Ekspressioiden identtiset muutokset. Samankaltaiset ilmaisut: Määritelmä, esimerkit

Tärkeimmät lisäominaisuudet ja numerot lisääntyvät.

Lisäksi omaisuutta: summan määrää ei muuteta ehtojen permutaatiosta. Kaikki numerot A ja B on todellinen tasa-arvo

Lisäksi yhdistelmäominaisuus: Kolmannen numeron lisääminen kahden numeron summaan, voit lisätä toisen ja kolmannen määrän ensimmäiseen numeroon. Kaikki numerot A, B ja C ovat todellisia tasa-arvoa

Moninkertaistumisominaisuus: kertoimien uudelleenjärjestelystä tuotteen arvo ei muutu. Kaikki numerot A, B ja C ovat todellisia tasa-arvoa

Moninkertaistumisen yhdistelmäominaisuus: Kerrotaan kahden numeron kerääminen kolmas numero, voit moninkertaistaa ensimmäisen numeron toisen ja kolmannen työhön.

Kaikki numerot A, B ja C ovat todellisia tasa-arvoa

Jakelu ominaisuus: Moninkertaistaa useita määriä, voit moninkertaistaa tämän numeron kullekin kohdalle ja taittaa tulokset. Kaikki numerot A, B ja C ovat todellisia tasa-arvoa

Lisäyksen syvennys- ja yhdistelmäominaisuuksista seuraavaa: missä tahansa määrässä voit jonkin verran järjestää komponentit ja yhdistää ne satunnaisesti ryhmiin.

Esimerkki 1 Laske 1,23 + 13,5 + 4,27 määrä.

Tätä varten on kätevä yhdistää ensimmäinen termi kolmanneksi. Saamme:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Muotoilun liike- ja muotiominaisuuksista on välttämätöntä: missä tahansa tuotteessa voit nopeasti järjestää kertojat ja yhdistää ne satunnaisesti ryhmiin.

Esimerkki 2 Etsi tuotteen arvo 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.

Yhdistämällä ensimmäinen tekijä neljänneksi ja toinen kolmanneksella meillä on:

1.8 · 0,25 · 64 · 0,5 \u003d (1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) \u003d 0,9 · 16 \u003d 14.4.

Jakelu ominaisuus on voimassa ja siinä tapauksessa, kun numero kerrotaan kolmen ja useamman komponentin määrällä.

Esimerkiksi mikä tahansa numero A, B, C ja D, tasa-arvo on totta

a (B + C + D) \u003d AB + AC + AD.

Tiedämme, että vähennys voidaan korvata lisäämällä, lisäämällä alennettuun numeroon, joka on vastakkaista vähennyskelpoista:

Tämä mahdollistaa numeerinen ilmaisu näytä a-b Laske numeron A and -b: n summa, muodon A + BCD: n numeerinen ilmentyminen katsotaan numerot A, B, -C, -D, jne. Toimenpiteet ovat oikeudenmukaisia \u200b\u200bja tällaisia \u200b\u200bsummia .

Esimerkki 3 Etsi 3,27-6,5-2.5 + 1,73 ekspressioarvo.

Tämä ilmaisu on numeroiden 3,27, -6,5, -2,5 ja 1.73 summa. Lisäysominaisuuksien soveltaminen saadaan: 3,27-6,5-2.5 + 1,73 \u003d (3,27 + 1,73) + (- 6.5-2.5) \u003d 5 + (- 9) \u003d -FOUR.

Esimerkki 4 Laske työ 36 · ().

Kerroin voidaan pitää numeron summana ja -. Käyttämällä jakeluominaisuutta kertolasku, saamme:

36 () \u003d 36 · -36 · \u003d 9-10 \u003d -1.

Identiteetti

Määritelmä. Kaksi ilmaisua, joiden vastaavat arvot ovat yhtä suuria kuin muuttujien arvot, kutsutaan identtisesti yhtä suuriksi.

Määritelmä. Tasa-arvo, uskollinen muuttujien arvoille, kutsutaan identiteetiksi.

Etsi lausekkeiden 3 (x + y) ja 3x + 3y arvot x \u003d 5, y \u003d 4:

3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 · 9 \u003d 27,

3X + 3Y \u003d 3 · 5 + 3 · 4 \u003d 15 + 12 \u003d 27.

Meillä on sama tulos. Jakeluominaisuudesta seuraa, että yleensä muuttujien arvot, vastaavat lausekkeet 3 (X + Y) ja 3X + 3Y ovat yhtä suuret.

Harkitse nyt ilmaisuja 2x + y ja 2xy. X \u003d 1, y \u003d 2, ne ovat yhtä arvoisia:

Voit kuitenkin määrittää tällaiset arvot x ja y, jossa näiden lausekkeiden arvot eivät ole yhtäläisiä. Esimerkiksi jos x \u003d 3, y \u003d 4, sitten

Ilmaisut 3 (x + y) ja 3x + 3y ovat samanlaisia \u200b\u200byhtä suuria, ja ilmaisut 2x + y ja 2xy eivät ole identtisesti yhtä suuret.

Tasa-arvo 3 (x + y) \u003d X + 3Y, uskollinen kaikille X- ja Y-arvoille, on identiteetti.

Myös uskollisen numeerisen tasa-arvon identiteetit otetaan huomioon.

Joten identiteetit ovat yhtäläisyyksiä, jotka ilmaisevat numeroiden yläpuolella olevien toimien pääominaisuudet:

a + B \u003d B + A, (A + B) + C \u003d A + (B + C),

aB \u003d BA, (AB) C \u003d A (BC), A (B + C) \u003d AB + AC.

Myös muita esimerkkejä identiteetteistä voidaan antaa:

a + 0 \u003d A, A + (- A) \u003d 0, A - B \u003d A + (- B),

a · 1 \u003d A, A · (-b) \u003d - AB, (-a) (- b) \u003d AB.

Ekspressioiden identtiset muutokset

Yhden lausekkeen korvaaminen toiseen, joka on sama kuin hänelle sama kuin hänelle samanlainen transformaatio tai vain muuntaa lausekkeen.

Muuttujien ilmaisujen identiteettimuutokset perustuvat numeroiden määrän ominaisuuksiin.

Jos haluat löytää XY-XZ-lausekkeen arvo määritetyllä X, Y, Z-arvoilla, on suoritettava kolme toimenpidettä. Esimerkiksi x \u003d 2,3, y \u003d 0,8, z \u003d 0,2 saamme:

xY - XZ \u003d 2.3 · 0,8-2,3 · 0,2 \u003d 1,84-0,46 \u003d 1,38.

Tämä tulos voidaan saada suorittamalla vain kaksi toimenpidettä, jos käytät ekspressiota x (Y-Z), joka vastaa ekspressiota XY-XZ:

xY - XZ \u003d 2.3 (0,8-0,2) \u003d 2.3 · 0,6 \u003d 1,38.

Yksinkertaistettiin laskelmia, vaihtamalla ekspression XY-XZ identtisesti yhtäläinen ilmaisu X (Y-Z).

Ilmaisujen identiteettimuutoksia käytetään laajalti laskettaessa ilmaisuja ja muita tehtäviä. Jotkut identtiset muutokset on jo suoritettu esimerkiksi, esimerkiksi tuottaen tällaisia \u200b\u200btermejä, paljastaa suluja. Muistatko säännöt näiden muutosten suorittamiseksi:

samankaltaisten ehtojen tuominen on tarpeen taittaa kertoimet ja tulos kerrotaan yhteisellä kirjaimella;

jos "plus" -merkki seisoo kiinnikkeiden edessä, kiinnikkeet voidaan jättää pois samalla kunkin kiinnikkeeseen suljetun termin merkki;

jos suluissa on "miinus" -merkki, kiinnikkeet voidaan jättää pois muuttamalla kunkin termin merkkiä, joka on suljettu kannattimeen.

Esimerkki 1 Esittelemme samanlaisia \u200b\u200btermejä 5x + 2x-3x.

Käytämme sääntöä samankaltaisten ehtojen tuomiseksi:

5x + 2x-3x \u003d (5 + 2-3) x \u003d 4x.

Tämä muuntaminen perustuu kertolaskujen jakeluominaisuuteen.

ESIMERKKI 2 PALAUTTAVAT Suljetukset ilmaisulla 2A + (B-3C).

Sulujen julkistamissäännön soveltaminen, jonka edessä "Plus" -merkki on:

2A + (B-3C) \u003d 2A + B-3C.

Transformation perustuu lisäysominaisuuteen.

ESIMERKKI 3 PALAUTTAMINEN Suluissa ilmaisu A- (4B-C).

Käytämme sulkeiden paljastamista koskevia sääntöjä, miinusmerkin edessä:

a- (4B-C) \u003d A-4B + C.

Suoritettu muuntaminen perustuu kertoimen jakeluominaisuuteen ja lisäyksen yhdistelmäominaisuuteen. Näytä se. Kuvittele tässä ilmaisussa toisen termin - (4B-C) työnä (-1) (4B-C):

a- (4B-C) \u003d A + (- 1) (4B-C).

Käytä määritetyt ominaisuudet Toimet, saat:

a- (4B-C) \u003d A + (- 1) (4B-C) \u003d A + (- 4B + C) \u003d A-4B + C.

Jonka numerot ja ilmaisut koostuvat alkuperäisestä ilmaisusta, voidaan korvata identtisesti yhtäläiset ilmaisut. Tällainen alkuperäisen ekspression transformaatio johtaa vastaavaan ekspressioon.

Esimerkiksi ekspressiossa 3 + X, numero 3 voidaan korvata 1 + 2: n määrällä ja ekspressio (1 + 2) + X, joka on sama kuin alkuperäinen ekspressio. Toinen esimerkki: ekspressiossa 1 + A 5 astetta A 5 voidaan korvata samanlaisella yhtä suuri kuin se, esimerkiksi lomake A · A 4. Tämä antaa meille ilmaisun 1 + A · A 4.

Tämä transformaatio on epäilemättä keinotekoisesti ja sitä valmistetaan yleensä mihin tahansa muunnosten osalta. Esimerkiksi määrä 4 · x 3 + 2 · x 2, kun otetaan huomioon asteen ominaisuudet, termi 4 · x 3 voidaan esittää 2 · x 2 · x: ksi. Tällaisen muunnoksen jälkeen alkuperäinen ilmentyminen kestää muodon 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Ilmeisesti koko kertojan 2 · x 2 komponentit ovat komponentteja tuloksena olevaan määrään, joten voimme suorittaa seuraavan muunnoksen - liikuntaa suluissa. Sen jälkeen tulemme ilmaisemaan: 2 · x 2 · (2 \u200b\u200b· x + 1).

Säädös ja vähennys saman numeron

Toinen keinotekoinen ekspression transformaatio on sama määrä tai ilmaus samanaikainen vähennys. Tällainen muutos on identtinen, koska se on itse asiassa sama kuin nollan kasvu ja nolla ei muuta arvoja.

Harkitse esimerkkiä. Ota ilmaisu x 2 + 2 · x. Jos lisäät laitteen siihen ja ota yksikkö, se täydentää edelleen toisen identiteetin muuntamisen - valitse pomppuluokan neliö: x 2 + 2 · x \u003d x 2 + 2 · x + 1-1 \u003d (x + 1) 2 -1.

Bibliografia.

Algebra: opinnot. 7 cl. Yleissivistävä koulutus. laitokset / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 17. ed. - M.: Enlightenment, 2008. - 240 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: opinnot. 8 cl. Yleissivistävä koulutus. laitokset / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Enlightenment, 2008. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordovich A. G. Algebra. 7. luokka. 2 TSP: ssä. 1. Opetus yleisten oppilaitosten opiskelijoille / A. Mordovich. - 17. Ed., Ekstrat - M.: MNEMOZINA, 2013. - 175 s.: IL. ISBN 978-5-346-02432-3.

Harkitse kahta yhtäläisyyttä:

1. 12 * A 3 \u003d 7 * A 8

Tämä tasa-arvo suoritetaan mihin tahansa muuttujan A arvoihin. Tämän tasa-arvon sallitut arvot ovat kaikki monia todellisia numeroita.

2. 12: A 3 \u003d A 2 * A 7.

Tämä epätasa-arvo suoritetaan kaikkien muuttujan A arvojen osalta lukuun ottamatta nollaa. Tämän epätasa-arvon sallitut arvot ovat kaikki monia todellisia lukuja lukuun ottamatta nollaa.

Jokainen näistä tasa-arvoista voidaan väittää, että on totta, että muuttujat a. Tällaisia \u200b\u200btasa-arvoita matematiikassa kutsutaan identiteetti.

Identiteetin käsite

Identiteetti on tasa-arvo uskollinen muuttujien sallituissa arvoissa. Jos tässä tasa-arvossa korvata muuttujien sijaan kaikki voimassa olevat arvot, on saatava oikea numeerinen tasa-arvo.

On syytä huomata, että uskollinen numeerinen tasa-arvo on myös identiteettejä. Esimerkiksi identiteetteillä on numeroiden ominaisuudet.

3. A + B \u003d B + A;

4. A + (B + C) \u003d (A + B) + C;

6. a * (b * c) \u003d (a * b) * c;

7. A * (B + C) \u003d A * B + A * C;

11. A * (- 1) \u003d -a.

Jos kaksi ilmaisua millä tahansa kelvollisilla muuttujilla on vastaavasti yhtä suuri, niin tällaisia \u200b\u200bilmaisuja kutsutaan samanlaiset. Alla on useita esimerkkejä identtisesti samanarvoisista ilmaisuista:

1. (A 2) 4 ja 8;

2. A * B * (- A ^ 2 * b) ja - 3 * b 2;

3. ((x 3 * x 8) / x) ja x 10.

Voimme aina korvata yhden lausekkeen millä tahansa muulla ilmaisulla, joka on sama kuin ensimmäinen. Tällainen korvaaminen on samanlainen muuntaminen.

Esimerkkejä identiteeteistä

Esimerkki 1: Seuraavat tasa-arvot ovat identiteettejä:

1. A + 5 \u003d 5 + A;

2. a * (- b) \u003d -a * b;

3. 3 * A * 3 * B \u003d 9 * A * B;

Kaikki edellä mainitut ilmaisut eivät ole identiteettejä. Näistä tasa-arvoista identiteettiset ovat vain 1,2 ja 3 tasa-arvoa. Riippumatta siitä, mitä numeroita, joita emme laita niitä, muuttujien A ja B sijasta meillä on vielä uskollinen numeerinen tasa-arvo.

Mutta 4 tasa-arvo ei ole enää identiteetti. Koska ei kaikki sallitut arvot, tämä tasa-arvo suoritetaan. Esimerkiksi arvot a \u003d 5 ja b \u003d 2, seuraava tulos on:

Tämä tasa-arvo ei ole totta, koska numero 3 ei ole yhtä suuri kuin numero -3.

§ 2. Identit ilmaisut, identiteetti. Identtisen ekspression muutos. Henkilöllisyystodistus

Etsi lausekkeiden 2 (x - 1) 2x - 2 arvot näille muuttujan X arvoille. Tulokset kirjoitamme pöydälle:

Voidaan päätellä, että lausekkeiden 2 (X - 1) 2x - 2 arvot kullekin muuttujan X annettuun arvoon ovat yhtä suuret kuin toiset. Suhteessa 2 (X- 1) \u003d 2x - 2. Sentähden muun muusta X: n muusta arvosta 2 (X - 1) 2X - 2 on myös yhtä suuri kuin kukin muu Muut. Tällaisia \u200b\u200bilmaisuja kutsutaan identtisesti samaksi.

Esimerkiksi synonyymit ovat ilmaisuja 2x + 3x ja 5x, koska joka kerta muuttujan X arvosta nämä ilmaisut hankkivat samat arvot (tämä seuraa lisääntymisen jakeluominaisuutta suhteessa lisäykseen, koska 2x + 3x \u003d 5x) .

Harkitse nyt ilmaisuja 3x + 2e ja 5h. Jos X \u003d 1 ja B \u003d 1, näiden lausekkeiden vastaavat arvot ovat yhtä suuret kuin toiset:

3 + 2Y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5H \u003d 5 ∙ 1 ∙ 1 \u003d 5.

Kuitenkin on mahdollista määrittää x: n ja y: n arvot, joiden osalta näiden lausekkeiden arvot eivät ole yhtäläisiä. Jos esimerkiksi x \u003d 2; Y \u003d 0, sitten

3x + 2Y \u003d 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 \u003d 6, 5H \u003d 5 ∙ 20 \u003d 0.

Siksi on olemassa sellaisia \u200b\u200bmuuttujien arvoja, joissa vastaavat lausekkeiden 3x + 2U ja 5H vastaavat arvot eivät ole yhtäläisiä. Siksi ilmaisut 3x + 2e ja 5H eivät ole identtisiä yhtä suuria.

Edellä esitetyn perusteella erityisesti identiteetteet ovat tasa-arvoa: 2 (x - 1) \u003d 2x - 2 ja 2x + 3x \u003d 5x.

Identiteetti on jokainen tasa-arvo, joka kirjoitetaan tunnettujen toimien yläpuolella olevien toimien ominaisuuksista. Esimerkiksi,

a + B \u003d B + A; (A + B) + C \u003d A + (B + C); A (B + C) \u003d AB + AS;

aB \u003d BA; (AB) C \u003d A (BC); A (B - C) \u003d AB - AU.

Ikstiteetti ovat tällainen tasa-arvo:

a + 0 \u003d A; A ∙ 0 \u003d 0; a ∙ (-b) \u003d -AB;

a + (-a) \u003d 0; A ∙ 1 \u003d A; A ∙ (-b) \u003d AB.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jos ilmaisulla-5x + 2x - 9 vähentää tällaisia \u200b\u200btermejä, saamme tämän 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Tässä tapauksessa sanotaan, että ekspressio 5x + 2x - 9 korvataan identtisellä ilmaisulla Se 7x - 9.

Muuttujien ilmaisujen identiteetin muuntaminen suoritetaan numeroiden määrän ominaisuuksilla. Erityisesti samanlaiset transformaatiot, joilla on suluja, tällaisten termien ja vastaavien rakentaminen.

Samanlaiset muunnokset on suoritettava yksinkertaistamisessa ilmaisua, eli jonkin verran ilmaisun korvaaminen ekspressiossa, joka on sama kuin se, mikä on lyhyempi.

Esimerkki 1. Yksinkertaista ilmaisua:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5A - (A - 2B) + (3B - A).

1) -0,3 m ∙ 5n \u003d -0,3 ∙ 5mn \u003d -1,5 mn;

2) 2 (3x 4) + 3 (-4 + 7) \u003d 6 x. - 8 - 1 2x + 21 \u003d 6x + 13;

3) 2 + 5A - (A - 2B) + (3B - A) \u003d 2 + 5a. - mutta + 2 b. + 3 b. - mutta \u003d 3A + 5B + 2.

Todista, että tasa-arvo on identiteetti (toisin sanoen todistaa identiteetti, käyttää identtisiä ekspressioita.

Voit todistaa identiteetin jollakin seuraavista tavoista:

suorittaa sen vasemman puolen identtiset muutokset, mikä sekoitetaan oikea osa;
suorita oikean osan identtiset muutokset, mikä minimoi vasemmanpuoleisen lajin;
suorita samanlaiset muunnelmat molempien osien ja pystyttäen molemmat osat samoihin ilmaisuihin.

Esimerkki 2. Todista identiteetti:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4A \u003d 5 (2A - 3B) - 7 (2A - 5B);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) \u003d 13 (2x - 5) + 21.

R a s in 'i z ja n n n n n n.

1) Muutamme tämän tasa-arvon vasen osan:

2x - (x + 5) - 11 \u003d 2x - h.- 5 - 11 \u003d X - 16.

Tasa-arvon vasen osan ilmaisu oli identtiset muutokset tasa-arvon vasemmassa osassa ja siten osoittanut, että tämä tasa-arvo on identiteetti.

2) Muutamme tämän tasa-arvon oikean puolen:

5 (2A - 3B) - 7 (2A - 5B) \u003d 10a. - 15 b. - 14a. + 35 b. \u003d 20b - 4a.

Tasa-arvon oikealla puolella tasa-arvon vasemmalla puolella ja osoittanut siten, että tämä tasa-arvo on identiteetti.

3) Tässä tapauksessa on kätevä yksinkertaistaa sekä vasenta ja tasa-arvoa ja verrata tuloksia:

2 (3 - 8) + 4 (5x - 7) \u003d 6x - 16 + 20x - 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Tasa-arvon vasemman ja oikean tason vasemman ja oikean puolen vasen ja oikeat osat tasa-arvon vasemmalla ja oikealla puolella: 26x - 44. Siksi tämä tasa-arvo on identiteetti.

Mitä ilmaisuja on identtinen? Anna esimerkki identtisistä ilmaisuista. Mitä tasa-arvoa kutsutaan identiteetiksi? Anna esimerkki identiteetistä. Mitä kutsutaan identtiseksi muutokseksi ilmaisun? Kuinka todistaa identiteetti?

(Suullisesti) tai ilmauksia on sama kuin sama:

1) 2A + A ja 3A;

2) 7x + 6 ja 6 + 7x;

3) x + x + x ja x 3;

4) 2 (x - 2) ja 2x - 4;

5) m - n ja n - m;

6) 2a ∙ r ja 2R ∙ e?

Onko samanlaiset ilmaisut:

1) 7x - 2x ja 5x;

2) 5A - 4 ja 4 - 5A;

3) 4m + n ja n + 4m;

4) A + A ja A 2;

5) 3 (A - 4) ja 3A - 12;

6) 5m ∙ n ja 5m + n?

(Suullisesti) on yhdenvertaisuuden identiteetti:

1) 2A + 106 \u003d 12AB;

2) 7p - 1 \u003d -1 + 7p;

3) 3 (x - y) \u003d 3x - 5th?

Avoimet sulkeet:

Avoimet sulkeet:

Kaksi vastaavaa ehtoa:

Nimeä useita ilmaisuja, identtisiä ilmaisuja 2a + 3a.
Yksinkertaista ilmaisua käyttämällä uudelleenmenon ja yhdistämisominaisuuksia kertomalla:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4R ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4) - x ∙<-7у).

Yksinkertaista ilmaisua:

1) -2p ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0,2 x ∙ (-3u);

4) - 1 m ∙ (-3N).

(Suullisesti) yksinkertaistaa ilmaisua:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Kaksi vastaavaa ehtoa:

1) 56 - 8A + 4B - A;

2) 17 - 2P + 3R + 19;

3) 1,8 A + 1,9 B + 2.8 A - 2,9 B;

4) 5 - 7c + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9 a) - (4 - 18 a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (G - 3);

4) - (3m - 5) + 2 (3m - 7).

Avaa kiinnikkeet ja kierrä samanlaisia \u200b\u200btermejä:

1) 3 (8A - 4) + 6A;

2) 7P - 2 (3R - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), jos x \u003d 2,4;

2) 1.3 (2A - 1) - 16.4, jos A \u003d 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - M), jos m \u003d -3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, jos x \u003d -1, y \u003d 1.

Yksinkertaista ilmaisua ja löytää sen arvo:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), jos x \u003d -0,7;

2) 1,7 (Y - 11) - 16.3, jos B \u003d 20;

3) 0,6 (2A - 14) - 0,4 (5A - 1), jos A \u003d -1;

4) 5 (m - n) - 4 m + 7n, jos m \u003d 1,8; N \u003d -0.9.

Todista identiteetti:

1) - (2x - Y) \u003d Y - 2X;

2) 2 (x - 1) - 2x \u003d -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) \u003d 5x;

4) C - 2 \u003d 5 (C + 2) - 4 (C + 3).

Todista identiteetti:

1) - (M - 3N) \u003d 3N - M;

2) 7 (2 - P) + 7p \u003d 14;

3) 5a \u003d 3 (A - 4) + 2 (A + 6);

4) 4 (M - 3) + 3 (M + 3) \u003d 7m - 3.

Kolmion sivun pituus on CM ja kunkin kahden muun sivun pituus on 2 cm enemmän kuin se. Kirjaa kolmioon lausekkeen kehä ja yksinkertaistaa lauseketta.
Suorakulmion leveys on x cm ja pituus on 3 cm enemmän leveä. Kirjoita suorakulmion ilmakehän muoto ja yksinkertaista ilmentymä.

1) X - (X - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3N);

3) 4P - (3R - (2P - (R + 1));

4) 5x - (2x - (Y - X) - 2.));

5) (6A - B) - (4 a - 33 b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2N - 0,48 m).

Laajenna kiinnikkeitä ja yksinkertaistaa ilmaisua:

1) A - (A - (3A - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5Y - (6. - (7. - 8. - 1)));

6) (2.1 A - 2.8 B) - (1 a - 1 b).

Todista identiteetti:

1) 10x - (- (5x + 20)) \u003d 5 (3x + 4);

2) - (- 3R) - (- (8 - 5P)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (A - B - C) + 5 (A - B) + 3C \u003d 8 (A - B).

Todista identiteetti:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Todista, että lausekkeen arvo

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - M) + 0,2 (1,7 - 2 m) ei riipu muuttujan arvosta.

Todista, että jos mikä tahansa arvomuuttuja on lausekkeen arvo

a - (A - 5A + 2)) - 5 (A - 8)

on sama numero.

Todista, että kolmen peräkkäisen pari numeron summa jaetaan 6: llä.
Todista, että jos n on luonnollinen numero, ekspression -2 (2,5 N - 7) + 2 (3N - 6) arvo on parillinen numero.

Harjoitukset toistoa varten

Alloy paino 1,6 kg sisältää 15% kuparia. Kuinka monta kupari kg sisältyy tähän seokseen?
Kuinka monta prosenttia on sen numero 20:

1) neliö;

Tourist 2 h Kävely jalka ja 3 h ratsastus pyörä. Matkailun vaihto 56 km. Etsi, millä nopeudella matkailija ratsasti pyörä, jos hän on 12 km / h enemmän nopeudesta, jolla hän käveli.

Mielenkiintoiset tehtävät laiska opiskelijoille

Kaupungin jalkapallon mestaruuskilpailussa 11 joukkuetta osallistuu. Jokainen joukkue soittaa muiden kanssa. Todista, että kilpailu on milloin tahansa joukkue, jolla on parillinen määrä otteluista tällä hetkellä tai ei ole vielä tehnyt yhtä.

ALGEBRA: n opiskelun aikana kohtaamme polynomin käsitteet (esimerkiksi $ yx $, $ \\ 2x ^ 2-2x $ jne.) Ja algebrallinen fraktio (esimerkiksi $ \\ frac (x + 5) (x + 5) ( X) $, $ frac (2x ^ 2) (2x ^ 2-2x) $, $ \\ \\ frac (xy) (yx) $ jne.). Näiden käsitteiden samankaltaisuus on, että muuttujat ja numeeriset arvot ovat läsnä algebbriisilla fraktioissa, aritmeettiset toimet: lisäys, vähennys, kertominen, liikunta. Näiden käsitteiden välinen ero on se, että polynomeja ei ole jaettu muuttujaksi ja algebraatisilla fraktioissa jakautuminen muuttujaan voidaan tuottaa.

Matematiikan polynomeja ja algebrallisia fraktioita kutsutaan järkeviksi algebrakiksi ilmaisuiksi. Polynomiset ovat kuitenkin kokonaislukuja järkeviä ilmaisuja ja algebrallisia murskaus-järkeviä ilmaisuja.

Se voidaan saada murto-järkevästä ilmaisusta koko algebrallinen ekspressio käyttäen identtistä transformaatiota, joka tässä tapauksessa on fraktion pääomaisuus - fraktioiden vähentäminen. Tarkista se käytännössä:

Esimerkki 1.

Suorita muuntaminen: $ \\ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $

Päätös: Muunna tämä murto-järkevä yhtälö käyttämällä murskauksen pääomasijoitusta, ts. Jakamalla numero- ja nimittäjä samalla numerolla tai ilmaisulla kuin $ 0 $.

Välittömästi tätä fraktiota ei voida leikata, on tarpeen muuntaa numerointi.

Muunnamme lausekkeen, joka seisoo nuppin numerointimessa, sillä käytämme neliön neliön kaavaa: $ A ^ 2-2ab + b ^ 2 \u003d ((a-b)) ^ $ 2

Määrä on näkymä

\\ [Frac (x ^ 2-4x + 4) (x - 2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((((x-2)) ^ 2) ( X-2) \u003d \\ FRAC (Vasen (X-2 \\ RICK) (X-2)) (X-2) \\]

Nyt näemme, että numerolla ja nimittäjässä on yleinen kerroin - se on ekspressio $ x-2 $, joka tuottaa murto-osa

\\ [Frac (x ^ 2-4x + 4) (x - 2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((((x-2)) ^ 2) ( X-2) \u003d \\ FRAC (Vasen (X-2) (X-2)) (X-2) \u003d X-2 \\]

Leikkauksen jälkeen saimme, että ensimmäinen murtorationalyysi $ + frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ oli polynomialue $ x-2 $, ts. Koko järkevä.

Nyt kiinnitämme huomiota siihen, että $ + frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) ekspressiot ovat identtiset kuin $ + frac (x-2) ) Ei lainkaan muuttujan arvot, koska Jotta fraktinen rationaalinen ilmaisu on olemassa ja oli mahdollista vähentää $ x-2 $ polynomi-nimittäjää fraktiota ei saa olla $ 0 $ (sekä kertojan, johon tuodaan vähentämään. Tässä esimerkissä. Tässä esimerkissä nimittäjä ja kerroin samaan aikaan, mutta se ei aina ole).

Muuttujan arvot, joissa algebrallinen fraktio on olemassa, kutsutaan muuttujan sallituiksi arvoiksi.

Me laitamme fraktion denomoterille: $ x-2 ≠ 0 $, sitten $ x ≠ $ 2.

Se tarkoittaa, että $ + frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ ja $ x-2 $ ilmaisut ovat identtisiä kaikkien muuttujan arvojen osalta, lukuun ottamatta $ 2 $.

Määritelmä 1.

Samanlaiset Ilmaisuja kutsutaan ne, jotka ovat yhtä suuria kuin muuttujan kaikki voimassa olevat arvot.

Identtinen muuntaminen on mikä tahansa alkuperäisen lausekkeen korvaaminen identtisesti samanlaiseksi. Tällaisiin transformaatioihin kuuluu toimien toteutus: lisäys, vähennys, kertominen, yhteinen tekijä kannattimen takana, tuo algebrac-fraktiot yhteiseen nimittäjälle, vähentämään algebralliset fraktiot, jotka tuovat samanlaisia \u200b\u200behtoja jne. On otettava huomioon, että useat muutokset, kuten lyhenne, tällaisten termien tuominen voi muuttaa muuttujan arvoja.

Vastaanotot, joita käytetään identiteettien

Luo henkilöllisyyden vasen osa oikealle tai päinvastoin käyttämällä identtisiä muutoksia

Tuo molemmat osat samaan ilmaisuun käyttäen identtisiä muutoksia.

Siirrä lausekkeet ilmaisun osaan toiseen ja todista, että vastaanotettu ero on $ 0 $

Mitkä edellä mainituista tekniikoista tämän identiteetin osoittamiseksi riippuu alkuperäisestä identiteetistä.

Esimerkki 2.

Todista identiteetti $ ((A + B + C)) ^ 2- 2 (AB + AC + BC) \u003d A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Päätös: Tämän identiteetin todistamiseksi käytämme ensimmäisiä edellä mainittuja tekniikoita, nimittäin identiteetin vasemmalla puolella ennen sen tasa-arvoa oikealla puolella.

Harkitse henkilöllisyyden vasen osa: $ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (AB + AC + BC) $ - Se edustaa kahden polynomin eroa. Samanaikaisesti ensimmäinen polynomi on kolmen komponentin summan neliö. Useiden termien summan rakentamiseksi käytämme kaavaa:

\\ [(A + B + C)) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2AB + 2AC + 2BC \\]

Tehdä tämä, meidän on moninkertaistettava numeron moninkertaistuminen polynomille. Vaihtoehtoisesti on moninkertaistaa yhteinen kerroinkannatin kunkin polynomialisen seison jokaisen komponentin takana. Kun saamme:

$ 2 (AB + AC + BC) \u003d 2AB + 2AC + 2BC $

Nyt takaisin alkuperäiseen polynomille, se on lomakkeen:

$ (A + B + C)) ^ 2-2 (AB + AC + BC) \u003d \\ A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + 2AB + 2AC + 2BC- (2AB + 2AC + 2BC) $

Huomaa, että kannattimen edessä on merkki "-" tarkoittaa, kun kiinnikkeet paljastavat kaikki merkit, jotka on muutettu vastakkaisiin kiinnikkeisiin.

$ (A + B + C)) ^ 2-2 (AB + AC + BC) \u003d \\ A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + 2AB + 2AC + 2BC- (2AB + 2AC + 2BC) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2AB + 2AC + 2BC-2AB-2AC-2BC $

Annamme samanlaisia \u200b\u200behtoja, niin saamme $ 2ab $, $ 2Ac $, $, $ 2b $ ja $ -2B $, $ - 2Ac $ ja $ -2BC $, $ 2Ac $, $ -2BC $ ovat keskenään tuhoutuneet, eli Niiden määrä on $ 0 $.

$ (A + B + C)) ^ 2-2 (AB + AC + BC) \u003d \\ A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + 2AB + 2AC + 2BC- (2AB + 2AC + 2BC) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2aB + 2AC + 2BC-2AB-2AC-2BC \u003d A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 $

Joten identtisellä transformilla saimme samanlaisen ekspression alkuperäisen identiteetin vasemmalla puolella

$ (A + B + C)) ^ 2- 2 (AB + AC + BC) \u003d \\ A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Huomaa, että tuloksena oleva lauseke osoittaa, että alkuperäinen identiteetti on lyhyt.

Huomaa, että alustavassa identiteetissä kaikki muuttujan arvot ovat sallittuja, mikä tarkoittaa, että olemme osoittautuneet identiteetin käyttämällä identtisiä tuloksia, ja se on totta kaikki muuttujan kaikki voimassa olevat arvot.