Фізичні застосування певного інтеграла робота змінної сили. Механічні програми певного інтегралу. Площа поверхні обертання

Певний інтеграл (ОІ) широко використовується у практичних додатках математики та фізики.

Зокрема, в геометрії за допомогою ОІ знаходять площі простих фігур і складних поверхонь, обсягів тіл обертання та довільної форми, довжин кривих на площині та в просторі.

У фізиці та теоретичній механіці ОІ застосовують для обчислення статичних моментів, мас та центрів мас матеріальних кривих та поверхонь, для обчислення роботи змінної сили по криволінійному шляху та ін.

Площа плоскої фігури

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $xOy$ зверху обмежена кривою $y=y_(1) \left(x\right)$, знизу - кривою $y=y_(2) \left(x\right)$ , а ліворуч і праворуч вертикальними прямими $x=a$ і $x=b$ відповідно. У загальному випадку площа такої фігури виражається за допомогою ОІ $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left(x\right ) \right) \ cdot dx $.

Якщо ж деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $xOy$ праворуч обмежена кривою $x=x_(1) \left(y\right)$, ліворуч - кривою $x=x_(2) \left(y\right) $, а знизу і зверху горизонтальними прямими $y=c$ і $y=d$ відповідно, площа такої фігури виражається за допомогою ОІ $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Нехай плоска фігура (криволінійний сектор), що розглядається в полярній системі координат, утворена графіком безперервної функції $\rho = \rho \left(\phi \right)$, а також двома променями, що проходять під кутами $\phi =\alpha $ і $ \ phi = \ beta $ відповідно. Формула для обчислення площі такого криволінійного сектора має вигляд: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left(\phi \right ) \ cdot d \ phi $.

Довжина дуги кривої

Якщо на відрізку $ \ left [ \ alpha , \; \beta \right]$ крива задана рівнянням $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярній системі координат, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $L=\int \limits _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $.

Якщо на відрізку $\left$ крива задана рівнянням $y=y\left(x\right)$, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $L=\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Якщо на відрізку $ \ left [ \ alpha , \; \beta \right]$ крива задана параметрично, тобто $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Обчислення об'єму тіла за площами паралельних перерізів

Нехай необхідно знайти обсяг просторового тіла, координати точок якого задовольняють умовам $a\le x\le b$, і для якого відомі площі перерізів $S\left(x\right)$ площинами, перпендикулярними до осі $Ox$.

Формула для обчислення об'єму такого тіла має вигляд $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Об'єм тіла обертання

Нехай на відрізку $ \ left $ задана невід'ємна безперервна функція $ y = y \ left (x \ right) $, що утворює криволінійну трапецію (КрТ). Якщо крутити цю КрТ навколо осі $Ox$, то утворюється тіло, зване тілом обертання.

Обчислення об'єму тіла обертання є окремим випадком обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перерізів. Відповідна формула має вигляд $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $xOy$ зверху обмежена кривою $y=y_(1) \left(x\right)$, знизу - кривою $y=y_(2) \left(x\right)$ , де $y_(1) \left(x\right)$ і $y_(2) \left(x\right)$ -- невід'ємні безперервні функції, а ліворуч і праворуч вертикальними прямими $x=a$ і $x= b $ відповідно. Тоді об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо осі $Ox$, виражається ОІ $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^(2) \left(x) \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $xOy$ праворуч обмежена кривою $x=x_(1) \left(y\right)$, зліва - кривою $x=x_(2) \left(y\right)$ де $x_(1) \left(y\right)$ і $x_(2) \left(y\right)$ -- невід'ємні безперервні функції, а знизу і зверху горизонтальними прямими $y=c$ і $y= d$ відповідно. Тоді об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо осі $Oy$, виражається ОІ $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Площа поверхні тіла обертання

Нехай на відрізку $\left$ задана невід'ємна функція $y=y\left(x\right)$ з безперервною похідною $y"\left(x\right)$. Ця функція утворює КрТ. Якщо крутити цю КрТ навколо осі $Ox $, вона сама утворює тіло обертання, а дуга КрТ - його поверхню.Площа поверхні такого тіла обертання виражається формулою $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Припустимо, що криву $x=\phi \left(y\right)$, де $\phi \left(y\right)$ -- задана на відрізку $c\le y\le d$ невід'ємна функція, обертають навколо осі $Oy$. У цьому випадку площа поверхні утвореного тіла обертання виражається ОІ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right)\cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

Фізичні програми ОІ

1. Для обчислення пройденого шляху в момент часу $t=T$ при змінній швидкості руху $v=v\left(tright)$ матеріальної точки, яка почала рух в момент часу $t=t_(0) $, використовують ОІ $S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Для обчислення роботи змінної сили $F=F\left(x\right)$, прикладеної до матеріальної точки, що переміщається прямолінійним шляхом вздовж осі $Ox$ від точки $x=a$ до точки $x=b$ (напрямок дії сили збігається з напрямком руху) використовують ОІ $A=\int \limits _(a)^(b)F\left(x\right)\cdot dx $.
3. Статичні моменти щодо координатних осей матеріальної кривої $y=y\left(x\right)$ на проміжку $\left$ виражаються формулами $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y \left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ і $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a )^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, де лінійна щільність $\rho $ цієї кривої вважається постійною.
4. Центр мас матеріальної кривої - це точка, в якій умовно зосереджена вся її маса таким чином, що статичні моменти точки щодо координатних осей дорівнюють відповідним статичним моментам всієї кривої в цілому.

Формули для обчислення координат центру мас плоскої кривої мають вигляд $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\) right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ і $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. Статичні моменти матеріальної плоскої фігури у вигляді КрТ щодо координатних осей виражаються формулами $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x\right)\cdot dx $ і $M_(y) = \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. Координати центру мас матеріальної плоскої фігури у вигляді КрТ, утвореної кривою $y=y\left(x\right)$ на проміжку $\left$, обчислюють за формулами $x_(C) =\frac(\int \limits _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $ і $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

Тема 6.10. Геометричні та фізичні додатки певного інтегралу

1. Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f (x) (f (x)> 0), прямими x = a, x = b і відрізком [a, b] осі Ох, обчислюється за формулою

2. Площа фігури, обмеженої кривими y = f(x) та y = g(x) (f(x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Якщо крива задана параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t), то площа криволінійної трапеції, обмеженої цієї кривої і прямими х = a, x = b, знаходиться за формулою

4. Нехай S (x)- площа перерізу тіла площиною, перпендикулярної осі Ох, тоді об'єм частини тіла, укладеної між перпендикулярними осі площинами х=а і х= b знаходиться за формулою

5. Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою y = f (x) і прямими y = 0, х = а і х = b обертається навколо осі Ох, тоді об'єм тіла обертання обчислюється за формулою

6. Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою х = g(y) і

прямими x = 0, y = c і y = d обертається навколо осі О y тоді обсяг тіла обертання обчислюється за формулою

7. Якщо плоска крива віднесена до прямокутної системи координат і задана рівнянням y = f(x) (або x = F(y)), то довжина дуги визначається формулою

1. Площа плоскої фігури.

Площа криволінійної трапеції, обмеженою невід'ємною функцією f(x), віссю абсцис та прямими x = a, x = bвизначається як S = ∫ a b f x d x .

Площа криволінійної трапеції

Площа фігури, обмеженою функцією f(x), що перетинає вісь абсцис, визначається формулою S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i- Нулі функції. Іншими словами, щоб вирахувати площу цієї фігури, потрібно розбити відрізок нулями функції f(x)на частини, проінтегрувати функцію fпо кожному з проміжків знакості, що вийшли, скласти окремо інтеграли за відрізками, на яких функція fприймає різні знаки, і відняти з першого друге.

2. Площа криволінійного сектора.

Площа криволінійного сектора Розглянемо криву ρ = ρ (φ) у полярній системі координат, де ρ (φ) - безперервна і невід'ємна на [α; β] функція. Фігура, обмежена кривою ρ (φ) та променями φ = α , φ = β називається криволінійним сектором. Площа криволінійного сектора дорівнює S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .

3. Об'єм тіла обертання.

Об'єм тіла обертання

Нехай тіло утворене обертанням навколо осі OX криволінійної трапеції, обмеженої безперервної на відрізку функцією f(x). Його обсяг виражається формулою V = π ∫ a b f 2 x d x .

До завдання про знаходження об'єму тіла за площею поперечного перерізу

Нехай тіло укладено між площинами x = aі x = b, а площа його перерізу площиною, що проходить через точку x, - безперервна на відрізку функція σ (x). Тоді його обсяг дорівнює V = ∫ a b x d x .

4. Довжина дуги кривої.

Нехай задана крива r → t = x t , y t , z t Тоді довжина її ділянки, обмеженої значеннями t = αі t = βвиражається формулою S = α β x t 2 + y t 2 + z t 2 dt .

Довжина дуги плоскої кривої Зокрема, довжина плоскої кривої, що задається на координатній площині. OXYрівнянням y = f(x), a ≤ x ≤ b, Виражається формулою S = ∫ a b 1 + f ' x 2 dx .

5. Площа поверхні обертання.

Площа поверхні обертання Нехай поверхня задається обертанням щодо осі OX графіка функції y = f(x), a ≤ x ≤ b, та функція fмає безперервну похідну на цьому відрізку. Тоді площа поверхні обертання визначається формулою Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f x 2 d x .

Площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y=f(x), ліворуч і праворуч - прямими x=aі x=bвідповідно, знизу – віссю Ox, обчислюється за формулою

Площа криволінійної трапеції, обмеженої праворуч графіком функції x=φ(y), зверху та знизу - прямими y=dі y=cвідповідно, зліва - віссю Ой:

Площа криволінійної фігури, обмеженої зверху графіком функції y 2 = f 2 (x), знизу - графіком функції y 1 = f 1 (x), ліворуч і праворуч - прямими x=aі x=b:

Площа криволінійної фігури, обмеженої зліва та праворуч графіками функцій x 1 =φ 1 (y)і x 2 = φ 2 (y), зверху та знизу - прямими y=dі y=cвідповідно:

Розглянемо випадок, коли лінія, що обмежує криволінійну трапецію зверху, задана параметричними рівняннями x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), де α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Ці рівняння визначають певну функцію y=f(x)на відрізку [ a, b]. Площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою

Перейдемо до нової змінної x = φ 1 (t)тоді dx = φ" 1(t) dt, а y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), отже, \begin(displaymath)

Площа у полярних координатах

Розглянемо криволінійний сектор OAB, обмежений лінією, заданою рівнянням ρ=ρ(φ) у полярних координатах, двома променями OAі OB, для яких φ=α , φ=β .

Сектор розіб'ємо на елементарні сектори OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n =B). Позначимо через Δφ kкут між променями OM k-1і OM k, що утворюють з полярною віссю кути φ k-1і φ kвідповідно. Кожен із елементарних секторів OM k-1 M kзамінимо круговим сектором із радіусом ρ k =ρ(φ" k), де φ" k- значення кута φ з проміжку [ φ k-1 , φ k], та центральним кутом Δφ k. Площа останнього сектора виражається формулою .

висловлює площу "ступінчастого" сектора, що приблизно замінює даний сектор OAB.

Площею сектора OABназивається межа площі "ступінчастого" сектора при n → ∞і λ=max Δφ k → 0:

Так як , то

Довжина дуги кривої

Нехай на відрізку [ a, b] задана функція, що диференціюється y=f(x), графіком якої є дуга. Відрізок [ a,b] розіб'ємо на nчастин точками x 1, x 2, …, x n-1. Цим точкам відповідатимуть точки M 1, M 2, …, M n-1дуги, з'єднаємо їх ламаною лінією, яку називають ламаною, вписаною в дугу. Периметр даної ламаної позначимо через s n, тобто

Визначення. Довжиною дуги лінії називається межа периметра, вписаної в неї ламаною, коли число ланок M k-1 M kнеобмежено зростає, а довжина найбільшого їх прагне нулю:

де λ - Довжина найбільшої ланки.

Відраховуватимемо довжину дуги від деякої її точки, наприклад, A. Нехай у точці M(x, y)довжина дуги дорівнює s, а в точці M"(x+Δx,y+Δy)довжина дуги дорівнює s+Δs, де, i>Δs - довжина дуги. З трикутника MNM"знаходимо довжину хорди: .

З геометричних міркувань випливає, що

тобто нескінченно мала дуга лінії і хорда, що стягує її, еквівалентні.

Перетворимо формулу, що виражає довжину хорди:

Переходячи до межі цієї рівності, отримаємо формулу для похідної функції s = s (x):

з якої знаходимо

Ця формула виражає диференціал дуги плоскою кривою і має простий геометричний зміст: висловлює теорему Піфагора для нескінченно малого трикутника MTN (ds=MT, ).

Диференціал дуги просторової кривої визначається формулою

Розглянемо дугу просторової лінії, заданої параметричними рівняннями

де α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) - диференційовані функції аргументу t, то

Інтегруючи цю рівність за проміжком [ α, β ], отримуємо формулу для обчислення довжини цієї дуги лінії

Якщо лінія лежить у площині Oxy, то z=0при всіх t∈[α, β]тому

У разі коли плоска лінія задана рівнянням y=f(x) (a≤x≤b), де f(x)- функція, що диференціюється, остання формула набуває вигляду

Нехай плоска лінія задана рівнянням ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) у полярних координатах. У цьому випадку маємо параметричні рівняння лінії x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, де як параметр береться полярний кут φ . Оскільки

то формула, що виражає довжину дуги лінії ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) у полярних координатах, має вигляд

Об'єм тіла

Знайдемо об'єм тіла, якщо відома площа будь-якого поперечного перерізу цього тіла, перпендикулярного до деякого напрямку.

Розіб'ємо це тіло на елементарні шари площинами, перпендикулярними до осі. Oxта визначеними рівняннями x=const. Для будь-якого фіксованого x∈відома площа S=S(x)поперечного перерізу даного тіла

Елементарний шар, відтятий площинами x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 = a, x n = b), замінимо циліндром з висотою Δx k = x k -x k-1та площею підстави S(ξ k), ξ k ∈.

Об'єм вказаного елементарного циліндра виражається формулою Δv k =E(ξ k)Δx k. Складемо суму всіх таких творів

є інтегральною сумою для цієї функції S=S(x)на відрізку [ a, b]. Вона виражає обсяг ступінчастого тіла, що складається з елементарних циліндрів і приблизно замінює це тіло.

Об'ємом даного тіла називають межу об'єму зазначеного ступінчастого тіла при λ→0 , де λ - Довжина найбільшого з елементарних відрізків Δx k. Позначимо через Vобсяг даного тіла, тоді за визначенням

З іншого боку,

Отже, об'єм тіла за заданими поперечними перерізами обчислюється за формулою

Якщо тіло утворене обертанням навколо осі Oxкриволінійної трапеції, обмеженої зверху дугою безперервної лінії y=f(x), де a≤x≤b, то S(x)=πf 2 (x)і остання формула набуває вигляду:

Зауваження. Обсяг тіла, отриманого обертанням криволінійної трапеції, обмеженої праворуч графіком функції x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), навколо осі Ойобчислюється за формулою

Площа поверхні обертання

Розглянемо поверхню, отриману обертанням дуги лінії y=f(x) (a≤x≤b) навколо осі Ox(припустимо, що функція y=f(x)має безперервну похідну). Фіксуємо значення x∈, аргументу функції додамо збільшення dx, якому відповідає "елементарне кільце", отримане обертанням елементарної дуги Δl. Це "кільце" замінимо циліндричним кільцем - бічною поверхнею тіла, утвореного обертанням прямокутника з основою, що дорівнює диференціалу дуги. dl, і заввишки h=f(x). Розрізавши останнє кільце і розгорнувши його, отримаємо смужку завширшки dlта довжиною 2πy, де y=f(x).

Отже, диференціал площі поверхні висловиться формулою

Ця формула виражає площу поверхні, отриманої обертанням дуги лінії y=f(x) (a≤x≤b) навколо осі Ox.

Головна > Лекція

Лекція 18. Програми певного інтеграла.

18.1. Обчислення площ плоских фігур.

Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площею криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче за осю Ох, тобто. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула.

Площа фігури, обмеженою деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

приклад.Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x, y = x 2, x = 2.

Потрібна площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена за формулою:

18.2. Знаходження площі криволінійного сектора.

Для знаходження площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор у цій системі координат, має вигляд  = f(), де  – довжина радіус – вектора, що з'єднує полюс із довільною точкою кривої, а  – кут нахилу цього радіус – вектора до полярної осі.

Площа криволінійного сектора може бути знайдена за формулою

18.3. Обчислення довжини дуги кривої.

y y = f(x)

S i y i

Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі, може бути знайдена як
.

Тоді довжина дуги дорівнює
.

З геометричних міркувань:

В той же час

Тоді можна показати, що

Тобто.

Якщо рівняння кривої встановлено параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої, отримуємо

,

де х = (t) та у = (t).

Якщо задана просторова крива, і х = (t), у = (t) та z = Z(t), то

Якщо крива задана в полярних координатах, то

,  = f().

Приклад:Знайти довжину кола, заданого рівнянням x 2 + y 2 = r 2 .

1 спосіб.Виразимо з рівняння змінну у.

Знайдемо похідну

Тоді S = 2r. Отримали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб.Якщо уявити задане рівняння у полярній системі координат, то отримаємо: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2 , тобто. функція  = f() = r,
тоді

18.4. Обчислення обсягів тел.

Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перерізів.

Нехай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного перерізу тіла Q відома як безперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на "шари" поперечними перерізами, що проходять через точки х i розбиття відрізка . Т.к. на якомусь проміжному відрізку розбиття функція Q(x) безперервна, то приймає на ньому найбільше і найменше значення. Позначимо їх відповідно M i та m i .

Якщо на цих найбільшому та найменшому перерізах побудувати циліндри з утворюючими, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно дорівнювати M i x i і mi x i тут x i = x i - x i -1 .

Зробивши такі побудови для всіх відрізків розбиття, отримаємо циліндри, об'єми яких рівні відповідно
і
.

При прагненні до нуля кроку розбиття  ці суми мають спільну межу:

Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений за формулою:

Недоліком цієї формули і те, що знаходження обсягу необхідно знати функцію Q(x), що дуже проблематично для складних тіл.

Приклад:Знайти об'єм кулі радіусу R.

У поперечних перерізах кулі виходять кола змінного радіусу у. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою
.

Тоді функція площ перерізів має вигляд: Q(x) =
.

Отримуємо об'єм кулі:

Приклад:Знайти обсяг довільної піраміди з висотою Н та площею основи S.

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, у перерізі отримуємо фігури, подібні до основи. p align="justify"> Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x/H, де х - відстань від площини перерізу до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності квадраті, тобто.

Звідси отримуємо функцію площ перерізів:

Знаходимо об'єм піраміди:

18.5. Об'єм тіл обертання.

Розглянемо криву, задану рівнянням y = f(x). Припустимо, що функція f(x) безперервна на відрізку . Якщо відповідну їй криволінійну трапецію з основами а та b обертати навколо осі Ох, то отримаємо так зване тіло обертання.

y = f(x)

Т.к. кожне переріз тіла площиною x = const є коло радіусу
, то об'єм тіла обертання може бути легко знайдений за формулою:

18.6. Площа поверхні тіла обертання.

М i B

Визначення: Площею поверхні обертаннякривою АВ навколо цієї осі називають межу, якого прагнуть площі поверхонь обертання ламаних, вписаних у криву АВ, при прагненні до нуля найбільших із довжин ланок цих ламаних.

Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M0, M1, M2, …, Mn. Координати вершин отриманої ломаної мають координати xi і y . При обертанні ламаної навколо осі отримаємо поверхню, що складається з бічних поверхонь зрізаних конусів, площа яких дорівнює P i . Ця площа може бути знайдена за формулою:

Тут S i – довжина кожної хорди.

Застосовуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа) до відношення
.