Aralin “Mga Pag-andar at ang kanilang mga katangian. Mga katangian ng numerical function Pagsusuri ng takdang-aralin

Ang materyal na ito ay pinagsama ayon sa Federal State Educational Standard

aralin sa matematika sa ika-9 na baitang sa paksa: "Numerical functions, their properties and graphs", textbook ni A.G. Mordkovich.

Aralin ng kontrol sa pag-unlad at pagtuklas ng bagong kaalaman
suplemento ng aralin at presentasyon.

I-download:

Preview:

Upang gumamit ng mga preview ng presentasyon, gumawa ng Google account at mag-log in dito: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Numerical function, ang kanilang mga katangian at Graph. Aralin sa matematika sa ika-9 na baitang sa huling sertipikasyon ng subgroup ng IDPO No. 9 Zavodskoy distrito ng Saratov 10/25/2013

Epigraph "Ang tanging landas patungo sa kaalaman ay aktibidad." Bernard Show

Malikhaing gawa Gumawa ng isang function na "piecewise", bumuo ng isang graph at basahin ito. Solusyon y =

Oral na gawain Pangalanan ang function at tukuyin ito nang analytical

Theoretical quiz Bumuo ng kahulugan ng isang numerical function. Ano ang tinatawag na domain ng kahulugan ng isang function. Ano ang tinatawag na graph ng isang function. Maglista ng mga paraan upang tukuyin ang isang function. Anong function ang tinatawag na pagtaas (decreasing). Aling function ang tinatawag na even (odd). Anong numero ang tinatawag na pinakamaliit (pinakamalaking) halaga ng function. Anong function ang tinatawag na limited?

Mga pagsubok sa GIA format (basic level)

mga sagot Opsyon Blg. 5 Opsyon Blg. 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3

Pagsasagawa ng mga pagsasanay GIA No. 1. Mag-plot ng graph ng function na y = x 2 - 4 +3, gamit ang graph, hanapin ang mga pagitan ng monotonicity. Para sa anong mga halaga ng a ang tuwid na linya na y=a ay may dalawang puntos na karaniwan sa graph ng function na ito? Sagot: a>3, a = -1

Hindi. 2. Lutasin nang grapiko ang hindi pagkakapantay-pantay x -2 ≤ -x 3 Sagot: x≤ -1

Natutunan ko natutunan ko inulit ko consolidated ko Ngayon sa klase

Preview:

Mapa ng teknolohikal ng isang aralin sa matematika sa ika-9 na baitang sa paksa: "Mga pag-andar ng numero, kanilang mga katangian at mga graph," aklat-aralin ni A.G. Mordkovich. Isang aralin sa kontrol sa pag-unlad at pagtuklas ng bagong kaalaman.
Mga hakbang sa aralin	Mga gawain sa entablado	Mga aktibidad ng guro	Aktibidad ng mag-aaral	UUD
1. Organisasyonal na pagpapasya sa sarili para sa mga aktibidad sa pag-aaral (1)	Lumikha ng isang kanais-nais sikolohikal saloobin sa trabaho	Pagbati, pagpapakilos atensyon ng mga bata.	Nag-uulat sila ng mga pagliban at sumasali sa ritmo ng negosyo ng aralin.	Personal: pagpapasya sa sarili Regulatoryo : pagtatasa ng kahandaan para sa aralin
2. Pagtatakda ng mga layunin at layunin ng aralin. Pagganyak para sa mga aktibidad sa pagkatuto ng mga mag-aaral. (3)	Pag-update ng mga pangunahing kaalaman at pamamaraan ng aktibidad	Ipinapaalam ang paksa at layunin ng aralin, isinulat ang petsa sa pisara Ngayon sa aralin ay ibubuod natin ang mga resulta ng pag-aaral ng kabanata na "Mga Numerical Function". Ipagpatuloy natin ang pagsasanay sa mga kasanayan sa pagbuo at pagbabasa ng mga graph ng mga pinag-aralan na function at tingnan kung gaano kalalim ang pinag-aralan na paksa ay ipinakita sa mga pagsusulit sa pagsusulit.	Pagsusulat sa notebook	Regulatoryo: pagtatakda ng layunin Komunikatibo:paghahanda para sa pagmuni-muni
3. Pag-update ng kaalaman (12)	Pag-update ng mga pangunahing kaalaman at pamamaraan ng aktibidad upang makapaghanda para sa aralin sa pagsusulit.	Para sa aralin, hiniling sa iyo na makabuo ng isang function na "piecewise", bumuo ng isang graph at basahin ito. Tingnan natin ang iyong pagkamalikhain. 1. Tumatawag ng 2 mag-aaral sa pisara sa kalooban. 2. Nagsasagawa ng parallel slide show ng mga graph ng lahat ng pinag-aralan na numerical function. (Appendix Blg. 2). 3. Nagsasagawa ng frontal na pag-uusap sa mga teoretikal na isyu (Appendix Blg. 3) 4. Nagbibigay ng mga marka para sa takdang-aralin at oral na gawain, na isinasaalang-alang ang takdang-aralin.	1. Dalawang tao ang nagtatrabaho sa board. (Appendix Blg. 1) 2. Pangalanan ng iba pang mga mag-aaral ang inilalarawang function mula sa kanilang mga upuan at tukuyin ito nang analytical. 3. Ang mga mag-aaral ay aktibong nakikibahagi sa pasalitang pagtatanong.	Regulatoryo: kusang regulasyon sa sarili sa mahihirap na sitwasyon Komunikasyon: pagpapahayag ng mga iniisip, pagtatalo ng opinyon ng isang tao Cognitive: kakayahang magamit ang kaalaman sa mga praktikal na problema Personal: pagbuo ng napapanatiling motibasyon upang matuto at pagsamahin ang mga bagong bagay
4. Paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman (8)	Intermediate reflection	Pinag-aralan at sinuri namin ang mga katangian ng mga numerical function. Magsagawa tayo ng kaunting pagsubok at siguraduhing matibay ang iyong kaalaman. Ang mga iminungkahing pagsusulit ay tumutugma sa pangunahing antas ng kahirapan, mayroon kang 7 minuto. Nais kong tagumpay ka! 1. Namamahagi ng mga pagsusulit (Appendix No. 4) 2. Nangongolekta ng mga piraso ng papel pagkatapos ng katapusan ng oras, isusulat ang mga tamang sagot sa pisara Opsyon Blg. 5 Opsyon Blg. 6 3142 3. Marami ang nakatapos ng pagsusulit nang maayos, napagtanto ng ilan na kailangan nilang ulitin ito.	Lutasin ang pagsusulit, gumawa ng mga tala sa iyong kuwaderno kung kinakailangan. Pagkatapos ng pagtatapos ng oras, ang mga papel ay iniabot. Suriin ang kanilang mga sagot.	Regulatoryo: maunawaan ang kalidad at antas ng pagkuha ng kaalaman Cognitive: piliin ang pinaka-epektibong paraan upang malutas ang mga problema Personal: pagbuo ng mga kasanayan sa pagsusuri sa sarili at pagpipigil sa sarili
5. Paglalapat ng kaalaman at kasanayan sa isang bagong sitwasyon. (15)	Pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik, self-diagnosis at self-correct ng mga resulta	Pagsasagawa ng mga pagsasanay (GIA) No. 1 Mag-plot ng graph ng function Y = x 2 -4 +3 gamit ang graph, maghanap ng mga pagitan ng monotony. Para sa anong mga halaga ng a ang tuwid na linya na y=a ay may dalawang puntos na karaniwan sa graph ng function na ito? (Appendix Blg. 5) Maikling isulat ang gawain sa pisara, tatawagin ang estudyante para lutasin ito, at subaybayan ang tamang solusyon ng gawain. Nagsusuri. No. 2. Lutasin nang grapiko ang hindi pagkakapantay-pantay x-2 ≤ -x 3 (Appendix Blg. 6) Hinahamon ang mga mag-aaral na bumuo ng mga graph ng mga function, ipinapaliwanag kung paano gamitin ang mga punto ng pagsubok sa graph upang matukoy ang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay (shading)	Dalawang tao ang nagtatrabaho nang paisa-isa gamit ang mga card sa side board, ang iba ay kumpletuhin ang gawain No. 1 sa isang notebook. Ang mga function graph ay ipinapakita sa interactive na whiteboard. Iminumungkahi nilang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpili o algebraically. Kumpletuhin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay at isulat ang sagot.	Personal: pagbuo ng nagbibigay-malay na interes sa paksa ng pananaliksik, napapanatiling pagganyak upang pag-aralan at pagsamahin ang mga bagong bagay Cognitive: pag-aralan ang isang bagay, na nagha-highlight ng mga mahahalaga at hindi mahahalagang tampok. Komunikatibo:ayusin ang pakikipagtulungang pang-edukasyon sa guro at mga kaklase. Regulatoryo: matukoy ang isang bagong antas ng saloobin sa sarili bilang isang paksa ng aktibidad
6.Impormasyon tungkol sa takdang-aralin (2)	Pagtitiyak na nauunawaan ng mga bata ang layunin, nilalaman at pamamaraan ng pagkumpleto ng takdang-aralin	Level 1: ulitin ang p7, No. 27,29 Level 2: ulitin ang hakbang 7, No. 30,33	Isulat ang takdang-aralin
7. Pagninilay (4)	Magbigay ng qualitative assessment ng gawain ng klase at indibidwal na mga mag-aaral Simulan ang pagmumuni-muni ng mga bata sa pagganyak ng kanilang sariling mga aktibidad at pakikipag-ugnayan sa guro at iba pang mga bata	1. Nag-aalok na ipagpatuloy ang panukala "Ngayon sa klase inulit ko... sinigurado ko na... Natuto ako … Nalaman ko …" 2. Nag-aalok na markahan sa card ang pahayag na pinakaangkop sa gawain sa aralin 3. Nagbibigay ng mga marka	1. Sagutin ang mga tanong 2. Markahan sa mga kard (Appendix Blg. 7)	Cognitive: pagmuni-muni sa mga pamamaraan at kondisyon ng pagkilos, sapat na pag-unawa sa mga dahilan ng tagumpay at kabiguan, kontrol at pagsusuri ng proseso at mga resulta ng mga aktibidad Komunikasyon: kakayahang magpahayag ng iniisip, argumentasyon

Preview:

Annex 1.

(nagsusuri ng takdang-aralin)

Solusyon

Preview:

Appendix 2

Oral na gawain

Pangalanan ang function at tukuyin ito nang analytical

Preview:

Preview:

Appendix 3

Teoretikal na survey

1. Bumuo ng kahulugan ng isang numerical function.

Aralin 1-2. Kahulugan ng isang numerical function at mga pamamaraan para sa pagtukoy nito

09.07.2015 11704 0

Target: talakayin ang kahulugan ng isang function at kung paano ito tukuyin.

I. Paglalahad ng paksa at layunin ng mga aralin

II. Pagsusuri ng materyal sa ika-9 na baitang

Ang iba't ibang aspeto ng paksang ito ay natalakay na sa mga baitang 7-9. Ngayon kailangan nating palawakin at ibuod ang impormasyon tungkol sa mga function. Ipaalala namin sa iyo na ang paksa ay isa sa pinakamahalaga para sa buong kurso sa matematika. Ang iba't ibang mga tungkulin ay pag-aaralan hanggang sa pagtatapos at higit pa sa mga institusyong mas mataas na edukasyon. Ang paksang ito ay malapit na nauugnay sa paglutas ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga problema sa salita, pag-unlad, atbp.

Depinisyon 1. Hayaang magbigay ng dalawang set ng tunay na numero D at E at ang batas ay ipinahiwatig f ayon sa kung saan ang bawat bilang x∈ D tumutugma sa iisang numero y ∈ E (tingnan ang larawan). Pagkatapos ay sinasabi nila na ang function na y = f(x ) o y(x) na may domain ng kahulugan (O.O.) D at ang lugar ng pagbabago (O.I.) E. Sa kasong ito, ang value x ay tinatawag na independent variable (o argumento ng function), ang value y ay tinatawag na dependent variable (o ang value ng function).

Function na Domain f ay nagsasaad ng D(f ). Ang set na binubuo ng lahat ng mga numero f(x ) (saklaw ng pag-andar f), tukuyin ang E(f).

Halimbawa 1

Isaalang-alang ang functionUpang mahanap ang y para sa bawat halaga ng x, dapat mong gawin ang mga sumusunod na operasyon: ibawas ang numero 2 (x - 2) mula sa halaga ng x, kunin ang square root ng expression na itoat sa wakas ay idagdag ang numero 3Ang hanay ng mga operasyong ito (o ang batas kung saan hinahanap ang halaga y para sa bawat halaga ng x) ay tinatawag na function na y(x). Halimbawa, para sa x = 6 nahanap naminKaya, upang kalkulahin ang function na y sa isang naibigay na punto x, ito ay kinakailangan upang palitan ang halagang ito x sa ibinigay na function na y(x).

Malinaw, para sa isang naibigay na function, para sa anumang tinatanggap na numerong x, isang halaga lamang ng y ang makikita (iyon ay, para sa bawat halaga ng x ay may katumbas na isang halaga ng y).

Isaalang-alang natin ngayon ang domain ng kahulugan at ang hanay ng variation ng function na ito. Posibleng kunin ang square root ng expression (x - 2) kung hindi negatibo ang value na ito, ibig sabihin, x - 2 ≥ 0 o x ≥ 2. HanapinDahil sa pamamagitan ng kahulugan ng isang arithmetic rootpagkatapos ay idinagdag namin ang numero 3 sa lahat ng bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha namin:o 3 ≤ y< +∞. Находим

Ang mga rational function ay kadalasang ginagamit sa matematika. Sa kasong ito, ang mga function ng form f(x ) = p(x) (kung saan ang p(x) ay isang polynomial) ay tinatawag na buong rational function. Mga function ng form(kung saan ang p(x) at q(x ) - polynomials) ay tinatawag na fractional-rational functions. Malinaw na isang fractionay tinukoy kung ang denominator q(x ) ay hindi nawawala. Samakatuwid, ang domain ng kahulugan ng fractional rational function- ang hanay ng lahat ng tunay na numero kung saan ang mga ugat ng polynomial ay hindi kasama q(x).

Halimbawa 2

Rational functiontinukoy para sa x - 2 ≠ 0, i.e. x ≠ 2. Samakatuwid, ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang set ng lahat ng tunay na numero na hindi katumbas ng 2, ibig sabihin, ang unyon ng mga pagitan (-∞; 2) at (2; ∞).

Alalahanin na ang unyon ng set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng elemento na kasama sa kahit isa sa set A o B. Ang unyon ng set A at B ay tinutukoy ng simbolo A U B. Kaya, ang unyon ng mga segment at (3; 9) ay isang interval (non-intersecting interval) ay tinutukoy ng .

Pagbabalik sa halimbawa, maaari nating isulat:Dahil para sa lahat ng katanggap-tanggap na halaga ng x ang fractionay hindi naglalaho, pagkatapos ay ang pag-andar f(x ) tumatagal ng lahat ng halaga maliban sa 3. Samakatuwid

Halimbawa 3

Hanapin natin ang domain ng kahulugan ng fractional rational function

Ang mga denominator ng mga praksiyon ay nawawala sa x = 2, x = 1 at x = -3. Samakatuwid, ang domain ng kahulugan ng function na ito

Halimbawa 4

Pagkagumon ay hindi na isang function. Sa katunayan, kung gusto nating kalkulahin ang halaga ng y, halimbawa, para sa x = 1, pagkatapos ay gamit ang itaas na formula makikita natin: y = 2 1 - 3 = -1, at gamit ang mas mababang formula na nakukuha natin: y = 12 + 1 = 2. Kaya, isang halaga x(x = 1) tumutugma sa dalawang halaga ng y (y = -1 at y = 2). Samakatuwid, ang pag-asa na ito (sa pamamagitan ng kahulugan) ay hindi isang function.

Halimbawa 5

Ang mga graph ng dalawang dependency ay ipinapakita y(x ). Tukuyin natin kung alin sa mga ito ang isang function.

Sa Fig. at ang graph ng function ay ibinigay, dahil sa anumang punto x 0 isang value lang na y0 ang tumutugma. Sa Fig. b ay isang graph ng ilang uri ng pag-asa (ngunit hindi isang function), dahil ang mga naturang punto ay umiiral (halimbawa, x 0 ), na tumutugma sa higit sa isang value na y (halimbawa, y1 at y2).

Isaalang-alang natin ngayon ang mga pangunahing paraan ng pagtukoy ng mga function.

1) Analytical (gamit ang isang formula o mga formula).

Halimbawa 6

Tingnan natin ang mga pag-andar:

Sa kabila ng hindi pangkaraniwang anyo nito, tinutukoy din ng relasyong ito ang isang function. Para sa anumang halaga ng x, madaling mahanap ang halaga ng y. Halimbawa, para sa x = -0.37 (mula noong x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, pagkatapos ay ginagamit namin ang mas mababang expression) mayroon kaming:Mula sa paraan ng paghahanap ng y malinaw na ang anumang halagang x ay tumutugma sa isang halaga lamang na y.

c) 3x + y = 2y - x2. Ipahayag natin ang halaga y mula sa relasyong ito: 3x + x2 = 2y - y o x2 + 3x = y. Kaya, ang kaugnayang ito ay tumutukoy din sa function na y = x2 + 3x.

2) Tabular

Halimbawa 7

Sumulat tayo ng talahanayan ng mga parisukat y para sa mga numerong x.

		2,25		6,25

Tinutukoy din ng data ng talahanayan ang isang function - para sa bawat (ibinigay sa talahanayan) na halaga ng x, isang solong halaga ng y ang matatagpuan. Halimbawa, y(1.5) = 2.25, y(5) = 25, atbp.

3) Graphic

Sa isang rectangular coordinate system, upang ilarawan ang functional dependence y(x), ito ay maginhawang gumamit ng isang espesyal na pagguhit - isang graph ng function.

Depinisyon 2. Graph ng isang function y(x ) ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng sistema ng coordinate, ang mga abscissas kung saan ay katumbas ng mga halaga ng independiyenteng variable x, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng umaasa na variable y.

Sa bisa ng kahulugang ito, ang lahat ng pares ng mga puntos (x0, y0) na nakakatugon sa functional dependence na y(x) ay matatagpuan sa graph ng function. Anumang iba pang mga pares ng mga puntos na hindi nakakatugon sa dependency y(x ), ang mga function ay hindi nasa graph.

Halimbawa 8

Nabigyan ng function Ang punto ba na may mga coordinate ay nabibilang sa graph ng function na ito: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Hanapin ang halaga ng function na y atDahil y(-2) = -6, ang punto A (-2; -6) ay kabilang sa graph ng function na ito.

2. Tukuyin ang halaga ng function na y at Dahil y (-3) = -11, pagkatapos ay ang point B (-3; -10) ay hindi kabilang sa graph ng function na ito.

Ayon sa graph na ito ng function na y = f(x ) madaling mahanap ang domain ng kahulugan D(f ) at saklaw E(f ) mga function. Upang gawin ito, ang mga graph point ay itinatakda sa mga coordinate axes. Pagkatapos ang abscissas ng mga puntong ito ay bumubuo sa domain ng kahulugan D(f ), ordinates - hanay ng mga halaga E(f).

Paghambingin natin ang iba't ibang paraan upang tukuyin ang isang function. Ang analytical na paraan ay dapat ituring na pinakakumpleto. Pinapayagan ka nitong lumikha ng isang talahanayan ng mga halaga ng function para sa ilang mga halaga ng argumento, bumuo ng isang graph ng function, at magsagawa ng kinakailangang pananaliksik ng function. Kasabay nito, ang paraan ng tabular ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis at madaling mahanap ang halaga ng function para sa ilang mga halaga ng argumento. Ang graph ng isang function ay malinaw na nagpapakita ng pag-uugali nito. Samakatuwid, ang isa ay hindi dapat sumalungat sa iba't ibang mga pamamaraan ng pagtukoy ng isang function; Sa pagsasagawa, lahat ng tatlong paraan ng pagtukoy ng isang function ay ginagamit.

Halimbawa 9

Ibinigay ang function na y = 2x2 - 3x +1.

Hanapin natin: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

Upang mahanap ang halaga ng isang function para sa isang tiyak na halaga ng argumento, kinakailangan na palitan ang halagang ito ng argumento sa analytical form ng function. Samakatuwid nakukuha namin ang:

Halimbawa 10

Alam na y(3 - x) = 2x2 - 4. Hanapin natin: a) y(x); b) y(-2).

a) Tukuyin natin ito sa pamamagitan ng titik z = 3, pagkatapos x = 3 - z . Ipalit natin ang value na ito sa x sa analytical form ng function na ito y(3 - x) = 2x2 - 4 at makuha ang: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, o y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, o y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, o y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Dahil hindi mahalaga kung anong letra ang tinutukoy ng function argument - z, x, t o anumang iba pa, agad nating makukuha ang: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Ngayon ay madaling mahanap ang y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Halimbawa 11

Ito ay kilala na Hanapin natin ang x(y).

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng titik z = x - 2, pagkatapos x = z + 2, at isulat ang kondisyon ng problema: o Upang isusulat namin ang parehong kondisyon para sa argumento (- z ): Para sa kaginhawahan, ipinakilala namin ang mga bagong variable a = y (z) at b = y (- z ). Para sa mga naturang variable nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear equation

Interesado kami sa hindi alam a.

Upang mahanap ito, ginagamit namin ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic. Samakatuwid, i-multiply natin ang unang equation sa numero (-2), ang pangalawang equation sa numero 3. Nakukuha natin ang:

Idagdag natin ang mga equation na ito:saan Dahil ang argumento ng function ay maaaring tukuyin ng anumang titik, mayroon kaming:

Sa konklusyon, tandaan namin na sa pagtatapos ng grade 9 ang mga sumusunod na katangian at mga graph ay pinag-aralan:

a) linear function y = kx + m (ang graph ay isang tuwid na linya);

b) quadratic function y = ax2 + b x + c (graph - parabola);

c) fractional linear function(graph - hyperbola), sa mga partikular na function

d) power function y = xa (sa partikular, ang function

e) mga function y = |x|.

Para sa karagdagang pag-aaral ng materyal, inirerekomenda naming ulitin ang mga katangian at mga graph ng mga function na ito. Sasaklawin ng mga sumusunod na aralin ang mga pangunahing paraan ng pag-convert ng mga graph.

1. Tukuyin ang isang numerical function.

2. Ipaliwanag kung paano tukuyin ang isang function.

3. Ano ang tinatawag na unyon ng set A at B?

4. Anong mga function ang tinatawag na rational integers?

5. Anong mga function ang tinatawag na fractional rational? Ano ang domain ng kahulugan ng mga naturang function?

6. Ano ang tinatawag na graph ng isang function f(x)?

7. Ibigay ang mga katangian at graph ng mga pangunahing function.

IV. Takdang aralin

§ 1, No. 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( a ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Takdang-Aralin

§ 1, No. 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Mga malikhaing gawain

1. Hanapin ang function na y = f(x), kung:

Mga sagot:

2. Hanapin ang function na y = f(x) kung:

Mga sagot:

VII. Pagbubuod ng mga aralin

Ito ay isang sulat kung saan ang bawat elemento x mula sa set D, ayon sa ilang panuntunan, ay nauugnay sa isang tiyak na numero y, depende sa x. Notasyon: y = f(x) x y Independent variable o argument dependent variable o function value D(f) E(f) Domain ng function Domain ng function Numerical function na may domain D

Evenness ng function Ang function na y=f(x) ay tinatawag kahit na para sa anumang value x mula sa domain ng definition ang equality f(-x)=f(x) ay nasiyahan. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na kakaiba kung para sa anumang halagang x mula sa domain ng kahulugan ay may pagkakapantay-pantay na f(-x)=-f(x).

Monotonicity ng isang function (Pagtaas at pagbaba ng isang function) Ang function na y=f(x) ay sinasabing tumataas sa set X є D(f) kung para sa anumang mga puntos x 1 at x 2 ng set X na ang x 1 f(x 2) f(x 2)">

Paano gumawa ng graph ng periodic function Kung ang function na y=f(x) ay may period T, para makabuo ng graph ng function kailangan mo munang bumuo ng branch (wave, part) ng graph sa anumang pagitan ng haba T, at pagkatapos ay ilipat ang sangay na ito kasama ang x axis sa kanan at kaliwa ng T, 2T, 3T, atbp.

Boundedness ng isang function Ang isang function na y=f(x) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba sa set X є D(f) kung ang lahat ng mga value ng function na ito sa set X ay mas malaki kaysa sa isang tiyak na numero. (ibig sabihin, kung mayroong numerong m na para sa anumang halaga x є X ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f(x) > m. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na bounded mula sa itaas sa set X є D(f) kung lahat ng mga halaga ng function na ito sa set X ay mas mababa sa isang tiyak na numero (ibig sabihin, kung mayroong isang numero M na para sa anumang halaga x є X ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay: f(x) m. Ang function na y=f(. x) ay tinatawag na bounded sa itaas sa set X є D(f), kung ang lahat ng mga value ng function na ito sa set X ay mas mababa sa isang tiyak na numero (i.e. kung mayroong isang numero M na para sa anumang halaga x є X ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay: f(x)

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function Number m ay tinatawag na pinakamaliit na value ng function y=f(x) sa set X є D(f), kung: 1) may point x o є X na f(x o )=m; 2) Para sa anumang halaga x є X ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)f(x o) ay nasiyahan Ang bilang M ay tinatawag na pinakamalaking halaga ng function na y=f(x) sa set X є D(f), kung: 1) mayroong isang punto x o є X tulad , na f(x o)=M; 2) Para sa anumang halaga x є X ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)f(x o) ay nasiyahan

Convexity ng isang function Ang isang function ay convex paitaas sa isang interval X na may Dif) kung, sa pamamagitan ng pagkonekta ng alinmang dalawang punto ng graph nito sa abscissa ng X sa pamamagitan ng isang segment, nakita namin na ang kaukulang bahagi ng graph ay nasa itaas ng iginuhit na segment. Ang isang function ay itinuturing na convex pababa sa isang pagitan ng X na may D(f) kung, sa pamamagitan ng pagkonekta ng alinmang dalawang punto ng graph nito sa abscissa ng X na may isang segment, nakita namin na ang kaukulang bahagi ng graph ay nasa ibaba ng iginuhit na segment.

Ang continuity ng isang function, continuity ng isang function sa isang interval X ay nangangahulugan na ang graph ng isang function sa isang partikular na interval ay walang break point (ibig sabihin, ito ay isang solidong linya). Magkomento. Sa katunayan, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pagpapatuloy ng isang function kapag napatunayan na ang function ay tuloy-tuloy. Ngunit ang katumbas na kahulugan ay kumplikado at hindi pa natin magagawa ito (ibibigay natin ito sa ibang pagkakataon, sa § 26). Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa konsepto ng convexity. Samakatuwid, kapag tinatalakay ang dalawang katangian ng mga function na ito, patuloy tayong aasa sa mga visual at intuitive na konsepto.

Extrema point at extremum ng function. Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point ng function. Kahulugan. Ang isang punto x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto ng isang function f kung para sa lahat ng x mula sa ilang kapitbahayan ng x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) f(x 0) ay nagtataglay. Kahulugan. Ang isang punto x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng isang function f kung para sa lahat ng x mula sa ilang kapitbahayan ng x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) f(x 0) ay nagtataglay.

Scheme para sa pag-aaral ng isang function 1 - Domain ng kahulugan 2 - kahit (kakaiba) 3 - ang pinakamaliit na positibong panahon 4 - mga pagitan ng pagtaas at pagbaba 5 - mga punto ng extrema at extrema ng function 6 - boundedness ng function 7 - pagpapatuloy ng function 8 - ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function 9 - Saklaw ng mga value 10 – convexity ng function

Mayroon silang maraming mga katangian:

1. Tinatawag ang function monotonous sa isang tiyak na pagitan A, kung ito ay tumataas o bumababa sa pagitan na ito

2. Tinatawag ang function dumarami sa isang tiyak na pagitan A, kung para sa anumang mga numero sa kanilang hanay A ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:.

Ang graph ng isang pagtaas ng function ay may isang espesyal na tampok: kapag gumagalaw kasama ang x-axis mula kaliwa pakanan kasama ang pagitan A tumaas ang mga ordinate ng mga graph point (Fig. 4).

3. Tinatawag ang function bumababa sa ilang pagitan A, kung para sa anumang mga numero ay marami sa kanila A ang kondisyon ay natutugunan:.

Ang graph ng isang nagpapababang function ay may isang espesyal na tampok: kapag gumagalaw kasama ang x-axis mula kaliwa pakanan kasama ang pagitan A bumababa ang mga ordinate ng mga graph point (Fig. 4).

4. Ang function ay tinatawag na kahit sa ilang set X, kung ang kondisyon ay natugunan: .

Ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa ordinate axis (Larawan 2).

5. Tinatawag ang function kakaiba sa ilang set X, kung ang kondisyon ay natugunan: .

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan (Larawan 2).

6. Kung ang function y = f(x)
f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi nila na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamaliit na halaga sa=f(x) sa X= x(Fig. 2, ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa puntong may mga coordinate (0;0)).

7. Kung ang function y = f(x) ay tinukoy sa set X at mayroong ganoong para sa anumang hindi pagkakapantay-pantay f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi nila na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamataas na halaga sa=f(x) sa X= x(Fig. 4, ang function ay walang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga) .

Kung para sa function na ito y = f(x) napag-aralan na lahat ng mga nakalistang properties, tapos sinasabi nila yan pag-aaral mga function.

Numeric function Ang sulat na ito sa pagitan ng isang set ng numero ay tinatawag X at marami R tunay na mga numero, kung saan ang bawat numero mula sa set X tumutugma sa isang solong numero mula sa isang set R. Isang grupo ng X tinawag domain ng function . Ang mga function ay ipinahiwatig ng mga titik f, g, h atbp. Kung f– function na tinukoy sa set X, pagkatapos ay tunay na numero y, naaayon sa bilang X marami sila X, madalas na tinutukoy f(x) at magsulat
y = f(x). Variable X ito ay tinatawag na argumento. Set ng mga numero ng form f(x) tinawag saklaw ng pag-andar

Tinukoy ang function gamit ang isang formula. Halimbawa , y = 2X - 2. Kung, kapag tinukoy ang isang function gamit ang isang formula, ang domain ng kahulugan nito ay hindi ipinahiwatig, pagkatapos ay ipinapalagay na ang domain ng kahulugan ng function ay ang domain ng kahulugan ng expression f(x).

1. Tinatawag ang function monotonous sa isang tiyak na pagitan A, kung ito ay tumataas o bumababa sa pagitan na ito

2. Tinatawag ang function dumarami sa isang tiyak na pagitan A, kung para sa anumang mga numero ng kanilang set A ang sumusunod na kondisyon ay natutugunan: .

Ang graph ng isang pagtaas ng function ay may isang espesyal na tampok: kapag gumagalaw kasama ang x-axis mula kaliwa pakanan kasama ang pagitan A tumaas ang mga ordinate ng mga graph point (Fig. 4).

3. Tinatawag ang function bumababa sa ilang pagitan A, kung para sa anumang mga numero ay marami sa kanila A ang kundisyon ay natutugunan: .

Ang graph ng isang nagpapababang function ay may isang espesyal na tampok: kapag gumagalaw kasama ang x-axis mula kaliwa pakanan kasama ang pagitan A bumababa ang mga ordinate ng mga graph point (Fig. 4).

4. Ang function ay tinatawag na kahit sa ilang set X, kung ang kondisyon ay natugunan: .

Ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa ordinate axis (Larawan 2).

5. Tinatawag ang function kakaiba sa ilang set X, kung ang kondisyon ay natugunan: .

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan (Larawan 2).

6. Kung ang function y = f(x)
f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi nila na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamaliit na halaga sa =f(x) sa X= x(Fig. 2, ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa puntong may mga coordinate (0;0)).

7. Kung ang function y = f(x) ay tinukoy sa set X at mayroong ganoong para sa anumang hindi pagkakapantay-pantay f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi nila na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamataas na halaga sa =f(x) sa X= x(Fig. 4, ang function ay walang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga) .

Kung para sa function na ito y = f(x) napag-aralan na lahat ng mga nakalistang properties, tapos sinasabi nila yan pag-aaral mga function.

Mga limitasyon.

Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng isang function dahil ang x ay may posibilidad na ∞ kung para sa alinmang E>0, mayroong δ (E)>0 na para sa lahat ng x ay natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay |x|>δ ang hindi pagkakapantay-pantay |F(x) -A|

Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng isang function dahil ang X ay may posibilidad na X 0 kung para sa alinmang E>0, mayroong δ (E)>0 na para sa lahat ng X≠X 0 ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

UNILATERAL LIMITASYON.

Kapag tinutukoy ang limitasyon, ang X ay may posibilidad na X0 sa isang arbitrary na paraan, iyon ay, mula sa anumang direksyon. Kapag ang X ay nasa X0, upang ito ay palaging mas mababa sa X0, kung gayon ang limitasyon ay tinatawag na limitasyon sa X0 sa kaliwa. O isang kaliwang kamay na limitasyon. Ang limitasyon sa kanang kamay ay tinutukoy nang katulad.