نحوه پیدا کردن مساحت اشکال هندسی چگونه مساحت یک شکل نامنظم را پیدا کنیم. مثلث. از طریق پایه و ارتفاع

مساحت یک شکل هندسی- یک مشخصه عددی یک شکل هندسی که اندازه این شکل را نشان می دهد (بخشی از سطح محدود شده توسط کانتور بسته این شکل). اندازه مساحت با تعداد واحدهای مربع موجود در آن بیان می شود.

فرمول های مساحت مثلث

1. فرمول مساحت یک مثلث در کنار و ارتفاع
   مساحت یک مثلثبرابر با نصف حاصلضرب طول یک ضلع مثلث و طول ارتفاع کشیده شده به این ضلع
   
2. فرمول مساحت مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره دایره
   
3. فرمول مساحت یک مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره محاط شده
   مساحت یک مثلثبرابر است با حاصل ضرب نیم محیط مثلث و شعاع دایره محاطی.
   
که در آن S مساحت مثلث است،
- طول اضلاع مثلث،
- ارتفاع مثلث،
- زاویه بین اضلاع و
- شعاع دایره محاطی،
R - شعاع دایره محدود شده،

فرمول های مساحت مربع

1. فرمول مساحت مربع در طول ضلع
   مساحت مربعبرابر مربع طول ضلع آن است.
2. فرمول مساحت مربع در طول مورب
   مساحت مربعبرابر با نصف مربع طول قطر آن است.
   

   S=	1	2
   	2

جایی که S مساحت مربع است،
- طول ضلع مربع،
- طول مورب مربع.

فرمول مساحت مستطیل

مساحت یک مستطیلبرابر حاصل ضرب طول دو ضلع مجاور آن است

جایی که S مساحت مستطیل است،
- طول اضلاع مستطیل.

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع

1. فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس طول و ارتفاع ضلع
   مساحت متوازی الاضلاع
2. فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس دو ضلع و زاویه بین آنها
   مساحت متوازی الاضلاعبرابر است با حاصل ضرب طول اضلاع آن در سینوس زاویه بین آنها.
   

   a b sin α

که در آن S مساحت متوازی الاضلاع است،
- طول اضلاع متوازی الاضلاع،
- طول ارتفاع متوازی الاضلاع،
- زاویه بین اضلاع متوازی الاضلاع.

فرمول های مساحت یک لوزی

1. فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و ارتفاع ضلع
   مساحت یک لوزیبرابر با حاصلضرب طول ضلع آن و طول ارتفاع پایین آمده به این سمت.
2. فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و زاویه ضلع
   مساحت یک لوزیبرابر است با حاصل ضرب مربع طول ضلع آن و سینوس زاویه بین اضلاع لوزی.
3. فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول قطرهای آن
   مساحت یک لوزیبرابر با نصف حاصلضرب طول قطرهای آن است.
که در آن S مساحت لوزی است،
- طول ضلع لوزی،
- طول ارتفاع لوزی،
- زاویه بین دو طرف لوزی،
1، 2 - طول مورب.

فرمول های ناحیه ذوزنقه ای

1. فرمول هرون برای ذوزنقه

   جایی که S مساحت ذوزنقه است،
   - طول پایه های ذوزنقه،
   - طول اضلاع ذوزنقه،
   

برای حل مسائل هندسی، باید فرمول هایی - مانند مساحت مثلث یا مساحت متوازی الاضلاع - و همچنین تکنیک های ساده ای را بدانید که به آنها خواهیم پرداخت.

ابتدا بیایید فرمول های مساحت شکل ها را یاد بگیریم. ما آنها را به طور ویژه در یک جدول مناسب جمع آوری کرده ایم. چاپ کنید، یاد بگیرید و اعمال کنید!

البته همه فرمول های هندسی در جدول ما نیستند. به عنوان مثال، برای حل مسائل هندسه و استریومتری در بخش دوم پروفایل یکپارچه آزمون ریاضیات، از فرمول های دیگری برای مساحت یک مثلث استفاده می شود. ما حتما در مورد آنها به شما خواهیم گفت.

اما اگر لازم باشد نه مساحت ذوزنقه یا مثلث، بلکه مساحت یک شکل پیچیده را پیدا کنید، چه؟ راه های جهانی وجود دارد! ما با استفاده از نمونه هایی از بانک وظیفه FIPI به آنها نشان خواهیم داد.

1. چگونه می توان مساحت یک شکل غیر استاندارد را پیدا کرد؟ مثلا یک چهارضلعی دلخواه؟ یک تکنیک ساده - بیایید این شکل را به آنهایی که همه چیز درباره آنها می دانیم تقسیم کنیم و مساحت آن را پیدا کنیم - به عنوان مجموع مساحت های این شکل ها.

این چهار ضلعی را با خط افقی به دو مثلث با قاعده مشترک برابر تقسیم کنید. ارتفاع این مثلث ها برابر است و . سپس مساحت چهارضلعی برابر است با مجموع مساحت های دو مثلث: .

پاسخ: .

2. در برخی موارد، مساحت یک شکل را می توان به عنوان تفاوت برخی از مناطق نشان داد.

محاسبه این که قاعده و ارتفاع این مثلث با چه چیزی برابری می کند چندان آسان نیست! اما می توان گفت مساحت آن برابر است با اختلاف مساحت مربع با ضلع و سه مثلث قائم الزاویه. آیا آنها را در تصویر می بینید؟ ما گرفتیم: .

پاسخ: .

3. گاهی اوقات در یک کار باید مساحت کل شکل، بلکه بخشی از آن را پیدا کنید. معمولاً در مورد مساحت یک بخش - بخشی از یک دایره صحبت می کنیم. مساحت یک بخش از یک دایره با شعاع را پیدا کنید که طول قوس آن برابر است با .

در این تصویر بخشی از یک دایره را می بینیم. مساحت کل دایره برابر است با . باقی مانده است که بفهمیم کدام قسمت از دایره به تصویر کشیده شده است. از آنجایی که طول کل دایره برابر است (از ) و طول قوس یک بخش معین برابر است بنابراین، طول کمان چندین برابر طول کل دایره است. زاویه ای که این قوس در آن قرار می گیرد نیز ضریب کمتر از یک دایره کامل (یعنی درجه) است. این بدان معنی است که مساحت بخش چندین برابر کوچکتر از مساحت کل دایره خواهد بود.

دستورالعمل ها

اگر شکل شما چند ضلعی است، راحت عمل کنید. همیشه می توانید آن را به یک عدد محدود تقسیم کنید و فقط باید یک فرمول را به خاطر بسپارید - مساحت یک مثلث. بنابراین، یک مثلث نصف حاصلضرب طول ضلع خود و طول ارتفاع کشیده شده به این ضلع است. با جمع کردن مناطقی از مثلث های منفرد که با اراده شما مثلث پیچیده تری به آنها تبدیل شده است، به نتیجه مطلوب خواهید رسید.

حل مشکل تعیین مساحت یک رقم دلخواه دشوارتر است. چنین شکلی نه تنها می تواند مرزهای منحنی نیز داشته باشد. راه هایی برای محاسبه تقریبی وجود دارد. ساده.

ابتدا می توانید از یک پالت استفاده کنید. این ابزار ساخته شده از مواد شفاف با شبکه ای از مربع یا مثلث با سطح مشخصی است که روی سطح آن اعمال می شود. با قرار دادن پالت در بالای شکلی که به دنبال مساحت آن هستید، تعداد واحدهای اندازه گیری خود را که روی تصویر همپوشانی دارند دوباره محاسبه می کنید. واحدهای اندازه گیری ناقص بسته را با یکدیگر ترکیب کنید و آنها را در ذهن خود کامل کنید تا واحدها کامل شوند. در مرحله بعد، با ضرب مساحت یک شکل پالت در عددی که محاسبه کردید، مساحت تقریبی شکل دلخواه خود را خواهید یافت. واضح است که هر چه شبکه متراکم تر روی پالت شما اعمال شود، نتیجه شما دقیق تر است.

ثانیاً، می توانید حداکثر تعداد مثلث ها را در مرزهای یک شکل دلخواه که مساحت آن را تعیین می کنید، مشخص کنید. مساحت هر کدام را مشخص کنید و مساحت آنها را اضافه کنید. این یک نتیجه بسیار خشن خواهد بود. در صورت تمایل، می توانید به طور جداگانه مساحت بخش های محدود شده توسط قوس ها را نیز تعیین کنید. برای انجام این کار، تصور کنید که بخش بخشی از یک دایره است. این دایره را بسازید و سپس از مرکز آن شعاع هایی را به سمت لبه های کمان بکشید. قطعات یک زاویه α بین خود تشکیل می دهند. مساحت کل بخش با فرمول π*R^2*α/360 تعیین می شود. برای هر قسمت کوچکتر از شکل خود، مساحت را تعیین می کنید و با جمع کردن مقادیر به دست آمده، کل نتیجه را به دست می آورید.

روش سوم دشوارتر، اما دقیق تر و برای برخی آسان تر است. مساحت هر رقم را می توان با استفاده از حساب انتگرال تعیین کرد. انتگرال معین یک تابع مساحت نمودار تابع تا آبسیسا را ​​نشان می دهد. مساحت محصور بین دو نمودار را می توان با کم کردن یک انتگرال خاص، با مقدار کمتر، از یک انتگرال در همان مرزها، اما با مقدار بزرگتر تعیین کرد. برای استفاده از این روش، راحت است که شکل دلخواه خود را به یک سیستم مختصات منتقل کنید و سپس عملکرد آنها را تعیین کنید و با استفاده از روش های ریاضیات عالی عمل کنید، که در اینجا و اکنون به آن نمی پردازیم.

فرمول مساحتبرای تعیین مساحت یک شکل، که یک تابع با ارزش واقعی است که بر روی کلاس خاصی از شکل های صفحه اقلیدسی تعریف شده و 4 شرط را برآورده می کند، ضروری است:

1. مثبت - مساحت نمی تواند کمتر از صفر باشد.
2. عادی سازی - یک مربع با واحد جانبی دارای مساحت 1 است.
3. همخوانی - ارقام متجانس دارای مساحت مساوی هستند.
4. افزایشی - مساحت اتحاد 2 شکل بدون نقاط مشترک داخلی برابر است با مجموع مساحت این ارقام.

فرمول های مساحت اشکال هندسی.

شکل هندسی	فرمول	طراحی
حاصل جمع کردن فواصل بین نقاط میانی اضلاع مقابل یک چهارضلعی محدب برابر با نیم محیط آن خواهد بود.
بخش دایره مساحت یک بخش از یک دایره برابر است با حاصل ضرب قوس آن و نصف شعاع آن.
بخش دایره. برای بدست آوردن مساحت قطعه ASB کافی است مساحت مثلث AOB را از مساحت بخش AOB کم کنید.	S = 1/2 R(s - AC)
مساحت بیضی برابر است با حاصل ضرب طول نیم محورهای اصلی و فرعی بیضی و عدد پی.
بیضی. گزینه دیگر برای محاسبه مساحت یک بیضی از طریق دو شعاع آن است.
مثلث. از طریق پایه و ارتفاع. فرمول مساحت دایره با استفاده از شعاع و قطر آن.
مربع . از طریق او. مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع آن.
مربع. از طریق مورب های آن. مساحت مربع برابر با نصف مربع طول قطر آن است.
چند ضلعی منتظم. برای تعیین مساحت یک چند ضلعی منتظم، لازم است آن را به مثلث های مساوی تقسیم کنیم که یک راس مشترک در مرکز دایره محاطی داشته باشند.	S= r p = 1/2 r n a

هر فرد تصوری از مساحت یک اتاق، مساحت یک قطعه زمین، مساحت سطحی که باید رنگ آمیزی شود، دارد. او همچنین می‌فهمد که اگر زمین‌ها یکسان باشند، مساحت آنها برابر است. که مساحت آپارتمان شامل مساحت اتاق ها و مساحت سایر اماکن آن می باشد.

این ایده رایج از مساحت هنگام تعریف آن در هندسه استفاده می شود، جایی که آنها در مورد مساحت یک شکل صحبت می کنند. اما اشکال هندسی به روش‌های مختلفی چیده می‌شوند، و بنابراین، وقتی در مورد مساحت صحبت می‌کنند، دسته خاصی از اشکال را مشخص می‌کنند.

به عنوان مثال، آنها مساحت یک چند ضلعی، مساحت یک شکل صاف دلخواه، سطح یک چند وجهی و غیره را در نظر می گیرند. در دوره ما فقط در مورد مساحت یک چند ضلعی صحبت خواهیم کرد و یک شکل صاف دلخواه

همانطور که هنگام در نظر گرفتن طول یک پاره و بزرگی یک زاویه، از مفهوم "متشکل از" استفاده می کنیم و آن را به صورت زیر تعریف می کنیم: شکل F از شکل های F 1 و F 2 تشکیل شده است، اگر اتحاد آنها باشد. و هیچ نقطه داخلی مشترکی ندارند.

در همین وضعیت می توان گفت که شکل F به شکل های F 1 و F 2 تقسیم می شود. به عنوان مثال، در مورد شکل F نشان داده شده در شکل 2، a، می توان گفت که از شکل F 1 و F 2 تشکیل شده است، زیرا آنها نقاط داخلی مشترک ندارند. شکل های F 1 و F 2 در شکل 2، b دارای نقاط داخلی مشترک هستند، بنابراین نمی توان گفت که شکل F از شکل های F 1 و F 2 تشکیل شده است. اگر شکل F از شکل های F 1 و F 2 تشکیل شده باشد، بنویسید: F=F 1 Å F 2.

تعریف.مساحت یک شکل، کمیت مثبتی است که برای هر شکل تعریف می شود به طوری که: 1) ارقام مساوی دارای مساحت مساوی باشند. 2) اگر یک شکل از دو قسمت تشکیل شده باشد، مساحت آن برابر است با مجموع مساحت این قطعات.

برای اندازه گیری مساحت یک شکل، باید یک واحد مساحت داشته باشید. به عنوان یک قاعده، چنین واحدی مساحت یک مربع با ضلع برابر با یک قطعه واحد است. اجازه دهید موافقت کنیم که مساحت مربع واحد را با حرف E و عددی که در نتیجه اندازه گیری مساحت شکل به دست می آید - S(F) نشان دهیم. این عدد را مقدار عددی مساحت شکل F با واحد انتخابی مساحت E می نامند. باید شرایط زیر را داشته باشد:

1. عدد S(F) مثبت است.

2. اگر ارقام برابر باشند، مقادیر عددی مساحت آنها برابر است.

3. اگر شکل F از شکل های F 1 و F 2 تشکیل شده باشد، مقدار عددی مساحت شکل برابر است با مجموع مقادیر عددی مساحت های شکل های F 1 و F 2.

4. هنگام جایگزینی یک واحد مساحت، مقدار عددی مساحت یک شکل F به همان میزان افزایش (کاهش) می یابد که واحد جدید کوچکتر (بزرگتر) از واحد قبلی است.

5. مقدار عددی مساحت یک واحد مربع برابر با 1 در نظر گرفته شده است. S(F) = 1.

6. اگر شکل F 1 بخشی از شکل F 2 باشد، پس مقدار عددی مساحت شکل F 1 از مقدار عددی مساحت شکل F 2 بیشتر نیست. F 1 Ì F 2 Þ S (F 1) ≤ S (F 2) .

در هندسه ثابت شده است که برای چند ضلعی ها و شکل های صفحه دلخواه چنین عددی همیشه وجود دارد و برای هر شکل منحصر به فرد است.

ارقامی که مساحت آنها مساوی است نامیده می شوند از نظر اندازه مساوی

⇐ قبلی135136137138139140141142بعدی ⇒

همچنین بخوانید:

نحوه محاسبه مساحت یک شکل

در مسائل هندسی، اغلب باید مساحت یک شکل صاف را محاسبه کنید. در کارهای استریومتری، مساحت چهره ها به طور سنتی محاسبه می شود. اغلب لازم است که مساحت یک رقم را در زندگی روزمره پیدا کنید، به عنوان مثال، هنگام محاسبه تعداد مصالح ساختمانی مورد نیاز. فرمول های خاصی برای تعیین مساحت ساده ترین ارقام وجود دارد. با این حال، اگر یک شکل شکل دشواری داشته باشد، محاسبه مساحت آن گاهی اوقات چندان آسان نیست.

شما نیاز خواهید داشت

• ماشین حساب یا کامپیوتر، خط کش، متر نوار، نقاله

دستورالعمل ها

1. برای محاسبه مساحت یک شکل اولیه، از فرمول های ریاضی مناسب استفاده کنید: برای محاسبه مساحت مربع، طول ضلع آن را به توان دوم ببرید: Pkv = c?، که در آن: Pkv برابر است با مساحت مربع، c طول ضلع آن است.

2. برای پیدا کردن مساحت یک مستطیل، طول اضلاع آن را ضرب کنید: Ppr = d * w، که در آن: Ppr مساحت مستطیل است، d و w به ترتیب طول و عرض آن هستند.

3. برای اینکه مساحت متوازی الاضلاع را بفهمید، طول هر یک از اضلاع آن را در طول ارتفاعی که به این سمت پایین آمده ضرب کنید، اگر طول اضلاع مجاور متوازی الاضلاع و زاویه بین آنها مشخص باشد، آنگاه طول این اضلاع را در سینوس زاویه بین آنها ضرب کنید: Ppar = C1 * B1 = C2 * B2 = C1 * C2 * sin?، که در آن: Ppar مساحت متوازی الاضلاع است، C1 و C2 طول ها هستند. از اضلاع متوازی الاضلاع، B1 و B2 به ترتیب طول ارتفاعات پایین آمده روی آنها هستند،؟ - اندازه زاویه بین اضلاع مجاور؛

4. برای یافتن مساحت یک لوزی، طول ضلع را در طول ارتفاع ضرب کنید یا مربع ضلع لوزی را در سینوس هر یک از زوایای آن ضرب کنید یا طول قطرهای آن را ضرب کنید. حاصل حاصل را بر دو تقسیم کنید: Promb = C * B = C؟ *گناه؟ = D1 * D2، که در آن: Promb مساحت لوزی است، C طول ضلع، B طول ارتفاع است،؟ - اندازه زاویه بین اضلاع مجاور، D1 و D2 - طول قطرهای لوزی.

5. برای محاسبه مساحت یک مثلث، طول ضلع را در طول ارتفاع ضرب کنید و حاصل ضرب حاصل را بر دو تقسیم کنید، یا نصف حاصلضرب طول دو ضلع را در سینوس زاویه بین آنها ضرب کنید. یا نیم محیط مثلث را در شعاع دایره محاط شده در مثلث ضرب کنیم یا جذر حاصل ضرب اختلاف نیم محیط مثلث و هر یک از اضلاع آن را بگیریم (فرمول هرون): Ptr = C * B / 2 = ? * C1 * C2 * گناه؟ = p * p = ?(p*(p-C1)*(p-C2)*(p-C3))، که در آن: C و B طول یک ضلع دلخواه و ارتفاع کاهش یافته روی آن هستند، C1، C2 ، C3 طول اضلاع یک مثلث است؟

مساحت ارقام

- اندازه زاویه بین اضلاع (C1، C2)، p - نیم محیط مثلث: p = (C1+C2+C3)/2،p - شعاع دایره محاط شده در مثلث.

7. برای محاسبه مساحت یک دایره، مربع شعاع آن را در عدد "pi" ضرب کنید، تقریبا برابر با 3.14: Pcr =؟ * р?، کجا: р – شعاع دایره، ? - شماره "pi" (3.14).

8. برای محاسبه مساحت شکل های پیچیده تر، آنها را به چندین شکل ابتدایی غیر همپوشانی تقسیم کنید، مساحت هر یک از آنها را پیدا کنید و نتایج حاصل را جمع کنید. گاهی اوقات محاسبه مساحت یک شکل به عنوان تفاوت بین مساحت های 2 (یا چند) شکل اولیه آسان تر است.

ویدئو در مورد موضوع

مساحت یک شکل پیچیده کلاس پنجم

دو رقم را در صورتی مساوی می نامند که بتوان یکی از آنها را طوری روی دیگری قرار داد که این ارقام بر هم منطبق باشند مساحت ارقام مساوی برابر است. محیط آنها نیز برابر است مساحت مربع برای محاسبه مساحت مربع باید طول آن را در خودش ضرب کرد.

S = a مثال:SEKFM = EK EK

SEKFM = 3 3 = 9 سانتی متر مربع

فرمول مساحت مربع را با دانستن تعریف درجه می توان به صورت زیر نوشت:

S = a2 مساحت مستطیل برای محاسبه مساحت مستطیل، باید طول آن را در عرض آن ضرب کنید.

S = a b مثال:SABCD = AB BC

SABCD = 3 7 = 21 cm2
اگر طول و عرض بر حسب واحدهای مختلف بیان شود، نمی توانید محیط یا مساحت را محاسبه کنید. حتماً بررسی کنید که طول و عرض هر دو به یک واحد بیان شوند، یعنی هر دو بر حسب سانتی متر، متر و غیره. شکل های پیچیده مساحت کل شکل برابر است با مجموع مساحت قسمت های آن وظیفه: مساحت زمین باغ را پیدا کنید از آنجایی که شکل در شکل نه مربع است و نه مستطیل، مساحت آن می توان با استفاده از قانون بالا محاسبه کرد. بیایید شکل را به دو مستطیل تقسیم کنیم که مساحت آنها را به راحتی با استفاده از فرمول شناخته شده محاسبه کنیم. SABCE = AB BC
SEFKL = 10 3 = 30 m2
SCDEF = FC CD
SCDEF = 7 5 = 35 m2

برای پیدا کردن مساحت کل شکل، مساحت مستطیل های پیدا شده را اضافه کنید. S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 متر مربع

پاسخ: S = 65 متر مربع مساحت زمین باغ است، ویژگی زیر ممکن است برای حل مسائل مساحت برای شما مفید باشد، مورب یک مستطیل، مستطیل را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند. مساحت هر یک از این ها مثلث برابر با نصف مساحت مستطیل است مستطیل را در نظر بگیرید: AC مورب مستطیل ABCD است.

بیایید مساحت مثلث های ABC و ACD را پیدا کنیم.ابتدا مساحت مستطیل را با استفاده از فرمول پیدا کنید.SABCD = AB BC
SABCD = 5 4 = 20 cm2

S ABC = SABCD: 2

S ABC = 20: 2 = 10 cm2