Kagamitan:

• isang kompyuter,
• multimedia projector,
• screen,
• Attachment 1.(Slide Presentation sa PowerPoint) "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng indicative"
• Appendix 2. (Paglutas ng equation ng uri "tatlong iba't ibang mga base ng degree" sa salita)
• Appendix 3. (pamamahagi ng materyal sa salita para sa praktikal na trabaho).
• Appendix 4. (pamamahagi ng materyal sa salita para sa araling-bahay).

Sa mga klase

1. Organisasyon Stage.

• aralin sa Mga Paksa ng Mensahe (naitala sa board),
• ang pangangailangan para sa isang pangkalahatang aralin sa grado 10-11:

Stage of Training Students para sa aktibong kaalaman sa pag-aaral

Reiteration.

Kahulugan.

Ang isang nagpapahiwatig na equation ay tinatawag na isang equation na naglalaman ng isang variable sa isang tagapagpahiwatig ng degree (ang estudyante ay sinasagot).

Pangungusap ng guro. Ang nagpapahiwatig na mga equation ay nabibilang sa klase ng transendental equation. Ang mahirap na pagkilos na ito ay nagpapahiwatig na ang mga naturang equation sa pangkalahatan ay hindi nalutas bilang isang pormula.

Maaari lamang silang malutas sa pamamagitan ng humigit-kumulang na numerical na pamamaraan sa mga computer. Ngunit ano ang tungkol sa mga gawain sa pagsusulit? Ang lahat ng mga lansihin ay ang tagasuri ay gawaing ito na ito lamang admits isang analytical solusyon. Sa ibang salita, maaari mong (at dapat!) Gawin ang gayong mga magkaparehong pagbabagong pagbabawas sa katumbas na equation na ito sa pinakasimpleng indicative equation. Ito ang pinakamadaling equation na tinatawag na: ang pinakasimpleng equation. Ito ay lutasin logarithming.

Ang sitwasyon na may solusyon ng nagpapahiwatig na equation ay kahawig ng isang paglalakbay sa pamamagitan ng isang labirint, na espesyal na imbento ng tagatala ng gawain. Sa mga pangkaraniwang pangangatwiran na ito, mayroong mga kongkretong rekomendasyon.

Upang matagumpay na malutas ang mga equation na nagpapahiwatig, kinakailangan:

1. Hindi lamang aktibong alam ang lahat ng pagkakakilanlan ng demonstrasyon, kundi pati na rin upang makahanap ng maraming mga variable na halaga kung saan ang mga pagkakakilanlan ay tinutukoy na kapag ginagamit ang mga pagkakakilanlan, huwag makakuha ng mga dagdag na ugat, at higit pa, huwag mawalan ng mga solusyon sa equation.

2. Aktibong alam ang lahat ng pagkakakilanlan ng demonstrasyon.

3. Malinaw, nang detalyado at walang mga pagkakamali na gumawa ng mga pagbabago sa matematika ng mga equation (upang ilipat ang mga bahagi mula sa isang bahagi ng equation sa isa pa, nang hindi nalilimutan ang tungkol sa paglilipat ng pag-sign, humantong sa pangkalahatang denominador ng fraction at iba pa) . Ito ay tinatawag na kultura ng matematika. Kasabay nito, ang mga kalkulasyon mismo ay dapat awtomatikong gawin sa kanilang mga kamay, at ang ulo ay dapat mag-isip tungkol sa pangkalahatang tracking thread ng solusyon. Ang paggawa ng mga conversion ay dapat na mas malapit hangga't maaari at higit pa. Tanging ito ay magbibigay ng isang garantiya ng tamang hindi mapag-aalinlanganan solusyon. At tandaan: Ang isang maliit na error sa aritmetika ay maaaring lumikha lamang ng isang transendental equation, na sa prinsipyo ay hindi malulutas analytically. Ito ay lumiliko, nakuha mo ang daan at nagpahinga sa pader ng labirint.

4. Alamin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema (iyon ay, alam ang lahat ng mga paraan ng pagpasa sa solusyon labirint). Para sa tamang orientation sa bawat yugto ay magkakaroon ka (sinasadya o magaling!):

• matukoy uri ng equation.;
• tandaan ang kaukulang uri paraan ng desisyon mga gawain.

Yugto ng pangkalahatan at systematization ng pinag-aralan na materyal.

Ang isang guro, kasama ang mga mag-aaral na may paglahok ng isang computer, isang pagsusuri ng lahat ng mga uri ng mga indicative equation at pamamaraan ng kanilang solusyon ay isinasagawa, ang isang pangkalahatang pamamaraan ay inilabas. (Used Training Computer Program L.YA. Borevsky "Matematika Course - 2000", ang may-akda ng pagtatanghal sa PowerPoint - tinatawag na. Motversova.)

Larawan. isa.Ang figure ay nagpapakita ng pangkalahatang diagram ng lahat ng mga uri ng mga indicative equation.

Tulad ng makikita mula sa scheme na ito, ang diskarte para sa paglutas ng mga equation ng nagpapahiwatig ay upang dalhin ang indicative equation sa equation, una sa lahat, na may parehong mga base ng degree. at pagkatapos - at na may parehong mga tagapagpahiwatig ng degree.

Matapos matanggap ang equation na may parehong mga base at tagapagpahiwatig ng mga degree, palitan mo ang degree na ito sa isang bagong variable at makakuha ng isang simpleng algebraic equation (karaniwang, fractional rational o parisukat) na may kaugnayan sa bagong variable na ito.

Sa pamamagitan ng pagpapasya sa equation na ito at gumawa ng kapalit, ikaw bilang isang resulta ay dumating sa pinagsama-samang mga pinakasimpleng equation demonstration na malulutas sa pangkalahatan sa tulong ng logarithmation.

Ang mga equation ay matatagpuan, kung saan lamang gumagana (pribadong) degrees ay natagpuan. Sinasamantala ang mga identidad na nagpapahiwatig, ang mga equation na ito ay namamahala upang dalhin kaagad sa isang base, sa partikular, sa pinakasimpleng equation ng indicative.

Isaalang-alang kung paano malulutas ang nagpapahiwatig na equation na may tatlong magkakaibang base ng degree.

(Kung ang guro ay may training computer program L.YA. Borevsky "Matematika - 2000 kurso, natural naming gumagana sa isang disk kung hindi - maaari kang gumawa ng isang printout ng ganitong uri ng equation mula dito, iniharap sa ibaba.)

Larawan. 2. Ang plano ng solusyon para sa equation.

Larawan. 3. Ang simula ng solusyon ng equation.

Larawan. apat. Pag-aalis ng solusyon ng equation.

Gumaganap praktikal na trabaho

Matukoy ang uri ng equation at lutasin ito.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Summing up ang aralin

Pag-install ng mga pagtatantya para sa aralin.

Katapusan ng aralin

Para sa guro

Diagram ng mga tugon ng praktikal na trabaho.

Ang gawain: Mula sa listahan ng mga equation, piliin ang mga equation ng tinukoy na uri (№ tumugon sa talahanayan):

1. Tatlong magkakaibang base ng degrees.
2. Dalawang iba't ibang mga base - iba't ibang mga tagapagpahiwatig ng degree
3. Ang mga pundasyon ng degree - ang antas ng isang numero
4. Parehong mga base - iba't ibang mga tagapagpahiwatig ng degrees.
5. Ang parehong mga base ng degree - ang parehong mga tagapagpahiwatig ng degree
6. Ang gawain ng degrees
7. Dalawang magkaibang base ng degree - ang parehong mga tagapagpahiwatig
8. Ang pinakasimpleng indicative equations.

1. (Trabaho ng degrees)

2. (Ang parehong pundasyon ay iba't ibang mga tagapagpahiwatig ng degrees)

Ang araling ito ay dinisenyo para sa mga nagsisimula lamang sa pag-aaral ng mga ecordative equation. Tulad ng nakasanayan, magsimula tayo sa kahulugan at pinakasimpleng halimbawa.

Kung basahin mo ang araling ito, pinaghihinalaan ko na mayroon ka ng hindi bababa sa isang minimum na ideya ng pinakasimpleng equation - linear at parisukat: $ 56x-11 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $, atbp. Upang malutas ang mga naturang istruktura ay ganap na kinakailangan upang hindi "mag-hang" sa paksa na pinag-uusapan natin.

Kaya, ang mga econative equation. Kaagad ay magbibigay ako ng ilang halimbawa:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad (((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Ang ilan sa kanila ay maaaring mukhang mas kumplikado, ang ilan - sa kabaligtaran, masyadong simple. Ngunit ang lahat ng mga ito ay pinagsasama ang isang mahalagang tampok: Sa kanilang mga tala mayroong isang nagpapahiwatig na pag-andar $ F \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) $. Kaya, ipinakilala namin ang kahulugan:

Ang nagpapahiwatig na equation ay anumang equation na naglalaman ng isang nagpapahiwatig na pag-andar, i.e. Pagpapahayag ng uri $ ((a) ^ (x)) $. Bilang karagdagan sa function na ito, ang mga naturang equation ay maaaring maglaman ng anumang iba pang mga disenyo ng algebraic - polynomial, mga ugat, trigonometrya, logarithms, atbp.

Oh well. Tinukoy na nakilala. Ngayon ang tanong ay: Paano malutas ang lahat ng crap na ito? Ang sagot ay sabay-sabay, at kumplikado.

Magsimula tayo sa Mabuting Balita: Sa iyong sariling karanasan, ang mga klase na may maraming mga mag-aaral ay maaari kong sabihin na ang karamihan sa kanila ay mga equation na nagpapahiwatig ay mas madali kaysa sa parehong logarithm at higit pa kaya ang trigonometrya.

Ngunit mayroon ding masamang balita: Minsan may mga "inspirasyon" na mga gawain para sa lahat ng uri ng mga aklat at pagsusulit, at ang kanilang inflamed utak ay nagsisimula na mag-isyu ng mga brutal na equation na ito ay nagiging problema hindi lamang sa mga mag-aaral - kahit maraming guro ang nananatili sa gayong mga gawain.

Gayunpaman, hindi tayo magiging malungkot. At pabalik sa tatlong equation na iniharap sa pinakadulo simula ng salaysay. Subukan nating malutas ang bawat isa sa kanila.

Ang unang equation: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. Well, anong lawak ang kailangan mong bumuo ng isang numero 2 upang makuha ang numero 4? Marahil sa pangalawang? Pagkatapos ng lahat, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - at nakuha namin ang tamang numerong pagkakapantay-pantay, i.e. talagang $ x \u003d $ 2. Well, salamat, cap, ngunit ang equation na ito ay sobrang simple na gusto ko kahit na malutas ang aking pusa. :)

Tingnan natin ang sumusunod na equation:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

At dito ay medyo mas mahirap. Maraming estudyante ang nakakaalam na $ ((5) ^ (2)) \u003d $ 25 ay isang multiplikasyon. Ang ilan ay naghihinala din na $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ ay mahalagang kahulugan ng mga negatibong degree (sa pamamagitan ng pagkakatulad sa $ formula ((a) ^ (- n)) \u003d \\ Frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Sa wakas, tanging ang mga paborito ay hulaan na ang mga katotohanang ito ay maaaring pinagsama at sa output upang makuha ang sumusunod na resulta:

\\ [Frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2))

Kaya, ang aming unang equation ay muling isulat ang mga sumusunod:

\\ [(((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2))

Ngunit ito ay lubos na nalutas! Sa kaliwa sa equation mayroong isang nagpapahiwatig na pag-andar, ang karapatan sa equation ay ang nagpapahiwatig na pag-andar, walang anuman kundi hindi na sila kahit saan. Dahil dito, posible na "itapon" ang mga pundasyon at katumbas ng mga tagapagpahiwatig:

Natanggap ang pinakasimpleng linear equation, na kung saan ang anumang mag-aaral ay lutasin nang literal sa isang pares ng mga linya. Well, sa apat na linya:

\\ [magsimula (align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\ End (align) \\]

Kung hindi mo maintindihan kung ano ang nangyari sa huling apat na linya - siguraduhin na bumalik sa paksa na "linear equation" at ulitin ito. Dahil walang malinaw na paglagom ng paksang ito, masyadong maaga ito para sa mga equation na nagpapahiwatig.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Well, kung paano malutas ito? Ang unang pag-iisip: $ 9 \u003d 3 \\ CDOT 3 \u003d (((3) ^ (2)) $, kaya ang unang equation ay maaaring muling isulat ito:

\\ [((umalis (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Pagkatapos ay naaalala mo na kapag ang antas ay nakataas sa antas, ang mga tagapagpahiwatig ay variable:

\\ [((kaliwa (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [magsimula (align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ dulo (ihanay) \\]

At dito para sa naturang desisyon ay magkakaroon tayo ng matapat na karapat-dapat. Para sa amin sa kalmado ng Pokemon nagpadala ng isang "minus" sign, nakaharap sa tatlong nangungunang, sa antas ng Troika na ito. At gayon ang imposible. At dahil jan. Tingnan ang iba't ibang antas ng Troika:

\\ [simulan (matrix) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 δ (3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ ( \\ Frac (1) (3)) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (3)) \u003d 27 ° C ((3) ^ (- 3)) \u003d \\ frac (1) (27) & ((3) ^ (- \\ frac (1) (2)) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ dulo (matrix) \\]

Sa pamamagitan ng paggawa ng tanda na ito, hindi ko lang sinaktan: at itinuturing na positibong degree, at negatibo, at kahit fractional ... kaya kung saan ay hindi bababa sa isang negatibong numero? Hindi niya! At hindi maaaring dahil ang indicative function ay $ y \u003d (((a) ^ (x)) $, una, laging tumatagal lamang ng mga positibong halaga (kung gaano karaming mga yunit ang hindi multiply o hindi naihatid sa isang dalawang beses - magkakaroon pa rin Maging isang positibong numero), at pangalawa, ang batayan ng naturang function ay ang bilang $ isang $ - sa pamamagitan ng kahulugan ay isang positibong numero!

Well, kung paano pagkatapos ay malutas ang equation $ ((9) ^ (x)) \u003d - $ 3? Ngunit sa walang paraan: walang mga ugat. At sa ganitong diwa, ang mga ecorative equation ay katulad ng parisukat - maaaring hindi rin maging mga ugat. Ngunit kung sa mga parisukat na equation, ang bilang ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant (discriminant positive - 2 Roots, negatibong - walang Roots), pagkatapos ay lahat ng bagay ay depende sa kung ano ang nagkakahalaga ng karapatan ng pagkakapantay-pantay sign.

Kaya, binubuo namin ang pangunahing konklusyon: ang pinakasimpleng indicative equation ng Uri $ ((a) ^ (x)) \u003d B $ ay may ugat pagkatapos at lamang kung $ b\u003e $ 0. Alam ang simpleng katotohanang ito, madali mong matukoy: may isang root equation na iminungkahi para sa iyo o hindi. Mga iyon. Ito ba ay katumbas ng halaga upang malutas ito o agad na isulat na walang mga ugat.

Ang kaalaman na ito ay paulit-ulit na makakatulong sa amin kung kailangan mong malutas ang mas kumplikadong mga gawain. Samantala, ang mga lyrics ay sapat - oras na upang pag-aralan ang pangunahing algorithm para sa paglutas ng mga equation ng indicative.

Paano malutas ang mga exponential equation

Kaya, binubuo namin ang gawain. Kinakailangan upang malutas ang nagpapahiwatig na equation:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, Quad A, B\u003e 0 \\]

Ayon sa "walang muwang" algorithm, kung saan mayroon kaming mas maaga, kinakailangan upang ipakita ang bilang $ B $ bilang antas ng $ isang $:

Bilang karagdagan, kung magkakaroon ng anumang ekspresyon sa halip na $ x $ variable, nakakakuha kami ng isang bagong equation na maaaring malutas na. Halimbawa:

\\ [simulan (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ rightarrow x \u003d 3; At ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ rightArrow -x \u003d 4 \\ rightarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ rightarrow 2x \u003d 3 \\ rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ end (end) \\]

At nang kakatwa sapat, ang pamamaraan na ito ay gumagana sa tungkol sa 90% ng mga kaso. At pagkatapos ay may natitirang 10%? Ang natitirang 10% ay isang bit "schizophrenic" indication equation ng form:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

Well, anong lawak ang kailangan mong bumuo ng 2 upang makakuha ng 3? Una? At dito ay hindi: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - hindi sapat. Sa pangalawa? Mayroon ding: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - masyadong maraming. At kung saan pagkatapos?

Ang pag-alam ng mga mag-aaral ay malamang na nahulaan: sa ganitong mga kaso, kapag "maganda" ay hindi malulutas, ang "mabigat na artilerya" - ang mga logarithm ay konektado. Ipaalala mo sa akin na sa tulong ng logarithms, ang anumang positibong numero ay maaaring katawanin bilang isang antas ng anumang iba pang positibong numero (maliban sa isa):

Tandaan ang formula na ito? Kapag sinasabi ko sa aking mga mag-aaral tungkol sa logarithm, palagi akong nagbababala: ang formula na ito (ito ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic o, kung gusto mo, ang kahulugan ng logarithm) ay hahabulin ito para sa isang mahabang panahon at "pop up" sa pinaka hindi inaasahang lugar. Well, siya ay nagpa-pop up. Tingnan natin ang aming equation at para sa formula na ito:

\\ [magsimula (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & \u003d (((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\\\\\ end (ihanay) \\]

Kung ipinapalagay namin na ang $ A \u003d $ 3 ay ang aming orihinal na numero, na kung saan ay nagkakahalaga ng tama, at $ b \u003d 2 $ ay ang pinaka base ng nagpapahiwatig na function na kung saan nais naming dalhin ang tamang bahagi upang makuha namin ang mga sumusunod:

\\ [magsimula (align) & a \u003d ((b) ^ ((\\ log) _ (b)) a)) \\ rightArrow 3 \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)); & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)) \\ rightArrow x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ end (end) \\]

Nakatanggap ng isang maliit na kakaibang sagot: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) $ 3. Sa ibang gawain, marami ang tatawa sa naturang sagot at nagsimulang suriin muli ang kanilang solusyon: biglang nagkamali sa isang lugar? Nagmamadali ako upang pabukihin ka: Walang error na wala dito, at ang logarithm sa mga ugat ng mga equation ng indicative ay isang ganap na tipikal na sitwasyon. Kaya magamit. :)

Ngayon magpasya kami sa pagkakatulad ng natitirang dalawang equation:

\\ [simulan (align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ δ ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ rightArrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ rightArrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ end (end) \\]

Iyon lang! Sa pamamagitan ng paraan, ang huling sagot ay maaaring nakasulat kung hindi man:

Ginawa namin ang isang multiplier sa argumento ng logarithm. Ngunit walang pinipigilan tayo sa paggawa ng multiplier na ito sa lupa:

Sa kasong ito, ang lahat ng tatlong mga pagpipilian ay tama - ang mga ito ay simpleng iba't ibang anyo ng pag-record ng parehong numero. Alin ang pipiliin at isulat sa kasalukuyang desisyon - upang malutas lamang sa iyo.

Kaya, natutunan namin kung paano malutas ang anumang mga equation ng mga evation ng uri ng $ ((a) ^ (x)) \u003d B $, kung saan ang mga numero $ isang $ at $ b $ ay mahigpit na positibo. Gayunpaman, ang malupit na katotohanan ng ating mundo ay tulad na ang mga simpleng gawain ay matugunan mo napaka at napaka-bihira. Karamihan mas madalas ay makikita mo ang isang bagay tulad nito:

\\ [simulan (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ end (end) \\]

Well, kung paano malutas ito? Posible bang malutas? At kung gayon, paano?

Walang takot. Ang lahat ng mga equation na ito ay mabilis at simpleng bawasan ang mga simpleng formula na isinasaalang-alang na namin. Kailangan lang malaman matandaan ang isang pares ng mga diskarte mula sa kurso ng algebra. At siyempre, narito wala kahit walang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga degree. Tungkol dito ay sasabihin ko sa iyo ngayon. :)

Pagbabagong-anyo ng mga unditative equation

Ang unang bagay na dapat tandaan ay: anumang nagpapahiwatig na equation, gaano man kahirap ito, gayunpaman, ay dapat na mabawasan sa pinakasimpleng equation - sa gayon ay isinasaalang-alang na namin at kung paano namin alam kung paano malutas. Sa ibang salita, ang pamamaraan ng paglutas ng anumang nagpapahiwatig na equation ay ang mga sumusunod:

1. I-record ang source equation. Halimbawa: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Gumawa ng ilang mga hindi maunawaan na crap. O kahit na ilang mga kabayo, na tinatawag na "convert equation";
3. Sa output upang makuha ang pinakasimpleng mga expression ng uri $ ((4) ^ (x)) \u003d $ 4 o iba pa sa espiritu na ito. Bukod dito, ang isang unang equation ay maaaring magbigay ng ilang mga naturang expression nang sabay-sabay.

Sa unang item, ang lahat ay malinaw - kahit na ang aking pusa ay magagawang i-record ang equation sa dahon. Sa ikatlong punto, masyadong, tila, higit pa o mas malinaw - na-groaned na namin ang mga equation.

Ngunit kung paano makasama ang pangalawang item? Anong uri ng pagbabagong-anyo? Ano ang mag-convert? At kung paano?

Well, maunawaan natin. Una sa lahat, itatandaan ko ang mga sumusunod. Ang lahat ng mga equation ng indicative ay nahahati sa dalawang uri:

1. Ang equation ay binubuo ng mga nagpapahiwatig na mga function na may parehong base. Halimbawa: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Ang formula ay may mga pagtatanghal na may iba't ibang mga base. Mga halimbawa: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ at $ ((100) ^ (x-1) ) \\ Cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $.

Magsimula tayo sa mga equation ng unang uri - nalutas ang mga ito ang pinakamadaling. At sa kanilang solusyon, tutulungan namin ang naturang pagtanggap bilang paglalaan ng mga sustainable expression.

Paglalaan ng isang matatag na expression

Tingnan natin muli ang equation na ito:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

Ano ang nakikita natin? Ang fourthkee ay itinayo sa iba't ibang degree. Ngunit ang lahat ng mga degree na ito ay ang simpleng halaga ng $ x $ variable sa iba pang mga numero. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang isipin ang mga patakaran para sa nagtatrabaho sa degree:

\\ [magsimula (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)); at ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) (() ^ (y))). \\\\\\ end (end) \\]

Sa madaling salita, ang pagdaragdag ng mga tagapagpahiwatig ay maaaring ma-convert sa gawain ng mga degree, at ang pagbabawas ay madaling ma-convert sa dibisyon. Subukan nating ilapat ang mga formula na ito sa degree mula sa aming equation:

\\ [Magsimula (align) & ((4) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ \\\\ End (ihanay) \\]

Isulat ko ang orihinal na equation, isinasaalang-alang ang katotohanang ito, at pagkatapos ay kolektahin ang lahat ng mga sangkap sa kaliwa:

\\ [magsimula (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -Eleven; At ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ end (end) \\]

Sa unang apat na bahagi ay may elemento $ ((4) ^ (x)) $ - Dadalhin ko ito para sa bracket:

\\ [magsimula (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; At ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ end (end) \\]

Ito ay nananatiling upang hatiin ang parehong mga bahagi ng equation para sa fraction ng $ - \\ frac (11) (4) $, i.e. Mahalaga multiply sa overtook fraction - $ - \\ frac (4) (11) $. Nakukuha namin:

\\ [Magsimula (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right ) \u003d - 11 \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ end (end) \\]

Iyon lang! Nabawasan namin ang unang equation sa pinakasimpleng at nakuha ang pangwakas na sagot.

Kasabay nito, sa proseso ng mga solusyon, natagpuan namin (at kahit na natupad para sa bracket) ang kabuuang multiplier $ ((4) ^ (x)) $ ay isang matatag na expression. Maaari itong tukuyin ng isang bagong variable, at maaari mo lamang malumanay na ipahayag at makuha ang sagot. Sa anumang kaso, ang pangunahing prinsipyo ng paglutas ng mga sumusunod:

Maghanap ng isang matatag na expression sa source equation na naglalaman ng isang variable na madaling naka-highlight mula sa lahat ng mga indicative function.

Ang mabuting balita ay ang halos bawat eccative equation ay nagbibigay-daan sa paglalaan ng tulad ng isang matatag na expression.

Ngunit may masamang balita: Ang mga ekspresyon ay maaaring maging tuso, at napakahirap na ilaan ang mga ito. Samakatuwid, susuriin natin ang isa pang gawain:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0.2) ^ (- x - 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

Marahil ang isang tao ay magkakaroon ng tanong: "Pasha, ano ang iyong sipol? Dito, iba't ibang mga base - 5 at 0.2 ". Ngunit subukan nating i-convert ang isang degree na may base ng 0.2. Halimbawa, alisin ang mga decimal fractions, na nagdadala nito sa normal:

\\ [((0.2) ^ (- x - 1)) \u003d (((0.2) ^ (- \\ iniwan (x + 1 \\ right))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (2) (10) \\ right )) ^ (- \\ iniwan (x + 1 \\ right))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \\]

Tulad ng makikita mo, ang numero 5 pagkatapos lumitaw ang lahat, ipaalam ito sa denamineytor. Sa parehong oras rewrote ang tagapagpahiwatig sa anyo ng isang negatibong. At ngayon natatandaan ko ang isa sa mga pinakamahalagang alituntunin para sa pagtatrabaho sa mga degree:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ iniwan (x + 1 \\ right))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (5) (1) \\ right)) ^ (x + 1)) \u003d (5) ^ (x + 1)) \\ ]

Narito ako, siyempre, bahagyang nagmamadali. Dahil para sa isang kumpletong pag-unawa sa formula ng pagpapalaya mula sa mga negatibong tagapagpahiwatig, ito ay kinakailangan upang i-record tulad nito:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((umalis (\\ frac (1) (a) \\ right)) ^ (n )) \\ Rightarrow ((\\ iniwan (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ iniwan (x + 1 \\ right))) \u003d ((umalis (\\ frac (5) (1) \\ Kanan)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

Sa kabilang banda, walang pumigil sa amin na magtrabaho kasama ang isang shot:

\\ [((umalis (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ iniwan (x + 1 \\ right))) \u003d ((kaliwa ((5) ^ (- 1)) \\ Kanan)) ^ (- \\ iniwan (x + 1 \\ kanan))) \u003d ((5) ^ (\\ left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ left (x + 1 \\ right) \\ right) )) \u003d ((5) ^ (x + 1))

Ngunit sa kasong ito, kailangan mong maitayo ang isang degree sa isa pang degree (ipaalala sa iyo: ang mga tagapagpahiwatig ay nakatiklop). Ngunit hindi ko kailangang "ibalik" ang mga fraction - marahil para sa isang tao ay magiging mas madali. :)

Sa anumang kaso, ang unang indicative equation ay muling isulat bilang:

\\ [magsimula (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; At ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ CDOT ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; At ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ CDOT ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; At ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ end (end) \\]

Kaya lumalabas na ang unang equation ay mas madali kaysa sa naunang isinasaalang-alang: Hindi na kailangang maglaan ng matatag na pagpapahayag - lahat ng bagay mismo ay nabawasan. Ito ay nananatiling lamang upang isipin na $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, mula sa kung saan kami nakukuha:

\\ [simulan (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ end (end) \\]

Iyan ang lahat ng desisyon! Nakuha namin ang pangwakas na sagot: $ x \u003d -2 $. Kasabay nito ay nais kong tandaan ang isang pagtanggap, na lubhang pinasimple sa amin ang lahat ng mga kalkulasyon:

Sa mas mababang mga equation, siguraduhin na mapupuksa ang mga decimal fractions, i-translate ang mga ito sa ordinaryong. Ito ay magbibigay-daan sa iyo upang makita ang parehong pundasyon ng degree at ay makabuluhang gawing simple ang desisyon.

Ipaalam natin ngayon ang mas kumplikadong mga equation kung saan may iba't ibang pundasyon na hindi nabawasan sa bawat isa sa tulong ng mga degree.

Gamitin ang mga katangian ng degrees.

Ipaalala mo sa akin na mayroon kaming dalawang mas malaking malupit na equation:

\\ [magsimula (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ end (end) \\]

Ang pangunahing kahirapan dito ay hindi malinaw kung ano ang dadalhin sa anong batayan. Nasaan ang matatag na mga expression? Nasaan ang parehong pundasyon? Hindi na kailangan ito.

Ngunit subukan natin na pumunta sa ibang paraan. Kung walang mga handa na halaga, maaari mong subukan upang mahanap, pagtula ang mga dahilan para sa multiplier.

Magsimula tayo sa unang equation:

\\ [magsimula (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ at 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x))) \\ CDOT ((3) ^ (3x)). \\\\\\ end (end) \\]

Ngunit pagkatapos ng lahat, maaari kang magpatuloy sa laban - gumawa ng mula sa mga numero 7 at 3 bilang 21. Lalo na ito ay madaling gawin sa kaliwa, dahil ang mga tagapagpahiwatig at parehong degree ay pareho:

\\ [magsimula (align) & ((7) ^ (x +6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((kaliwa (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); At ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ end (end) \\]

Iyon lang! Gumawa ka ng isang tagapagpahiwatig ng antas sa labas ng trabaho at agad na nakakuha ng magandang equation, na nalutas sa isang pares ng mga linya.

Ngayon ay haharapin namin ang pangalawang equation. Ang lahat ay mas mahirap dito:

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 \\]

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((kaliwa (\\ frac (27) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100)

Sa kasong ito, ang mga fraction ay disracotized, ngunit kung ang isang bagay ay maaaring mabawasan - siguraduhin na bawasan. Kadalasan, sa parehong oras, ang mga kagiliw-giliw na lugar ay lilitaw na kung saan maaari kang magtrabaho.

Gayundin, sa kasamaang palad, walang tunay na lumitaw. Ngunit nakikita natin na ang mga tagapagpahiwatig ng mga degree na nakatayo sa trabaho sa kaliwa ay kabaligtaran:

Hayaan akong ipaalala sa iyo: upang mapupuksa ang "minus" sign sa indicator, ito ay sapat na upang "i-over" ang fraction. Well, muling isulat ang orihinal na equation:

\\ [magsimula (align) & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9 ) (100); \\\\ \\ (\\ iniwan (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ iniwan (\\ frac (1000) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ end (end) \\]

Sa ikalawang linya, natupad lamang namin ang isang pangkalahatang figure mula sa trabaho para sa isang bracket ayon sa panuntunan $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d ((kaliwa (a \\ cdot b \\ right)) ^ (x)) $, at sa huli ay pinarami lamang ang bilang 100 sa pamamagitan ng fraction.

Ngayon tandaan namin na ang mga numero na nakatayo sa kaliwa (sa base) at sa kanan, magkapareho. Kaysa sa? Oo, malinaw naman: ang mga ito ay degree ng parehong numero! Meron kami:

\\ [magsimula (align) \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10 ) (3) \\ right)) ^ (3)); \\\\ \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (3) (10) \\ Kanan)) ^ (2)). \\\\\\ end (end) \\]

Kaya, ang aming equation ay muling isulat ang mga sumusunod:

\\ [((kaliwa ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \\]

\\ [((umalis (((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10 ) (3) \\ right)) ^ (3 \\ left (x - 1 \\ right))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3))

Kasabay nito, maaari ka ring makakuha ng isang degree na may parehong batayan, kung saan ito ay sapat na upang "i-on ang" ang fraction:

\\ [((umalis (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2))

Sa wakas, ang aming equation ay kukuha ng form:

\\ [simulan (align) & ((\\ iniwan (\\ frac (10) (3) \\ kanan)) ^ (3x-3)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ end (end) \\]

Iyon ang buong desisyon. Ang kanyang pangunahing ideya ay nabawasan sa katotohanan na kahit na sa ilalim ng iba't ibang mga kadahilanan, sinusubukan namin ng anumang mga katotohanan at hindi pagkakapare-pareho upang mabawasan ang mga lugar na ito para sa parehong. Ito ay tinutulungan ng elementarya na pagbabagong-anyo ng mga equation at mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga degree.

Ngunit ano ang mga patakaran at kapag gagamitin? Paano maintindihan na sa isang equation kailangan mong ibahagi ang magkabilang panig para sa isang bagay, at sa iba pa - upang ilagay ang batayan ng nagpapahiwatig na pag-andar sa multiplier?

Ang sagot sa tanong na ito ay darating na may karanasan. Subukan ang iyong kamay sa simula sa mga ordinaryong equation, at pagkatapos ay unti-unting kumplikado ang mga gawain - at sa lalong madaling panahon ang iyong mga kasanayan ay sapat na upang malutas ang anumang mga independasyon equation mula sa parehong paggamit o anumang independiyenteng / pagsubok na trabaho.

At upang tulungan ka sa mahirap na bagay na ito, iminungkahi kong mag-download ng isang hanay ng mga equation para sa isang malayang solusyon sa aking site. Sa lahat ng mga equation may mga sagot, kaya maaari mong palaging suriin ang iyong sarili.

Lecture: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng indicative."

1 . INDICATIVE EQUATIONS.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi kilalang tao ay tinatawag na mga equation na nagpapahiwatig. Ang pinakasimpleng ng mga ito ay ang equation ax \u003d B, kung saan ang isang\u003e 0, at ≠ 1.

1) sa B.< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) sa b\u003e 0 gamit ang monotony ng function at ang teorama sa ugat, ang equation ay ang tanging ugat. Upang mahanap ito, ito ay kinakailangan upang kumatawan sa form B \u003d AX, AX \u003d BC ó X \u003d C o X \u003d LOGAB.

INDICATIVE EQUATIONS sa pamamagitan ng algebraic transformations humantong sa standard equation na nalutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) ang paraan ng pagdadala sa isang base;

2) ang paraan ng pagtatasa;

3) graphic na paraan;

4) ang paraan ng pagpapasok ng mga bagong variable;

5) ang paraan ng agnas ng mga multiplier;

6) makabuluhang - kapangyarihan equation;

7) Nagpapahiwatig sa parameter.

2 . Ang paraan ng pagdadala sa isang base.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na ari-arian ng mga degree: Kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, pagkatapos ay ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay pantay, i.e. Ang equation ay dapat na sinubukan upang mabawasan ang form

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x \u003d 81;

Isipin ang kanang bahagi ng equation sa form 81 \u003d 34 at i-install ang equation, katumbas ng orihinal na 3 x \u003d 34; x \u003d 4. Sumagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "lapad \u003d" 52 "taas \u003d" 49 "\u003e at magpatuloy sa equation para sa mga tagapagpahiwatig ng 3x + 1 \u003d 3 - 5x; 8x \u003d 4; x \u003d 0.5. Sagot: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "lapad \u003d" 105 "taas \u003d" 47 "\u003e

Tandaan na ang mga numero 0.2, 0.04, √5 at 25 ay ang antas ng numero 5. Ginagamit namin ito at ibahin ang anyo ang unang equation tulad ng sumusunod:

, mula sa kung saan 5-x-1 \u003d 5-2x-2 ó - x - 1 \u003d - 2x - 2, mula sa kung saan nakita namin ang solusyon x \u003d -1. Sagot: -1.

5. 3x \u003d 5. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm x \u003d log35. Sagot: log35.

6. 62x + 4 \u003d 33x. 2x + 8.

Isulat ko ang equation sa anyo ng 32x + 4.22x + 4 \u003d 32x.2x + 8, t. E..png "lapad \u003d" 181 "taas \u003d" 49 src \u003d "\u003e Mula dito x - 4 \u003d 0, x \u003d 4. Sagot: Apat.

7 . 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x \u003d 9. Paggamit ng mga katangian ng degree, isulat ang equation sa form 6 ∙ 3x - 2 ∙ 3x - 3x \u003d 9 susunod na 3 ∙ 3x \u003d 9, 3x + 1 \u003d 32, t. E. X + 1 \u003d 2, x \u003d 1. Sagot: 1.

Bank of Tasks number 1.

Lutasin ang equation:

Numero ng pagsubok 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 \u003d √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3.	1) 3; 1 2) -3; -1 3) 0; 2 4) Walang Roots
	1) 7; 1 2) Walang Roots 3) -7; 1 4) -1; -7
A5.	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6.	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test number 2.

A1.	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2.	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3.	1) 2; -1 2) Walang Roots 3) 0 4) -2; 1
A4.	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5.	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Paraan ng pagsusuri.

Root theorem: Kung ang function f (x) ay nagdaragdag (bumababa) sa pagitan ko, ang bilang ng isang -Unote na halaga na natanggap ng F sa puwang na ito, pagkatapos ay ang equation f (x) \u003d A ay may tanging ugat sa pagitan ko.

Kapag paglutas ng mga equation, ang teorama at ang mga katangian ng function monotonicity ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga equation: 1. 4x \u003d 5 - x.

Desisyon. Isulat ko ang equation sa form 4x + x \u003d 5.

1. Kung x \u003d 1, pagkatapos ay 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ay totoo, nangangahulugan ito ng 1 - ang ugat ng equation.

Ang function f (x) \u003d 4x - pagtaas sa r, at g (x) \u003d x-invents sa r \u003d\u003e h (x) \u003d f (x) + g (x) ay nagdaragdag sa r, bilang kabuuan ng pagtaas ng mga function , pagkatapos x \u003d 1 - ang tanging ugat ng equation 4x \u003d 5 - x. Sagot: 1.

2.

Desisyon. Isulat muli ang equation sa form. .

1. Kung x \u003d -1, pagkatapos , 3 \u003d ika-3, nangangahulugang x \u003d -1 - ang ugat ng equation.

2. Patunayan namin na siya lamang ang isa.

3. ang function f (x) \u003d - Bumababa sa r, at g (x) \u003d - x - bumababa sa r \u003d\u003e h (x) \u003d f (x) + g (x) - bumababa sa r, bilang kabuuan ng pagbaba ng mga function. Kaya ang root theorem, x \u003d -1 ay ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Bank of Tasks Number 2. Lutasin ang equation.

a) 4x + 1 \u003d 6 - x;

b)

c) 2x - 2 \u003d 1 - x;

4. Paraan ng pagpapasok ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa talata 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang ginawa pagkatapos ng mga pagbabago (pagpapadali) ng mga miyembro ng equation. Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R.stick equation: 1. .

Isulat ko ang equation kung hindi man: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "lapad \u003d" 128 "taas \u003d" 48 src \u003d "\u003e t. E..png" lapad \u003d "210 "taas \u003d" 45 "\u003e

Desisyon. Isulat ko ang equation kung hindi man:

Denote https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "lapad \u003d" 245 "taas \u003d" 57 "\u003e ay hindi angkop.

t \u003d 4 \u003d\u003e https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "lapad \u003d" 268 "taas \u003d" 51 "\u003e - Hindi makatwirang equation. Tandaan namin iyan

Sa pamamagitan ng paglutas ng equation ay x \u003d 2.5 ≤ 4, nangangahulugan ito ng 2.5 - ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Desisyon. Isulat namin ang equation sa form at split ito parehong bahagi sa pamamagitan ng 56x + 6 ≠ 0. Nakuha namin ang equation

2x2-6x-7 \u003d 2x2-6x-8 +1 \u003d 2 (x2-3x-4) +1, t..png "width \u003d" 118 "taas \u003d" 56 "\u003e

Roots ng square equation - T1 \u003d 1 at T2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Desisyon . Isulat muli ang equation sa form.

at tandaan namin na ito ay isang homogeneous equation ng ikalawang antas.

Hinati namin ang 42x equation, nakukuha namin

Palitan https://pandia.ru/text/80/142/images/Image049_0.png "lapad \u003d" 16 "taas \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

Sagot: 0; 0.5.

Bank Tasks No. 3. Lutasin ang equation.

b)

d)

Test number 3. Sa pagpili ng tugon. Pinakamababang antas.

A1.	1) -0.2; 2 2) Log52 3) -Log52 4)
A2 0.52x - 3 0.5x +2 \u003d 0.	1) 2; 1 2) -1; 0 3) Walang Roots 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 \u003d 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) Walang Roots 2) 2; 4 3) 3 4) -1; 2

Test number 4. Sa pagpili ng tugon. Karaniwang antas.

A1.	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
A2 2x - (0.5) 2x - (0.5) x + 1 \u003d 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5.	1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) Walang Roots

5. Paraan ng agnas sa mga multiplier.

1. Magpasya equation: 5x + 1 - 5x-1 \u003d 24.

Solusyon ..png "lapad \u003d" 169 "taas \u003d" 69 "\u003e, mula saan

2. 6x + 6x + 1 \u003d 2x + 2x + 1 + 2x + 2.

Desisyon. Sumusumite ako para sa mga braket sa kaliwang bahagi ng 6x equation, at sa tamang bahagi - 2x. Nakukuha namin ang equation 6x (1 + 6) \u003d 2x (1 + 2 + 4) ó 6x \u003d 2x.

Dahil ang 2x\u003e 0 para sa lahat ng X, ang parehong bahagi ng equation na ito ay maaaring hatiin ng 2x, nang walang takot sa pagkawala ng mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x \u003d 1ó x \u003d 0.

3.

Desisyon. Malutas ko ang equation sa pamamagitan ng agnas ng mga multiplier.

Itinatampok namin ang parisukat ng bouncer

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "lapad \u003d" 500 "taas \u003d" 181 "\u003e

x \u003d -2 - ang ugat ng equation.

Equation X + 1 \u003d 0 "Style \u003d" Border-Collapse: Tiklupin; Border: Wala "\u003e

A1 5x-1 + 5x -5x + 1 \u003d -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x + 1 + 3x-1 \u003d 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1 -108 \u003d 0. x \u003d 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 \u003d 15. x \u003d 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test No. 6. Karaniwang antas.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) \u003d 7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2.	1) 2.5 2) 3; 4 3) Log43 / 2 4) 0
A3 2x-1-3x \u003d 3x-1-2x + 2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4.	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5.	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Tiyakin - kapangyarihan equation.

Ang mga nagpapahiwatig na equation ay katabi ng tinatawag na makabuluhang - kapangyarihan equation, i.e. ang equation ng form (f (x)) g (x) \u003d (f (x)) h (x).

Kung ito ay kilala na f (x)\u003e 0 at f (x) ≠ 1, ang equation, bilang nagpapahiwatig, ay nalutas sa pamamagitan ng equating ang mga tagapagpahiwatig g (x) \u003d f (x).

Kung ang kondisyon ay hindi lalampas sa posibilidad ng f (x) \u003d 0 at f (x) \u003d 1, pagkatapos ay kinakailangan upang isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang isang indicative - kapangyarihan equation.

1..png "lapad \u003d" 182 "taas \u003d" 116 src \u003d "\u003e

2.

Desisyon. x2 + 2x-8 - ito ay may katuturan sa anumang X, dahil ang polinomyal ay nangangahulugang equation ay katumbas ng kabuuan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "lapad \u003d" 137 "taas \u003d" 35 "\u003e

b)

7. Mga equation ng indicative na may mga parameter.

1. Sa anong mga halaga ng parameter p, equation 4 (5 - 3) 2 + 4P2-3p \u003d 0 (1) ay may isang solong solusyon?

Desisyon. Ipinapakilala namin ang kapalit na 2x \u003d t, t\u003e 0, pagkatapos ay ang equation (1) ay kukuha ng form t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p \u003d 0. (2)

Discriminant equation (2) D \u003d (5p - 3) 2 - 4 (4P2 - 3P) \u003d 9 (p - 1) 2.

Ang equation (1) ay may isang solong solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung d \u003d 0, iyon ay, p \u003d 1, pagkatapos ay ang equation (2) ay kukuha ng form t2 - 2t + 1 \u003d 0, samakatuwid t \u003d 1, samakatuwid, equation (1) ay may isang solong solusyon x \u003d 0 .

2. Kung p1, pagkatapos ay 9 (p - 1) 2\u003e 0, pagkatapos equation (2) ay may dalawang magkakaibang Roots T1 \u003d P, T2 \u003d 4P - 3. Ang problema ng problema ay nakakatugon sa hanay ng mga sistema

Substituting T1 at T2 sa sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt \u003d" (! Lang: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Desisyon. Hayaan pagkatapos equation (3) ay kukuha ng uri T2 - 6T - A \u003d 0. (4)

Hanapin ang parameter ng isang halaga ng A, kung saan hindi bababa sa isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kondisyon T\u003e 0.

Ipinapakilala namin ang function f (t) \u003d t2 - 6t - a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/Image087.png "Alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/Image089.png "Alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/No35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kaso 2. equation (4) ay may isang positibong desisyon kung

D \u003d 0, kung ang isang \u003d - 9, pagkatapos equation (4) ay kukuha ng form (t-3) 2 \u003d 0, t \u003d 3, x \u003d - 1.

Kaso 3. Equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay T\u003e 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/Image092.png "Alt \u003d" (! Lang: No35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, may A 0, equation (4) ay may isang positibong ugat . Pagkatapos equation (3) ay may isang solong solusyon

May A.< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung ang.< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung A \u003d - 9, pagkatapos x \u003d - 1;

kung ang isang  0, pagkatapos

Ihambing ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas, equation (1) ay nabawasan sa isang parisukat na equation, ang discriminant na kung saan ay isang buong parisukat; Kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula ng formula ng mga ugat ng square equation, at pagkatapos ay konklusyon ay ginawa kamag-anak sa mga ugat. Equation (3) ay nabawasan sa square equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang kumpletong parisukat, samakatuwid, kapag paglutas ng equation (3), ito ay maipapayo na gamitin ang theorems sa lokasyon ng mga ugat ng square tatlo Mga deklarasyon at ang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta theorem.

Nilutas namin ang mas kumplikadong mga equation.

Task 3. Magpasya ang equation.

Desisyon. OTZ: x1, x2.

Ipinapakilala namin ang isang kapalit. Hayaan ang 2x \u003d T, T\u003e 0, pagkatapos bilang isang resulta ng mga pagbabago, ang equation ay kukuha ng uri T2 + 2T - 13 - A \u003d 0. (*) Hanapin ang mga halaga ng A, kung saan hindi bababa sa isang ugat ng equation (*) ay nakakatugon sa kondisyon t\u003e 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/Image098.png "Alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/No35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/Image100.png "Alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/Image102.png "Alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: Kung ang isang\u003e - 13, isang  11, isang  5, pagkatapos kung A - 13,

a \u003d 11, a \u003d 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Bibliography.

1. Theguares ng pagtatatag ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Guzeyev Technology: Mula sa pagtanggap sa pilosopiya.

M. "Direktor ng Paaralan" №4, 1996.

3. Guzeyev at organizational forms ng pagsasanay.

4. Guzeyev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M. "Folk Education", 2001.

5. Guzeyev mula sa mga anyo ng aralin - ang seminar.

Matematika sa paaralan №2, 1987, p.9 - 11.

6. Seleevko Educational Technologies.

M. "Folk Education", 1998.

7. Epishev schoolchildren upang matuto ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990.

8. Naghanda si Ivanov ng mga aralin - mga workshop.

Matematika sa paaralan №6, 1990 s. 37 - 40.

9. Smirnova Mathematics Learning Model.

Matematika sa paaralan №1, 1997 sa. 32 - 36.

10. Tarasenko Mga paraan upang maisaayos ang praktikal na trabaho.

Matematika sa paaralan №1, 1993 s. 27 - 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Matematika sa paaralan №2, 1994, S.63 - 64.

12. Khazankin creative kakayahan ng mga bata.

Matematika sa paaralan №2, 1989 sa. 10.

13. Scanavi. Publisher, 1997.

14. At iba pa. Algebra at simula ng pagtatasa. Didaktiko materyales para sa

15. Mathematics Tasks Krivonogs.

M. "Una sa Setyembre", 2002.

16. Cherkasov. Handbook para sa mga estudyante sa mataas na paaralan at.

pagpasok ng mga unibersidad. "At may T - Pindutin ang Paaralan", 2002

17. ZhiewNak para sa pagpasok ng mga unibersidad.

Minsk at ang Russian Federation "review", 1996

18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999.

19. At ang iba ay natututo upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003.

20. et al. Mga materyales sa pagsasanay para sa paghahanda para sa E.

M. "Intellect - Center", 2003 at 2004

21, atbp. Opsyon Kim. Pagsubok center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003.

22. Goldberg equation. "Kvant" №3, 1971.

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo sa matematika.

Matematika, 1997 №3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Paliwanag, 1988.

25. Yakimanskaya - nakatuon sa pag-aaral ng paaralan.

26. Gumagana ang mga liimet sa aralin. M. Kaalaman, 1975.

Mga halimbawa:

\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4.8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)

Paano malutas ang mga exponential equation

Kapag paglutas, anumang nagpapahiwatig na equation, nagsusumikap kaming humantong sa form \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig, iyon ay:

\\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) \\ (⇔ \\) \\ (f (x) \u003d g (x) \\)

Halimbawa: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)

Mahalaga! Mula sa parehong lohika ay sumusunod sa dalawang kinakailangan para sa naturang paglipat:
- numero B. sa kaliwa at kanan ay dapat na pareho;
- degree sa kaliwa at kanan ay dapat na "malinis"ibig sabihin, hindi dapat, multiplications, divisions, atbp.

Halimbawa:

Upang tamasahin ang equation sa form \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) Mag-apply at.

Halimbawa . Magpasya ang nagpapahiwatig equation \\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)
Desisyon:

\\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)		Alam namin na \\ (27 \u003d 3 ^ 3 \\). Sa pag-iisip na ito, binago namin ang equation.
\\ (\\ sqrt (3 ^ 3) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)		Sa pamamagitan ng ari-arian ng ugat \\ (\\ sqrt [n] (a) \u003d a ^ (\\ frac (1) (n)) \\) Nakuha namin na \\ (\\ sqrt (3 ^ 3) \u003d ((3 ^ 3) ) ^ (\\ Frac (1) (2)) \\). Susunod, gamit ang antas ng degree \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (BC) \\), nakuha namin \\ (((3 ^ 3)) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (3 \\ cdot \\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\).
\\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\ cdot 3 ^ (x - 1) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)		Alam din namin na \\ (a ^ b · a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\). Ang paglalapat nito sa kaliwang bahagi, nakukuha namin ang: \\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) · 3 ^ (x - 1) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2) + x - 1) \u003d 3 ^ (1.5 + x - 1) \u003d 3 ^ (x + 0.5) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)		Ngayon tandaan na: \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\). Ang formula na ito ay maaari ding gamitin sa kabaligtaran direksyon: \\ (\\ frac (1) (a ^ n) \u003d A ^ (- n) \\). Pagkatapos ay \\ (\\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (1) (3 ^ 1) \u003d 3 ^ (- 1) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \\)		Paglalapat ng ari-arian \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (BC) \\) Sa kanang bahagi, nakakuha kami: \\ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) \u003d 3 ^ ((- 1) · 2x) \u003d 3 ^ (- 2x) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d 3 ^ (- 2x) \\)		At ngayon kami ay may mga pundasyon na katumbas at walang nakakasagabal na coefficients, atbp. Kaya maaari naming gawin ang paglipat.
		Halimbawa . Lutasin ang nagpapahiwatig na equation \\ (4 ^ (x + 0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Desisyon: \\ (4 ^ (x + 0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Ginagamit namin muli ang antas ng degree \\ (a ^ b \\ cdot a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\) sa kabaligtaran direksyon. \\ (4 ^ x · 4 ^ (0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Ngayon naaalala mo na \\ (4 \u003d 2 ^ 2 \\). \\ ((2 ^ 2) ^ x · (2 \u200b\u200b^ 2) ^ (0.5) -5 · 2 ^ x 2 \u003d 0 \\) Gamit ang mga katangian ng degree, nag-convert kami: ((2 ^ 2) ^ x \u003d 2 ^ (2x) \u003d 2 ^ (x · 2) \u003d (2 ^ x) ^ 2 \\) ((2 ^ 2) ^ (0.5) \u003d 2 ^ (2 · 0.5) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2. \\) \\ (2 · (2 \u200b\u200b^ x) ^ 2-5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Maingat naming tinitingnan ang equation, at nakikita namin na nagpapahiwatig ito ng kapalit \\ (t \u003d 2 ^ x \\). \\ (T_1 \u003d 2 \\) \\ (t_2 \u003d \\ frac (1) (2) \\) Gayunpaman, natagpuan namin ang mga halaga \\ (t \\), at kailangan namin \\ (x \\). Bumalik kami sa ICS, ginagawa ang reverse replacement. \\ (2 ^ x \u003d 2 \\) \\ (2 ^ x \u003d \\ frac (1) (2) \\) Binabago namin ang pangalawang equation gamit ang ari-arian ng isang negatibong antas ... \\ (2 ^ x \u003d 2 ^ 1 \\) \\ (2 ^ x \u003d 2 ^ (- 1) \\) ... at umiiral bago ang sagot. \\ (x_1 \u003d 1 \\) \\ (x_2 \u003d -1 \\) Sagot. : \(-1; 1\). Ang tanong ay nananatiling - kung paano maunawaan kung anong paraan ang inilalapat? Ito ay may karanasan. Samantala, hindi ka nagtrabaho, gamitin ang pangkalahatang rekomendasyon para sa paglutas ng mga kumplikadong gawain - "Hindi mo alam kung ano ang gagawin - gawin kung ano ang maaari mong". Iyon ay, hanapin kung paano mo mai-convert ang equation sa prinsipyo, at subukan na gawin ito - biglang kung ano ang lalabas? Ang pangunahing bagay tungkol sa upang gumawa lamang mathematically makatwirang pagbabago. INDICATIVE EQUATIONS na walang mga solusyon Susuriin namin ang dalawang higit pang mga sitwasyon na kadalasang inilalagay sa hindi pagkakasundo ng mag-aaral: - Ang isang positibong numero sa isang degree ay zero, halimbawa, \\ (2 ^ x \u003d 0 \\); - Ang isang positibong numero ay sa isang degree na katumbas ng isang negatibong numero, halimbawa, \\ (2 ^ x \u003d -4 \\). Subukan nating malutas ang suso. Kung x ay isang positibong numero, pagkatapos ay ang pagtaas ng degree \\ (2 ^ x \\) ay lalago lamang: \\ (x \u003d 1 \\); \\ (2 ^ 1 \u003d 2 \\) \\ (x \u003d 2 \\); \\ (2 ^ 2 \u003d 4 \\) \\ (x \u003d 3 \\); \\ (2 ^ 3 \u003d 8 \\). \\ (x \u003d 0 \\); \\ (2 ^ 0 \u003d 1 \\) Din sa pamamagitan ng. May mga negatibong cane. Pag-alala sa ari-arian \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\), suriin: \\ (x \u003d -1 \\); \\ (2 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\) \\ (x \u003d -2 \\); \\ (2 ^ (- 2) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (1) (4) \\) \\ (x \u003d -3 \\); \\ (2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (8) \\) Sa kabila ng katotohanan na ang bilang sa bawat hakbang ay nagiging mas maliit, hindi ito maaabot ng zero. Kaya at ang negatibong degree ay hindi nakapagligtas sa amin. Dumating kami sa lohikal na konklusyon: Ang isang positibong numero sa anumang lawak ay mananatiling isang positibong numero. Kaya, ang parehong mga equation sa itaas ay walang mga solusyon. Indicative equation na may iba't ibang mga base Sa pagsasagawa, kung minsan ay may mga nagpapahiwatig na mga equation na may iba't ibang mga base na hindi nabawasan sa isa't isa, at sa parehong oras na may parehong mga tagapagpahiwatig. Mukhang ganito: \\ (a ^ (f (x)) \u003d b ^ (f (x)) \\), kung saan (a \\) at \\ (b \\) ay positibong numero. Halimbawa: \\ (7 ^ (x) \u003d 11 ^ (x) \\) \\ (5 ^ (x + 2) \u003d 3 ^ (x + 2) \\) \\ (15 ^ (2x-1) \u003d (\\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \\) Ang ganitong mga equation ay madaling malulutas sa pamamagitan ng paghahati sa alinman sa mga bahagi ng equation (karaniwang nahahati sa kanang bahagi, iyon ay, sa \\ (b ^ (f (x)) \\). Kaya maaari mong hatiin, dahil isang positibong numero ay sa anumang lawak positibo (iyon ay, hindi namin hinati sa zero). Nakukuha namin: \\ (\\ Frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \\) \\ (\u003d 1 \\) Halimbawa . Lutasin ang nagpapahiwatig na equation \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\) Desisyon: \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\) Narito hindi namin maaaring i-out ang nangungunang limang sa tatlong nangungunang, o ang kabaligtaran (hindi bababa sa walang gamitin). Kaya hindi namin maaaring dumating sa form \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\). Kasabay nito, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho. Hatiin natin ang equation sa kanang bahagi, iyon ay, sa \\ (3 ^ (x + 7) \\) (magagawa natin ito, tulad ng alam natin na ang pinakamataas ay hindi magiging zero). \\ (\\ Frac (5 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (3 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7) ) \\) Ngayon naaalala mo ang ari-arian \\ ((\\ frac (a) (b)) ^ c \u003d \\ frac (a ^ c) (b ^ c) \\) at gamitin ito sa kaliwa sa kabaligtaran. Sa kanan ay pinutol lamang namin ang bahagi. \\ ((\\ Frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\) \\ (\u003d 1 \\) Tila hindi ito mas mahusay. Ngunit tandaan ang isa pang ari-arian ng degree: \\ (a ^ 0 \u003d 1 \\), sa ibang salita: "Anumang numero sa zero degree ay katumbas ng \\ (1 \\)". Tama at kabaligtaran: "Ang yunit ay maaaring kinakatawan bilang anumang numero sa zero degree." Ginagamit namin ito sa pamamagitan ng paggawa ng base sa kanan bilang kaliwa. \\ ((\\ Frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\) \\ (\u003d \\) \\ (((\\ frac (5) (3)) ^ 0 \\) Voila! Mapupuksa ang mga lugar. Isinulat namin ang sagot. Sagot. : \(-7\). Kung minsan ang "parehong" mga tagapagpahiwatig ng antas ay hindi halata, ngunit ang mahusay na paggamit ng antas ng degree ay malulutas ang isyung ito. Halimbawa . Lutasin ang nagpapahiwatig equation \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Desisyon: \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Ang equation ay mukhang malungkot ... hindi lamang maaaring mabawasan sa parehong numero (ang pitong ay hindi katumbas ng parehong \\ (\\ frac (1) (3) \\)), gayon din ang iba't ibang mga tagapagpahiwatig ... gayunpaman, Hayaan ang tagapagpahiwatig ng kaliwang degree na dalawa. \\ (7 ^ (2 (x-2)) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Naaalala ko ang ari-arian \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (b · c) \\), nagko-convert kami sa kaliwa: (7 ^ (2 (x-2)) \u003d 7 ^ (2 · (x-2)) \u003d (7 ^ 2) ^ (x - 2) \u003d 49 ^ (x-2) \\). \\ (49 ^ (x-2) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Ngayon, pag-alala sa ari-arian ng isang negatibong degree \\ (A ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a) ^ n \\), isalin namin ang tama: \\ ((\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) \u003d 3 ^ (- 1 (-x + 2)) \u003d 3 ^ (x-2) \\) \\ (49 ^ (x-2) \u003d 3 ^ (x-2) \\) Hallelujah! Ang mga tagapagpahiwatig ay naging pareho! Ang pagkilos ng scheme na pamilyar sa amin, nagpapasiya kami bago ang sagot. Sagot. : \(2\).

Sa channel sa YouTube ang aming site site upang panatilihing magkatabi ang lahat ng mga bagong aralin sa video.

Una, tandaan natin ang mga pangunahing pormula ng mga degree at ang kanilang mga ari-arian.

Ang gawain ng bilang a. Ang sarili nito ay nangyayari n beses, ang express na ito maaari naming isulat bilang isang isang ... a \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (A ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. a n b n \u003d (ab) n

7. A N / A M \u003d A N - M

Kapangyarihan o pagtatanghal equations. - Ang mga ito ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa degree (o tagapagpahiwatig), at ang batayan ay ang bilang.

Mga halimbawa ng mga equation ng indicative:

Sa halimbawang ito, ang numero 6 ay ang batayan na laging nakatayo sa silong, at ang variable x. degree o indicator.

Magbigay ng higit pang mga halimbawa ng mga equation na nagpapahiwatig.
2 x * 5 \u003d 10.
16 x - 4 x - 6 \u003d 0.

Ngayon ay susuriin natin kung paano malulutas ang mga equation ng demonstrasyon?

Kumuha ng isang simpleng equation:

2 x \u003d 2 3.

Ang halimbawang ito ay maaaring malutas kahit na sa isip. Maaari itong makita na x \u003d 3. Pagkatapos ng lahat, upang ang kaliwa at kanang bahagi ay dapat na katumbas ng bilang 3 sa halip na x.
Ngayon tingnan natin kung paano ito kailangang mag-isyu ng desisyong ito:

2 x \u003d 2 3.
x \u003d 3.

Upang malutas ang naturang equation, inalis namin parehong lugar (I.e. Dalawang) at naitala kung ano ang nananatili, ito ay degree. Natanggap ang ninanais na sagot.

Ngayon buod ang aming desisyon.

Algorithm para sa paglutas ng isang nagpapahiwatig na equation:
1. kailangang suriin pareho Lee Foundations sa equation sa kanan at kaliwa. Kung ang mga base ay hindi katulad ng naghahanap ng mga pagpipilian para sa paglutas ng halimbawang ito.
2. Matapos ang mga pundasyon ay magkapareho, pantay degrees at lutasin ang nagresultang bagong equation.

Ngayon muling isulat ang ilang mga halimbawa:

Magsimula tayo sa isang simple.

Ang mga base sa kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng bilang 2, na nangangahulugang maaari naming tanggihan at katumbas ng kanilang mga degree.

x + 2 \u003d 4 ito ay naka-out ang pinakasimpleng equation.
x \u003d 4 - 2.
x \u003d 2.
Sagot: x \u003d 2.

Sa sumusunod na halimbawa, makikita ito na ang mga base ay naiiba. Ito ay 3 at 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0.

Upang magsimula, inililipat namin ang siyam hanggang kanang bahagi, nakukuha namin:

Ngayon kailangan mong gawin ang parehong pundasyon. Alam namin na 9 \u003d 3 2. Ginagamit namin ang degree formula (a n) m \u003d a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Nakukuha namin ang 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Ngayon ay malinaw na sa kaliwa at kanang bahagi ng base ang parehong at katumbas ng Troika, na nangangahulugan na maaari naming itapon ang mga ito at equate degree.

3x \u003d 2x + 16 natanggap ang pinakasimpleng equation.
3x - 2x \u003d 16.
x \u003d 16.
Sagot: x \u003d 16.

Tinitingnan namin ang sumusunod na halimbawa:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Una, tinitingnan namin ang base, ang mga pundasyon ay magkakaiba at apat. At kailangan nating maging pareho. I-convert namin ang apat sa pamamagitan ng formula (isang n) m \u003d isang nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

At gumamit din ng isang formula a n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4.

Idagdag sa equation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Pinamunuan namin ang isang halimbawa sa parehong mga dahilan. Ngunit nakagambala kami sa iba pang mga numero 10 at 24. Ano ang gagawin sa kanila? Kung maaari mong makita na ito ay malinaw na mayroon kaming 2 2 2, iyon ang sagot - 2 2, maaari naming kunin ang mga braket:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Kinakalkula namin ang pagpapahayag sa mga braket:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Lahat ng equation delim sa 6:

Isipin 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 bases ay pareho, ibinabato ang mga ito at equate degree.
2x \u003d 2 ito ay naka-out ang pinakasimpleng equation. Ibabahagi namin ito sa 2.
x \u003d 1.
Sagot: x \u003d 1.

Paglutas ng equation:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Binago namin:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Nakukuha namin ang equation:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0.

Ang mga pundasyon na mayroon tayo ay katumbas ng tatlo. Sa halimbawang ito, makikita ito na ang unang tatlong degree na dalawang beses (2x) ay mas malaki kaysa sa pangalawang (simpleng x). Sa kasong ito, maaari mong malutas pamamaraan ng kapalit. Ang numero na may pinakamaliit na degree na palitan:

Pagkatapos ay 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Palitan namin sa equation ang lahat ng degree na may cavities sa t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0.
Nakukuha namin ang isang parisukat na equation. Nagpasiya kami sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin:
D \u003d 144-108 \u003d 36.
T 1 \u003d 9.
T 2 \u003d 3.

Bumalik sa variable. x..

Kumuha ng t 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 X.

Yan ay,

3 x \u003d 9.
3 x \u003d 3 2.
x 1 \u003d 2.

Isang ugat na natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawang, mula sa t 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x.
3 x \u003d 3 1.
x 2 \u003d 1.
Sagot: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

Sa site maaari mong sa tulong malutas ang desisyon upang hilingin sa iyo magtanong.

Sumali sa Grupo.