Korsböjsstång. TRANSVERSE BRÄDNING Teknisk mekanik Tvärgående böjningslösning

Krafter som verkar vinkelrätt mot barens axel och belägen i det platta benet som passerar genom denna axel, orsaka deformation som kallas tvärgående böjning. Om planet för de nämnda krafterna – Huvudplanet, då är det en rak (platt) tvärgående böjning. Annars kallas böjningen snett tvärgående. Bar mottaglig för böja kallas stråle 1 .

I huvudsak är den tvärgående böjningen en kombination av ren böjning och skjuvning. I samband med återkallandet av tvärsnitt på grund av ojämnheten av fördelningen av skift i höjd uppstår frågan om möjligheten att använda den normala spänningsformeln σ H.härledd för ren böjning på grundval av hypotesen av plana sektioner.

1 enkelbrytande stråle, som vid ändarna respektive har en cylindrisk fast bärare och en cylindrisk rörlig i riktning mot strålens axel kallas enkel. Strålen med en klämd och en annan fri ände kallas trösta. En enkel stråle som har en eller två delar som hänger bakom stödet kallas trösta.

Om dessutom tas tvärsektionerna bort från platsen för appliceringen av belastningen (på ett avstånd som inte är mindre än hälften av stångens tvärsnitt), då, som i fallet med ren böjning, den är möjligt att fibrerna inte trycker på varandra. Det betyder att varje fiber upplever en uniaxiell sträckning eller kompression.

Under verkan av en distribuerad belastning kommer tvärgående krafter i två intilliggande sektioner att skilja sig från värde lika med qDX. . Därför kommer krökningen av sektioner också något annorlunda. Dessutom kommer fibrerna att sätta tryck på varandra. Noggrann fråga Forskning visar att om längden på stapeln l. tillräckligt stor jämfört med sin höjd h. (l./ h. \u003e 5), och under distribuerad belastning, har dessa faktorer inte en signifikant effekt på normala spänningar i tvärsnitt och därför kan det i praktiska beräkningar inte beaktas.

a b c

Fikon. 10,5 Fig. 10.6

I sektioner under fokuserade laster och nära dem distribution σ H. avviker från linjär lag. Denna avvikelse, som är lokal och inte åtföljd av en ökning av de största spänningarna (i extrema fibrer), brukar inte beaktas i praktiken.

Således med tvärgående böjning (i planet hu.) Normala spänningar beräknas med formeln

σ H.= – [M Z.(x.)/I Z.]y..

Om vi \u200b\u200butför två intilliggande sektioner på baren fritt från belastningen, kommer den tvärgående kraften i båda sektionerna att vara densamma, vilket innebär samma och krökning av sektioner. I det här fallet, något segment av fibern ab (Fig. 10,5) flyttas till en ny position en "b", inte genomgår ytterligare förlängning, och därför utan att ändra värdet av den normala spänningen.

Vi definierar tangentspänningarna i tvärsnitt genom den parade spänningen, som verkar i längden av stången.

Vi markerar elementets längd från baren dx (Bild 10,7 A). Skär horisontslionskornet på ett avstånd w. från neutral axel z.separerad av elementet i två delar (fig 10.7) och betrakta jämvikten hos den övre delen som har basen

bredd b.. I enlighet med partnerskapets lagstiftning av tangentspänningar är spänningen som verkar i längdsektionen lika med de spänningar som verkar i tvärsnitt. Med tanke på detta som tyder på att tangentspänningar på platsen b.det används enhetligt för att använda tillståndet σx \u003d 0, vi får:

N * - (n * + dn *) +

var: N * är de resulterande normala krafterna σ i den vänstra tvärgående delen av DX-elementet i "cut-off" -plattformen a * (bild 10,7 g):

var: s \u003d - det statiska ögonblicket av "cut-off" -delen av den tvärgående sektionen (skuggat område i figur 10,7 V). Därför kan du skriva:

Då kan du skriva:

Denna formel erhölls i XIX-talets ryska forskare och ingenjör D.I. Zhuravsky och bär sitt namn. Och även om denna formel är approximativt, eftersom det är i genomsnitt spänningen i sektionsbredden, men de erhållna resultaten av beräkningen enligt den är ganska konsekventa med experimentdata.

För att bestämma tangentspänningarna i en godtycklig sektion av tvärsnittet av ett avstånd från Y från Z-axeln:

Bestäm storleken på den tvärgående kraft Q som verkar i sektionen;

Beräkna tröghetsmomentet i alla sektioner;

Genomföra ett parallellt plan genom denna punkt xZ. och bestämma bredden på sektionen b.;

Beräkna det statiska ögonblicket av cut-off-område av thyoughly huvudcentral z. Och att ersätta de hittade värdena i Zhura-bågens formel.

Vi definierar användningen av tangentspänningar i ett rektangulärt tvärsnitt (bild 10.6, b). Statiskt ögonblick i förhållande till axeln z. Delavsnitt ovanför linje 1-1, på vilken spänningen är fast besluten att skriva i formen:

Den ändras enligt lagen i en fyrkantig parabola. Bredden av sektionen iför en rektangulär stång är konstant, kommer det också att vara en lag för att ändra tangentspänningar i sektionen (fig.10,6, b). Vid y \u003d och y \u003d - Casual spänningar är noll och på den neutrala axeln z. De uppnår det största värdet.

För strålen av det cirkulära tvärsnittet på den neutrala axeln har vi.

Rakböjning - Detta är en form av deformation, i vilken två interna effektfaktor uppstår i stångens tvärsnitt: böjningsmoment och tvärgående kraft.

Ren böja - Detta är ett speciellt fall av direktböjning, där endast böjningsmoment uppträder i tvärsnitt, och den tvärgående kraften är noll.

Ett exempel på ren böjning - plot CD På stången Ab. Böjningsmoment - Det här är en storleksordning Pa Några externa krafter som orsakar böjning. Från jämviktsdel av stången till vänster om tvärsnittet mn. Det följer att de inre ansträngningarna som distribueras genom detta avsnitt är statiskt ekvivalenta med ögonblicket M.lika och motsatt riktat böjmoment Pa.

För att hitta fördelningen av dessa interna tvärsnittsåtgärder är det nödvändigt att överväga deformationen av stången.

I det enklaste fallet har stången ett längdplan för symmetri och utsätts för yttre böjpar av krafter i detta plan. Därefter kommer böjningen att inträffa i samma plan.

Stångaxel nn 1. - Detta är en linje som passerar genom tyngdkraftscentren.

Låt stångens tvärsnitt - en rektangel. Jag kommer att tillämpa två vertikala linjer i ansiktet mm. och pP.. Vid böjning är dessa linjer okomplicerade och roterade så att de förblir vinkelräta mot stångens längdfibrer.

Ytterligare böjteori bygger på antagandet att inte bara linjer Mm. och pP. , Men det hela plana tvärsnittet av stången är platt och normal till längsgående stångfibrer. Följaktligen, med böjning av tvärsnitt mm. och pP. Rotera i förhållande till varandra runt axlarna vinkelrätt mot böjplanet (ritplan). Samtidigt är longitudinella fibrer på den konvexa sidan dragkraft och fibrerna på den konkava sidan är kompression.

Neutral yta - Detta är en yta, som inte upplever deformationer i böjning. (Nu är det beläget vinkelrätt mot ritningen, den deformerade axeln av staven nn 1. tillhör denna yta).

Neutral axelavsnitt - Detta är ett korsning av en neutral yta med någon med något tvärsnitt (nu är också vinkelrätt mot ritningen).

Låt godtyckliga fiber vara på avstånd y. från neutral yta. ρ - Radien av krökning av den krökta axeln. Punkt O. - Centrum för krökning. Vi utför en linje n 1 s 1parallell mm.. Ss 1. - Absolut fiberförlängning.

Relativ förlängning ε x.fiber

Det följer att deformationer av longitudinella fibrer Proportionell mot avståndet y. från neutral yta och omvänt proportionell mot krökningsradien ρ .

Längdslängden av stångstångfibrerna åtföljs av sIDE NARRAY, och den longitudinella förkortningen av den konkava sidan - sidoförlängningSom i fallet med enkel sträckning och kompression. På grund av detta förändras typen av alla tvärgående sektioner, de vertikala sidorna av rektangeln blir lutande. Deformation i sidoväggen z.:

μ - Poissons förhållande.

På grund av en sådan distorsion, alla raka tvärsnittslinjer, parallella axlar z., vrid för att förbli normal mot sidorna av sektionen. Krökningsradie av denna kurva R. kommer att vara mer än ρ På samma sätt, där ε x i absolut värde mer än ε z och vi får

Dessa deformationer av longitudinella fibrer svarar spänningar

Spänning i vilken fiber som helst är proportionell mot dess avstånd från den neutrala axeln n 1 n 2. Positionen för den neutrala axeln och krökningsradien ρ - Två okända i ekvationen för σ x - kan bestämmas av det villkor som de ansträngningar som distribueras enligt något tvärsnitt utgör ett par krafter som balanserar det yttre ögonblicket M..

Allt ovanstående är också rättvist om stången inte har ett längdplan för symmetri, i vilket böjningsmomentet verkar, bara bara böjningsmomentet agerade i axialplanet, vilket avslutar en av två huvudaxlar tvärsnitt. Dessa plan kallas de viktigaste planen av böjning.

När det finns ett symmetriplan och böjningsmomentet verkar i detta plan, sker avböjningen i den. Moment av inhemsk ansträngning i förhållande till axeln z. Balansera det yttre ögonblicket M.. Stunder av ansträngning i förhållande till axeln Y. ömsesidigt förstördes.

Klassificering av stamböjningar

Böja Denna typ av deformation kallas, där böjningsmoment visas i tvärsnitt. Böjstång accepterad bal. Om böjningsmomenten är de enda interna kraftfaktorerna i tvärsnitt, upplever stången ren böjning. Om böjningsmomenten uppstår i samband med de tvärgående krafterna, kallas en sådan böjning tvärgående.

Balkar, axlar, axlar och andra delar av strukturer arbetar med böjning.

Vi presenterar några koncept. Planet som passerar genom en av de viktigaste centrala axlarna i sektionen och stångens geometriska axel kallas huvudplanet. Planet där externa belastningar orsakar strålböjning kallas kraftplan. Korsningslinjen i kraftplanet med stångens tvärgående tvärsnitt kallas kraftledning.Beroende på kraftens och huvudplanens ömsesidiga läge, skiljer strålarna mellan direkt eller snett böjning. Om kraftplanet sammanfaller med en av de viktigaste planen, upplever stången rakböjning (Bild 5.1, men) om det inte sammanfaller - kosovo(Bild 5.1, b).

Fikon. 5.1. Rodböjning: men - hetero; b. - Kosovo

Ur en geometrisk synvinkel åtföljs stångens böjning av en förändring i stångens krökning. Inledningsvis blir stångens raka axel krökmor med sin böjning. Med en rak böjning ligger den krökta axeln hos stången i kraftplanet, med en flätan - i ett annat plan än kraften.

Titta på bukten av gummistången, det kan noteras att en del av dess längda fibrer sträcker sig, och den andra delen är komprimerad. Självklart är det mellan de sträckta och komprimerade stångfibrerna ett lager av fibrer som inte har en sträckande eller kompression - den så kallade neutral lager. Korsningslinjen för det neutrala skiktet av stången med planet för dess tvärsnitt kallas neutral tvärsnittslinje.

Som regel kan fungera på belastningsstrålen tillskrivas en av tre typer: fokuserade krafter R, Koncentrerade stunder M. Distribuerad laster intensitet c. (Bild 5.2). Del I-strålar som ligger mellan stöden kallas spännadel II-strålar som ligger på ett sätt från stödet - trösta.

Som i § 17, anta att stångens tvärsnitt har två symmetriaxlar, varav en ligger i böjplanet.

I fallet med den tvärgående böjningen av stången i tvärsnitt finns det tangentspänningar, och under deformationen av stången, förblir den inte platt, som i fallet med ren böjning. För en stång av en kontinuerlig tvärsektion kan emellertid effekten av tangentspänningar med tvärgående böjning försummas och approximativt antaget, vilket är detsamma som i fallet med ren böjning, är tvärsnittet av stången under dess deformation är platt. Därefter härleddes formlerna för spänningar och krökning i § 17, förblir ungefär giltiga. De är korrekta för ett visst fall konstant längs längden på den tvärgående kraftstången 1102).

Till skillnad från ren böjning med en tvärböjning, förblir böjningsmomentet och krökningen konstant längs stångens längd. Huvuduppgiften i fråga om tvärgående böj är definitionen av avböjning. För att bestämma den lilla avböjningen kan du använda det kända ungefärliga beroendet av krökningen hos den krökta stången från avböjningen 11021. Baserat på detta beroende, krökningen hos den krökta stången Xc och avböjningen V E. som härrör från krypmaterialet är associerade med förhållandet Xc \u003d \u003d dV

Att ersätta detta förhållande av krökning enligt formel (4.16), vi fastställer det

Integreringen av den sista ekvationen gör det möjligt att få en avböjning som härrör från kryp av materialstrålen.

Analysera ovanstående lösning på kryproblemet hos den krökta stången, kan man dra slutsatsen att den är helt ekvivalent att lösa problemet med att böja en stav från materialet i vilket sträckningsdiagrammen av kompression kan approximeras med en effektfunktion. Därför kan definitionen av avböjningen som härrör från krypen i det aktuella fallet framställas och använda MORA-integralen för att bestämma stavens rörelse från det material som inte följer cykelrätten

Plottarna av normala spänningar som arbetar med arenor 1-2 och 3-4 med ett positivt värde av M, visas i fig. 39,7. För samma platser har tangentspänningar också i fig. 39,7. Storleken på dessa spänningar varierar i avsnittets höjd.

Beteckna storleken på tangentspänningen vid de nedre punkterna 1-2 och 3-4 (på nivå). Enligt lagen spänner passage av tangenten det följer att detsamma med storleken av tangentspänningar arbetar på bottenplatsen 1-4 i det dedikerade elementet. Normala spänningar på denna plattform anses vara lika med noll, eftersom det i teorin om böjning antas att strålens längdfibrer inte har tryck på varandra.

Plattformen 1-2 eller 3-4 (fig 39,7 och 40,7), dvs del av tvärsnittet, belägen ovanför nivån (ovanför platsen 1-4), kallas tvärsnittsdelen. Hennes område är betecknat

Jämviktsekvationen för ett element 1-2-3-4 i form av mängden av utsprången hos alla krafter som är fäst vid den på axelstrålarna:

Här är de resulterande elementära krafterna som uppstår på grund av en plattform med 1-2 element; - de resulterande elementära krafterna som uppstår på platsen 3-4 element; - de resulterande elementära tangentkrafterna som härrör från platsen 1-4-elementet; - Bredden på strålens tvärgående sektion på nivån av

Ersättningsuttryck i formlerna (26,7) till ekvation (27,7):

Men på grundval av teoret av Zhuravsky [Formel (6.7)]

Det integrerade är ett statiskt ögonblick i området i förhållande till den neutrala axeln hos strålens tvärsnitt.

Därav,

Enligt lagen om ett partnerskap av tangentspänningar av spänning vid strålens tvärsnittspunkter är disponibel till avståndet från den neutrala axeln lika med (vid ett absolut värde) som är.

Således bestäms värdena av tangentspänningar i de tvärgående sektionerna av strålen och i tvärsnitt av dess plan parallellt med det neutrala skiktet med formeln

Här är Q en tvärgående kraft i strålens tvärgående tvärsnitt; - statiskt ögonblick (i förhållande till den neutrala axeln) av den avstängda delen av tvärsnittet, som är belägen en sida från den nivå på vilken tangentspänningarna bestäms; J är tröghetsmomentet i hela tvärsnittet i förhållande till den neutrala axeln; - Bredden på den tvärgående sektionen av strålen på den nivå på vilken tangentspänningarna bestäms.

Uttrycket (28,7) kallas formeln av Zhuravsky.

Bestämning av tangentspänningar enligt formel (28,7) utförs i följande ordning:

1) strålens tvärsnitt utförs;

2) För denna tvärsektion bestäms värdena för den tvärgående kraft Q och storleken på tröghetsmomentets tröghetsmoment i förhållande till den huvudsakliga axeln sammanfaller med den neutrala axeln;

3) i tvärsnitt på den nivå för vilken tangentspänningarna bestäms, bestäms en rak linje, skärande del av sektionen; Längden på segmentet av denna direkt som ingås inuti tvärsnittskretsen är en bredd som ingår i nämnaren med formel (28,7);

4) Det statiska ögonblicket s beräknas med avstängningen (placerad en riktning från den linje som anges i punkt 3) i sektionen av tvärsnittet i förhållande till den neutrala axeln;

5) Enligt formel (28,7) bestäms det absoluta värdet av tangentspänningen. Tecknet på tangentspänningar i strålens tvärsnitt sammanfaller med tecknet på den tvärgående kraft som verkar i detta avsnitt. Tecknet på tangentspänningar i platser parallellt med det neutrala skiktet är motsatt tecken på den tvärgående kraften.

Vi definierar användningen av tangentspänningar i det rektangulära tvärsnittet av strålen som visas i fig. 41,7, a. Den tvärgående kraften i detta avsnitt verkar parallellt med axeln Y och lika

Tröghetsmomentet i tvärsnittet i förhållande till axeln

För att bestämma tangentspänningen vid någon punkt med att spendera 1-1, parallellaxel genom denna punkt (fig 41,7, a).

Vi definierar det statiska ögonblicket S-delen av tvärsnittet, avstängt direkt 1-1, i förhållande till axeln. Bakom avstängningen kan man tas som en del av sektionen, belägen ovanför den raka linjen 1-1 (skuggad i figur 41,7, a) och delen under denna direkt.

Till toppen

Ersättare i formel (28,7) värdena för q, s, j och b:

Från detta uttryck följer att tangentspänningar varierar i längden på tvärsnittet under den kvadratiska parabolens lag. Vid spänning är de största spänningarna tillgängliga vid de neutrala axelns punkter, d.v.s.

var är tvärsnittsarean.

I fallet med en rektangulär sektion är således den största tangentspänningen 1,5 gånger större än dess medelvärde som är lika med förekomsten av tangentspänningar, som visar sin förändring i höjden av strålens tvärsnitt, visas i fig. 41,7, b.

För att verifiera det erhållna uttrycket [se Formel (29.7)] kommer att ersätta den i jämställdhet (25,7):

Den resulterande identiteten indikerar korrektheten av uttrycket (29,7).

Parabolisk flykt av tangentspänningar som visas i fig. 41,7, B, är en följd av det faktum att med en rektangulär sektion ändras det statiska ögonblicket av avstängningsdelen av sektionen med en förändring i linjens 1-1 (se fig. 41,7, a) enligt till lagen om den kvadratiska parabolen.

Under sektionerna av någon annan form beror arten av förändringen av garvningsspänningar i sektionens höjd på hur situationen förändras förhållandet mellan bredden B är konstant i vissa sektioner, varvid spänningarna i dessa områden ändras av lagen om Ändra det statiska ögonblicket

Vid balkens tvärsnittspunkter är tangentspänningarna noll, eftersom vid bestämning av spänningarna vid dessa punkter i formel (28,7) är värdet av det statiska ögonblicket av avstängningsdelen av tvärsnittet underbyggd.

Värdet 5 når maximalt för punkter som är belägna på en neutral axel, men de tangentspänningar i tvärsnitt med en variabel bredd B kanske inte maximalt på den neutrala axeln. Till exempel, flykten av tangentspänningar för sektionen som visas i fig. 42,7, och har utseendet visat i fig. 42,7, b.

Tangentspänningar som uppstår genom tvärgående böjning i planen parallellt med det neutrala skiktet karakteriserar interaktionskrafterna mellan de enskilda strålskikten; Dessa krafter försöker flytta de närliggande skikten av varandra i längdriktningen.

Om det inte finns tillräckligt med bindning mellan enskilda skikt, kommer ett sådant skift att uppstå. Till exempel, brädor, sätter på varandra (fig 43,7, a), kommer att motstå den yttre belastningen, som en hel bar (fig 43,7, b), tills insatserna på planerna för brädans förorening inte överstiger friktionskrafterna mellan dem. När friktionskrafterna överträffas, flyttar brädorna en på den andra, som visas i fig. 43,7, i. Samtidigt ökar brädans hjärnor dramatiskt.

Tangentspänningar som verkar i tvärsnitt av balkar och i sektioner parallellt med det neutrala skiktet orsakar skiftdeformationer, som ett resultat av vilka direkta vinklar mellan dessa sektioner är förvrängda, dvs de upphör att vara raka. De största snedvridningarna av hörnen är tillgängliga i de punkterna i tvärsnittet, där de största tangentspänningarna fungerar; De övre och nedre kanterna av distorsionsbalkarna är frånvarande, eftersom tangentspänningarna är noll där.

Som ett resultat av skiftdeformationer är balkens tvärsnitt med tvärgående böjning krökta. Detta påverkar emellertid inte signifikant deformationerna av longitudinella fibrer, och därför på fördelningen av normala spänningar i strålens tvärgående sektioner.

Låt oss nu överväga fördelningen av tangentspänningar i tunna väggar med tvärsnitt, symmetriska i förhållande till axeln Y, i vilken den tvärgående kraften Q, exempelvis i strålen på den 2-vägs sektionen som visas i Fikon. 44,7, a.

För detta definierar vi i enlighet med Zhuravsky (28.7) tangentspänningar vid vissa karakteristiska punkter i strålens tvärgående sektion.

Vid den övre punkten 1 (fig 44,7, a) är tangentspänningar när hela tvärsnittsarean är belägen under denna punkt, och därför är statiskt ögonblick 5 relativt axeln (delar av tvärsnittet ovanför punkt 1) noll.

Vid punkt 2, belägen direkt ovanför linjen som passerar genom bottenytan på höljets övre hylla, beräknade tangentspänningar, beräknad med formel (28,7),

Mellan punkterna 1 och 2 av spänningen [definierad med formel (28,7)] varierar i kvadratisk parabole, som för en rektangulär sektion. I värmeens vägg vid punkt 3, belägen direkt under punkt 2, tangentspänningar

Eftersom bredden B på högen av högen är mycket mer än tjockleken D av den vertikala väggen, har flykten av tangentspänningar (fig 44,7, b) ett skarpt hopp i den nivå som motsvarar den övre kanten av övre kanten hylla. Under punkt 3-tangentspänningar i väggen av värmeförändringen enligt lagen på den kvadratiska parabolen, som för en rektangel. De största tangentspänningarna uppträder på nivån på den neutrala axeln:

Escape av tangentspänningar, konstruerade av de erhållna värdena och, visas i fig. 44,7, b; Det är symmetriskt om det vanliga.

Enligt denna scen, vid punkter belägna i hyllans inre kanter (till exempel vid punkterna 4 i fig 44,7, a), finns det tangentspänningar vinkelräta mot tvärsnittets kontur. Men, som redan noterat, kan sådana spänningar nära tvärsnittskretsen inte uppstå. Följaktligen är antagandet om den likformiga fördelningen av tangentspänningar i tvärsnitts tvärsnittsbredden, som är baserad på utsignalen med formel (28,7), inte tillämplig på heapregimerna; Det är inte tillämpligt på vissa delar av andra tunnväggiga balkar.

Tangens tangentspänningar i hönsens höns för att bestämma metoderna för materialets motstånd kan inte vara. Dessa spänningar är mycket små i jämförelse med spänningarna i TU i muren på högen. Därför beaktas de inte och de väsentliga av tangentspänningar är endast byggda för högen på högen, såsom visas i fig. 44,7, c.

I vissa fall bestäms exempelvis mängden tangentkrafter som verkar i sektionerna av strålen parallellt med det neutrala skiktet och per enhet av dess längd. Detta värde hittar, multiplicera värdet på spänningen på bredden av avsnittet B:

Ersätta värdet med formel (28,7):