خم عرضی مستقیم چیست. خم تمیز وابستگی های دیفرانسیل Zhuravsky

طبقه بندی انواع خمش میله ای

خم شدنبه این نوع تغییر شکل گفته می شود که در آن لحظات خمشی در مقاطع میله بوجود می آیند. میله خمش معمولاً نامیده می شود پرتو.اگر لحظات خمش تنها عوامل نیروی داخلی در مقاطع عرضی باشد ، میله را تجربه می کند خم تمیزاگر لحظات خمش همراه با نیروهای عرضی بوجود آید ، پس چنین خمشی نامیده می شود عرضی

تیرها ، محورها ، شافت ها و سایر جزئیات ساختاری برای خم شدن کار می کنند.

بیایید برخی از مفاهیم را معرفی کنیم. صفحه عبوری از یکی از محورهای اصلی مقطع و محور هندسی میله نامیده می شود هواپیمای اصلیصفحه ای که بارهای خارجی در آن عمل می کنند و باعث خم شدن تیر می شوند ، نامیده می شود هواپیمای نیروخط تقاطع صفحه نیرو با صفحه مقطع میله نامیده می شود خط قدرت.بسته به موقعیت نسبی نیرو و صفحات اصلی تیر ، یک خم مستقیم یا مایل متمایز می شود. اگر صفحه نیرو با یکی از صفحه های اصلی منطبق باشد ، میله تجربه می کند خم مستقیم(شکل 5.1 ، ولی) ، اگر مطابقت ندارد - مورب(شکل 5.1 ، ب)

شکل. 5.1 خم شدن میله: ولی- سر راست؛ ب- مورب

از نظر هندسی ، خم شدن میله با تغییر در انحنای محور میله همراه است. محور راست خطی اولیه میله بهمراه خم شدن منحنی می شود. در خمش مستقیم ، محور منحنی میله در صفحه نیرو ، و در خمش مورب ، در صفحه ای متفاوت از صفحه نیرو قرار دارد.

با مشاهده خم شدن میله لاستیک ، می بینید که بخشی از الیاف طولی آن کشیده شده است ، در حالی که قسمت دیگر فشرده شده است. بدیهی است که بین الیاف کشیده و فشرده میله ، لایه ای از الیاف وجود دارد که نه کشش و نه فشرده سازی را تجربه نمی کنند ، به اصطلاح لایه خنثیخط تقاطع لایه خنثی میله با صفحه مقطع آن نامیده می شود خط مقطع خنثی.

به عنوان یک قاعده ، بارهایی را که بر روی یک پرتو کار می کنند می توان به یکی از سه نوع نسبت داد: نیروهای متمرکز R ،لحظه های متمرکز مبارهای شدت توزیع شده ج(شکل 5.2) قسمت I پرتو ، واقع در بین تکیه گاه ها ، نامیده می شود طول،قسمت دوم پرتو ، واقع در یک طرف پشتیبانی ، - کنسول.

10.1 مفاهیم و تعاریف کلی

خم شوید- این نوعی بارگذاری است که در آن میله با لحظاتی در صفحه هایی که از محور طولی میله عبور می کنند بارگیری می شود.

به میله خمشی تیر یا میله می گویند. در ادامه ، تیرهای راست خطی را در نظر خواهیم گرفت که سطح مقطع آن حداقل دارای یک محور تقارن است.

در مقاومت مواد ، بین خمش صاف ، مایل و پیچیده تمیز داده می شود.

خم صاف- خمشی که در آن تمام نیروهای خم کننده تیر در یکی از صفحات تقارن تیر (در یکی از صفحات اصلی) قرار دارند.

صفحات اصلی اینرسی تیر ، صفحاتی هستند که از محورهای اصلی مقاطع و محور هندسی تیر (محور x) عبور می کنند.

خم مایل- خم شدن ، که در آن بارها در یک صفحه عمل می کنند که با صفحات اصلی اینرسی منطبق نیست.

خم پیچیده- خم شدن ، که در آن بارها در صفحات مختلف (خودسرانه) عمل می کنند.

10.2 تعیین نیروهای خمش داخلی

بیایید دو مورد خمش معمول را در نظر بگیریم: در حالت اول ، پرتو کانتیول با یک لحظه متمرکز Mo خم می شود. در مرحله دوم ، توسط نیروی متمرکز F

با استفاده از روش بخشهای ذهنی و ترکیب معادلات تعادل برای قسمتهای قطع شده تیر ، نیروهای داخلی را در هر دو مورد تعیین می کنیم:

بقیه معادلات تعادل مشخصاً برابر صفر هستند.

بنابراین ، در حالت کلی خم شدن مسطح در بخش پرتو ، از شش نیروی داخلی ، دو نیروی بوجود می آید - لحظه خم شدنМz و نیروی جانبی Qy (یا هنگام خم شدن در مورد محور اصلی دیگر - لحظه خم شدن نیروی من و برش Qz).

در این حالت ، مطابق با دو مورد بارگیری در نظر گرفته شده ، خم شدن صفحه را می توان به صورت خالص و عرضی تقسیم کرد.

خم خالص- خم شدن صفحه ، که در آن فقط یک نیروی از شش نیروی داخلی در بخشهای میله ایجاد می شود - یک لحظه خم شدن (نگاه کنید به مورد اول).

خم شدن عرضی- خم شدن ، که علاوه بر لحظه خمش داخلی ، یک نیروی عرضی در بخشهای میله ایجاد می شود (به مورد دوم مراجعه کنید).

به طور دقیق ، فقط خمش خالص متعلق به انواع ساده مقاومت است. خمش عرضی به طور متداول به عنوان انواع ساده مقاومت شناخته می شود ، زیرا در بیشتر موارد (برای تیرهای به اندازه کافی طولانی) می توان از اثر نیروی عرضی در محاسبات قدرت غافل شد.

هنگام تعیین تلاش های داخلی ، به قانون علائم زیر پایبند خواهیم بود:

1) نیروی عرضی Qy مثبت تلقی می شود اگر بخواهد عنصر در نظر گرفته شده پرتو را در جهت عقربه ساعت بچرخاند.

2) اگر در هنگام خم شدن عنصر پرتو ، الیاف بالایی عنصر فشرده شده و قسمتهای تحتانی کشیده شوند ، لحظه خم شدن Mz مثبت در نظر گرفته می شود (قانون چتر).

بنابراین ، راه حل مسئله تعیین نیروهای خمش داخلی طبق برنامه زیر ساخته می شود: 1) در مرحله اول ، با توجه به شرایط تعادل سازه به عنوان یک کل ، در صورت لزوم ، واکنش های ناشناخته را تعیین می کنیم پشتیبانی ها (توجه داشته باشید که برای یک تیر پرتوی ، واکنش های تعبیه شده را می توان مشاهده کرد و اگر پرتو را از انتهای آزاد در نظر بگیریم مشاهده نمی شود) ؛ 2) در مرحله دوم ، بخشهای مشخصه پرتو را انتخاب می کنیم ، به عنوان مرزهای مقاطع نقاط اعمال نیرو ، نقاط تغییر شکل یا ابعاد تیر ، نقاط اتصال پرتو را در نظر می گیریم. 3) در مرحله سوم ، با توجه به شرایط تعادل عناصر پرتو در هر بخش ، نیروهای داخلی را در مقاطع تیر تعیین می کنیم.

10.3 محدودیت های خمش دیفرانسیل

اجازه دهید برخی از روابط بین نیروهای داخلی و بارهای خمشی خارجی و همچنین ویژگی های مشخصه نمودارهای Q و M را ایجاد کنیم که دانش آنها ساخت نمودارها را تسهیل می کند و به شما امکان می دهد صحت آنها را کنترل کنید. برای راحتی ، ما با: M :Mz ، Q≡Qy نشان خواهیم داد.

اجازه دهید یک عنصر کوچک dx را در بخشی از پرتو با بار دلخواه در مکانی که هیچ نیرو و گشتاور متمرکز وجود ندارد ، انتخاب کنیم. از آنجا که کل پرتو در تعادل است ، بنابراین عنصر dx نیز تحت تأثیر نیروهای برشی ، گشتاورهای خمش و بار خارجی وارد شده به آن در تعادل خواهد بود. از آنجا که Q و M به طور کلی در طول یکدیگر متفاوت هستند

محورهای تیر ، سپس نیروهای برشی Q و Q + dQ ، و همچنین لحظه های خمش M و M + dM ، در بخش های عنصر dx ظاهر می شوند. از شرایط تعادل عنصر انتخاب شده ، بدست می آوریم

اول از دو معادله نوشتاری شرط را می دهد

از معادله دوم ، با نادیده گرفتن اصطلاح q dx (dx / 2) به عنوان مقدار بی نهایت کم از مرتبه دوم ، متوجه می شویم

با توجه به عبارات (10.1) و (10.2) با هم می توانیم بدست آوریم

روابط (10.1) ، (10.2) و (10.3) را دیفرانسیل می نامند وابستگی های D.I. Zhuravsky در خم شدن.

تجزیه و تحلیل وابستگی های دیفرانسیل فوق در خمش ایجاد برخی ویژگی ها (قوانین) برای ساخت نمودار لحظه های خمش و نیروهای برشی را ممکن می کند: الف - در مناطقی که بار توزیع شده q وجود ندارد ، نمودارهای Q با خطوط مستقیم موازی با پایه و نمودارهای M - توسط خطوط مستقیم شیب دار ؛ ب - در مناطقی که بار توزیع شده q روی پرتو اعمال می شود ، نمودارهای Q توسط خطوط مستقیم شیب دار و نمودارهای M با سهمی درجه دوم محدود می شوند.

در این حالت ، اگر نمودار M را "روی یک الیاف کشیده" ترسیم کنیم ، آنگاه تحدب سهمی در جهت عمل q هدایت می شود و قسمت فوقانی در بخشی از قطعه Q قرار دارد که خط پایه را قطع می کند ؛ ج - در بخشهایی که یک نیروی متمرکز به پرتو بر روی نمودار Q اعمال می شود ، جهش هایی به بزرگی و در جهت نیروی داده شده وجود دارد ، و در نمودار M خم هایی با نوک هدایت شده در جهت وجود دارد عمل این نیرو ؛ d - در بخشهایی که یک ممان متمرکز به پرتو روی نمودار Q اعمال می شود ، تغییری ایجاد نخواهد شد و در نمودار M نیز به بزرگی این گشتاور جهش وجود دارد. d - در بخشهایی که Q> 0 ، لحظه M افزایش می یابد ، و در بخشهایی که Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4 تنشهای طبیعی در خم شدن خالص میله مستقیم

حالت خم شدن تخت خالص تیر را در نظر بگیرید و فرمولی برای تعیین تنش های طبیعی برای این حالت تهیه کنید.

توجه داشته باشید که در تئوری الاستیسیته می توان وابستگی دقیقی به تنش های نرمال در خمش خالص بدست آورد ، اما اگر این مسئله با استفاده از روش های مقاومت مواد برطرف شود ، ارائه برخی فرضیات ضروری است.

سه فرضیه در خم شدن وجود دارد:

الف - فرضیه مقاطع مسطح (فرضیه برنولی) - مقاطعی که قبل از تغییر شکل صاف باشند و بعد از تغییر شکل صاف بمانند ، اما فقط در مورد یک خط مشخص بچرخند ، که به آن محور خنثی قسمت پرتو می گویند. در این حالت ، الیاف پرتو که در یک طرف محور خنثی قرار دارند کشیده می شوند و از طرف دیگر فشرده می شوند. الیاف خوابیده در محور خنثی طول خود را تغییر نمی دهند.

ب - فرضیه در مورد ثابت بودن تنش های طبیعی - تنش هایی که در همان فاصله y از محور خنثی عمل می کنند در امتداد عرض میله ثابت هستند ؛

ج - فرضیه عدم وجود فشارهای جانبی - الیاف طولی مجاور بر روی یکدیگر فشار نمی آورند.

سمت ایستایی مسئله

برای تعیین تنش در سطح مقطع تیر ، قبل از هر چیز ، جنبه های استاتیک مسئله را در نظر بگیرید. با استفاده از روش بخش ذهنی و ترکیب معادلات تعادل برای قسمت قطع شده تیر ، نیروهای خمش داخلی را می یابیم. همانطور که قبلاً نشان داده شد ، تنها نیروی داخلی که در مقطع یک میله با خمش خالص عمل می کند ، گشتاور خمش داخلی است ، به این معنی که تنشهای طبیعی مرتبط با آن در اینجا بوجود می آیند.

رابطه بین نیروهای داخلی و تنشهای نرمال در بخش پرتو با در نظر گرفتن تنشها در ناحیه ابتدایی dA ، انتخاب شده در سطح مقطع پرتو A در نقطه با مختصات y و z (محور y برای راحتی به سمت پایین هدایت می شود) پیدا می شود. تجزیه و تحلیل):

همانطور که می بینید ، این مشکل از نظر آماری از نظر داخلی نامشخص است ، زیرا ماهیت توزیع تنش های طبیعی بر روی بخش مشخص نیست. برای حل مسئله ، الگوی هندسی تغییر شکل ها را در نظر بگیرید.

سمت هندسی مسئله

تغییر شکل یک عنصر پرتو به طول dx را در نظر بگیرید که از یک میله خمشی در یک نقطه دلخواه با مختصات x انتخاب شده است. با در نظر گرفتن فرضیه قبلا پذیرفته شده مقاطع صفحه ، پس از خم شدن قسمت پرتو ، با یک زاویه d about در مورد محور خنثی (nd) بچرخید ، در حالی که فیبر ab ، از فاصله خنثی با فاصله y فاصله دارد ، به یک قوس دایره a1b1 ، و طول آن تا اندازه ای تغییر می کند. در اینجا یادآوری می کنیم که طول الیاف خوابیده روی محور خنثی تغییر نمی کند و بنابراین قوس a0b0 (شعاع انحنای آن را با ρ نشان می دهیم) دارای طول مشابه قطعه a0b0 قبل از تغییر شکل a0b0 = dx است.

اجازه دهید تغییر شکل خطی نسبی εx از الیاف ab پرتوی منحنی را پیدا کنیم.

نیروهایی که عمود بر محور پرتو عمل می کنند و در صفحه عبوری از این محور قرار دارند باعث تغییر شکل به نام می شوند خم جانبی... در صورتی که صفحه اقدام نیروهای مذکور – صفحه اصلی ، سپس یک خم عرضی مستقیم (مسطح) وجود دارد. در غیر این صورت ، خم شدن را عرضی مایل می نامند. پرتوي كه عمدتاً تحت خمش قرار دارد ناميده مي شود پرتو 1 .

اساساً ، خم جانبی ترکیبی از خم و برش خالص است. در رابطه با انحنای مقطع به دلیل توزیع ناهموار قیچی در طول ارتفاع ، این سوال وجود دارد که امکان استفاده از فرمول برای تنش طبیعی σ ایکسبر اساس فرضیه مقاطع مسطح برای خمش خالص حاصل شده است.

1 یک پرتو تک دهانه ، به ترتیب در انتهای آن ، یک پشتیبانی ثابت استوانه ای و دیگری استوانه ای قابل حرکت در جهت محور تیر ، نامیده می شود جلگه... یک پرتو با یک مهار و انتهای آزاد دیگر نامیده می شود کنسول... یک تیر ساده با یک یا دو قسمت آویزان بر روی تکیه گاه نامیده می شود کنسول.

اگر علاوه بر این ، مقاطع از مکانهایی که بار اعمال می شود دور شود (در فاصله ای نه کمتر از نصف ارتفاع قسمت میله) ، می توان فرض کرد که مانند خم شدن خالص که الیاف به یکدیگر فشار نمی آورند. این بدان معنی است که هر الیاف تحت کشش یا فشرده سازی تک محوری قرار می گیرد.

تحت عمل یک بار توزیع شده ، نیروهای جانبی در دو بخش مجاور با مقداری برابر متفاوت خواهند بود qdx... بنابراین ، انحنای مقاطع نیز کمی متفاوت خواهد بود. علاوه بر این ، الیاف یکدیگر را تحت فشار قرار می دهند. مطالعه دقیق سوال نشان می دهد که اگر طول میله مننسبت به ارتفاع آن به اندازه کافی بزرگ است ساعت (من/ ساعت> 5) ، سپس حتی با یک بار توزیع شده ، این عوامل تأثیر مهمی بر تنش های طبیعی در سطح مقطع ندارند و بنابراین ممکن است در محاسبات عملی مورد توجه قرار نگیرند.

a B C

شکل. 10.5 شکل 10.6

در بخشهای تحت بارهای متمرکز و نزدیک آنها ، توزیع σ ایکساز قانون خطی منحرف می شود. این انحراف که از نوع محلی است و با افزایش بیشترین تنش ها (در الیاف شدید) همراه نیست ، معمولاً در عمل مورد توجه قرار نمی گیرد.

بنابراین ، با خم شدن عرضی (در صفحه هو) تنشهای طبیعی با فرمول محاسبه می شود

σ ایکس= – [M z(ایکس)/من z]y.

اگر دو مقطع مجاور را روی بخشی از تیر آزاد از بار بکشیم ، در این صورت نیروی عرضی در هر دو بخش یکسان خواهد بود ، به این معنی که انحنای مقاطع یکسان خواهد بود. در این حالت ، هر قطعه فیبر اب(شکل 10.5) به موقعیت جدیدی منتقل خواهد شد یک "ب"، بدون طولانی شدن طولانی تر ، و بنابراین ، بدون تغییر میزان تنش طبیعی.

اجازه دهید تنش های برشی را در سطح مقطع از طریق تنش های زوجی آنها که در مقطع طولی میله عمل می کنند ، تعیین کنیم.

از نوار یک عنصر با طول را انتخاب کنید dx(شکل 10.7 a) بیایید یک فاصله افقی را از فاصله رسم کنیم دراز محور خنثی z، تقسیم عنصر به دو قسمت (شکل 10.7) و تعادل قسمت فوقانی را در نظر بگیرید ، که یک پایه دارد

عرض ب... مطابق با قانون جفت شدن تنش های مماسی ، تنش هایی که در مقطع طولی عمل می کنند برابر با تنش هایی است که در سطح مقطع عمل می کنند. با این حساب ، با فرض تنش های برشی در سایت بتوزیع یکنواخت ، ما از شرایط ΣX = 0 استفاده می کنیم ، بدست می آوریم:

N * - (N * + dN *) +

جایی که: N * حاصل نیروهای عادی σ در مقطع چپ عنصر dx در منطقه "قطع" A * است (شکل 10.7 d):

where: S = گشتاور ساکن قسمت "قطع" مقطع عرضی است (منطقه سایه دار در شکل 10.7 c). بنابراین ، می توانیم بنویسیم:

سپس می توانید بنویسید:

این فرمول در قرن نوزدهم توسط دانشمند و مهندس روسی D.I. ژوراوسکی و نام او را یدک می کشد. و اگرچه این فرمول تقریبی است ، از آنجا که میانگین تنش در عرض برش است ، نتایج محاسبه شده بدست آمده با آن مطابقت خوبی با داده های تجربی دارد

برای تعیین تنش های برشی در یک نقطه دلخواه از مقطع با فاصله y از محور z ، باید:

از نمودار مقدار نیروی عرضی Q که در بخش اعمال می شود را تعیین کنید.

لحظه اینرسی I z از کل بخش را محاسبه کنید.

از این نقطه به موازات صفحه یک صفحه بکشید xzو عرض مقطع را تعیین کنید ب;

گشتاور ایستای منطقه قطع شده S را با توجه به محور اصلی اصلی محاسبه کنید zو مقادیر پیدا شده را در فرمول Zhuravsky جایگزین کنید.

اجازه دهید به عنوان مثال ، تنش های برشی را در سطح مقطع مستطیل تعریف کنیم (شکل 10.6 ، ج). لحظه ایستا در مورد محور zبخشی از بخش بالای خط 1-1 ، که ولتاژ بر روی آن تعیین می شود ، ما به صورت زیر می نویسیم:

طبق قانون یک سهمیه مربع تغییر می کند. عرض بخش که دربرای یک میله مستطیل ثابت است ، بنابراین قانون تغییر در تنشهای برشی نیز سهمی خواهد بود (شکل 10.6 ، c). در y = و y = - تنش های مماسی برابر با صفر و در محور خنثی هستند zآنها به بیشترین ارزش خود می رسند.

برای یک تیر از مقطع دایره ای در محور خنثی ، ما داریم.

تغییر شکل خم شدنشامل خم شدن محور میله مستقیم یا تغییر انحنای اولیه میله مستقیم است (شکل 6.1). بیایید با مفاهیم اساسی که هنگام بررسی تغییر شکل خمش استفاده می شود آشنا شویم.

میله های خمشی نامیده می شوند تیرها.

تمیزخمش گفته می شود ، که در آن لحظه خمش تنها عامل نیروی داخلی است که در سطح مقطع تیر ایجاد می شود.

بیشتر اوقات ، در سطح مقطع میله ، همراه با گشتاور خمش ، یک نیروی عرضی نیز بوجود می آید. به این خم عرضی گفته می شود.

تخت (مستقیم)خمش هنگامی گفته می شود که صفحه عمل لحظه خمش در سطح مقطع از طریق یکی از محورهای اصلی مقطع عبور کند.

چه زمانی خم موربصفحه عمل لحظه خمش مقطع تیر را در امتداد خطی قطع می کند که با هیچ یک از محورهای اصلی مقطع منطبق نیست.

ما مطالعه خود را در مورد تغییر شکل خمش با مورد خم شدن صفحه خالص آغاز می کنیم.

تنش ها و فشارهای طبیعی در خم شدن خالص.

همانطور که قبلاً ذکر شد ، با خم شدن صفحه خالص در سطح مقطع ، از شش عامل نیروی داخلی ، فقط لحظه خم شدن صفر نیست (شکل 6.1 ، ج):

آزمایش های انجام شده بر روی مدل های الاستیک نشان می دهد که اگر شبکه ای از خطوط به سطح مدل اعمال شود (شکل 6.1 ، a) ، سپس با خمش خالص به صورت زیر تغییر شکل می دهد (شکل 6.1 ، ب):

الف) خطوط طولی در امتداد محیط منحنی هستند.

ب) خطوط مقاطع مسطح باقی می ماند.

ج) خطوط خطوط مقاطع در همه جا با الیاف طولی در زاویه های راست قطع می شود.

بر این اساس می توان فرض کرد که در خمش خالص ، مقاطع تیر به صورت مسطح باقی بماند و بچرخد تا در محور خمیده تیر بطور طبیعی باقی بمانند (فرضیه مقاطع مسطح هنگام خم شدن).

شکل. 6.1

با اندازه گیری طول خطوط طولی (شکل 6.1 ، ب) ، می توان دریافت که الیاف فوقانی در هنگام تغییر شکل تیر ، بلندتر شده و قسمت های پایینی کوتاه می شوند. بدیهی است که چنین الیافی را می توانید پیدا کنید که طول آنها بدون تغییر باقی بماند. به مجموعه الیافی گفته می شود که هنگام خم شدن پرتو طول خود را تغییر نمی دهند لایه خنثی (n.s.)... لایه خنثی از سطح مقطع تیر به صورت مستقیم عبور می کند که اصطلاحاً نامیده می شود خط خنثی (n. l.) بخش.

برای استخراج فرمولی که میزان تنشهای طبیعی ناشی از سطح مقطع را تعیین کند ، بخشی از پرتو را در حالت تغییر شکل یافته و تغییر شکل نداده در نظر بگیرید (شکل 6.2).

شکل. 6.2

با دو مقطع بی نهایت کوچک ، یک عنصر از طول را انتخاب کنید
... قبل از تغییر شکل ، مقاطع محدود کننده عنصر
، موازی یکدیگر بودند (شکل 6.2 ، a) ، و پس از تغییر شکل کمی کج شده و زاویه ای را تشکیل می دهند
... طول الیاف خوابیده در لایه خنثی هنگام خم شدن تغییر نمی کند
... اجازه دهید شعاع انحنای اثری از لایه خنثی در صفحه نقاشی را با حرف نشان دهیم ... تغییر شکل خطی یک فیبر دلخواه را تعریف کنید
در یک فاصله از لایه خنثی

طول این الیاف پس از تغییر شکل (طول قوس)
) برابر است با
... با توجه به اینکه قبل از تغییر شکل تمام الیاف دارای طول یکسانی بودند
، ما به این نتیجه می رسیم که طول مطلق فیبر در نظر گرفته شده است

تغییر شکل نسبی آن

واضح است که
، از آنجا که طول فیبر در لایه خنثی تغییر نکرده است. سپس پس از تعویض
گرفتن

(6.2)

در نتیجه ، تغییر شکل طولی نسبی متناسب با فاصله فیبر از محور خنثی است.

بگذارید این فرض را وارد کنیم که الیاف طولی هنگام خم شدن به یکدیگر فشار نمی آورند. بر اساس این فرض ، هر فیبر به طور جداگانه تغییر شکل می دهد ، تحت کشش یا فشرده سازی ساده قرار می گیرد ، که در آن
... با در نظر گرفتن (6.2)

, (6.3)

یعنی تنش های طبیعی با فاصله نقاط برش در نظر گرفته شده از محور خنثی مستقیماً متناسب هستند.

وابستگی (6.3) را برای عبارت لحظه خم جایگزین کنید
در سطح مقطع (6.1)

.

به یاد بیاورید که انتگرال
نشانگر لحظه اینرسی مقطع در مورد محور است

.

(6.4)

وابستگی (6.4) قانون هوک در خم شدن است ، زیرا این تغییر شکل (انحنای لایه خنثی) را مربوط می کند
) با لحظه ای که در بخش فعالیت می کند. ترکیب بندی
سختی مقطع در خم شدن ، N · m 2 نامیده می شود.

جایگزین (6.4) به (6.3)

(6.5)

این فرمول مورد نظر برای تعیین تنش های طبیعی در هنگام خمش خالص یک تیر در هر نقطه از بخش آن است.

به منظور تعیین اینکه در کدام سطح مقطع خط خنثی قرار دارد ، ما مقدار تنش های طبیعی را در بیان جایگزین نیروی طولی می کنیم
و لحظه خم شدن

تا آنجا که
,

;

(6.6)

(6.7)

برابری (6.6) نشان می دهد که محور - محور خنثی مقطع - از مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

برابری (6.7) این را نشان می دهد و - محورهای اصلی بخش.

طبق (6.5) ، بیشترین تنش در الیاف دورتر از خط خنثی حاصل می شود

نگرش لحظه محوری مقاومت مقطع را نشان می دهد در مورد محور مرکزی آن به معنای

مقدار برای ساده ترین سطح مقطع ، موارد زیر است:

برای مقطع مستطیل شکل

, (6.8)

جایی که - سمت مقطع عمود بر محور ;

- قسمت مقطع موازی با محور است ;

برای مقطع گرد

, (6.9)

جایی که قطر مقطع دایره ای است.

شرایط مقاومت خمشی طبیعی را می توان به صورت زیر نوشت

(6.10)

تمام فرمولهای بدست آمده برای خمش خالص یک میله مستقیم بدست می آیند. عمل نیروی عرضی منجر به این واقعیت می شود که فرضیه های اساسی نتیجه گیری اعتبار خود را از دست می دهند. با این حال ، عمل محاسبات نشان می دهد که در مورد خم شدن عرضی تیرها و قاب ها ، هنگامی که در بخش هستید ، علاوه بر لحظه خمش
نیروی طولی هنوز هم عمل می کند
و نیروی جانبی ، می توانید از فرمول های داده شده برای خم شدن خالص استفاده کنید. در این حالت خطا ناچیز است.

برای یک پرتو کنسول پر شده با یک بار توزیع شده شدت kN / m و یک لحظه متمرکز kN تنش های مماسی در یک تنش مماس قابل قبول kN / cm2. ابعاد پرتو متر متر متر

مدل طراحی مسئله در خمش عرضی مستقیم

شکل. 3.12

راه حل مسئله "خم عرضی مستقیم"

تعیین واکنشهای پشتیبانی

واکنش افقی در تعبیه صفر است ، زیرا بارهای خارجی در جهت محور z بر روی تیر عمل نمی کنند.

جهت نیروهای واکنشی باقیمانده را که در مهر و موم بوجود می آیند ، انتخاب می کنیم: واکنش عمودی را هدایت کنید ، به عنوان مثال ، رو به پایین و لحظه را - در جهت عقربه های ساعت. مقادیر آنها از معادلات استاتیک تعیین می شود:

با ترکیب این معادلات ، هنگام چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت ، گشتاور را مثبت می دانیم و اگر جهت آن با جهت مثبت محور y منطبق باشد ، فرافکنی نیرو مثبت است.

از اولین معادله ، لحظه خاتمه را پیدا می کنیم:

از معادله دوم - واکنش عمودی:

مقادیر مثبتی که برای لحظه و واکنش عمودی در خاتمه به دست آوردیم نشان می دهد که جهت آنها را حدس زده ایم.

مطابق با ماهیت بستن و بارگذاری تیر ، طول آن را به دو بخش تقسیم می کنیم. در امتداد مرزهای هر یک از این مقاطع ، چهار مقطع را ترسیم می کنیم (شکل 3.12 را ببینید) ، که در آن با استفاده از روش مقاطع (ROSU) مقادیر نیروهای برشی و گشتاورهای خمش را محاسبه خواهیم کرد.

بخش 1. بیایید قسمت راست پرتو را از نظر ذهنی دور بیندازیم. عمل آن را در سمت چپ باقیمانده با یک نیروی برشی و یک لحظه خمش جایگزین کنید. برای سهولت محاسبه مقادیر آنها ، قسمت راست پرتوی دور ریخته شده را با یک قطعه کاغذ می پوشانیم ، لبه سمت چپ ورق را با بخش مورد نظر تراز می کنیم.

به یاد بیاورید که نیروی برشی ناشی از هر مقطع باید همه نیروهای خارجی (فعال و واکنشی) را که در بخشی از پرتو مورد نظر ما عمل می کنند (یعنی قابل مشاهده است) متعادل کند. بنابراین ، نیروی برشی باید برابر با مجموع جبری تمام نیروهایی باشد که می بینیم.

بیایید قانون علائم مربوط به نیروی برشی را نیز بیان کنیم: یک نیروی خارجی که بر قسمت در نظر گرفته شده تیر حرکت می کند و می خواهد این قسمت را نسبت به مقطع در جهت ساعت بچرخاند ، باعث ایجاد برشی مثبت در مقطع می شود. چنین نیرویی خارجی در مجموع جبری برای تعریف با علامت جمع گنجانده شده است.

در مورد ما ، ما فقط واکنش تکیه گاه را می بینیم ، که بخشی از تیر را که نسبت به بخش اول (نسبت به لبه ورق کاغذ) می بینیم ، خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخاند. از این رو

kN

گشتاور خمش در هر بخش باید لحظه ایجاد شده توسط نیروهای خارجی قابل مشاهده برای ما را نسبت به مقطع مورد بررسی متعادل کند. بنابراین ، برابر است با مجموع جبری لحظه های تمام تلاشهایی که در بخشی از تیر مورد بررسی عمل می کنند ، نسبت به قسمت مورد بررسی (به عبارت دیگر ، نسبت به لبه ورق کاغذ). در این حالت ، بار خارجی ، خم شدن قسمت در نظر گرفته شده پرتو با تحدب به سمت پایین ، باعث ایجاد یک لحظه خمشی مثبت در مقطع می شود. و لحظه ایجاد شده توسط چنین باری در تعریف جبر برای تعریف با علامت جمع گنجانده شده است.

ما شاهد دو تلاش هستیم: واکنش و لحظه خاتمه. با این حال ، نیرو دارای شانه نسبت به بخش 1 برابر با صفر است. از این رو

kN متر

علامت مثبت را گرفتیم زیرا لحظه واکنشی قسمت قابل مشاهده پرتو را با برآمدگی به سمت پایین خم می کند.

بخش 2. مانند قبل ، ما تمام سمت راست تیر را با یک قطعه کاغذ خواهیم پوشاند. اکنون ، برخلاف بخش اول ، این نیرو دارای یک شانه است: بنابراین بنابراین

kN ؛ kN متر

بخش 3. بستن سمت راست تیر ، در می یابیم

kN ؛

بخش 4. سمت چپ تیر را با یک برگ ببندید. سپس

kN متر

kN متر

.

با استفاده از مقادیر پیدا شده ، نمودارهای نیروهای برشی (شکل 3.12 ، ب) و لحظه های خمش را ترسیم می کنیم (شکل 3.12 ، ج).

در بخشهای تخلیه نشده ، نمودار نیروی برشی به موازات محور پرتو و در زیر بار توزیع شده q ، در امتداد یک خط مستقیم مایل به سمت بالا قرار دارد. در زیر واکنش پشتیبانی روی نمودار ، مقدار این واکنش یعنی 40 کیلو نیوتن به پایین کاهش می یابد.

در نمودار لحظه خمش ، شاهد انقباضی در زیر واکنش پشتیبانی هستیم. زاویه خم شدن به سمت واکنش تکیه گاه هدایت می شود. در زیر یک بار توزیع شده q ، نمودار در امتداد یک سهمی درجه دوم تغییر می کند ، که تحدب آن به سمت بار هدایت می شود. در بخش 6 در نمودار ، یک extremeum وجود دارد ، زیرا نمودار نیروی برشی در این مکان در اینجا از یک مقدار صفر عبور می کند.

قطر مقطع مورد نیاز تیر را تعیین کنید

شرایط استرس طبیعی به شرح زیر است:

,

لحظه مقاومت تیر در هنگام خم شدن کجاست؟ برای یک پرتو مقطع دایره ای ، برابر است با:

.

بزرگترین لحظه خمشی در مقدار مطلق در بخش سوم پرتو رخ می دهد: kN سانتی متر

سپس قطر پرتو مورد نیاز توسط فرمول تعیین می شود

سانتی متر.

ما میلی متر را قبول می کنیم. سپس

kN / cm2 kN / cm2.

اضافه ولتاژ است

,

آنچه مجاز است

ما مقاومت پرتو را از نظر بیشترین تنش های برشی بررسی می کنیم

بزرگترین تنشهای برشی ناشی از سطح مقطع یک تیر دایره ای با فرمول محاسبه می شود

,

سطح مقطع کجاست

طبق نمودار ، نیروی برشی با بیشترین مقدار جبری است kN سپس

kN / cm2 kN / cm2 ،

یعنی شرایط مقاومت در برابر تنش های برشی نیز انجام شده است و با حاشیه زیادی.

نمونه ای از حل مسئله "خم عرضی مستقیم" شماره 2

شرایط یک مثال از یک مشکل در یک خم عرضی مستقیم

برای یک پرتو محوری پشتیبانی شده با بار توزیع شده شدت kN / m ، نیروی متمرکز kN و گشتاور متمرکز kN تنش برشی مجاز kN / cm2. Beam span m.

نمونه ای از مسئله خم شدن مستقیم - مدل طراحی

شکل. 3.13

حل مثالی از مسئله خم شدن مستقیم

تعیین واکنشهای پشتیبانی

برای یک پرتو پشتیبانی شده با اتصال متصل ، یافتن سه واکنش پشتیبانی ضروری است: ، و. از آنجا که فقط بارهای عمودی عمود بر محور آن بر روی تیر تأثیر می گذارد ، واکنش افقی یاتاقان محوری ثابت A صفر است:.

جهت واکنش های عمودی و ما خودسرانه انتخاب می کنیم. به عنوان مثال ، بگذارید هر دو واکنش عمودی را به سمت بالا هدایت کنیم. برای محاسبه مقادیر آنها ، دو معادله ایستا می سازیم:

به یاد بیاورید که بار خطی حاصل ، به طور یکنواخت در یک قسمت از طول l توزیع شده ، برابر است ، یعنی برابر با مساحت نمودار این بار است و در مرکز ثقل این نمودار اعمال می شود ، یعنی در وسط طول

;

kN

ما یک بررسی می کنیم:.

به یاد بیاورید نیروهایی که جهت آنها با جهت مثبت محور y منطبق است با علامت بعلاوه روی این محور فرافکنی می شوند:

یعنی درست است

طراحی نیروهای برشی و لحظه های خم شدن

ما طول پرتو را به بخشهای جداگانه تقسیم می کنیم. مرزهای این بخشها نقاط استفاده از تلاشهای متمرکز (فعال و / یا واکنشی) و همچنین نقاط مربوط به ابتدا و انتهای بار توزیع شده است. سه مشکل از این دست در مشکل ما وجود دارد. در امتداد مرزهای این مقاطع ، شش مقطع را ترسیم می کنیم که در آن مقادیر نیروهای برشی و گشتاورهای خمش را محاسبه خواهیم کرد (شکل 3.13 ، a)

بخش 1. بیایید قسمت راست پرتو را از نظر ذهنی دور بیندازیم. برای سهولت محاسبه نیروی برشی و گشتاور خمشی که در این قسمت ایجاد می شود ، قسمت پرتوی دور ریخته شده توسط خود را با یک قطعه کاغذ می پوشانیم ، لبه سمت چپ قطعه کاغذ را با خود مقطع تراز می کنیم.

نیروی برشی در بخش پرتو برابر است با مجموع جبری تمام نیروهای خارجی (فعال و واکنشی) که می بینیم. در این حالت ، ما شاهد واکنش پشتیبانی و بار خطی q هستیم که در یک طول بینهایت کوچک توزیع شده است. بار خطی حاصل صفر است. از این رو

kN

علامت بعلاوه گرفته می شود زیرا نیرو قسمت قابل مشاهده پرتو را نسبت به بخش اول (لبه ورق کاغذ) در جهت عقربه های ساعت می چرخاند.

گشتاور خمش در بخش تیر برابر است با مجموع جبری لحظه های تمام نیروهایی که می بینیم ، نسبت به مقطع مورد بررسی (یعنی نسبت به لبه ورق کاغذ). واکنش پشتیبانی و بار خطی q را می بینیم که در یک طول بی نهایت کوچک توزیع شده است. با این حال ، قدرت شانه صفر دارد. بار خطی حاصل نیز صفر است. از این رو

بخش 2. مانند قبل ، ما تمام سمت راست تیر را با یک قطعه کاغذ خواهیم پوشاند. اکنون می بینیم که واکنش و بار q بر روی طول مقطع تأثیر می گذارد. بار خطی حاصل برابر است با. در وسط یک قسمت طولانی متصل شده است. از این رو

به یاد بیاورید که هنگام تعیین علامت لحظه خمش ، ما بخشی از پرتو قابل مشاهده برای خود را بصورت ذهنی آزاد می کنیم و آن را تصور می کنیم که انگار در قسمت مورد بررسی قرار گرفته است (یعنی لبه سمت چپ ورق کاغذ) به عنوان یک مهر و موم سخت از نظر ذهنی توسط ما نشان داده می شود).

بخش 3. سمت راست را ببندید. ما گرفتیم

بخش 4. سمت راست تیر را با یک ورق ببندید. سپس

اکنون ، برای کنترل درستی محاسبات ، سمت چپ تیر را با یک کاغذ می پوشانیم. ما نیروی متمرکز P ، واکنش پشتیبانی مناسب و بار خطی q را می بینیم که در یک طول بی نهایت کوچک توزیع شده است. بار خطی حاصل صفر است. از این رو

kN متر

یعنی همه چیز درست است.

بخش 5. مانند قبل ، سمت چپ تیر را ببندید. خواهد داشت

kN ؛

kN متر

بخش 6. دوباره ، سمت چپ تیر را ببندید. ما گرفتیم

kN ؛

با استفاده از مقادیر پیدا شده ، نمودارهای نیروهای برشی (شکل 3.13 ، ب) و لحظه های خمش را ترسیم می کنیم (شکل 3.13 ، ج).

اطمینان حاصل می کنیم که در زیر قسمت تخلیه شده ، نمودار نیروی برشی به موازات محور پرتو ، و تحت بار توزیع شده q ، در امتداد یک خط مستقیم که به سمت پایین متمایل است ، حرکت می کند. در نمودار سه جهش وجود دارد: تحت واکنش - 5/37 کیلو نیوتن بالا ، زیر واکنش - 132،5 کیلو نیوتن بالا و زیر نیروی P - 50 کیلو نیوتن پایین.

در نمودار لحظه های خم شدن ، ما شاهد گره های تحت نیروی متمرکز P و زیر واکنش های پشتیبانی هستیم. زوایای انحراف به سمت این نیروها هدایت می شوند. در زیر یک بار توزیع شده با شدت q ، نمودار در امتداد یک سهمی درجه دوم تغییر می کند ، که تحدب آن به سمت بار هدایت می شود. تحت لحظه متمرکز - پرش 60 کیلو نیوتن متر ، یعنی با بزرگی لحظه خود. در بخش 7 در نمودار ، یک extremeum وجود دارد ، زیرا نمودار نیروی برشی برای این بخش از مقدار صفر عبور می کند (). فاصله از قسمت 7 تا تکیه گاه سمت چپ را تعیین کنید.