Rinnakkaiset viivat, merkit ja ehdot viivojen rinnakkaisuudelle. Yhdensuuntaiset viivat

LUKU 1 POWER LINE -RYHMÄN (hyökkäyslinjan) jättäminen Tämä periaate ilmaistaan ​​kansan viisaudella: "Älä ryhdy riehua." Rojon on panos, johon tyhmä menee suoraan, toisin sanoen suoraan. Yleensä elämässä edestä tapahtuva hyökkäys kirjaimellisessa ja kuvaannollisessa mielessä on kiittämätön ja traumaattinen liike. Klo

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa, miten käytämme ja tallennamme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tietyn henkilön tunnistamiseen tai häneen yhteyden ottamiseen.

Sinua saatetaan pyytää antamaan henkilökohtaiset tietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on muutamia esimerkkejä siitä, millaisia ​​henkilötietoja voimme kerätä ja miten voimme käyttää niitä.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun jätät pyynnön sivustolle, saatamme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja raportoida ainutlaatuisista tarjouksista, tarjouksista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain saatamme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Voimme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointeihin, tietoanalyyseihin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle suosituksia palveluistamme.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootiotapahtumaan, voimme käyttää antamiasi tietoja näiden ohjelmien hallintaan.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme paljasta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Jos on tarpeen - lain, tuomioistuimen määräyksen, oikeudenkäyntimenettelyn ja / tai Venäjän federaation alueen valtion viranomaisten julkisten pyyntöjen tai julkisten pyyntöjen perusteella - sinun on luovutettava henkilötietosi. Voimme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on välttämätöntä tai asianmukaista turvallisuuden, lainvalvonnan tai muiden sosiaalisesti tärkeiden syiden vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianmukaiselle kolmannelle osapuolelle - oikeudellisen seuraajan.

Henkilötietojen suojaaminen

Otamme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojataksemme henkilökohtaisia ​​tietojasi katoamiselta, varastamiselta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoamiselta.

Kunnioita yksityisyyttäsi yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tuomme työntekijöidemme luottamuksellisuutta ja turvallisuutta koskevat säännöt ja seuraamme tarkasti luottamuksellisuutta koskevien toimenpiteiden täytäntöönpanoa.

Rinnakkaislinjojen käsite

Määritelmä 1

Yhdensuuntaiset viivat- samassa tasossa olevat viivat eivät osu yhteen eikä niillä ole yhteisiä pisteitä.

Jos viivoilla on yhteinen piste, niin ne leikata.

Jos kaikki pisteet ovat suoria ottelu, silloin meillä on olennaisesti yksi suora viiva.

Jos suorat sijaitsevat eri tasoilla, olosuhteet niiden rinnakkaisuudelle ovat jonkin verran suurempia.

Kun tarkastellaan suoria viivoja yhdellä tasolla, voidaan antaa seuraava määritelmä:

Määritelmä 2

Tasossa kutsutaan kahta suoraa rinnakkain jos ne eivät ole päällekkäisiä.

Matematiikassa rinnakkaisviivat on yleensä merkitty rinnakkaismerkillä "$ \ parallel $". Esimerkiksi se, että rivi $ c $ on yhdensuuntainen rivin $ d $ kanssa, on merkitty seuraavasti:

$ c \ rinnakkain d $.

Rinnakkaisviivojen käsitettä harkitaan usein.

Määritelmä 3

Kaksi segmenttiä kutsutaan rinnakkain jos ne ovat yhdensuuntaisilla viivoilla.

Esimerkiksi kuviossa segmentit $ AB $ ja $ CD $ ovat yhdensuuntaisia, koska ne kuuluvat rinnakkaislinjoihin:

$ AB \ rinnakkainen CD $.

Samaan aikaan segmentit $ MN $ ja $ AB $ tai $ MN $ ja $ CD $ eivät ole rinnakkaisia. Tämä tosiasia voidaan kirjoittaa symboleilla seuraavasti:

$ MN ∦ AB $ ja $ MN ∦ CD $.

Samoin määritetään suoran ja segmentin, suoran ja säteen, segmentin ja säteen tai kahden säteen rinnakkaisuus.

Historiallinen viite

Kreikan kielestä käsite "parallelos" käännetään "vierekkäin kävelemiseksi" tai "vierekkäin". Tätä termiä käytettiin muinaisessa Pythagoras -koulussa jo ennen rinnakkaisten viivojen määrittelemistä. Eukleidesin historiallisten tosiasioiden mukaan $ III $ c. Eaa. hänen teoksissaan kuitenkin paljastettiin rinnakkaisviivojen käsitteen merkitys.

Muinaisina aikoina rinnakkaisviivojen merkillä oli erilainen muoto, jota käytämme nykyaikaisessa matematiikassa. Esimerkiksi antiikin kreikkalainen matemaatikko Pappus $ III $ c. ILMOITUS rinnakkaisuutta merkittiin yhtäläisyysmerkillä. Nuo. se, että rivi $ l $ on yhdensuuntainen linjan $ m $ kanssa, oli aiemmin merkitty "$ l = m $". Myöhemmin tuttua "$ \ parallel $" -merkkiä käytettiin osoittamaan suorien viivojen rinnakkaisuutta, ja yhtäläisyysmerkkiä alkoi käyttää numeroiden ja ilmausten yhtäläisyyteen.

Rinnakkaiset linjat elämässä

Usein emme huomaa, että jokapäiväisessä elämässämme ympäröi valtava määrä rinnakkaisia ​​viivoja. Esimerkiksi nuottikirjassa ja partituurilla varustetussa laulukirjassa henkilöstö on tehty yhdensuuntaisten viivojen avulla. Samanlaisia ​​viivoja esiintyy myös soittimissa (esimerkiksi harppu-, kitara-, pianonäppäimet jne.).

Myös kaduilla ja teillä kulkevat sähköjohdot kulkevat rinnakkain. Metro- ja rautatiekiskot ovat yhdensuuntaiset.

Arjen lisäksi rinnakkaislinjoja löytyy maalauksesta, arkkitehtuurista ja rakennusten rakentamisesta.

Rinnakkaislinjat arkkitehtuurissa

Esitetyissä kuvissa arkkitehtoniset rakenteet sisältävät yhdensuuntaisia ​​suoria viivoja. Suorien viivojen käyttäminen rakentamisessa auttaa pidentämään tällaisten rakenteiden käyttöikää ja lisää niiden poikkeuksellista kauneutta, houkuttelevuutta ja loistoa. Myös sähkölinjoja johdetaan tarkoituksella rinnakkain, jotta vältetään niiden ylittäminen tai koskettaminen, mikä johtaisi oikosulkuihin, katkoksiin ja sähköön. Jotta juna voi liikkua vapaasti, kiskot tehdään myös rinnakkain.

Maalauksessa rinnakkaiset viivat kuvataan yhdistäviksi yhdeksi tai lähelle sitä. Tätä tekniikkaa kutsutaan perspektiiviksi, joka seuraa näön illuusiosta. Jos katsot kaukaisuuteen pitkään, rinnakkaiset viivat näyttävät kahdelta toisiaan yhdistävältä viivalta.

Tämä artikkeli käsittelee yhdensuuntaisia ​​viivoja ja yhdensuuntaisia ​​viivoja. Ensinnäkin annetaan tason ja avaruuden yhdensuuntaisten viivojen määritelmä, esitetään nimitykset, annetaan esimerkkejä ja graafisia kuvia rinnakkaisista linjoista. Lisäksi analysoidaan suorien viivojen rinnakkaisuuden merkkejä ja olosuhteita. Johtopäätöksenä esitetään ratkaisuja tyypillisiin ongelmiin suorien viivojen rinnakkaisuuden osoittamiseksi, jotka annetaan joillakin suoran yhtälöillä suorakulmaisessa koordinaatistossa tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa.

Sivujen navigointi.

Rinnakkaisviivat - perustiedot.

Määritelmä.

Kaksi suoraa tasoa kutsutaan rinnakkain jos heillä ei ole yhteisiä pointteja.

Määritelmä.

Kolmeulotteisessa avaruudessa kutsutaan kahta suoraa rinnakkain jos ne sijaitsevat samassa tasossa eikä niillä ole yhteisiä pisteitä.

Huomaa, että lauseke "jos ne ovat samassa tasossa" rinnakkaisten viivojen määrittelyssä avaruudessa on erittäin tärkeä. Selvennetään tätä kohtaa: kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa, joilla ei ole yhteisiä pisteitä ja jotka eivät ole samassa tasossa, eivät ole yhdensuuntaisia, vaan leikkaavat toisiaan.

Tässä on muutamia esimerkkejä rinnakkaisista viivoista. Muistikirjan vastakkaiset reunat sijaitsevat yhdensuuntaisilla suorilla viivoilla. Suorat, joita pitkin talon seinän taso leikkaa katon ja lattian tasot, ovat yhdensuuntaisia. Tasaisella maalla olevia rautateitä voidaan myös pitää rinnakkaisina suorina viivoina.

Käytä rinnakkaisviivoja symbolilla "". Eli jos suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voimme kirjoittaa lyhyesti b.

Huomautus: jos viivat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voidaan sanoa, että suora a on suorakulmainen suoran b kanssa ja myös että linja b on yhdensuuntainen suoran a kanssa.

Antakaamme lausuma, jolla on tärkeä rooli tason yhdensuuntaisten viivojen tutkimuksessa: pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, on yksi suora yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa. Tätä lausuntoa pidetään tosiasiana (sitä ei voida todistaa planimetrian tunnettujen aksioomien perusteella), ja sitä kutsutaan rinnakkaislinjojen aksioomaksi.

Avaruuden tapauksessa seuraava lause pitää paikkansa: minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, on yksi suora, joka on yhdensuuntainen annetun kanssa. Tämä lause voidaan helposti todistaa käyttämällä edellä olevaa rinnakkaislinjojen aksioomaa (sen todistus löytyy geometrian oppikirjasta luokille 10-11, joka on esitetty bibliografian artikkelin lopussa).

Avaruuden tapauksessa seuraava lause pitää paikkansa: minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, on yksi suora, joka on yhdensuuntainen annetun kanssa. Tämä lause voidaan helposti todistaa käyttämällä edellä olevaa rinnakkaislinjojen aksioomaa.

Suoran rinnakkaisuus - rinnakkaisuuden merkit ja ehdot.

Suorien viivojen rinnakkaisuus on riittävä ehto viivojen rinnakkaisuudelle, eli sellainen ehto, jonka täyttäminen takaa suoran rinnakkaisuuden. Toisin sanoen tämän ehdon täyttyminen riittää osoittamaan suorien viivojen rinnakkaisuuden.

Tasojen ja kolmiulotteisen avaruuden suorien viivojen rinnakkaisuudelle on myös välttämättömät ja riittävät olosuhteet.

Selvennetään ilmauksen "välttämätön ja riittävä ehto suorien viivojen rinnakkaisuudelle" merkitystä.

Olemme jo keksineet riittävät ehdot suorien viivojen rinnakkaisuudelle. Mutta mikä on "välttämätön edellytys suorien viivojen rinnakkaisuudelle"? Nimellä "välttämätön" on selvää, että tämän ehdon täyttäminen on välttämätöntä suorien viivojen rinnakkaisuuden kannalta. Toisin sanoen, jos linjojen rinnakkaisuuden edellytys ei täyty, suorat eivät ole yhdensuuntaisia. Täten, välttämätön ja riittävä edellytys suorien viivojen rinnakkaisuudelle Onko ehto, jonka täyttäminen on sekä välttämätöntä että riittävää suorien viivojen rinnakkaisuuden kannalta. Toisin sanoen tämä on merkki suorien viivojen rinnakkaisuudesta, ja toisaalta se on ominaisuus, jolla on yhdensuuntaiset suorat.

Ennen kuin muodostamme tarvittavan ja riittävän ehdon suorien viivojen rinnakkaisuudelle, on suositeltavaa muistaa useita apumääritelmiä.

Selvä linja Onko viiva, joka leikkaa kummankin määritetyn ei-sattumanvaraisen suoran.

Kun kaksi suoraa sekvenssiä leikkaavat, muodostuu kahdeksan kehittymätöntä. Niin kutsuttu risteys, vastaava ja yksipuoliset kulmat... Näytämme ne piirustuksessa.

Lause.

Jos tason kaksi suoraa leikkaavat sekantin, niiden rinnakkaisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävä, että poikittaiskulmat ovat yhtä suuret tai vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.

Näytämme graafisesti tämän välttämättömän ja riittävän ehdon tasojen suorien viivojen rinnakkaisuudelle.

Todisteet näistä suorien viivojen rinnakkaisuusehdoista löytyvät geometrian oppikirjoista luokille 7-9.

Huomaa, että näitä ehtoja voidaan käyttää kolmiulotteisessa avaruudessa - tärkeintä on, että kaksi viivaa ja sekantti sijaitsevat samassa tasossa.

Tässä on joitain muita lauseita, joita käytetään usein suorien viivojen rinnakkaisuuden todistamiseen.

Lause.

Jos kaksi tasossa olevaa suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Todiste tästä kriteeristä seuraa rinnakkaislinjan aksioomista.

Kolmiulotteisen avaruuden suorien viivojen rinnakkaisuudelle on samanlainen ehto.

Lause.

Jos kaksi suoraa avaruudessa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen viivan kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Todiste tästä merkistä otetaan huomioon geometrian oppitunneilla luokalla 10.

Havainnollistetaan esitettyjä lauseita.

Esitellään vielä yksi lause, jonka avulla voimme osoittaa tason suorien viivojen rinnakkaisuuden.

Lause.

Jos tasossa kaksi suoraa on kohtisuorassa kolmatta suoraa kohtaan, ne ovat yhdensuuntaisia.

Samanlainen lause on myös avaruuden viivoille.

Lause.

Jos kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa on kohtisuorassa samaan tasoon nähden, ne ovat yhdensuuntaisia.

Piirretään näitä lauseita vastaavat kuvat.

Kaikki edellä esitetyt lauseet, kriteerit ja tarpeelliset ja riittävät ehdot ovat erinomaisia ​​osoittamaan viivojen rinnakkaisuus geometrian menetelmillä. Toisin sanoen kahden annetun suoran rinnakkaisuuden osoittamiseksi on tarpeen osoittaa, että ne ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen viivan kanssa, tai näyttää leikkaavien kulmien yhtäläisyys jne. Monet vastaavat ongelmat ratkaistaan ​​lukion geometrian oppitunneilla. On kuitenkin huomattava, että monissa tapauksissa on kätevää käyttää koordinaattimenetelmää suorien viivojen rinnakkaisuuden osoittamiseksi tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa. Muotoilkaamme tarvittavat ja riittävät ehdot suorakulmaisen koordinaatiston mukaisille suorille linjoille.

Suorien rinnakkaisuus suorakulmaisessa koordinaatistossa.

Artikkelin tässä vaiheessa muotoilemme välttämättömät ja riittävät olosuhteet viivojen rinnakkaisuudelle suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä, riippuen näiden suorien viivojen määräävien yhtälöiden tyypistä, ja annamme myös yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja tyypillisiin ongelmiin.

Aloitetaan kahden suoran rinnakkaisuuden ehdolla tasossa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy. Hänen todistuksensa perustuu suoran suuntaavan vektorin määritelmään ja tason suoran normaalin vektorin määritelmään.

Lause.

Kahden tasavirran rinnakkaisuuden kannalta tasossa on välttämätöntä ja riittävää, että näiden suorien suuntavektorit ovat kolineerisia tai näiden suorien suuntien normaalivektorit ovat yhdensuuntaisia, tai yhden suoran suuntavektori on kohtisuorassa toisen suoran normaalivektoriin nähden.

On selvää, että tason kahden suoran rinnakkaisuuden ehto supistuu arvoon (suorien suuntien vektorit tai suorien suorien normaalivektorit) tai (yhden suoran suuntavektori ja toisen suoran normaali vektori). Siten jos ja ovat suorien a ja b suuntavektorit ja ja ovat normaaleja vektoreita a ja b vastaavasti, niin tarvittava ja riittävä ehto rivien a ja b rinnakkaisuudelle voidaan kirjoittaa tai tai missä t on jokin reaaliluku. Suorien a ja b ohjainten ja (tai) normaalivektorien koordinaatit puolestaan ​​löytyvät suorien viivojen tunnetuista yhtälöistä.

Erityisesti jos suoran a suorassa suorakulmaisessa koordinaatistossa Oxy tasossa oleva muoto määritellään lomakkeen suoran yleisen yhtälön avulla ja rivi b - , silloin näiden viivojen normaaleilla vektoreilla on koordinaatit ja vastaavasti, ja ehto riveille a ja b kirjoitetaan muodossa.

Jos suora a vastaa muodon kaltevuudella varustetun suoran yhtälöä ja suoraa b -, niin näiden suorien normaaleilla vektoreilla on koordinaatit ja ja näiden suorien rinnakkaisuuden ehto ottaa muodon ... Siksi, jos suorakulmaisen koordinaatiston tasossa olevat suorat linjat ovat yhdensuuntaisia ​​ja ne voidaan määrittää yhtälöillä suorilla viivoilla, joilla on kaltevuuskertoimet, niin suorien viivojen kaltevuuskertoimet ovat yhtä suuret. Ja päinvastoin: jos suorakulmaisen koordinaatiston tasossa olevat epäsopivat suorat voidaan määritellä suoran yhtälöillä, joilla on yhtä suuret kaltevuuskertoimet, niin tällaiset suorat ovat yhdensuuntaisia.

Jos suorakulmaisen koordinaatiston suora a ja suora b määritetään muodon tasossa olevan suoran kanonisilla yhtälöillä ja tai parametrin yhtälöt muodon tason suoralla viivalla ja vastaavasti näiden suuntien suuntavektoreilla on koordinaatit ja, ja ehto riveille a ja b on kirjoitettu muodossa.

Katsotaanpa ratkaisuja useista esimerkeistä.

Esimerkki.

Ovatko viivat yhdensuuntaisia ja?

Ratkaisu.

Kirjoitetaan uudelleen suoran yhtälö segmenteissä suoran yleisen yhtälön muodossa: ... Nyt näet, että se on suoran normaali vektori , a on suoran normaali vektori. Nämä vektorit eivät ole kollineaarisia, koska ei ole todellista lukua t, jonka yhtäläisyys ( ). Näin ollen välttämätön ja riittävä ehto tasojen suoraviivaisuudelle ei täyty, joten annetut suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

Vastaus:

Ei, viivat eivät ole yhdensuuntaisia.

Esimerkki.

Ovatko suorat ja yhdensuuntaiset?

Ratkaisu.

Tuodaan suoran kanoninen yhtälö suoran ja kaltevuuden yhtälöön :. On selvää, että suorien viivojen yhtälöt eivät ole samat (tässä tapauksessa annetut suorat olisivat samat) ja suorien viivojen kaltevuuskertoimet ovat yhtä suuret, joten alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia.

Rinnakkaislinjojen määrittäminen. Rinnakkaiset ovat kaksi suoraa linjaa, jotka sijaitsevat samassa tasossa eivätkä leikkaa koko pituudeltaan.

Suorat AB ja CD (kuva 57) ovat yhdensuuntaisia. Se, että ne ovat rinnakkaisia, ilmaistaan ​​joskus kirjallisesti: AB || CD.

Lause 34. Kaksi suoraa kohtisuorassa samaan kolmanteen ovat yhdensuuntaisia.

Suorat CD ja EF kohtisuorassa AB: hen nähden (kuva 58)

CD ⊥ AB ja EF ⊥ AB.

On todistettava, että CD || EF.

Todiste... Jos suorat CD ja EF eivät olisi yhdensuuntaiset, ne leikkautuisivat jossain vaiheessa M. Tässä tapauksessa kaksi kohtisuoraa pudotettaisiin pisteestä M linjalle AB, mikä on mahdotonta (lause 11), joten linja CD || EF (CHTD).

Lause 35. Kaksi suoraa, joista toinen on kohtisuora ja toinen kalteva kolmanteen, leikkaavat aina.

On annettu kaksi suoraa EF ja CG, joista EF ⊥ AB ja CG on kallistettu AB: hen (kuva 59).

Haluat todistaa, että CG täyttää linjan EF tai että CG ei ole yhdensuuntainen EF: n kanssa.

Todiste... Pisteestä C nostetaan kohtisuora CD viivaan AB, sitten pisteeseen C muodostuu kulma DCG, jonka toistamme niin monta kertaa, että linja CK putoaa suoran AB alapuolelle. Oletetaan, että tätä varten toistamme kulman DCG n kertaa

Samalla tavalla lykkäämme linjan AB linjaa CE myös n kertaa, jotta CN = nCE.

Muodosta kohtisuorat LL ", MM", NN "pisteistä C, E, L, M, N. Kahden rinnakkaisen segmentin CD, NN" ja segmentin CN välinen tila on n kertaa suurempi kuin kahden välinen tila kohtisuorat CD, EF ja segmentti CE, joten DCNN "= nDCEF.

Kulmassa DCK oleva tila sisältää tilan DCNN ", joten

DCK> CDNN "tai
nDCG> nDCEF, mistä
DCG> DCEF.

Viimeinen eriarvoisuus voi tapahtua vain, kun viiva CG poistuu avaruuden DCEF rajoista sen jatkuessa, eli kun linja CG kohtaa suoran EF, joten linja CG ei ole yhdensuuntainen CF: n (CGT) kanssa.

Lause 36. Suora, joka on kohtisuorassa toiseen rinnakkaiseen nähden, kohtisuora toiseen nähden.

Annettu kaksi rinnakkaista suoraa AB ja CD sekä suora EF, joka on kohtisuorassa CD: hen nähden (kuva 60).

AB || CD, EF tai CD

On todistettava, että EF ⊥ AB.

Todiste... Jos linja AB olisi kalteva EF: iin, kaksi riviä CD ja AB leikkautuisivat, koska CD ⊥ EF ja AB ovat kaltevia EF: ään (lause 35), ja linjat AB ja CD eivät olisi yhdensuuntaisia, mikä olisi ristiriidassa tämän ehdon kanssa, suora EF on kohtisuorassa CD: hen (CTD).

Kulmat, jotka muodostuvat kolmannen viivan kahden viivan leikkauspisteestä... Kolmannen suoran EF kahden suoran AB ja CD (kuva 61) leikkauspisteeseen muodostuu kahdeksan kulmaa α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. Näille kulmille annetaan erityisiä nimiä.

Neljä kulmaa α, β, ν ja ρ kutsutaan ulkoinen.

Neljä kulmaa γ, δ, λ, μ kutsutaan sisäinen.

Neljää kulmaa β, γ, μ, ν ja neljää kulmaa α, δ, λ, ρ kutsutaan yksipuolinen, koska ne sijaitsevat suoran EF toisella puolella.

Lisäksi kulmat, pareittain otettuna, nimetään seuraavasti:

Kulmia β ja μ kutsutaan vastaavat ... Tämän parin lisäksi samat vastaavat kulmat ovat kulmapareja:γ ja ν, α ja λ, δ ja ρ.

Kulmapareja δ ja μ sekä γ ja λ kutsutaan sisäinen ristivalaistus .

Kulmapareja β ja ρ sekä α ja ν kutsutaan ulkoinen ristiin valehtelu .

Kulmapareja γ ja μ sekä δ ja λ kutsutaan kotimainen yksipuolinen .

Kulmapareja β ja ν sekä α ja ρ kutsutaan yksipuolinen ulkoinen .

Ehdot kahden suoran rinnakkaisuudelle

Lause 37. Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos ne ovat kolmannen leikkauspisteessä yhtä suuret: 1) vastaavat kulmat, 2) sisäiset poikittaiset, 3) ulommat poikittaiset ja lopuksi, jos 4) sisäinen yksipuolinen on yhtä kuin kaksi suoraa, 5) ulomman yksipuolisen summa on yhtä suuri kuin kaksi suoraa.

Todistetaan jokainen näistä lauseen osista erikseen.

1. tapaus. Vastaavat kulmat ovat yhtä suuret(Kuva 62).

Annettu. Kulmat β ja μ ovat yhtä suuret.

Todiste... Jos suorat AB ja CD leikkautuisivat pisteessä Q, saisimme kolmion GQH, jonka ulkoinen kulma β olisi yhtä suuri kuin sisäkulma μ, mikä olisi ristiriidassa lauseen 22 kanssa, joten suorat AB ja CD eivät leikkaa tai AB || CD (CHTD).

Toinen tapaus. Sisäiset ristikkäiset kulmat ovat yhtä suuret eli δ = μ.

Todiste... δ = β pystysuorana, δ = μ hypoteesilla, joten β = μ. Toisin sanoen vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, ja tässä tapauksessa viivat ovat yhdensuuntaisia ​​(1. tapaus).

Kolmas tapaus. Ristikkäisten kulmien ulkopuolella ovat samat eli β = ρ.

Todiste... β = ρ hypoteesin mukaan, μ = ρ pystysuorana, joten β = μ, koska vastaavat kulmat ovat yhtä suuret. Tästä seuraa, että AB || CD (1. kotelo).

4. tapaus. Sisäpuolisen yksipuolisen summa on kaksi suoraa tai γ + μ = 2d.

Todiste... β + γ = 2d vierekkäisten summana, γ + μ = 2d hypoteesin mukaan. Siksi β + γ = γ + μ, josta β = μ. Vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, joten AB || CD.

Viides tapaus. Ulkoisen yksipuolisen summa on kaksi suoraa, eli β + ν = 2d.

Todiste... μ + ν = 2d vierekkäisten summana, β + ν = 2d hypoteesilla. Siksi μ + ν = β + ν, josta μ = β. Vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, joten AB || CD.

Näin ollen kaikissa tapauksissa AB || CD (CHTD).

Lause 38(käänteinen 37). Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, niin niiden kolmannen suoran leikkautuessa ne ovat yhtä suuret: 1) sisäiset poikittaiskulmat, 2) ulkoiset poikkileikkaukset, 3) vastaavat kulmat ja ovat yhtä suuret kuin kaksi suoraa 4) summa sisäisten yksipuolisten ja 5) ulkoisten yksipuolisten kulmien summa.

Annettu kaksi rinnakkaista suoraa AB ja CD eli AB || CD (kuva 63).

On todistettava, että kaikki edellä mainitut ehdot täyttyvät.

1. tapaus... Leikkaamme kolmannen kaltevan suoran EF kaksi rinnakkaista suoraa AB ja CD. Merkitään G ja H viivan AB ja CD leikkauspisteitä. Suoran GH keskipisteen pisteestä O pudotamme kohtisuoran linjaan CD ja pidennämme sitä leikkaukseen leikkauksen AB kanssa pisteessä P. Suora OQ, joka on kohtisuorassa CD: hen nähden, on myös kohtisuorassa AB: hen nähden (lause 36). Suorakulmaiset kolmiot OPG ja OHQ ovat yhtä suuret, koska OG = OH rakenteeltaan, ∠ HOQ = ∠ POG pystykulmina, joten OP = OQ.

Tästä seuraa, että δ = μ, ts. sisäiset poikittaiskulmat ovat.

Toinen tapaus... Jos AB || CD, sitten δ = μ, ja koska δ = β ja μ = ρ, niin β = ρ, ts. ulommat ristikkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

Kolmas tapaus... Jos AB || CD, sitten δ = μ, ja koska δ = β, niin β = μ, vastaavat kulmat ovat.

4. tapaus... Jos AB || CD, sitten δ = μ, ja koska δ + γ = 2d, niin μ + γ = 2d, eli sisäpuolisen yksipuolisen summa on kaksi suoraa.

Viides tapaus... Jos AB || CD, sitten δ = μ.

Koska μ + ν = 2d, μ = δ = β, siis ν + β = 2d, ts. ulomman yksipuolisen summa on kaksi suoraa.

Nämä lauseet viittaavat siihen seuraus. Vain yhden suoran voi piirtää pisteen läpi, joka on yhdensuuntainen toisen suoran kanssa.

Lause 39. Kaksi suoraa, yhdensuuntaista kolmannen kanssa, ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Kolme suoraa (kuva 64) on annettu AB, CD ja EF, joista AB || EF, CD || EF.

On osoitettava, että AB || CD.

Todiste... Leikkaamme nämä viivat neljännen rivin GH kanssa.

Jos AB || EF siis ∠ α = ∠ γ tarvittaessa. Jos CD || EF siis ∠ β = ∠ γ samoin kuin vastaavat. Siten, ∠ α = ∠ β .

Jos vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, suorat ovat yhdensuuntaisia, joten AB || CD (CHTD).

Lause 40. Samannimiset kulmat rinnakkaisilla sivuilla ovat yhtä suuret.

Annettu on samannimiset kulmat (molemmat terävät tai molemmat tylpät) kulmat ABC ja DEF, niiden sivut ovat yhdensuuntaiset eli AB || DE, BC || EF (kuva 65).

Se on todistettava ∠ B = ∠ E.

Todiste... Laajenna sitten sivu DE sen leikkauspisteeseen suoran BC kanssa pisteessä G ja sitten

∠ E = ∠ G vastaa kolmannen suoran pääosaston BC ja EF yhdensuuntaisten sivujen leikkauspisteestä.

∠ B = ∠ G vastaa linjan BC yhdensuuntaisten sivujen AB ja DG leikkauspistettä, joten

∠ E = ∠ B (CHTD).

Lause 41. Vastakkaiset kulmat, joilla on yhdensuuntaiset sivut, täydentävät toisiaan jopa kahteen suoraan linjaan asti.

Koska kaksi vastakkaista kulmaa ABC ja DEF (kuva 66) ovat yhdensuuntaiset sivut, siis AB || DE ja BC || EF.

On todistettava, että ABC + DEF = 2d.

Todiste... Jatka linjaa DE leikkauspisteeseen linjan BC kanssa pisteessä G.

∠ B + ∠ DGB = 2d AB: n ja DG: n suuntaisen kolmannen suoran BC leikkauskohdan muodostamien yksipuolisten sisäkulmien summana.

∠ DGB = ∠ DEF vastaavasti

∠ B + ∠ DEF = 2d (CHTD).

Lause 42. Samannimiset kulmat, joilla on kohtisuorat sivut, ovat yhtä suuret ja vastakkaiset kulmat täydentävät toisiaan enintään kahteen suoraan.

Tarkastellaan kahta tapausta: kun A) kulmat ovat samannimisiä ja kun B) ne ovat vastakkaisia.

1. tapaus... Samannimisten DEF- ja ABC -kulmien (kuva 67) sivut ovat kohtisuorassa eli DE ⊥ AB, EF ⊥ eKr.

On osoitettava, että ∠ DEF = ∠ ABC.

Todiste... Piirrä pisteestä B suorat BM ja BN suorien DE ja EF suuntaisesti siten, että

BM || DE, BN || EF.

Nämä viivat ovat myös kohtisuorassa tietyn kulman ABC sivuille, ts.

BM ⊥ AB ja BN ⊥ eaa.

Koska ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, sitten

∠ NBC = ∠ MBA (a)

Vähentämällä tasa -arvon molemmin puolin (a) NBA -kulmassa löydämme

∠ MBN = ∠ ABC

Koska kulmat MBN ja DEF ovat samannimisiä ja yhdensuuntaisia, ne ovat yhtä suuria (lause 40).

∠ MBN = ∠ DEF (b)

Tasa -arvot (a) ja (b) tarkoittavat tasa -arvoa

∠ ABC = ∠ DEF (CHTD).

Toinen tapaus... Kulmat GED ja ABC kohtisuorat sivut ovat eri mittoja.

On osoitettava, että ∠ GED + ∠ ABC = 2d (kuva 67).

Todiste... Kulmien GED ja DEF summa on kaksi suoraa.

GED + DEF = 2 p
DEF = ABC, siis
GED + ABC = 2d (CHTD).

Lause 43. Muiden yhdensuuntaisten viivojen väliset yhdensuuntaiset viivat ovat yhtä suuria.

Suoraa AB, BD, CD, AC on neljä (kuva 68), joista AB || CD ja BD || AC.

On todistettava, että AB = CD ja BD = AC.

Todiste... Yhdistämällä piste C pisteeseen B segmentin BC avulla, saamme kaksi yhtäsuurta kolmiota ABC ja BCD, koska

BC - yhteinen puoli,

∠ α = ∠ β (sisäisenä poikkileikkauksena kolmannen suoran BC rinnakkaisten viivojen AB ja CD leikkauspisteestä),

∠ γ = ∠ δ (sisäisinä risteyslinjoina linjan BC rinnakkaislinjojen BD ja AC leikkauspisteestä).

Siten kolmioilla on sama sivu ja kaksi yhtä suurta kulmaa.

Vastaavia kulmia α ja β vastapäätä ovat yhtä suuret sivut AC ja BD ja vastaavia kulmia γ ja δ vastaavat sivut AB ja CD,

AC = BD, AB = CD (CHTD).

Lause 44. Rinnakkaisviivat koko pituudeltaan ovat yhtä kaukana toisistaan.

Pisteen etäisyys suorasta linjasta määräytyy pisteestä suoralle pudotetun kohtisuoran pituuden mukaan. Määrittääksemme kahden AB: n suuntaisen pisteen A ja B etäisyyden CD: stä pudotamme kohtisuorat AC ja BD pisteistä A ja B.

Koska linja AB on yhdensuuntainen CD: n kanssa, segmentit AC ja BD ovat kohtisuorassa linjaan CD eli AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (kuva 69).

On todistettava, että AC = BD.

Todiste... Suorat AC ja BD, jotka ovat molemmat kohtisuorassa CD: hen nähden, ovat yhdensuuntaisia, ja siksi AC ja BD ovat rinnakkaisten osien rinnakkaisosia, eli AC = BD (BD).

Lause 45(käänteinen 43). Jos neljän leikkaavan suoran vastakkaiset osat ovat yhtä suuret, nämä osat ovat yhdensuuntaisia.

Neljä leikkaavaa suoraa, joiden vastakkaiset osat ovat yhtä suuret: AB = CD ja BD = AC (kuva 68).

On osoitettava, että AB || CD ja BD || AC.

Todiste... Yhdistämme pisteet B ja C suoralla BC. Kolmiot ABC ja BDC ovat yhtä suuria, koska

BC - yhteinen puoli,
AB = CD ja BD = AC ehdon mukaan.

Täältä

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

Siten,

AC || BD, AB || CD (CHTD).

Lause 46. Kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa.

Annettu kolmio ABC (kuva 70).

On todistettava, että A + B + C = 2d.

Todiste... Piirrä pisteestä C suora AB, joka on yhdensuuntainen sivun AB kanssa. Pisteessä C on kolme kulmaa BCA, α ja β. Niiden summa on kaksi suoraa:

BCA + α + β = 2d

α = B (sisäisinä poikittaiskulmina linjan BC yhdensuuntaisten viivojen AB ja CF leikkauspisteessä);

β = A (vastaavina kulmina linjojen AB ja CF leikkauspisteessä).

Kulmien α ja β vaihtaminen niiden arvojen perusteella saamme:

BCA + A + B = 2d (CHTD).

Tästä lauseesta seuraa seuraavia seurauksia:

Seuraus 1. Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin sen viereisten sisäkulmien summa.

Todiste... Itse asiassa piirustuksesta 70,

CD BCD = ∠ α + ∠ β

Koska ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, niin

CD BCD = ∠ A + ∠ B.

Seuraus 2. Suorakulmaisessa kolmiossa terävien kulmien summa on yhtä suuri kuin oikea kulma.

Itse asiassa suorakulmaisessa kolmiossa (kuva 40)

A + B + C = 2d, A = d siis
B + C = d.

Seuraus 3. Kolmiossa voi olla vain yksi oikea tai yksi tylppä kulma.

Seuraus 4. Tasasivuisessa kolmiossa jokainen kulma on 2/3 d .

Itse asiassa tasasivuisessa kolmiossa

A + B + C = 2 p.

Koska A = B = C, niin

3A = 2d, A = 2/3 p.