Segmentin pituus ja sen mittaus. Viivasegmentin pituus ja sen mittaus Mikä on viivasegmentin pituus

TEORIAN TOISTAMINEN

16. Täytä tyhjät kohdat.

1) Piste ja viiva ovat esimerkkejä geometrisista muodoista.
2) Segmentin mittaaminen tarkoittaa sen laskemista, kuinka monta yksikkösegmenttiä se sopii.
3) Jos piste C on merkitty segmenttiin AB, segmentin AB pituus on yhtä suuri kuin segmenttien AC + CB pituuksien summa
4) Kaksi segmenttiä kutsutaan yhtäläisiksi, jos ne sopivat päällekkäin.
5) Samat segmentit ovat yhtä pitkiä.
6) Pisteiden A ja B välinen etäisyys on segmentin AB pituus.

RATKAISEMME ONGELMAT

17. Merkitse kuvassa näkyvät segmentit ja mittaa niiden pituudet.

18. Piirrä kaikki mahdolliset viivasegmentit, joiden päät ovat pisteissä A, B, C ja D. Kirjoita kaikkien piirrettyjen viivasegmenttien nimet.

AB, BC, CD, AD, AC, BD

19. Kirjoita ylös kaikki kuvassa näkyvät segmentit.

20. Piirrä segmentit CK ja AD siten, että CK = 4 cm 6 mm, AD = 2 cm 5 mm.

21. Piirrä segmentti BE, jonka pituus on 5 cm 3 mm. Merkitse siihen piste A niin, että BA = 3 cm 8 mm. Mikä on segmentin AE pituus?

AE = BE -VA = 5cm 3mm - 3cm 8mm = 1cm 5mm

22. Ilmaise annettu määrä määritetyissä yksiköissä.

23. Kirjoita katkoviivan linkit muistiin ja mittaa niiden pituus (millimetreinä). Laske moniviivan pituus.

24. Merkitse piste B, joka sijaitsee 6 solua vasemmalla ja 1 solu pisteen A alapuolella; piste C, joka sijaitsee 3 solua oikealla ja 3 solua pisteen B alapuolella; piste D, joka sijaitsee 7 solua oikealla ja 2 solua kohdan C yläpuolella. Yhdistä pisteet A, B, C ja D.

Muotoiltu katkoviiva ABCD, joka koostuu 3 linkistä.

25. Laske kuvassa esitetyn moniviivan pituus.

a) 5 * 36 = 180 mm
b) 3 * 28 = 84 mm
c) 10 * 10 + 15 * 4 = 160 mm

26. Rakenna monilinjainen DSEK siten, että DС = 18 mm, CE = 37 mm, EK = 26 mm. Laske moniviivan pituus.

27. Tiedetään, että AC = 17 cm, BD = 9 cm, BC = 3 cm Laske segmentin AD pituus.

28. Tiedetään, että MK = KN = NP = PR = RT = 3 cm. Mitä muita yhtäläisiä segmenttejä tässä kuvassa on? Etsi niiden pituudet.

29. Pisteet merkittiin suoralle linjalle niin, että kahden vierekkäisen pisteen välinen etäisyys on 4 cm ja ääripisteiden välillä 36 cm. Kuinka monta pistettä on merkitty?

30. Piirrä kuvassa näkyvät luvut nostamatta kynää paperista. Jokainen viiva voidaan piirtää lyijykynällä vain kerran.

Jos kosketat muistikirjan arkkia hyvin teroitetulla lyijykynällä, jälki jää jäljelle, mikä antaa käsityksen asiasta. (kuva 3).

Merkitään paperille kaksi pistettä A ja B. Nämä pisteet voidaan yhdistää eri viivoilla (kuva 4). Kuinka yhdistää pisteet A ja B lyhyimmällä viivalla? Tämä voidaan tehdä viivaimella (kuva 5). Tuloksena olevaa riviä kutsutaan segmentti.

Piste ja viiva - esimerkkejä geometriset kuviot.

Pisteitä A ja B kutsutaan segmentin päistä.

On vain yksi segmentti, jonka päät ovat pisteitä A ja B. Siksi segmenttiä merkitään kirjoittamalla sen päät. Esimerkiksi kuvion 5 segmentti on merkitty kahdella tavalla: AB tai BA. Lue: "segmentti AB" tai "segmentti BA".

Kuva 6 esittää kolmea viivaa. Segmentin AB pituus on 1 cm ja se sijoitetaan segmenttiin MN täsmälleen kolme kertaa ja segmenttiin EF täsmälleen neljä kertaa. Sanomme sen segmentin pituus MN on 3 cm ja EF 4 cm.

On myös tapana sanoa: "segmentti MN on 3 cm", "segmentti EF on 4 cm". He kirjoittavat: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Mittasimme segmenttien MN ja EF pituudet yksittäinen segmentti, jonka pituus on 1 cm. Voit mitata segmenttejä valitsemalla toisen pituusyksiköitä esimerkiksi: 1 mm, 1 dm, 1 km. Kuviossa 7 segmentin pituus on 17 mm. Se mitataan yhdellä viivasegmentillä, jonka pituus on 1 mm, käyttämällä viivainta, jossa on jako. Viivaimen avulla voit myös rakentaa (piirtää) tietyn pituisen segmentin (katso kuva 7).

Yleisesti, segmentin mittaaminen tarkoittaa sen laskemista, kuinka monta yksikkösegmenttiä se sopii.

Segmentin pituudella on seuraava ominaisuus.

Jos piste C on merkitty segmenttiin AB, segmentin AB pituus on yhtä suuri kuin segmenttien AC ja CB pituuksien summa(kuva 8).

He kirjoittavat: AB = AC + CB.

Kuvio 9 esittää kaksi segmenttiä AB ja CD. Nämä segmentit täsmäävät päällekkäin.

Kaksi viivaosaa sanotaan yhtä suureksi, jos ne osuvat päällekkäin.

Siksi segmentit AB ja CD ovat yhtä suuret. He kirjoittavat: AB = CD.

Samat segmentit ovat yhtä pitkiä.

Kahdesta eriarvoisesta segmentistä katsomme suurinta, jolla on pidempi pituus. Esimerkiksi kuviossa 6 EF -segmentti on suurempi kuin MN -segmentti.

Segmentin AB pituutta kutsutaan etäisyys pisteiden A ja B välillä.

Jos järjestät useita segmenttejä kuvan 10 mukaisesti, saat geometrisen kuvan, jota kutsutaan rikkinäinen linja... Huomaa, että kaikki kuvan 11 segmentit eivät muodosta monilinjaa. Segmenttien katsotaan muodostavan katkoviivan, jos ensimmäisen segmentin loppu on sama kuin toisen loppu ja toisen segmentin toinen pää on kolmannen jne. Loppu.

Pisteet A, B, C, D, E - moniviivaiset kärkipisteet ABCDE, kohdat A ja E - polyline päättyy, ja segmentit AB, BC, CD, DE ovat sen linkkejä(katso kuva 10).

Monilinjan pituus soittaa kaikkien linkkiensa pituuksien summan.

Kuvassa 12 on kaksi katkoviivaa, joiden päät osuvat yhteen. Tällaisia ​​katkoviivoja kutsutaan suljettu.

Esimerkki 1 ... Segmentti BC on 3 cm pienempi kuin segmentti AB, joka on 8 cm pitkä (kuva 13). Etsi linjan segmentin AC pituus.

Ratkaisu. Meillä on: BC = 8 = 3 = 5 (cm).

Käyttämällä segmentin pituusominaisuutta voimme kirjoittaa AC = AB + BC. Siksi AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Vastaus: 13 cm.

Esimerkki 2 ... Tiedetään, että MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (kuva 14). Etsi viivan osan NK pituus.

Ratkaisu. Meillä on: MN = MP - NP.

Siksi MN = 50-32 = 18 (cm).

Meillä on: NK = MK - MN.

Siksi NK = 24-18 = 6 (cm).

Vastaus: 6 cm.

Segmentin pituuden käsitettä ja sen mittauksia on käytetty jo toistuvasti, erityisesti silloin, kun luonnollista lukua pidettiin suuruusmittana. Tässä osiossa vain yleistetään segmentin pituuden käsite geometrisena suurena.

Geometriassa pituus on arvo, joka kuvaa segmentin pituutta sekä muita viivoja (katkoviiva, käyrä). Kurssillamme otetaan huomioon vain segmentin pituuden käsite. Määritellessämme käytämme aiheessa 18 esitettyä käsitettä "segmentti koostuu segmenteistä".

Määritelmä.Segmentin pituus on positiivinen arvo, jolla on seuraavat ominaisuudet: 1) yhtä suuret segmentit ovat yhtä pitkiä; 2) jos segmentti koostuu kahdesta segmentistä, sen pituus on yhtä suuri kuin sen osien pituuksien summa.

Näitä viivapituusominaisuuksia käytetään sitä mitattaessa. Jos haluat mitata segmentin pituuden, sinulla on oltava pituusyksikkö. Geometriassa tällainen yksikkö on mielivaltaisen segmentin pituus.

Kuten aiheessa 18 esitetään, segmentin pituuden mittauksen tulos on positiivinen reaaliluku - sitä kutsutaan numeerinen arvo segmentin pituus valitulle pituusyksikölle tai pituuden mitta tämä segmentti. Jos merkitsemme segmentin pituuden kirjaimella X, pituusyksikön - E ja mittauksen aikana saadun reaaliluvun - kirjaimella a, voimme kirjoittaa: a = m E (X) tai X = a ∙ E.

Segmentin pituutta mitattaessa saadun positiivisen reaaliluvun on täytettävä useita vaatimuksia:

1. Jos kaksi segmenttiä ovat yhtä suuret, myös niiden pituuksien numeeriset arvot ovat yhtä suuret.

2. Jos segmentti x koostuu segmenteistä x 1 ja x 2, sen pituuden numeerinen arvo on yhtä suuri kuin segmenttien x 1 ja x 2 pituuksien numeroarvojen summa.

3. Kun vaihdat pituusyksikön, tietyn segmentin pituuden numeerinen arvo kasvaa (pienenee) niin monta kertaa kuin uusi yksikkö on pienempi (enemmän) kuin vanha.

4. Yksikkösegmentin pituuden numeerinen arvo on yhtä.

On osoitettu, että positiivinen reaaliluku, joka on tietyn segmentin pituuden mitta, on aina olemassa ja ainutlaatuinen. On myös osoitettu, että jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle on segmentti, jonka pituus ilmaistaan ​​tällä luvulla.

Huomaa, että usein puheen lyhyyden vuoksi segmentin pituuden numeerista arvoa kutsutaan yksinkertaisesti pituudeksi. Esimerkiksi tehtävässä "Etsi tietyn segmentin pituus" sana "pituus" tarkoittaa segmentin pituuden numeerista arvoa. Toinen vapaus on yhtä usein sallittu - he sanovat: "Mittaa segmentti" sen sijaan, että "Mittaa segmentin pituus".

Tehtävä. Rakenna linjan segmentti, jonka pituus on 3.2E. Mikä on tämän segmentin pituuden numeerinen arvo, jos pituusyksikköä E lisätään 3 kertaa?

Ratkaisu. Rakennetaan mielivaltainen segmentti ja pidetään sitä yksikköyksikkönä. Sitten rakennamme suoran, merkitsemme siihen pisteen A ja erotamme siitä 3 segmenttiä, joiden pituudet ovat yhtä suuret kuin E. Saamme segmentin AB, jonka pituus on 3E (kuva 1).

Jos haluat saada segmentin, jonka pituus on 3.2E, sinun on annettava uusi pituusyksikkö. Tätä varten yksikkösegmentti on jaettava joko 10 yhtä suureen osaan tai 5: een, koska 0,2 =. Jos pisteestä B lykätään yhtä yhtä segmenttiä, segmentin AC pituus on 3,2E.

Tehtävän toisen vaatimuksen täyttämiseksi käytämme ominaisuutta 3, jonka mukaan kun pituusyksikkö kasvaa 3 kertaa, tietyn segmentin pituuden numeerinen arvo pienenee 3 kertaa. Jaa 3.2 kolmella, saamme:

3.2: 3 == 3: 3 = = 1. Siten pituusyksiköllä 3E rakennetun segmentin AC pituuden numeerinen arvo on 1.

Segmentin mukaan kutsutaan suoran osan osaksi, joka koostuu kaikista tämän suoran pisteistä, jotka sijaitsevat näiden kahden pisteen välissä - niitä kutsutaan segmentin päiksi.

Katsotaanpa ensimmäistä esimerkkiä. Olkoon segmentti kaksi pistettä koordinaattitasossa. Tässä tapauksessa voimme löytää sen pituuden soveltamalla Pythagoraan lauseen.

Piirrä siis koordinaatistoon segmentti, jossa on sen päiden annetut koordinaatit(x1; y1) ja (x2; y2) ... Akselilla X ja Y jätä kohtisuorat pois segmentin päistä. Merkitse punaisella segmentit, jotka ovat projektioita alkuperäisestä segmentistä koordinaattiakselille. Sen jälkeen siirrämme projektio -segmentit segmenttien päiden suuntaisesti. Saamme kolmion (suorakaiteen). Segmentistä AB tulee tämän kolmion hypotenuusa, ja siirretyt ulokkeet ovat sen jalat.

Lasketaan näiden ennusteiden pituus. Eli akselilla Y projektion pituus on y2-y1 ja akselilla NS projektion pituus on x2-x1 ... Sovelletaan Pythagoraan teoriaa: | AB | ² = (y2 - y1) ² + (x2 - x1) ² ... Tässä tapauksessa | AB | on linjan osan pituus.

Jos käytät tätä kaavaa segmentin pituuden laskemiseen, et voi edes rakentaa segmenttiä. Lasketaan nyt, mikä on segmentin pituus koordinaateilla (1;3) ja (2;5) ... Sovellettaessa Pythagoraan lauseita saadaan: | AB | ² = (2 - 1) ² + (5) 3 ² = 1 + 4 = 5 ... Tämä tarkoittaa, että segmenttimme pituus on 5:1/2 .

Harkitse seuraavaa tapaa löytää viivaosan pituus. Tätä varten meidän on tiedettävä kahden pisteen koordinaatit missä tahansa järjestelmässä. Harkitse tätä vaihtoehtoa käyttämällä kaksiulotteista suorakulmaista koordinaattijärjestelmää.

Joten kaksiulotteisessa koordinaatistossa annetaan segmentin ääripisteiden koordinaatit. Jos piirrämme suoria viivoja näiden pisteiden läpi, niiden on oltava kohtisuorassa koordinaattiakseliin nähden, jolloin saadaan suorakulmainen kolmio. Alkuperäinen segmentti on tuloksena olevan kolmion hypotenuusa. Kolmion jalat muodostavat segmenttejä, niiden pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusen projektio koordinaattiakselilla. Pythagoraan lauseen perusteella päättelemme: Tietyn segmentin pituuden löytämiseksi sinun on löydettävä kahden koordinaattiakselin projektioiden pituudet.

Etsi projektioiden pituudet (X ja Y) alkuperäisen segmentin koordinaattiakseleille. Laskemme ne etsimällä pisteiden koordinaattien eron erillisellä akselilla: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Laske segmentin pituus A , tätä varten löydämme neliöjuuren:

A = √ (X² + Y²) = √ ((X2-X1) ² + (Y2-Y1) ²) .

Jos segmenttimme sijaitsee pisteiden välissä, joiden koordinaatit ovat 2;4 ja 4;1 , silloin sen pituus on vastaavasti √ ((4-2) ² + (1-4) ²) = √13 ≈ 3,61 .