جذر چیست؟ ریشه دوم. نظریه تفصیلی با مثال ریشه چندگانه 100

اغلب، هنگام حل مسائل، با اعداد زیادی مواجه می شویم که باید از آنها استخراج کنیم ریشه دوم. بسیاری از دانش آموزان تصمیم می گیرند که این یک اشتباه است و شروع به حل مجدد کل مثال می کنند. تحت هیچ شرایطی این کار را نکنید! دو دلیل برای این وجود دارد:

1. ریشه های اعداد زیاد در مشکلات ظاهر می شوند. به خصوص در متن ها؛
2. الگوریتمی وجود دارد که با آن این ریشه ها تقریباً شفاهی محاسبه می شوند.

ما امروز این الگوریتم را در نظر خواهیم گرفت. شاید برخی چیزها برای شما نامفهوم به نظر برسد. اما اگر به این درس توجه کنید، یک سلاح قدرتمند در برابر دریافت خواهید کرد ریشه های مربع.

بنابراین، الگوریتم:

1. ریشه مورد نیاز بالا و پایین را به اعدادی که مضرب 10 هستند محدود کنید. بنابراین، محدوده جستجو را به 10 عدد کاهش می دهیم.
2. از این 10 عدد، آنهایی را که قطعاً نمی توانند ریشه باشند، حذف کنید. در نتیجه، 1-2 عدد باقی می ماند.
3. این 1-2 اعداد را مربع کنید. آن که مربع آن برابر با عدد اصلی باشد، ریشه خواهد بود.

قبل از اجرای این الگوریتم، اجازه دهید به هر مرحله جداگانه نگاه کنیم.

محدودیت ریشه

اول از همه، باید بفهمیم که ریشه ما بین کدام اعداد قرار دارد. بسیار مطلوب است که اعداد مضرب ده باشند:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

یک سری اعداد بدست می آوریم:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

این اعداد به ما چه می گویند؟ ساده است: ما مرزها را می گیریم. به عنوان مثال عدد 1296 را در نظر بگیرید. بین 900 و 1600 قرار دارد. بنابراین ریشه آن نمی تواند کمتر از 30 و بزرگتر از 40 باشد.

[کپشن عکس]

همین مورد در مورد هر عدد دیگری که از آن می توانید جذر را پیدا کنید صدق می کند. به عنوان مثال، 3364:

[کپشن عکس]

بنابراین، به جای یک عدد نامفهوم، یک محدوده بسیار خاص دریافت می کنیم که ریشه اصلی در آن قرار دارد. برای محدود کردن بیشتر منطقه جستجو، به مرحله دوم بروید.

حذف اعداد آشکارا غیر ضروری

بنابراین، ما 10 عدد داریم - نامزد برای ریشه. ما آنها را خیلی سریع و بدون تفکر پیچیده و ضرب در یک ستون به دست آوردیم. وقت آن است که ادامه دهیم.

باور کنید یا نه، ما اکنون تعداد نامزدها را به دو نفر کاهش می دهیم - دوباره بدون هیچ محاسبات پیچیده! کافی است قاعده خاص را بدانید. ایناهاش:

آخرین رقم مربع فقط به رقم آخر بستگی دارد شماره اصلی.

به عبارت دیگر، فقط به آخرین رقم مربع نگاه کنید و بلافاصله متوجه می شویم که عدد اصلی به کجا ختم می شود.

تنها 10 رقم وجود دارد که می توانند در جایگاه آخر قرار گیرند. بیایید سعی کنیم دریابیم که وقتی مربع به چه چیزی تبدیل می شوند. به جدول نگاه کنید:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

این جدول گام دیگری برای محاسبه ریشه است. همانطور که می بینید، اعداد در خط دوم نسبت به پنج متقارن بودند. مثلا:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

همانطور که می بینید، رقم آخر در هر دو مورد یکسان است. یعنی مثلاً ریشه 3364 باید به 2 یا 8 ختم شود. از طرف دیگر محدودیت پاراگراف قبل را به خاطر می آوریم. ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

مربع های قرمز نشان می دهد که ما هنوز این رقم را نمی دانیم. اما ریشه در محدوده 50 تا 60 قرار دارد که در آن فقط دو عدد به 2 و 8 ختم می شود:

[کپشن عکس]

همین! از بین همه ریشه های ممکن، ما فقط دو گزینه باقی گذاشتیم! و این در سخت ترین حالت است، زیرا رقم آخر می تواند 5 یا 0 باشد. و سپس تنها یک نامزد برای ریشه ها وجود خواهد داشت!

محاسبات نهایی

بنابراین، ما 2 شماره نامزد باقی مانده است. چگونه می دانید ریشه کدام یک است؟ پاسخ واضح است: هر دو عدد را مربع کنید. عددی که مجذور آن عدد اصلی را می دهد، ریشه خواهد بود.

به عنوان مثال، برای عدد 3364 دو عدد نامزد پیدا کردیم: 52 و 58. بیایید آنها را مربع کنیم:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

همین! معلوم شد که ریشه 58 است! در عین حال برای ساده کردن محاسبات از فرمول مجذورات مجموع و تفاضل استفاده کردم. با تشکر از این، من حتی مجبور نشدم اعداد را در یک ستون ضرب کنم! این یک سطح دیگر از بهینه سازی محاسبه است، اما، البته، کاملا اختیاری است :)

نمونه هایی از محاسبه ریشه ها

البته تئوری خوب است. اما بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.

[کپشن عکس]

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 576 بین کدام اعداد قرار دارد:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

حالا بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم. برابر 6 است. چه زمانی این اتفاق می افتد؟ فقط اگر ریشه به 4 یا 6 ختم شود. دو عدد بدست می آوریم:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر عدد را مربع کنید و آن را با عدد اصلی مقایسه کنید:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عالی! مربع اول برابر با عدد اصلی بود. پس این ریشه است.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

1369 → 9;
33; 37.

مربع آن:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

پاسخ این است: 37.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

2704 → 4;
52; 58.

مربع آن:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

پاسخ را دریافت کردیم: 52. عدد دوم دیگر نیازی به مربع کردن نخواهد داشت.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

4225 → 5;
65.

همانطور که می بینید بعد از مرحله دوم فقط یک گزینه باقی می ماند: 65. این ریشه مورد نظر است. اما بیایید همچنان آن را مربع کنیم و بررسی کنیم:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

همه چیز درست است. پاسخ را یادداشت می کنیم.

نتیجه

افسوس، بهتر نیست. بیایید به دلایل آن نگاه کنیم. دو تا از آنها موجود است:

• در هر امتحان معمولی ریاضی، چه آزمون دولتی یا یک آزمون دولتی واحد، استفاده از ماشین حساب ممنوع است. و اگر یک ماشین حساب به کلاس بیاورید، به راحتی می توانید از امتحان اخراج شوید.
• مثل آمریکایی های احمق نباشید. که مانند ریشه نیستند - نمی توانند دو عدد اول را اضافه کنند. و وقتی کسرها را می بینند، عموما هیستریک می شوند.

قبل از ماشین حساب، دانش‌آموزان و معلمان ریشه‌های مربع را با دست محاسبه می‌کردند. روش های مختلفی برای محاسبه جذر یک عدد به صورت دستی وجود دارد. برخی از آنها فقط یک راه حل تقریبی ارائه می دهند، برخی دیگر پاسخ دقیقی می دهند.

مراحل

فاکتورسازی اولیه

عدد رادیکال را به عواملی که اعداد مربعی هستند، تبدیل کنید.بسته به عدد رادیکال، یک پاسخ تقریبی یا دقیق دریافت خواهید کرد. اعداد مربع اعدادی هستند که می توان کل جذر را از آنها گرفت. فاکتورها اعدادی هستند که وقتی ضرب می شوند، عدد اصلی را می دهند. به عنوان مثال، فاکتورهای عدد 8 2 و 4 هستند، زیرا 2 x 4 = 8، اعداد 25، 36، 49 اعداد مربع هستند، زیرا √25 = 5، √36 = 6، √49 = 7. فاکتورهایی هستند که اعداد مربعی هستند. ابتدا سعی کنید عدد رادیکال را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید.

• برای مثال جذر 400 را (با دست) محاسبه کنید. ابتدا سعی کنید 400 را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید. 400 مضربی از 100 است، یعنی بر 25 بخش پذیر است - این یک عدد مربع است. با تقسیم 400 بر 25 عدد 16 به دست می آید. عدد 16 نیز یک عدد مربع است. بنابراین، 400 را می توان در فاکتورهای مربع 25 و 16، یعنی 25 x 16 = 400 در نظر گرفت.
• این را می توان به صورت زیر نوشت: √400 = √(25 x 16).

1. جذر حاصل ضرب برخی از جمله ها برابر است با حاصل ضرب جذر هر جمله، یعنی √(a x b) = √a x √b. از این قانون استفاده کنید تا جذر هر ضریب مربع را بگیرید و نتایج را ضرب کنید تا پاسخ را پیدا کنید.

   • در مثال ما، ریشه 25 و 16 را بگیرید.
     • √ (25 × 16)
     • √25 x √16
     • 5 × 4 = 20

2. اگر عدد رادیکال به دو عامل مربع تبدیل نشود (و این در بیشتر موارد اتفاق می افتد)، نمی توانید پاسخ دقیق را در قالب یک عدد کامل پیدا کنید. اما شما می توانید با تجزیه عدد رادیکال به یک ضریب مربع و یک عامل معمولی (عددی که کل جذر را نمی توان از آن گرفت) مسئله را ساده کنید. سپس جذر ضریب مربع را می گیرید و ریشه ضریب مشترک را می گیرید.

   • به عنوان مثال، جذر عدد 147 را محاسبه کنید، عدد 147 را نمی توان در دو فاکتور مربع قرار داد، اما می توان آن را به فاکتورهای زیر تقسیم کرد: 49 و 3. مسئله را به صورت زیر حل کنید:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. در صورت لزوم، ارزش ریشه را تخمین بزنید.اکنون می‌توانید با مقایسه آن با مقادیر ریشه‌های اعداد مربعی که نزدیک‌ترین (در دو طرف خط اعداد) به عدد رادیکال هستند، مقدار ریشه را تخمین بزنید (مقدار تقریبی را بیابید). مقدار ریشه را به صورت کسری اعشاری دریافت خواهید کرد که باید در عدد پشت علامت ریشه ضرب شود.

   • بیایید به مثال خود بازگردیم. عدد رادیکال 3 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 1 (√1 = 1) و 4 (√4 = 2) خواهد بود. بنابراین، مقدار √3 بین 1 و 2 قرار دارد. از آنجایی که مقدار √3 احتمالاً به 2 نزدیک تر است تا 1، تخمین ما این است: √3 = 1.7. ما این مقدار را در عدد علامت ریشه ضرب می کنیم: 7 x 1.7 = 11.9. اگر حساب را روی ماشین حساب انجام دهید، 12.13 دریافت خواهید کرد که تقریباً به پاسخ ما نزدیک است.
     • این روش با اعداد زیاد نیز کار می کند. برای مثال √35 را در نظر بگیرید. عدد رادیکال 35 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 25 (√25 = 5) و 36 (√36 = 6) خواهند بود. بنابراین، مقدار √35 بین 5 و 6 قرار دارد. از آنجایی که مقدار √35 بسیار نزدیکتر به 6 است تا 5 (زیرا 35 تنها 1 کمتر از 36 است)، می توان گفت که √35 کمی کمتر از 6 است. بررسی ماشین حساب به ما پاسخ 5.92 را می دهد - ما درست می گفتیم.

4. یک راه دیگر - عدد رادیکال را به عوامل اول تبدیل کنید . عوامل اول اعدادی هستند که فقط بر 1 و خودشان بخش پذیرند. فاکتورهای اول را در یک سری بنویسید و جفت فاکتورهای یکسان را پیدا کنید. چنین عواملی را می توان از علامت ریشه خارج کرد.

   • به عنوان مثال، جذر 45 را محاسبه کنید. عدد رادیکال را به ضرایب اول تبدیل می کنیم: 45 = 9 x 5، و 9 = 3 x 3. بنابراین، √45 = √(3 x 3 x 5). 3 را می توان به عنوان علامت ریشه خارج کرد: √45 = 3√5. اکنون می توانیم √5 را تخمین بزنیم.
   • بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: √88.
     • = √ (2 × 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). شما سه ضریب 2 دریافت کردید. چند تا از آنها را بردارید و آنها را فراتر از علامت ریشه حرکت دهید.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. اکنون می توانید √2 و √11 را ارزیابی کرده و یک پاسخ تقریبی پیدا کنید.

   محاسبه جذر به صورت دستی

   استفاده از تقسیم طولانی

   1. این روش شامل فرآیندی شبیه به تقسیم طولانی است و پاسخ دقیقی را ارائه می دهد.ابتدا یک خط عمودی بکشید که ورق را به دو نیمه تقسیم می کند و سپس به سمت راست و کمی زیر لبه بالایی ورق، یک خط افقی به خط عمودی بکشید. حالا عدد رادیکال را به جفت اعداد تقسیم کنید و از قسمت کسری بعد از نقطه اعشار شروع کنید. بنابراین، شماره 79520789182.47897 به صورت "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" نوشته شده است.

      • برای مثال، جذر عدد 780.14 را محاسبه می کنیم. دو خط بکشید (همانطور که در تصویر نشان داده شده است) و عدد داده شده را به شکل "7 80، 14" در بالا سمت چپ بنویسید. طبیعی است که اولین رقم از سمت چپ یک رقم جفت نشده باشد. پاسخ (ریشه این عدد) را در بالا سمت راست می نویسید.

   2. برای اولین جفت اعداد (یا تک عددی) از سمت چپ، بزرگترین عدد صحیح n را پیدا کنید که مربع آن کوچکتر یا مساوی با جفت اعداد (یا عدد واحد) مورد نظر باشد. به عبارت دیگر، عدد مربعی را که به اولین جفت اعداد (یا عدد منفرد) نزدیکتر است، اما کوچکتر از آن است، از سمت چپ پیدا کنید و جذر آن عدد مربع را بگیرید. شما عدد n را دریافت خواهید کرد. n که پیدا کردید را در بالا سمت راست بنویسید و مربع n را در پایین سمت راست بنویسید.

      • در مورد ما، اولین عدد سمت چپ 7 خواهد بود. بعد، 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. مربع عدد n را که به تازگی پیدا کردید از اولین جفت اعداد (یا تک عددی) سمت چپ کم کنید.نتیجه محاسبه را زیر زیر خط (مربع عدد n) بنویسید.

      • در مثال ما 4 را از 7 کم کنید و 3 بدست آورید.

   4. جفت دوم اعداد را پایین آورده و در کنار مقدار بدست آمده در مرحله قبل یادداشت کنید.سپس عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید و نتیجه را در پایین سمت راست با اضافه کردن "_×_=" بنویسید.

      • در مثال ما، جفت دوم اعداد "80" است. بعد از 3، "80" را بنویسید. سپس، عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید.

   5. جاهای خالی سمت راست را پر کنید.

      • در مورد ما، اگر عدد 8 را به جای خط تیره قرار دهیم، 48 x 8 = 384، که بیش از 380 است. بنابراین، 8 یک عدد بسیار بزرگ است، اما 7 انجام خواهد شد. به جای خط تیره 7 بنویسید و به دست آورید: 47 x 7 = 329. 7 را در بالا سمت راست بنویسید - این رقم دوم در ریشه دوم مورد نظر عدد 780.14 است.

   6. عدد حاصل را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید.نتیجه مرحله قبل را زیر عدد فعلی در سمت چپ بنویسید، تفاوت را پیدا کنید و زیر زیر خط بنویسید.

      • در مثال ما، 329 را از 380 کم کنید، که برابر با 51 است.

   7. مرحله 4 را تکرار کنید.اگر جفت اعدادی که منتقل می‌شوند جزء کسری عدد اصلی است، یک جداکننده (ویرگول) بین قسمت‌های صحیح و کسری در جذر مورد نیاز در بالا سمت راست قرار دهید. در سمت چپ، جفت اعداد بعدی را پایین بیاورید. عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید و نتیجه را در پایین سمت راست با اضافه کردن "_×_=" بنویسید.

      • در مثال ما، جفت اعداد بعدی که باید حذف شوند، قسمت کسری عدد 780.14 خواهد بود، بنابراین جداکننده اعداد صحیح و کسری را در ریشه مربع مورد نظر در سمت راست بالا قرار دهید. 14 را پایین بیاورید و در پایین سمت چپ بنویسید. دو برابر عدد بالا سمت راست (27) 54 است، بنابراین "54_×_=" را در پایین سمت راست بنویسید.

   8. مراحل 5 و 6 را تکرار کنید.به جای خط تیره سمت راست بزرگترین عدد را پیدا کنید (به جای خط تیره باید همان عدد را جایگزین کنید) به طوری که حاصل ضرب کمتر یا مساوی با عدد فعلی سمت چپ باشد.

      • در مثال ما، 549 x 9 = 4941، که کمتر از عدد فعلی در سمت چپ (5114) است. 9 را در بالا سمت راست بنویسید و حاصل ضرب را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید: 5114 - 4941 = 173.

   9. اگر می خواهید رقم های اعشاری بیشتری را برای جذر پیدا کنید، چند صفر در سمت چپ عدد فعلی بنویسید و مراحل 4، 5، و 6 را تکرار کنید. نیاز داشتن.

   درک فرآیند

   برای تسلط بر این روش، عددی را که باید جذر آن را به عنوان مساحت مربع S پیدا کنید، تصور کنید. در این صورت، به دنبال طول ضلع L چنین مربعی خواهید بود. مقدار L را طوری محاسبه می کنیم که L2 = S.

   برای هر عدد در جواب یک حرف بدهید.اجازه دهید اولین رقم در مقدار L (ریشه دوم مورد نظر) را با A نشان دهیم. B دومین رقم، C سوم و غیره خواهد بود.

   برای هر جفت رقم اول یک حرف مشخص کنید.اجازه دهید با S a اولین جفت ارقام را در مقدار S، با S b دومین جفت رقم و غیره را نشان دهیم.

   ارتباط بین این روش و تقسیم طولانی را درک کنید.درست مانند تقسیم، که در آن فقط به رقم بعدی عددی که هر بار تقسیم می کنیم علاقه مندیم، هنگام محاسبه یک جذر، یک جفت رقم را به صورت متوالی کار می کنیم (برای به دست آوردن یک رقم بعدی در مقدار ریشه دوم). .

   1. اولین جفت ارقام Sa از عدد S را در نظر بگیرید (در مثال ما Sa = 7) و جذر آن را پیدا کنید.در این حالت، اولین رقم A از مقدار ریشه دوم مورد نظر، رقمی خواهد بود که مربع آن کوچکتر یا مساوی S a باشد (یعنی ما به دنبال A هستیم به طوری که نابرابری A² ≤ Sa باشد.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • فرض کنید باید 88962 را بر 7 تقسیم کنیم. در اینجا مرحله اول مشابه خواهد بود: اولین رقم عدد قابل تقسیم 88962 (8) را در نظر می گیریم و بزرگترین عددی را انتخاب می کنیم که با ضرب در 7 مقداری کمتر یا مساوی 8 به دست می دهد. یعنی به دنبال آن هستیم. عدد d که نابرابری برای آن درست است: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

خوب، اگر در نظر بگیریم که همین جذر حاصلضرب همان عدد است (یعنی b = a)، آنگاه جذر صد برابر 10 خواهد بود (100 = 10).

لازم به ذکر است که عدد 100 را می توان به صورت حاصل ضرب 25 و 4 نشان داد و سپس جذر هر دو عدد 25 و 4 را محاسبه کرد.

وقتی برای اولین بار مطالعه این موضوع را در مدرسه شروع کردیم، ریشه مربع 100احتمالاً یکی از ساده ترین ها برای درک و محاسبات. معمولاً من به عدد زوج (!) صفر نگاه می کردم و بلافاصله محاسبه می کردم که کدام عدد، ضرب در خودش، رقم زیر جذر را می دهد. به عنوان مثال، اگر 10000 بود، جذر آن عدد خواهد بود یکصد (100x100 = 10000). اگر تعداد زیر مربع ریشه شش صفر است، سپس پاسخ شامل سه صفر خواهد بود. و غیره.

در این حالت فقط دو صفر در عدد وجود دارد که به این معنی است که دو ده بوده است. بنابراین، جذر 100 برابر 10 است.بررسی می کنیم: 10*10 = 100

روش های مختلفی برای محاسبه جذر وجود دارد.

1) یک ماشین حساب یا گوشی هوشمند/تبلت/کامپیوتر با یک برنامه محاسباتی نصب شده بردارید، عدد 100 را وارد کنید و روی نماد ریشه مربع کلیک کنید، که چیزی شبیه به این است:

2) جدول مربع های اعداد تا 100=25*4 را بشناسید.

3) به روش تقسیم.

4) با روش تجزیه به عوامل اول 100=10*10.

از نظر تئوری، اگر همه کارها را به درستی انجام دهید، نتیجه 10 خواهید گرفت.

نمادی که برای نشان دادن یک ریشه مربع استفاده می شود رادیکال نامیده می شود و به این شکل است.

و اگر مجذور اعداد را بدانید، جذر 100 به راحتی قابل استخراج است. 10 × 10 = 100. پس جذر 100 به دنبال تعریف جذر، 10 است.

احتمالاً هر دانش آموزی می داند که عدد 100 حاصل ضرب 10 در 10 است.

از آنجایی که جذر عددی است که وقتی در خودش ضرب شود، یک عبارت رادیکال است، پس جذر صد برابر با عدد 10 است.

اگر 100=10*10 را فراموش کردید، می توانید از خواص ریشه استفاده کنید:

ریشه 100 = ریشه (25*4) = ریشه 25 * ریشه 4.

همه می دانند که 5*5 = 25 و 2*2 = 4. بنابراین، ریشه 100 = 5 * 2 = 10 است.

خوب، اگر این را نمی دانید، می توانید از یک ماشین حساب یا جداول اکسل استفاده کنید، آنها یک فرمول خاص دارند به نام ROOT. در اینجا همه چیز از نظر بصری به نظر می رسد:



امروزه با استفاده از ماشین حساب محاسبه جذر هر عددی بسیار آسان است.

می توانید ریشه مربع 100 را به صورت خوراکی استخراج کنید. پس از همه، مشخص است که آوردن عدد x به مربع، عدد x ضرب در عدد x است.

اگر 10 10 = 100، جذر 100 برابر 10 است.

به سوال پاسخ بدهید: 10 .

جذر در ریاضیات با یک نماد معمولی نشان داده می شود.

جذر یک عدد عددی غیر منفی است که مربع آن برابر با a باشد. از آنجایی که 10^2=100، جذر 100 برابر با 10 است.

اعدادی هستند که به خاطر سپردن ریشه های آنها بسیار آسان است. برای من، این مثلاً 25 است - ریشه 5 خواهد بود، زیرا 5*5=25، 625 ریشه 25 است، زیرا 25*25=625 است.

من همچنین عدد 100 را به عنوان اعداد وارد می کنم - ریشه 10 خواهد بود، 10*10=100 را بررسی کنید. پس درسته

جذر صد؟ به نظر می رسد 10 شود

تصور اینکه شخصی برای یافتن این پاسخ آنلاین شود سخت است، اما اگر تصور کنیم که او کاملاً بی توجه و بی توجه است، پاسخ را می دهم. ریشه دوم عدد 100 10 و همچنین -10 است. بسیاری از منابع آن را اینگونه می نویسند.



جذر 100 دو مقدار دارد: 10 و -10. کسانی که باور ندارند می توانند با ضرب کردن بررسی کنند.

برای استخراج ریشه مربع بدون ماشین حساب، باید به تجزیه عدد زیر ریشه به کوچکترین عوامل متوسل شوید و از آنجا ادامه دهید. بنابراین برای عدد صد:

و بر این اساس ، از اینجا بلافاصله مشخص می شود که جذر صد دقیقاً 10 خواهد بود.

من باید یک قانون را به یاد می آوردم که از مدرسه به یاد داشتم:

اگرچه استخراج ریشه 100 امری ساده است که نیازی به استفاده از ماشین حساب ندارد، زیرا مادام العمر در حافظه جا افتاده است. عدد 100 از ضرب 10 در 10 و در نتیجه عدد بدست می آید 10 و ریشه صد خواهد بود.

جذر چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. مربع وجود دارد ... پس وجود دارد جذر گرفتن!همین. این اقدام ( ریشه دوم) در ریاضیات با این نماد نشان داده شده است:

خود نماد یک کلمه زیبا نامیده می شود " افراطی".

چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است نگاه کنید مثال ها.

جذر 9 چقدر است؟ کدام عدد مربع به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:

اما جذر صفر چیست؟ مشکلی نیست! صفر چه عددی مربع را می سازد؟ بله صفر میده! به معنای:

فهمیدم، جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; 1 4; 9; 5.

تصمیم گرفت؟ واقعا چقدر راحت تره؟!

اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟

آدم شروع به غمگینی می کند... به سادگی و سبکی ریشه هایش اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...

به این دلیل که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها انتقام بی رحمانه ای از آزمون ها و امتحانات می گیرند...

نقطه یک شما باید ریشه ها را از روی دید تشخیص دهید!

جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی هفت بود؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ درست! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49 ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا می توانستند از دست بدهند...

این سختی است استخراج ریشه. مربعمی توانید از هر شماره ای بدون مشکل استفاده کنید. یک عدد را در خودش با یک ستون ضرب کنید - همین. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و ایمن وجود ندارد. ما باید سوار کردنپاسخ دهید و با مربع کردن صحیح بودن آن را بررسی کنید.

این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید، چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ 24 بلافاصله می آید. اگرچه همه آن را دریافت نمی کنند، بله ...

برای کار آزادانه و موفقیت آمیز با ریشه ها، کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو مثلاً 11 و جذر 121 را بخوانید. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این کمک بزرگی در حل مثال ها خواهد بود. دوم حل مثال های بیشتر است. این به شما کمک زیادی می کند تا جدول مربع ها را به خاطر بسپارید.

و بدون ماشین حساب! فقط برای اهداف آزمایشی در غیر این صورت در طول امتحان بی رحمانه سرعتتان را کاهش می دهید...

بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم واضح است. حالا بیایید دریابیم که از چه چیزی می توانیم آنها را استخراج کنیم.

نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!

از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریباً هر کدام از آنها. راحت تر می توان فهمید که از چه چیزی است ممنوع استآنها را استخراج کنید

بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:

برای این کار باید عددی را انتخاب کنیم که مجذور آن -4 به ما بدهد. انتخاب می کنیم.

چیه، مناسب نیست؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین... هیچ عددی نیست که با مجذور شدن به ما عدد منفی بدهد! اگرچه من این اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم). به دانشگاه بروید و خودتان متوجه خواهید شد.

با هر عدد منفی هم همین داستان اتفاق می افتد. از این رو نتیجه گیری:

عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر وجود دارد - معنی ندارد! این یک عملیات ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر حرام است. این واقعیت را محکم به خاطر بسپار!یا به عبارت دیگر:

شما نمی توانید از اعداد منفی جذر مربع استخراج کنید!

اما از بین همه موارد دیگر، ممکن است. به عنوان مثال، محاسبه کاملاً ممکن است

در نگاه اول، این بسیار دشوار است. انتخاب کسرها و مجذور کردن آنها... نگران نباشید. وقتی خواص ریشه ها را درک کنیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!

خوب، کسری. اما هنوز با عباراتی مانند:

خوبه. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن دو عدد به ما می دهد. فقط این عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:

جالب اینجاست که این کسر هرگز تمام نمی شود... چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند. در ریشه های مربع این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:

اگر هنگام حل یک مثال، به چیزی رسیدید که قابل استخراج نیست، مانند:

سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.

شما باید به وضوح معنی نمادها را درک کنید

البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف مثلاً در فرم است

یک جواب کاملا کامل

و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:

این دانش تا حد زیادی به ارزیابی وضعیت در کارهای پیچیده کمک می کند.

نقطه سه حیله گر ترین.

سردرگمی اصلی در کار با ریشه ها از همین نقطه ایجاد می شود. اوست که به توانایی های خودش اعتماد می کند... بیایید با این نکته درست برخورد کنیم!

ابتدا بیایید دوباره جذر چهار عدد از آنها را بگیریم. آیا قبلاً با این ریشه شما را اذیت کرده ام؟) مهم نیست، حالا جالب خواهد شد!

4 چه عددی را مربع می کند؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...

درست. دو اما همچنین منهای دو 4 می دهد مجذور... در ضمن جواب

درست و جواب

اشتباه فاحش مثل این.

پس قضیه چیه؟

در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب... این هم جذر چهار است.

ولی! در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت هستند. حتی یک اصطلاح خاص اختراع شد: از شماره آ- این غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج یک جذر حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، همه چیز ریشه مربع است - حسابی. اگر چه این مورد به طور خاص ذکر نشده است.

خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است با نتایج منفی خود را خسته نکنید ... این هنوز سردرگمی نیست.

سردرگمی هنگام حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.

معادله ساده است، پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):

این پاسخ (البته کاملاً صحیح است) فقط یک نسخه اختصاری است دوپاسخ می دهد:

ایست ایست! درست بالا نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (اما نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (فقط برای درک!) اینگونه بنویسیم:

پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. فقط با براکت جداش کردم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح می بینید که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. از این گذشته، هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه X هایی که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، نتیجه صحیح را به دست می دهند. ریشه پنج (مثبت!) با هر دو مثبت و منفی در معادله ما قرار می گیرد.

مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی، تو همیشهشما دریافت می کنید یکی غیر منفینتیجه مثلا:

زیرا آن - جذر حسابی.

اما اگر معادله درجه دوم را حل می کنید، مانند:

که همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):

زیرا این راه حل معادله است.

امید، جذر چیستشما نکات خود را روشن کرده اید. اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه نکات و مشکلاتی وجود دارد ... متاسفم، سنگ!)

همه اینها در درس های زیر است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

دوباره به تابلو نگاه کردم... و بیا بریم!

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم:

فقط یک دقیقه این یعنی ما می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

فهمیدم؟ این مورد بعدی برای شما است:

آیا ریشه اعداد به دست آمده دقیقاً استخراج نشده اند؟ مشکلی نیست - در اینجا چند نمونه وجود دارد:

اگر دو ضریب وجود نداشته باشد، بلکه بیشتر باشد چه؟ همینطور! فرمول ضرب ریشه با هر تعدادی از عوامل کار می کند:

حالا کاملا به تنهایی:

پاسخ ها:آفرین! موافقم، همه چیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که جدول ضرب را بدانید!

تقسیم ریشه

ما ضرب ریشه ها را مرتب کردیم، حالا بیایید به ویژگی تقسیم برویم.

به شما یادآوری می کنم که فرمول کلی به این صورت است:

به این معنی که ریشه ضریب برابر با ضریب ریشه است.

خوب، بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

این همه علم است. در اینجا یک مثال است:

همه چیز مانند مثال اول صاف نیست، اما، همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

اگر با این عبارت مواجه شدید چه می شود:

شما فقط باید فرمول را در جهت مخالف اعمال کنید:

و این یک مثال است:

ممکن است به این عبارت نیز برخورد کنید:

همه چیز یکسان است، فقط در اینجا باید نحوه ترجمه کسرها را به خاطر بسپارید (اگر یادتان نیست، به موضوع نگاه کنید و برگردید!). یادت میاد؟ حالا بیایید تصمیم بگیریم!

من مطمئن هستم که شما با همه چیز کنار آمدید، اکنون بیایید سعی کنیم ریشه ها را به درجه ارتقا دهیم.

توانمندی

چه اتفاقی می افتد اگر جذر جذر آن مربع باشد؟ ساده است، معنی جذر یک عدد را به خاطر بسپارید - این عددی است که ریشه دوم آن برابر است.

بنابراین، اگر عددی را که جذر آن مساوی است، مربع کنیم، چه چیزی به دست می آید؟

خوب البته، !

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

ساده است، درست است؟ اگر ریشه در درجه دیگری باشد چه؟ خوبه!

همین منطق را دنبال کنید و خواص و اعمال ممکن را با درجه به خاطر بسپارید.

تئوری را در مورد موضوع "" بخوانید و همه چیز برای شما بسیار روشن خواهد شد.

به عنوان مثال، در اینجا یک عبارت است:

در این مثال، درجه زوج است، اما اگر فرد باشد چه؟ مجدداً ویژگی های توان را اعمال کنید و همه چیز را فاکتور بگیرید:

همه چیز با این به نظر واضح است، اما چگونه می توان ریشه یک عدد را به توان استخراج کرد؟ به عنوان مثال، در اینجا این است:

خیلی ساده، درست است؟ اگر مدرک بالاتر از دو باشد چه؟ ما با استفاده از ویژگی های درجه از همان منطق پیروی می کنیم:

خوب، همه چیز روشن است؟ سپس خودتان مثال ها را حل کنید:

و در اینجا پاسخ ها وجود دارد:

وارد شدن زیر علامت ریشه

چه کارهایی را که یاد نگرفتیم با ریشه ها انجام دهیم! تنها چیزی که باقی می ماند تمرین وارد کردن عدد زیر علامت ریشه است!

واقعا آسان است!

فرض کنید یک عدد نوشته شده است

با آن چه کنیم؟ خوب، البته، این سه را زیر ریشه پنهان کنید، به یاد داشته باشید که سه جذر آن است!

چرا ما به این نیاز داریم؟ بله، فقط برای گسترش توانایی‌هایمان هنگام حل مثال‌ها:

این خاصیت ریشه را چگونه دوست دارید؟ آیا زندگی را بسیار آسان تر می کند؟ برای من، دقیقاً همین طور است! فقط باید به خاطر داشته باشیم که فقط می توانیم اعداد مثبت را زیر علامت جذر وارد کنیم.

این مثال را خودتان حل کنید -
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید ببینیم چه چیزی باید دریافت کنید:

آفرین! شما موفق شدید شماره را زیر علامت ریشه وارد کنید! بیایید به چیزی به همان اندازه مهم برویم - بیایید نحوه مقایسه اعداد حاوی یک جذر را بررسی کنیم!

مقایسه ریشه ها

چرا باید یاد بگیریم اعدادی را که دارای جذر هستند مقایسه کنیم؟

بسیار ساده. اغلب، در عبارات بزرگ و طولانی که در امتحان با آن مواجه می شویم، پاسخ غیرمنطقی دریافت می کنیم (یادتان باشد این چیست؟ امروز قبلاً در مورد آن صحبت کردیم!)

باید پاسخ های دریافت شده را مثلاً روی خط مختصات قرار دهیم تا مشخص کنیم کدام بازه برای حل معادله مناسب است. و اینجا مشکل پیش می آید: هیچ ماشین حسابی در امتحان وجود ندارد و بدون آن چگونه می توانید تصور کنید کدام عدد بزرگتر و کدام کمتر است؟ خودشه!

به عنوان مثال، تعیین کنید کدام بزرگتر است: یا؟

شما نمی توانید بلافاصله بگویید. خوب، بیایید از خاصیت disassembled استفاده کنیم که یک عدد را زیر علامت ریشه وارد کنیم؟

سپس ادامه دهید:

خب، بدیهی است که هر چه عدد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است!

آن ها اگر پس از آن، .

از این به طور قاطع نتیجه می گیریم که. و هیچ کس ما را در غیر این صورت متقاعد نمی کند!

استخراج ریشه از اعداد زیاد

قبل از این یک ضریب زیر علامت ریشه وارد کردیم، اما چگونه آن را حذف کنیم؟ شما فقط باید آن را در فاکتورها قرار دهید و آنچه را استخراج می کنید استخراج کنید!

می شد مسیر متفاوتی را در پیش گرفت و به عوامل دیگر گسترش داد:

بد نیست، درست است؟ هر یک از این رویکردها صحیح است، هر طور که می خواهید تصمیم بگیرید.

فاکتورسازی هنگام حل مسائل غیر استاندارد مانند زیر بسیار مفید است:

نترسیم، بلکه عمل کن! بیایید هر عامل زیر ریشه را به عوامل جداگانه تجزیه کنیم:

حالا خودتان آن را امتحان کنید (بدون ماشین حساب! در امتحان نخواهد بود):

آیا این پایان است؟ در نیمه راه توقف نکنیم!

این همه چیز است، آنقدرها هم ترسناک نیست، درست است؟

اتفاق افتاد؟ آفرین، درست است!

حالا این مثال را امتحان کنید:

اما مثال، یک مهره سخت برای شکستن است، بنابراین شما نمی توانید فوراً بفهمید که چگونه به آن نزدیک شوید. اما، البته، ما می توانیم آن را مدیریت کنیم.

خب، فاکتورینگ را شروع کنیم؟ بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که می توانید یک عدد را بر تقسیم کنید (علائم تقسیم پذیری را به خاطر بسپارید):

حالا خودتان آن را امتحان کنید (دوباره بدون ماشین حساب!):

خوب کار کرد؟ آفرین، درست است!

بیایید آن را جمع بندی کنیم

1. جذر (ریشه دوم حسابی) یک عدد غیر منفی عددی غیرمنفی است که مربع آن برابر است.
   .
2. اگر به سادگی جذر چیزی را بگیریم، همیشه یک نتیجه غیر منفی می گیریم.
3. خواص یک ریشه حسابی:
4. هنگام مقایسه ریشه های مربع، لازم است به یاد داشته باشید که هر چه تعداد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است.

جذرش چطوره؟ همه چیز روشن است؟

ما سعی کردیم بدون سر و صدا هر آنچه را که در امتحان باید در مورد جذر بدانید برای شما توضیح دهیم.

نوبت شماست برای ما بنویسید که آیا این موضوع برای شما سخت است یا خیر.

آیا چیز جدیدی یاد گرفتید یا همه چیز از قبل روشن بود؟

در نظرات بنویسید و در امتحانات خود موفق باشید!