Egenskaper för tillägg. Kombinativa och distributiva egenskaper för multiplikation Hur man läser den kombinativa egenskapen för addition

a, b är de tal som tillägget görs på, c är resultatet av tillägget.

Addering av flersiffriga tal görs bitvis.

• Exempel: 9067542 + 34981 = 9102523

Lagar för addition.

• 1) kommutativ: a + b = b + a;

Exempel. 310 + 1454 = 1454 + 310. Oavsett hur vi lägger till resultatet blir resultatet 1764.

• 2) associativ: (a + b) + c = a + (b + c);

Exempel: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;

• 3) lagen att addera ett tal med noll: a + 0 = a.

Subtraktion

a (minuend) - b (subtrahend) = c (skillnad)

• Exempel: 42397 - 17963 = 24434

Egenskaper för subtraktionsåtgärder:

• 1) lagen att subtrahera ett tal från summan:

(a + b) - c = (a - c) + b, om a > c eller a = c;

• 2) lagen om subtraktion från en summa:

a - (b + c) = (a - b) - c;

• 3) lagen att subtrahera ett tal från ett tal:

• 4) lagen om subtraktion från noll:

• 5) lagen om att subtrahera ett belopp från en summa:

(a + b) - (c + d) =;

Problem som exempel på additions- och subtraktionsoperationer

Beräkna på ett bekvämt sätt:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Vi tillämpar den andra och femte lagen för subtraktion:

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

Multiplikation

Att multiplicera talet a med talet b (b>1) innebär att hitta summan av b termer (varje term är lika med a).

a x b= a + a + ... + a

Om b = 1, så är a x 1 = a.

a (första faktorn) x b (andra faktorn) = c (produkt)

Till exempel: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

Multiplikationslagar

• 1) kommutativ: a x b = b x a;

Exempel. 15 x 110 = 110 x 15.

• 2) associativ: (a x b) x c = a x (b x c);

Exempel: (9 x 30) x 10= 9 x (30 x 10) = 9 x 300= 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 x 44) = 25 x 2860 = 71500.

• 3) multiplikation med noll: 0 x a = 0;

Exempel: 0 x 10 = 0.

• 4) distributiv lag för multiplikation angående verkan av addition (subtraktion):

a x (b + c) = a x b + a x c;

Problem som exempel på hur multiplikation fungerar

Uppgift 1. Beräkna på ett bekvämt sätt:

• 1) (37 x 125) x 8;
• 2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67.

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900.

Uppgift 2. 1 kW/h kostar 12 rubel. Ett elektriskt strykjärn förbrukar 2 kW/h under 1 timmes drift. Vi strök kläderna med strykjärn i två dagar: den första dagen - 3 timmar, den andra - 2 timmar. Hur mycket kostar el för två dagar? Lös problemet själv, och vi kommer bara att ge dig svaren: i 3 timmar - 72 rubel; i 2 timmar - 48 gnugga.

Division

a (delbart): b (delare) = c (kvot)

Lagar för division:

• 1) a: 1 = a, eftersom a x 1 = a;
• 2) 0: a =0, ​​eftersom 0 x a = 0;
• 3) du kan inte dividera med 0!

2224222: 2222 = 1001

Lagen för att dividera en summa (skillnad) med ett tal:

• 1) (a + b): c = a: c + b: c, c är inte lika med 0;
• 2) (a - b): c = a: c -b: c, c är inte lika med 0;

Exempel: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Lagen för att dividera en produkt med ett tal:

(a x b) :c = (a: c) x b = (b: c) x a, c är inte lika med 0.

Låt oss rita en rektangel med sidorna 5 cm och 3 cm på en bit rutigt papper, dela den i rutor med sidorna 1 cm (bild 143). Låt oss räkna antalet celler som finns i rektangeln. Detta kan göras till exempel så här.

Antalet rutor med en sida på 1 cm är 5 * 3. Varje sådan ruta består av fyra celler. Därför är det totala antalet celler (5 * 3) * 4.

Samma problem kan lösas på olika sätt. Var och en av de fem kolumnerna i rektangeln består av tre rutor med en sida på 1 cm. Därför innehåller en kolumn 3 * 4 celler. Därför kommer det att finnas 5 * (3 * 4) celler totalt.

Att räkna celler i figur 143 illustrerar på två sätt associativ egenskap för multiplikation för nummer 5, 3 och 4. Vi har: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

För att multiplicera produkten av två tal med ett tredje tal, kan du multiplicera det första talet med produkten av det andra och tredje talet.

(ab)c = a(bc)

Av de kommutativa och kombinatoriska egenskaperna för multiplikation följer att när man multiplicerar flera tal kan faktorerna bytas och placeras inom parentes, och därigenom bestämma ordningen på beräkningarna.

Till exempel är följande likheter sanna:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

I figur 144 delar segment AB rektangeln som diskuterats ovan i en rektangel och en kvadrat.

Låt oss räkna antalet rutor med en sida på 1 cm på två sätt.

Å ena sidan innehåller den resulterande kvadraten 3 * 3 av dem, och rektangeln innehåller 3 * 2. Totalt får vi 3 * 3 + 3 * 2 rutor. Å andra sidan, i var och en av de tre linjerna i denna rektangel finns det 3 + 2 rutor. Då är deras totala antal 3 * (3 + 2).

Lika med 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 illustrerar fördelningsegenskapen för multiplikation i förhållande till addition.

För att multiplicera ett tal med summan av två tal, kan du multiplicera detta tal med varje tillägg och lägga till de resulterande produkterna.

I bokstavlig form skrivs denna egenskap så här:

a(b + c) = ab + ac

Av den fördelande egenskapen för multiplikation i förhållande till addition följer det att

ab + ac = a(b + c).

Denna likhet tillåter formeln P = 2 a + 2 b att hitta omkretsen av en rektangel som ska skrivas i denna form:

P = 2 (a + b).

Observera att fördelningsegenskapen är giltig i tre eller fler perioder. Till exempel:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Den distributiva egenskapen för multiplikation i förhållande till subtraktion är också sann: om b > c eller b = c, då

a(b − c) = ab − ac

Exempel 1 . Beräkna på ett bekvämt sätt:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Vi använder den kommutativa och sedan de associativa egenskaperna för multiplikation:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Vi har:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Exempel 2 . Förenkla uttrycket:

1) 4a * 3b;

2) 18 m − 13 m.

1) Genom att använda de kommutativa och associativa egenskaperna för multiplikation får vi:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Genom att använda den fördelande egenskapen för multiplikation i förhållande till subtraktion får vi:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Exempel 3 . Skriv uttrycket 5 (2 m + 7) så att det inte innehåller parenteser.

Enligt den fördelande egenskapen för multiplikation i förhållande till addition har vi:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Denna omvandling kallas öppnande parenteser.

Exempel 4 . Beräkna värdet på uttrycket 125 * 24 * 283 på ett bekvämt sätt.

Lösning. Vi har:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Exempel 5 . Utför multiplikationen: 3 dagar 18 timmar * 6.

Lösning. Vi har:

3 dagar 18 timmar * 6 = 18 dagar 108 timmar = 22 dagar 12 timmar.

Vid lösning av exemplet användes den fördelande egenskapen för multiplikation i förhållande till addition:

3 dagar 18 timmar * 6 = (3 dagar + 18 timmar) * 6 = 3 dagar * 6 + 18 timmar * 6 = 18 dagar + 108 timmar = 18 dagar + 96 timmar + 12 timmar = 18 dagar + 4 dagar + 12 timmar = 22 dagar 12 timmar.

Att lägga till ett nummer till ett annat är ganska enkelt. Låt oss titta på ett exempel, 4+3=7. Detta uttryck innebär att tre enheter lades till fyra enheter och resultatet blev sju enheter.
Siffrorna 3 och 4 som vi lagt till kallas villkor. Och resultatet av att lägga till siffran 7 anropas belopp.

Beloppär tillägg av siffror. Plustecken "+".
I bokstavlig form skulle detta exempel se ut så här:

a+b=c

Tilläggskomponenter:
a- termin, b- villkor, c- summa.
Om vi ​​lägger till 4 enheter till 3 enheter får vi samma resultat som ett resultat av addition, det blir lika med 7.

Från det här exemplet drar vi slutsatsen att oavsett hur vi byter termer så förblir svaret detsamma:

Denna egenskap hos termer kallas kommutativ additionslag.

Kommutativ lag för addition.

Att byta plats för villkoren ändrar inte summan.

I bokstavlig notation ser den kommutativa lagen ut så här:

a+b=b+a

Om vi ​​betraktar tre termer, till exempel, ta siffrorna 1, 2 och 4. Och vi utför additionen i denna ordning, lägg först till 1 + 2, och lägg sedan till den resulterande summan 4, får vi uttrycket:

(1+2)+4=7

Vi kan göra tvärtom, först lägga till 2+4 och sedan lägga till 1 till den resulterande summan. Vårt exempel kommer att se ut så här:

1+(2+4)=7

Svaret förblir detsamma. Båda typerna av tillägg för samma exempel har samma svar. Vi sammanfattar:

(1+2)+4=1+(2+4)

Denna egenskap av addition kallas associativ lag för addition.

Den kommutativa och associativa lagen för addition fungerar för alla icke-negativa tal.

Kombinationslag för addition.

För att lägga till ett tredje tal till summan av två siffror kan du lägga till summan av det andra och tredje talet till det första talet.

(a+b)+c=a+(b+c)

Kombinationslagen fungerar för hur många termer som helst. Vi använder denna lag när vi behöver lägga till siffror i lämplig ordning. Låt oss till exempel lägga till tre siffror 12, 6, 8 och 4. Det är bekvämare att först lägga till 12 och 8 och sedan lägga till summan av två siffror 6 och 4 till den resulterande summan.
(12+8)+(6+4)=30

Egenskap för addition med noll.

När du lägger till ett tal med noll blir den resulterande summan samma tal.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

I ett bokstavligt uttryck kommer addition med noll att se ut så här:

a+0=a
0+ a=a

Frågor om ämnet addition av naturliga tal:
Gör en additionstabell och se hur den kommutativa lagens egenskap fungerar?
En tilläggstabell från 1 till 10 kan se ut så här:

Andra versionen av tilläggstabellen.

Om vi ​​tittar på additionstabellerna kan vi se hur den kommutativa lagen fungerar.

Vad blir summan i uttrycket a+b=c?
Svar: summan är resultatet av att addera termerna. a+b och c.

Vad blir det i uttrycket a+b=c termer?
Svar: a och b. Addends är tal som vi lägger ihop.

Vad händer med ett tal om du lägger till 0 till det?
Svar: ingenting, numret kommer inte att ändras. När man adderar med noll förblir siffran detsamma, eftersom noll är frånvaron av ettor.

Hur många termer bör det finnas i exemplet så att kombinationslagen för addition kan tillämpas?
Svar: från tre terminer eller fler.

Skriv ner den kommutativa lagen i bokstavliga termer?
Svar: a+b=b+a

Exempel på uppgifter.
Exempel #1:
Skriv ner svaret på de givna uttrycken: a) 15+7 b) 7+15
Svar: a) 22 b) 22

Exempel #2:
Tillämpa kombinationslagen på termerna: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Svar: 20.

Exempel #3:
Lös uttrycket:
a) 5921+0 b) 0+5921
Lösning:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Ett antal resultat som är inneboende i denna åtgärd kan noteras. Dessa resultat kallas egenskaper för addition av naturliga tal. I den här artikeln kommer vi att analysera i detalj egenskaperna för att lägga till naturliga tal, skriva dem med bokstäver och ge förklarande exempel.

Sidnavigering.

Kombinativ egenskap för addition av naturliga tal.

Låt oss nu ge ett exempel som illustrerar den associativa egenskapen att addera naturliga tal.

Låt oss föreställa oss en situation: 1 äpple föll från det första äppelträdet och 2 äpplen och 4 äpplen till föll från det andra äppelträdet. Tänk nu på den här situationen: 1 äpple och ytterligare 2 äpplen föll från det första äppelträdet och 4 äpplen föll från det andra äppelträdet. Det är klart att det kommer att finnas samma antal äpplen på marken i både det första och andra fallet (vilket kan verifieras genom omräkning). Det vill säga, resultatet av att addera talet 1 med summan av siffrorna 2 och 4 är lika med resultatet av att addera summan av talen 1 och 2 med siffran 4.

Det övervägda exemplet tillåter oss att formulera den kombinatoriska egenskapen att lägga till naturliga tal: för att addera en given summa av två tal till ett givet tal, kan vi addera den första termen av den givna summan till detta tal och lägga till den andra termen av given summa till det resulterande resultatet. Den här egenskapen kan skrivas med bokstäver så här: a+(b+c)=(a+b)+c, där a, b och c är godtyckliga naturliga tal.

Observera att likheten a+(b+c)=(a+b)+c innehåller parenteser "(" och ")". Parenteser används i uttryck för att ange i vilken ordning åtgärder utförs - åtgärderna inom parentes utförs först (mer om detta skrivs i avsnittet). Med andra ord, uttryck vars värden utvärderas först placeras inom parentes.

Som avslutning av detta stycke noterar vi att den kombinatoriska egenskapen addition tillåter oss att unikt bestämma additionen av tre, fyra eller fler naturliga tal.

Egenskapen att addera noll och ett naturligt tal, egenskapen att addera noll och noll.

Vi vet att noll INTE är ett naturligt tal. Så varför bestämde vi oss för att titta på egenskapen att lägga till noll och ett naturligt tal i den här artikeln? Det finns tre anledningar till detta. För det första: den här egenskapen används när man lägger till naturliga tal i en kolumn. För det andra: denna egenskap används när man subtraherar naturliga tal. För det tredje: om vi antar att noll betyder frånvaron av något, så sammanfaller betydelsen av att addera noll och ett naturligt tal med betydelsen av att addera två naturliga tal.

Låt oss föra några resonemang som hjälper oss att formulera egenskapen att addera noll och ett naturligt tal. Låt oss föreställa oss att det inte finns några objekt i rutan (med andra ord, det finns 0 objekt i rutan), och ett objekt placeras i den, där a är ett naturligt tal. Det vill säga vi lade till 0 och ett objekt. Det är tydligt att efter denna åtgärd finns det ett objekt i rutan. Därför är likheten 0+a=a sann.

På liknande sätt, om en ruta innehåller ett objekt och 0 objekt läggs till i den (det vill säga inga objekt läggs till), kommer det efter denna åtgärd att finnas ett objekt i rutan. Så a+0=a .

Nu kan vi ge formuleringen av egenskapen att addera noll och ett naturligt tal: summan av två tal, varav ett är noll, är lika med det andra talet. Matematiskt kan denna egenskap skrivas som följande likhet: 0+a=a eller a+0=a, där a är ett godtyckligt naturligt tal.

Separat, låt oss vara uppmärksamma på det faktum att när man adderar ett naturligt tal och noll, förblir den kommutativa egenskapen för addition sann, det vill säga a+0=0+a.

Låt oss slutligen formulera egenskapen att lägga till noll till noll (det är ganska uppenbart och behöver inga ytterligare kommentarer): summan av två tal, var och en lika med noll, är lika med noll. Det är, 0+0=0 .

Nu är det dags att ta reda på hur man lägger till naturliga tal.

Bibliografi.

• Matematik. Eventuella läroböcker för 1:a, 2:a, 3:e, 4:e klasserna vid allmänna läroanstalter.
• Matematik. Eventuella läroböcker för 5:e klass vid allmänna läroanstalter.