تابع درجه دوم y f x. عملکرد درجه دوم و برنامه آن

پیش از این ما توابع دیگر مانند خطی را مطالعه کردیم، مشاهده استاندارد آن را به یاد می آوریم:

از این رو تفاوت اساسی بنیادی - در عملکرد خطی h. این در درجه اول است، و در آن عملکرد جدید، به مطالعه که ما ادامه می دهیم، h. ارزش درجه دوم

به یاد بیاورید که گراف تابع خطی یک خط مستقیم است و یک برنامه عملکرد، همانطور که مشاهده خواهیم کرد، منحنی به نام Parabola است.

بیایید با آنچه که ما پیدا کنیم، شروع کنیم که فرمول ظاهر شود. توضیح این است: اگر ما توسط میدان با حزب مشخص شده است ولی، سپس منطقه ما می توانیم آن را مانند این محاسبه کنیم:

اگر ما طول سمت مربع را تغییر دهیم، منطقه آن تغییر خواهد کرد.

بنابراین، یکی از دلایلی که عملکرد آن مورد مطالعه قرار گرفته است

به یاد بیاورید که متغیر h. - این یک متغیر مستقل یا استدلال است، در تفسیر فیزیکی ممکن است، به عنوان مثال، زمان. فاصله متغیر وابسته متضاد است، بستگی به زمان دارد. متغیر وابسته یا تابع متغیر نامیده می شود w..

این قانون انطباق است، بر اساس آن هر مقدار h. تنها با معنای تنها قرار دهید w..

هر قانون انطباق باید نیاز به منحصر به فرد از استدلال به عملکرد را برآورده کند. در تفسیر فیزیکی، به نظر می رسد کاملا قابل درک در مثال وابستگی فاصله از زمان است: در هر لحظه از زمان ما در برخی از فاصله های خاص از مورد اولیه، و در همان زمان در زمان T 10 غیر ممکن است غیر ممکن است و 20 کیلومتر از آغاز راه.

در عین حال، هر مقدار تابع را می توان با چندین مقادیر استدلال به دست آورد.

بنابراین، ما باید یک نمودار از عملکرد را بسازیم تا این کار را انجام دهیم تا جدول را بسازیم. سپس برنامه کاوش عملکرد و خواص آن است. اما در حال حاضر قبل از ساخت برنامه، می توانیم چیزی در مورد خواص آن بگوییم: واضح است که w. نمی تواند مقادیر منفی را به دلیل

بنابراین، یک جدول را بسازید:

شکل. یک

با توجه به برنامه، ویژگی های زیر را آسان می کند:

محور w. - این محور تقارن گراف است؛

پارابولا رأس - نقطه (0؛ 0)؛

ما می بینیم که این تابع تنها مقادیر غیر منفی را می گیرد؛

در فاصله زمانی که تابع کاهش می یابد، و در فاصله زمانی، که در آن عملکرد افزایش می یابد؛

کوچکترین تابع در بالا به دست می آید، ;

بزرگترین ارزش تابع وجود ندارد؛

مثال 1

وضعیت:

تصمیم گیری:

تا آنجا که h. با شرایط، آن را در یک فاصله خاص تغییر می دهد، ما می توانیم در مورد عملکرد که آن را افزایش می دهد و متفاوت است در فاصله. تابع دارای حداقل مقدار در این شکاف و حداکثر مقدار است.

شکل. 2. برنامه تابع y \u003d x 2، x ∈

مثال 2

وضعیت: بالاترین I را پیدا کنید کوچکترین ارزش کارکرد:

تصمیم گیری:

h. سپس در فاصله زمانی متفاوت است w. در فاصله زمانی کاهش می یابد و در فاصله زمانی افزایش می یابد.

بنابراین، محدودیت های تغییر h. و محدودیت تغییر w. و این بدان معنی است که حداقل عملکرد تابع در این فاصله و حداکثر وجود دارد

شکل. 3. نمودار تابع y \u003d x 2، x ∈ [-3؛ 2]

ما این واقعیت را نشان می دهیم که همان مقدار تابع را می توان با چندین مقادیر استدلال به دست آورد.

در درس های ریاضیات در مدرسه، شما قبلا ساده ترین خواص و نمودارهای تابع را دیدید y \u003d x 2. بیایید دانش را گسترش دهیم تابع درجه دوم.

تمرین 1.

ساخت یک تابع نمودار y \u003d x 2. مقیاس: 1 \u003d 2 سانتی متر علامت گذاری بر روی نقطه محور OY F.(0؛ 1/4). دایره یا نوار کاغذ اندازه گیری فاصله از نقطه F. به برخی از نکات M. پارابولا. سپس نوار را در نقطه M پین کنید و آن را در اطراف این نقطه به طوری که آن را عمودی تبدیل شود. پایان نوار کمی پایین تر از محور Abscissa کاهش می یابد (عکس. 1). علامت گذاری بر روی نوار، تا آنجا که آن را برای محور Abscissa می آید. یک نقطه دیگر را در پارابولا ببرید و دوباره اندازه گیری کنید. چقدر لبه نوار برای محور Abscissa کاهش می یابد؟

نتیجه: هر نقطه ای که در Parabole y \u003d x 2 گرفتهاید، فاصله ای از این نقطه به نقطه f (0؛ 1/4) بیش از فاصله از همان نقطه به محور Abscissa همیشه در همان شماره - توسط 1 خواهد بود / 4

می توان گفت: در غیر این صورت: فاصله از هر نقطه از پارابولا به نقطه (0؛ 1/4) برابر با فاصله از همان نقطه از پارابولا به طور مستقیم Y \u003d -1/4 است. این نقطه فوق العاده F (0؛ 1/4) نامیده می شود تمرکز parabola y \u003d x 2، و راست Y \u003d -1/4 - رهبری این پارابولا. یک مدیر و تمرکز از هر پارابولا وجود دارد.

خواص جالب Parabola:

1. هر نقطه از پارابولا معادل یک نقطه خاص به نام تمرکز Parabola، و برخی مستقیم، به نام مدیر آن است.

2. اگر پارابولا را در اطراف محور تقارن چرخانید (به عنوان مثال، Parabola Y \u003d x 2 در اطراف محور OY) چرخید، سپس یک سطح بسیار جالب است که یک پارابولوئید چرخش نامیده می شود.

سطح مایع در رگ های چرخشی دارای یک شکل از پارابولوئید چرخش است. شما می توانید این سطح را ببینید، اگر آنها به شدت قاشق را در یک لیوان ناقص چای بسازید، سپس قاشق را بردارید.

3. اگر در خالی، یک سنگ را در برخی از زاویه به افق پرتاب کنید، آن را در پارابولا پرواز می کند (شکل 2).

4. اگر شما از سطح مخروطی با یک هواپیما موازی با هر یک از آنها تشکیل می شود، عبور می کنید، پس یک پارابولا در بخش باز می شود (شکل 3).

5. در پارک های تفریحی، جاذبه خنده دار "معجزات پارابولوئید" گاهی اوقات مرتب شده است. به هر یک از پارابولوئید چرخش داخل پارابولوئید چرخشی، به نظر می رسد که آن را بر روی زمین، و بقیه مردم برخی از معجزه بر روی دیوارها نگه دارید.

6. در تلسکوپ های آینه نیز از آینه های پارابولی استفاده می کنند: فاصله یک ستاره دور، که یک پرتو موازی است، سقوط بر روی آینه تلسکوپ، تمرکز می کند.

7. در Spotlights، آینه معمولا به صورت پارابولوئیدی ساخته شده است. اگر منبع نور را در فوکوس Paraboloid قرار دهید، اشعه ها، منعکس شده از آینه های پارابولیک، یک پرتو موازی تشکیل دهید.

ساخت یک نمودار از یک تابع درجه دوم

در درس های ریاضیات، شما از نمودار تابع y \u003d x 2 نمودارهای توابع فرم را مطالعه کردید:

2) y \u003d x 2 + n - تغییر گراف در واحد N در امتداد محور OY، و اگر n\u003e 0، سپس تغییر، و اگر n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y \u003d (x + m) 2 - برنامه تغییر در واحد های M در امتداد محور OX: اگر m< 0, то вправо, а если m > 0، سپس چپ، (شکل 5).

4) y \u003d -x 2 - نقشه برداری متقارن نسبت به محور خروجی گراف y \u003d x 2.

اجازه دهید ما در ساخت برنامه های عملکرد ساکن باشیم. y \u003d a (x - m) 2 + n.

عملکرد درجه دوم نوع y \u003d ax 2 + bx + c همیشه ممکن است به ذهن منجر شود

y \u003d a (x - m) 2 + n، جایی که m \u003d -b / (2a)، n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4A) است.

ما آن را اثبات می کنیم.

واقعا

y \u003d ax 2 + bx + c \u003d a (x 2 + (b / a) x + c / a) \u003d

a (x 2 + 2x · (b / a) + b 2 / (4A 2) - b 2 / (4A 2) + c / a) \u003d

A ((X + B / 2A) 2 - (B 2 - 4AC) / (4A 2)) \u003d A (X + B / 2A) 2 - (B 2 - 4AC) / (4A).

ما معرفی های جدید را معرفی می کنیم.

بیایید m \u003d -b / (2a)، ولی n \u003d - (B 2 - 4AC) / (4A),

سپس ما y \u003d a (x - m) 2 + n یا y - n \u003d a (x - m) 2 را دریافت می کنیم.

ما هنوز هم جایگزین خواهد شد: اجازه دهید y - n \u003d y، x - m \u003d x (*).

سپس تابع y \u003d ax 2 را به دست می آوریم، گراف که پارابولا است.

بالای پارابولا در ابتدای مختصات است. x \u003d 0؛ y \u003d 0

جایگزینی مختصات رأس ها در (*)، ما مختصات رأس گراف Y \u003d a (x - m) 2 + n: x \u003d m، y \u003d n را به دست می آوریم.

بنابراین، به منظور ساخت یک نمودار از یک تابع درجه دوم نشان داده شده است

y \u003d a (x - m) 2 + n

توسط تحولات، شما می توانید به شرح زیر عمل کنید:

آ) یک نمودار از تابع y \u003d x 2 را بسازید؛

ب) با انتقال موازی در امتداد محور OX در واحد های M و در امتداد محور OY در واحد N - Peakin از Parabola از آغاز مختصات به ترجمه به نقطه با مختصات (m؛ n) (شکل 6).

ضبط تحولات:

y \u003d x 2 → y \u003d (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 + n.

مثال.

با استفاده از تبدیل برای ساخت یک گراف از تابع y \u003d 2 (x - 3) در سیستم مختصات دکارتی؛ – 2.

تصمیم گیری

زنجیره تحول:

y \u003d x 2 (1) → y \u003d (x - 3) 2 (2) → y \u003d 2 (x - 3) 2 (3) → y \u003d 2 (x - 3) 2 - 2 (4) .

ساخت گراف نشان داده شده است شکل. 7.

شما می توانید در ساخت نمودارها از عملکرد درجه دوم تمرین کنید. به عنوان مثال، ساخت یک سیستم مختصات با استفاده از برنامه تبدیل Y \u003d 2 (X + 3) 2 + 2. 2. اگر شما هر گونه سوال و یا شما می خواهید برای دریافت مشاوره معلمان، پس از آن شما فرصت برای صرف رایگان درس 25 دقیقه ای با معلم آنلاین پس از ثبت نام برای کار بیشتر با معلم، می توانید برنامه تعرفه ای را انتخاب کنید که برای شما مناسب است.

سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه یک نمودار از یک تابع درجه دوم ایجاد کنید؟
برای دریافت کمک معلم - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است!

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.

پیش از این ما توابع دیگر مانند خطی را مطالعه کردیم، مشاهده استاندارد آن را به یاد می آوریم:

اگر ما طول سمت مربع را تغییر دهیم، منطقه آن تغییر خواهد کرد.

بنابراین، یکی از دلایلی که عملکرد آن مورد مطالعه قرار گرفته است

این قانون انطباق است، بر اساس آن هر مقدار h. تنها با معنای تنها قرار دهید w..

در عین حال، هر مقدار تابع را می توان با چندین مقادیر استدلال به دست آورد.

بنابراین، یک جدول را بسازید:

شکل. یک

با توجه به برنامه، ویژگی های زیر را آسان می کند:

محور w. - این محور تقارن گراف است؛

پارابولا رأس - نقطه (0؛ 0)؛

ما می بینیم که این تابع تنها مقادیر غیر منفی را می گیرد؛

در فاصله زمانی که تابع کاهش می یابد، و در فاصله زمانی، که در آن عملکرد افزایش می یابد؛

کوچکترین تابع در بالا به دست می آید، ;

بزرگترین ارزش تابع وجود ندارد؛

مثال 1

وضعیت:

تصمیم گیری:

شکل. 2. برنامه تابع y \u003d x 2، x ∈

مثال 2

وضعیت: بزرگترین و کوچکترین عملکرد تابع را پیدا کنید:

تصمیم گیری:

h. سپس در فاصله زمانی متفاوت است w. در فاصله زمانی کاهش می یابد و در فاصله زمانی افزایش می یابد.

شکل. 3. نمودار تابع y \u003d x 2، x ∈ [-3؛ 2]

ما این واقعیت را نشان می دهیم که همان مقدار تابع را می توان با چندین مقادیر استدلال به دست آورد.

نام مختصات نقاط، امتیاز داده های متقارن
با توجه به محور Y:
Y.
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
H.

در برنامه روشن است که محور OY تقسیم پارابولا را به متقارن تقسیم می کند
بخش های چپ و راست (شاخه های پارابولا)، در یک نقطه با مختصات (0؛ 0)
(Vertex Parabola) مقدار تابع x 2 کوچکترین است.
این تابع بزرگترین ارزش را ندارد. پارابولا بالا است
نقطه تقاطع گراف با محور Symmetry Oy.
در نمودار گراف با x ∈ (- ∞؛ 0) عملکرد کاهش می یابد،
و با x ∈ [0؛ + ∞) افزایش می یابد.

نمودار تابع y \u003d x 2 + 3 همان پارابولا است، اما آن را
اوج در نقطه با مختصات (0؛ 3) واقع شده است.

مقدار تابع را پیدا کنید
y \u003d 5x + 4، اگر:
x \u003d -1.
y \u003d - 1 y \u003d 19
x \u003d -2.
y \u003d -6.
y \u003d 29.
x \u003d 3
x \u003d 5

مشخص نمودن
منطقه تعریف تابع:
y \u003d 16 - 5x
10
Y.
H.
x - هر کس
عدد
x ≠ 0
1
Y.
x 7
4x 1
Y.
5
x ≠ 7.

ساخت ویژگی ها:
1) .u \u003d 2x + 3
2) .u \u003d -2x-1؛
3).

10.

ریاضی
مطالعه
موضوع: تابع y \u003d x2

11.

ساختن
برنامه
کارکرد
y \u003d x2.

12.

الگوریتم برای ساخت یک پارابلا
1. جدول مقادیر X و U را پر کنید
2. در هواپیما مختصات نقطه،
مختصات که در جدول مشخص شده است.
3. این نقاط با یک خط صاف.

13.

باور نکردنی
اما واقعیت!
پارابولا را گذراند

14.

آیا می دانستید؟
مسیری از سنگ رها شده است
یک زاویه به افق پرواز خواهد کرد
پارابولا.

15. خواص تابع y \u003d x2

*
عملکرد خواص
y \u003d.
2
ایکس.

16.

*دامنه
توابع d (f):
x - هر عدد
* منطقه ارزش ها
توابع E (F):
تمام مقادیر ≥ 0.

17.

*اگر یک
x \u003d 0، سپس y \u003d 0.
تابع برنامه ریزی
می رود از طریق
اصل و نسب.

18.

دوم
من.
*اگر یک
x ≠ 0،
این می تواند 0 باشد.
تمام نقاط گرافیک
توابع غیر از نقطه
(0؛ 0)، واقع شده است
بالا محور x

19.

* مخالف
مقادیر x
مربوط به یکی است
و همان ارزش
تابع برنامه ریزی
متقارن
با توجه به محور
دستورالعمل ها

20.

هندسی
خواص پارابولا
* دارای تقارن است
* محور پارابولا را قطع می کند
دو بخش: شاخه ها
پارابولا
* نقطه (0؛ 0) - بالا
پارابولا
* پارابولا محور را لمس می کند
اوکیسا
محور
تقارن

21.

پیدا کنید اگر:
"دانش - ابزار،
و نه یک هدف "
l. n. tolstoy
x \u003d 1،4
- 1,4
y \u003d 1،96
x \u003d 2.6
-2,6
y \u003d 6،76.
x \u003d 3،1
- 3,1
y \u003d 9،61
x را پیدا کنید اگر:
y \u003d 6
y \u003d 4
x ≈ 2.5 x ≈ -2.5
x \u003d 2 x \u003d -2

22.

ساخت در یک
دستگاه مختصات
نمودارهای دو توابع
1. مورد:
y \u003d x2.
y \u003d x + 1
2. مورد:
y \u003d x2.
y \u003d -1.

23.

پیدا کردن
مقادیر چندگانه
x، که در آن
مقادیر تابع:
کمتر از 4
بیش از 4

24.

گرافیک تابع y \u003d x2 نقطه:
P (-18؛ 324)
R (-99؛ -9081)
متعلق به
تعلق نداشتن
S (17؛ 279)
تعلق نداشتن
بدون انجام محاسبات، تعیین کنید کدام یک از
نقاط به گرافیک تابع y \u003d x2 تعلق ندارد:
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
تحت چه مقدار، نقطه P (A؛ 64) متعلق به نمودار عملکرد y \u003d x2 است.
a \u003d 8؛ a \u003d - 8
(16; 0)

25.

معادله حل الگوریتم
گرافیکی
1. ساخت در یک سیستم
مختصات گرافیک توابع ارزش
در سمت چپ و راست معادله.
2. سوء استفاده از نقاط تقاطع را پیدا کنید
نمودارها این ریشه خواهد بود
معادلات
3. اگر نقاط تقاطع وجود نداشته باشد، به این معنی است که
معادله ریشه ندارد

تابع y \u003d x ^ 2 یک تابع درجه دوم نامیده می شود. نمودار عملکرد درجه دوم پارابولا است. فرم عمومی پارابولا در شکل زیر ارائه شده است.

تابع درجه دوم

شکل 1. نمای کلی پارابولا

همانطور که از گراف دیده می شود، در مورد محور OU متقارن است. محور OU محور تقارن پارابولا نامیده می شود. این به این معنی است که اگر محور موازی مستقیم را در برنامه صرف کنید. این پارابولا را در دو نقطه عبور خواهد کرد. فاصله از این نکات به محور OU یکسان خواهد بود.

محور تقارن برنامه Parabola را به عنوان اگر به دو بخش تقسیم شود. این قطعات شاخه های Parabola نامیده می شوند. و نقطه پارابولاس که در محور تقارن قرار دارد، رأس مروارید نامیده می شود. به این معنا که محور تقارن از طریق بالای پارابولا عبور می کند. مختصات این نقطه (0؛ 0).

خواص اصلی عملکرد درجه دوم

1. در x \u003d 0، y \u003d 0، و\u003e 0 در x0

2. حداقل مقدار عملکرد درجه دوم در رأس آن می رسد. ymin در x \u003d 0؛ همچنین باید اشاره کرد که حداکثر مقدار وجود ندارد.

3. عملکرد بر روی فاصله (-∞؛ 0) کاهش می یابد و در فاصله زمانی افزایش می یابد)