План-конспект урока по алгебре (6 класс) на тему: "Взаимно обратные числа". Обратные числа

Благодаря тому, что практически во всех современных школах есть необходимое оборудование, чтобы во время уроков демонстрировать детям видеозаписи и различные электронные обучающие ресурсы, появляется возможность лучше заинтересовать учеников в том, или ином предмете или в той, или иной теме. В результате повышается успеваемость учащихся и рейтинг школы в целом.

Ни для кого не секрет, что визуальная демонстрация во время урока помогает лучше запоминать и усваивать определения, задачи и теорию. Если это сопровождается и озвучиванием, то у ученика работают одновременно и зрительная, и слуховая память. Поэтому, видеоуроки считаются одними из наиболее эффективных материалов для обучения.

Есть ряд правил и требований, которым должны соответствовать видео-уроки, чтобы могли быть максимально эффективными и полезными для учеников соответствующего возраста. Фон и цвет текста должны быть выбраны соответствующим образом, размер шрифта должен быть не слишком мелким, чтобы текст могли читать и плохо видящие школьники, однако, и не слишком большим, чтобы раздражать зрение и создавать неудобства и т.п. Особое внимание уделяется и иллюстрациям, - они должны содержаться в меру и не отвлекать от основной темы.

Видеоурок «Взаимно обратные числа» является отличным примером подобного обучающего ресурса. Благодаря нему ученик 6 класса может полностью понять, что такое взаимно обратные числа, как их распознать и как с ними работать.

Урок начинается с простого примера, в котором две обыкновенные дроби 8/15 и 15/8 умножаются друг на друга. Появляется возможность вспомнить правило, по которому, как было изучено ранее, следует умножать дроби. То есть, в числителе следует записать произведение числителей, а в знаменателе - произведение знаменателей. В результате сокращения, что также стоит вспомнить, получается единица.

После данного примера, диктор дает обобщенное определение, которое выводится параллельно на экран. Оно гласит о том, что числа, которые при умножении друг на друга дают в результате единицу, называются взаимно обратными. Определение запоминается очень просто, однако оно закрепится более уверенно в памяти, если привести некоторые примеры.

На экране после определения понятия взаимно обратных чисел выводится ряд произведений чисел, которые в результате выдают единицу.

Чтобы дать обобщенный пример, который не будет зависеть от определенных числовых значений, используются переменные a и b, которые отличны от 0. Почему? Ведь школьники в 6 классе должны прекрасно знать о том, что знаменатель любой дроби не может равняться нулю, а, чтобы показать взаимно обратные числа, не обойтись без расположения данных значений в знаменателе.

После вывода данной формулы и ее комментирования, диктор начинает рассматривать первое задание. Суть состоит в том, что необходимо найти обратное заданной смешанной дроби. Для его решения, дробь записывается в неправильном виде, и меняются местами числитель и знаменатель. Полученный результат и является ответом. Школьник может и самостоятельно его проверить, пользуясь определением взаимно обратных чисел.

Видеоурок не ограничивается данным примером. Следом за предыдущим, на экран выводится еще одно задание, в котором необходимо найти произведение трех дробей. Если ученик проявит внимательность, то он обнаружит, что две из данных дробей являются обратными числами, следовательно, их произведение будет равняться единице. Опираясь свойством умножения, можно в первую очередь умножить взаимно обратные дроби, и в последнюю - умножить результат, т. е. 1, на первую дробь. Диктор подробно объясняет, пошагово демонстрируя на экране весь процесс от начала до конца. Напоследок дается теоретическое обобщенное объяснение свойству умножения, на которое опирались при решении примера.

Чтобы закрепить наверняка знания, стоит попытаться ответить на все вопросы, которые будут выведены в конце урока.

Обратными – или взаимно-обратными – числами называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа . Характерный частный случай взаимно-обратных чисел – пара . Обратными являются, скажем, числа ; .

Как найти обратное число

Правило: нужно 1 (единицу) поделить на данное число.

Пример №1.

Дано число 8. Обратное к нему – 1:8 или (второй вариант предпочтительнее, потому что такая запись математически более корректна).

Когда ищется обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, т.к. запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачивают, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, т.е. такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.

Пример №2.

Дана дробь . Обратная к ней: .

Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из 2 способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.

Пример №3.

Дано число 0,82. Обратное число к нему такое: . Теперь сократим дробь и выделим целую часть: .

Как проверить, являются ли два числа обратными

Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.

Пример №4.

Даны числа 0,125 и 8. Являются ли они обратными?

Проверка. Необходимо найти произведение 0,125 и 8. Для наглядности представим данные числа в виде обыкновенных дробей: (сократим 1-ю дробь на 125) . Вывод: числа 0,125 и 8 являются обратными.

Свойства обратных чисел

Свойство №1

Обратное число существует для любого числа, кроме 0.

Это ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, т.е. фактически делить на него.

Свойство №2

Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2.

Математически это свойство можно выразить неравенством: .

Свойство №3

Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Выразим это свойство математически: .

Пример №5.

Найти значение выражения: 3,4·0,125·8. Поскольку числа 0,125 и 8 являются обратными (см. Пример №4), то умножать 3,4 на 0,125 и затем на 8 нет необходимости. А значит, ответом здесь будет 3,4.

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Взаимно обратные числа. Определение

Определение. Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа - такие числа, произведение которых дает единицу.

Если a · b = 1 , то можно сказать, что число a обратно числу b , так же как и число b обратно числу a .

Самый простой пример взаимно обратных чисел - две единицы. Действительно, 1 · 1 = 1 , поэтому a = 1 и b = 1 - взаимно обратные числа. Другой пример - числа 3 и 1 3 , - 2 3 и - 3 2 , 6 13 и 13 6 , log 3 17 и log 17 3 . Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 2 3 , то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел - натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное данному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a , то обратное ему число запишется в виде 1 a , или a - 1 . Действительно, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби a b - это дробь b a . Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 28 57 обратным числом будет дробь 57 28 , а для дроби 789 256 - число 256 789 .

Число, обратное натуральному числу

Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a 1 . Тогда обратным ему числом будет число 1 a . Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 1 3 , для числа 666 обратное число равно 1 666 , и так далее.

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.

Число, обратное смешанному числу

Смешанное число имеем вид a b c . Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

Например, найдем обратное число для 7 2 5 . Сначала представим 7 2 5 в виде неправильной дроби: 7 2 5 = 7 · 5 + 2 5 = 37 5 .

Для неправильной дроби 37 5 обратным числом будет дробь 5 37 .

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.

Например, есть дробь 5 , 128 . Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5 , 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125 . Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125 641 .

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2 , (18) .

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

2 , 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 + . . . = 2 + 18 · 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

После перевода можем легко записать обратное число для дроби 24 11 . Этим числом, очевидно, будет 11 24 .

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3 , 6025635789 . . . обратное число будет иметь вид 1 3 , 6025635789 . . . .

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

К примеру, обратным числом для π + 3 3 80 будет 80 π + 3 3 , а для числа 8 + е 2 + е обратным числом будет дробь 1 8 + е 2 + е.

Взаимно обратные числа с корнями

Если вид двух чисел отличен от a и 1 a , то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.

Обратимся к практике.

Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4 - 2 3 и 1 + 3 2 .

Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.

4 - 2 3 · 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Запишите число, обратное числу 5 3 + 1 .

Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 1 5 3 + 1 . Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 25 3 - 5 3 + 1 . Получим:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 · 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a . Другими словами, число a , возведенное в степень n . Обратным числу a n будет число a - n . Проверим это. Действительно: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Пример. Взаимно обратные числа со степенями

Найдем обратное число для 5 - 3 + 4 .

Согласно написанному выше, искомое число равно 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Взаимно обратные числа с логарифмами

Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a .

log a b и log b a - взаимно обратные числа.

Проверим это. Из свойств логарифма следует, что log a b = 1 log b a , значит log a b · log b a .

Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами

Найти число, обратное log 3 5 - 2 3 .

Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 3 5 - 2 будет логарифм числа 3 5 - 2 по основанию 3 .

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.

Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z = x + i y . Числом, обратным данному, будет дробь

1 x + i y . Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x - i y .

Пример. Число, обратное комплексному числу

Пусть есть комплексное число z = 4 + i . Найдем число, обратное ему.

Число, обратное z = 4 + i , будет равно 1 4 + i .

Умножим числитель и знаменатель на 4 - i и получим:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

z = r · cos φ + i · sin φ

z = r · e i · φ

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

1 r cos (- φ) + i · sin (- φ)

Убедимся в этом:

r · cos φ + i · sin φ · 1 r cos (- φ) + i · sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r · e i · φ · 1 r e i · (- φ) = r r e 0 = 1

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Найдем число, обратное для 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Учитывая, что r = 2 3 , φ = π 6 , запишем обратное число

3 2 cos - π 6 + i · sin - π 6

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Какое число будет обратным для 2 · e i · - 2 π 5 .

Ответ: 1 2 · e i 2 π 5

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма взаимно обратных чисел

Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2 .

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

a + b 2 ≥ a · b

Если вместо числа b взять число, обратное a , неравенство примет вид:

a + 1 a 2 ≥ a · 1 a a + 1 a ≥ 2

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

Вычислим сумму чисел 2 3 и обратного ему числу.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Как и говорит теорема, полученное число больше двух.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter