ovat yleisimpiä kaavoja integraaleissa!

Kolmas kaavoja (trigonometria), kuten voidaan arvata, saadaan yksinkertaisesti houkuttelevan vastaavia kaavoja johdannaisille.

Esimerkiksi:

Neljännen kaavanryhmän (ohjeellinen toiminta) - kaikki on samanlainen.

Mutta neljä viimeisintä kaavoja (5-8) meille uusi. Miten he tulivat ja millaisia \u200b\u200bansioita nämä ovat juuri nämä eksoottiset toiminnot, yhtäkkiä tuli pääintegraalien taulukkoon? Mitä nämä toiminnot kohdennetaan muiden toimintojen taustalla?

Niin kehittynyt historiallisesti kehitysprosessissa integraatiomenetelmät . Kun harjoittelemme ottamaan eniten ja monipuolisimmat integraalit, ymmärrät, että taulukossa luetelluista toiminnasta tulevat integraalit ovat hyvin ja hyvin usein. Usein on usein niin usein, että matematiikka merkitsi heidät taulukkoon.) Heidän kauttaan ovat hyvin paljon muita integraaleja, monimutkaisemmista rakenteista.

Kiinnostuksen vuoksi voit ottaa joitakin kauhistuttavia kaavoja ja erottaa. :) Esimerkiksi eniten brutaali 7. kaava.

Kaikki on hyvin. Ei pettänyt matematiikkaa. :)

Sisällysluettelo sekä johdannaisten taulukko, on toivottavaa tietää sydämestä. Joka tapauksessa ensimmäiset neljä kaavanryhmää. Se ei ole niin kova kuin se näyttää ensi silmäyksellä. Ymmärrä sydämestä viimeiset neljä ryhmää (fraktiot ja juuret) siihen asti kun Älä. Joka tapauksessa, aluksi sinua sekoitetaan, jos logaritmi on kirjoittaa, missä arctangenes, jossa arctanes, jossa arctanus, jossa 1 / a, jossa 1/2a ... Poistuminen on yksi - ratkaista enemmän esimerkkejä. Sitten pöytä itse asteittain ja muistaa, ja epäilykset näyttävät.)

Erityisesti utelias kasvot, jotka katsovat pöytää, voivat kysyä: ja missä pöydässä integraalit muista peruskoulun "koulu" -toiminnasta - tangentti, logaritm "kaaret"? Sanotaan, miksi pöydässä on kiinteä sinus, mutta ei ole, sanotaan, integraali tangentti tG X.? Tai ei ole kiinteä logaritmista lN X.? Arksinuksesta arcsin X.? Mitä he ovat pahempia? Mutta se on täynnä "vasen" toimintoja - juurilla, fraktioilla, neliöillä ...

Vastaus. Ei huonompi.) Vain edellä mainitut integraalit (tangentti, logaritmi, arxinus jne.) eivät ole taulukkoja . Ja ne ovat käytännössä paljon harvemmin kuin ne esitetään taulukossa. Siksi tietää ulkomuistissaMitä he ovat yhtä suuret, ei välttämättä. Vain tiedä tarpeeksi kuten ne laskea.)

Mitä, joku vielä sietämätön? Joten ole, varsinkin sinulle!

Miten voit muistaa? :) Etkö ole? Ja älä.) Mutta älä huoli, löydämme ehdottomasti kaikki tällaiset integraalit. Asianmukaisissa oppitunneissa. :)

No, nyt mene määräämättömän integraalin ominaisuuksiin. Kyllä, kyllä, mitään tekemistä! Uusi konsepti otetaan käyttöön - välittömästi ja osa sen ominaisuuksista otetaan huomioon.

Määräämättömän integraalin ominaisuudet.

Nyt ei kovin hyviä uutisia.

Toisin kuin eriyttäminen, yleiset standardin integraatiosäännötOikeudenmukainen kaikissa tilanteissa, matematiikassa ei ole. Se on fantastinen!

Esimerkiksi tiedät kaiken täydellisesti (toivon!) Että kuka tahansa sävellys minkä tahansa Kaksi toimintoa f (x) · g (x) on eriytetty seuraavasti:

(f (x) · g (x)) '\u003d f' (x) · g (x) + f (x) · g '(x).

Kuka tahansa Yksityiset erottelevat näin:

Ja kaikki monimutkaiset toiminnot, mitä sen kanssa on eriytetty seuraavasti:

Ja mitä toimintoja on piilotettu kirjaimien F ja G, yleiset säännöt toimivat edelleen ja johdannainen, tavalla tai toisella.

Mutta integraalisilla, tällainen numero ei enää siirry: työhön, yksityiseen (fraktio) sekä yleisten integraatiokaavien monimutkainen toiminta ei ole olemassa! Ei ole vakiosääntöjä! Pikemminkin ne ovat. Se on turhaan matematiikassa loukkaantunut.) Mutta ensinnäkin ne ovat paljon pienempiä kuin erottelun yleiset säännöt. Ja toiseksi useimmat integraatiomenetelmät puhumme seuraavissa oppitunneissa, hyvin, hyvin erityinen. Ja ne ovat voimassa vain tiettyyn, erittäin rajoitettuun toimintoihin. Sanotaan vain murtoidut järkevät toiminnot. Tai muutakin.

Ja jotkut integraalit, vaikka ne ovat luonteeltaan, mutta ollenkaan ei ilmaistu millään tavalla Elementary "School" -toimintojen kautta! Kyllä, ja tällaiset integraalit ovat täynnä! :)

Siksi integraatio on paljon aikaa vievää ja huolellisuutta kuin erilaistumista. Mutta on myös oma korostettu. Ammatti on luova ja erittäin jännittävä.) Ja jos olet hyvin sulatettu integraalisella pöydässä ja hallita vähintään kaksi perusedustamista, joista puhumme (ja), niin pidät integraatiota. :)

Nyt tutustu, itse asiassa määrittelemätön integraalin ominaisuudet. He eivät ole mitään. Täällä he ovat.

Kaksi ensimmäistä ominaisuutta ovat täysin samankaltaisia \u200b\u200bkuin samat ominaisuudet johdannaisille ja niitä kutsutaan. riippumattoman integraalin lineaarisuuden ominaisuudet . Kaikki on yksinkertaista ja loogista tässä: kiinteä määrästä / erosta on yhtä suuri kuin integraalien määrä / ero ja jatkuva kertoimet voidaan ottaa pois kiinteästä merkistä.

Ja tässä on seuraavat kolme ominaisuutta meille pohjimmiltaan uutta. Analysoimme niitä tarkemmin. He kuulostavat venäläisessä seuraavasti.

Kolmas omaisuus

Integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integraanttifunktio

Kaikki on yksinkertaista, kuten satu. Jos integroi toiminnon ja sitten löytää tuloksen johdannaisen, sitten ... se osoittautuu alkuperäinen integraand-toiminto. :) Tämä ominaisuus voi aina (ja tarpeellinen) käyttää lopullisen integraation tulos. Laske integraali - erottaa vastaus! Sai yksityiskohtaisen toiminnon - n. He eivät saaneet - se tarkoittaa jonnekin, kun he ovat keränneet. Etsi virhe.)

Tietenkin vastauksessa voidaan saada niin julmiksi ja suurikokoisille toiminnolle, joka on palannut poistettavaksi haluttomuus, kyllä. Mutta parempaa, jos mahdollista, yritä tarkistaa itsemme. Ainakin näissä esimerkeissä, joissa se on helppoa.)

Neljäs omaisuus

Ero integraalista on yhtä suuri kuin kuva .

Mitään erityistä täällä. Pohjamaali on sama, vain DX ilmestyy lopulta. Edellisen omaisuuden ja erilaisten tietojen paljastamiseksi.

Viides omaisuus

Joidenkin toimintojen erotus on yhtä suuri kuin tämän toiminnon summa ja mielivaltainen vakio .

Myös hyvin yksinkertainen omaisuus. Käytämme säännöllisesti kiinteää ratkaisua integraalien ratkaisemisessa. Erityisesti - ja.

Nämä ovat hyödyllisiä ominaisuuksia. En aio rohkaista tiukasti todisteita. Haluavat tarjota itsellesi. Suoraan johdannaisen ja differentiaalin suhteen. Aion todistaa vain viimeisen viides omaisuutta, sillä se on vähemmän ilmeinen.

Joten meillä on lausunto:

Vedän integroillemme "täyttämisen" ja paljastamaan differentiaalisen määritelmän mukaan:

Vain jos muistutan teitä siitä, että nimitysjohdannaisen ja primitiivisen, F.’(x.) = f.(x.) .

Lisää nyt Tulostamme sisääntegraalin sisään:

Vastaanotettu täsmälleen määritelmä määrittelemätön integraali (Anna minulle anteeksi venäjä)! :)

Siinä kaikki.)

Hyvin. Tämä on alustava tuttavamme integraalien salaperäisen maailman kanssa, katson sitä. Tänään ehdotan kierrokselle. Olemme jo aseistettu tarpeeksi menemään älykkyyteen. Jos ei konepistooli, ainakin vesipistooli perusominaisuudet ja pöytä. :) Seuraavassa oppitunnissa odotamme jo yksinkertaisimmat vaivattomat esimerkit pöydän ja kirjallisten ominaisuuksien suorasta soveltamisesta.

Nähdään!