При отборе предметного материала мы в первую очередь ориентировались на содержание математики, изучаемое в начальной школе в РФ (1 – 4 классы). В то же время, нам представлялось важным учесть и некоторые тенденции мирового и отечественного образования, которые обязывают рассматривать содержание образования в компетентностном аспекте. Таким образом, разработанный инструмент сделан с расчетом на ближайшую перспективу.

Основное содержание математики в начальной школе группируется вокруг понятия натурального числа. Сюда относится весь традиционный арифметический материал, касающийся как формальной стороны понятия числа (позиционная запись чисел, стандартные алгоритмы действий над числами, порядок выполнения действий, свойства действий), так и содержательной, связанной со счетом предметов и измерением величин (причем большая часть материала, относящегося к понятию величины, осваивается через решение так называемых текстовых задач). Геометрический материал также в значительной степени посвящен измерению и вычислениям (длина и площадь отдельных фигур). Кроме того, дается первоначальное знакомство с обыкновенными дробями, но основное изучение обыкновенных и десятичных дробей приходится на основную школу (5, 6 классы). С введением новых стандартов включен материал, посвященный анализу данных, однако в очень небольшом количестве.

К разделу «Числа и вычисления» относится все, что связано с формальной стороной понятия натурального числа. В основе формального оперирования с натуральными числами (сравнения чисел, вычислений) лежит прежде всего позиционный принцип записи натуральных чисел, на котором построены все стандартные алгоритмы арифметических действий над числами. Кроме того, при вычислениях используются представления о порядке выполнения действий и связи между компонентами действий.

Следующие три раздела отражают различные смысловые аспекты понятия числа (то, для чего служит число). Так, раздел «Измерение величин» включает материал, связанный с понятием величины – сравнением и измерением величин. Основным отношением, конституирующим эту содержательную область, является отношение «единица – измеряемая величина – число», выражаемое именованным числом. Это отношение может устанавливаться разными способами: непосредственным «укладыванием» единицы (отметим, что именно этот способ лежит в основе понятия величины), измерением с помощью приборов (линейка, весы и др.) и вычислением по стандартным формулам, например, по формуле площади прямоугольника, (задания, связанные с косвенным измерением – вычислением по формулам - могут быть отнесены и к содержательной области «Зависимости»).

К указанному разделу примыкают и вопросы, касающиеся собственно прикладного аспекта измерения (практические процедуры измерения, приближенные вычисления, представление результатов измерения в виде диаграмм, графиков, таблиц и т.п.). Однако на данный момент они не включены в содержание математического теста, поскольку предполагалось, что они будут включены в тест по естествознанию («Окружающий мир»).

Другой аспект понятия величины представлен разделом «Зависимости». Он охватывает содержание, связанное с выделением и описанием математической структуры отношений между величинами (моделирование); обычно материалом служат текстовые задачи. Здесь акцент делается уже не на получении результатов измерения величин, а на анализе представления этих результатов и их связей (в том числе анализе текстов), т.е. на логическом аспекте. Если расширять тест, делая его независимым от предмета естествознания, то сюда может быть отнесен и материал, связанный с анализом данных (представлением результатов измерения в виде диаграмм, графиков, таблиц и т.п.).

Раздел «Закономерности», охватывает содержание, связанное с построением числовых и геометрических последовательностей и других структурированных объектов, а также с подсчетом их количественных характеристик. Этот раздел недостаточно представлен в российском начальном образовании, и мы считаем, что объем данного содержания должен быть увеличен, поскольку оно важно в плане развития математического мышления (в первую очередь – алгоритмического и комбинаторного) и может служить пропедевтикой для изучаемого в основной школе понятия функции.

Наконец, пятый раздел, «Элементы геометрии», охватывает содержание, связанное с определением пространственных форм (в данном тесте ограничивается плоскими формами) и взаимным расположением объектов. Раздел выделен в некотором смысле по остаточному принципу, поскольку понятия геометрической формы и расположения работают и при измерении геометрических величин и при структурировании объектов.

Выделенные области, с нашей точки зрения, охватывают основное содержание всех российских программ по математике для начальной школы.

Матрица предметного содержания (математика / начальная школа)

	Средства математического действия (понятия, представления)	Математические действия
Числа и вычисления	позиционный принцип (многозначные числа) свойства арифметических действий порядок действий	сравнение многозначных чисел выполнение арифметических действий с многозначными числами определение порядка действий в выражении. прикидка
Измерение величин	отношение между числом, величиной и единицей отношение «целого и частей» формула площади прямоугольника	прямое измерение длин линий и площадей фигур (непосредственное «укладывание» единицы, «укладывание» единицы с предварительной перегруппировкой частей объекта) косвенное измерение (измерение с помощью приборов, вычисление по формулам)
Закономерности	«индукционный шаг» повторяемость (периодичность)	выявление закономерности в числовых и геометрических последовательностях и других структурированных объектах вычисление количества элементов в структурированном объекте
Зависимости	отношения между однородными величинами (равенство, неравенство, кратности, разностное, «целого и частей») прямая пропорциональная зависимость между величинами производные величины: скорость, производительность труда и др. соотношения между единицами	решение текстовых задач. описание зависимостей между величинами на различных математических языках (представление зависимостей между величинами на чертежах, схемами, формулами и пр.) действия с именованными числами
Элементы геометрии	форма и другие свойства фигур (основные виды геометрических фигур) пространственные отношения между фигурами симметрия	распознавание геометрических фигур определение взаимного расположения геометрических фигур

Тестовые задачи по математике

Первый уровень (формальный)

Раздел 1. Числа и вычисления

Индикаторами первого уровня являются задачи, в которых надо напрямую применить стандартные правила действий с числами:

1) правила записи чисел;

2) правила сравнения чисел;

3) алгоритмы выполнения арифметических действий;

4) правила порядка выполнения арифметических действий;

5) правила связи компонентов арифметических действий (найти неизвестный компонент действия).

Под применением правил не имеется в виду воспроизведение их формулировок, что характерно для традиционной трактовки ЗУНов с различением знания формулировки и умения применять это знание. В данном контексте речь идет только о реальном применении правила (о правиле как способе действия или средстве организации действия), причем безотносительно к способности его озвучить.

В тесте не обязательно охватывать заданиями все алгоритмы и правила. Можно ограничиться проверкой лишь наиболее принципиальных (ошибкоопасных) вариантов их применения. Если правило расчленяется на случаи применения, то желательно проверить все. Задания не должны быть громоздкими, поскольку в данном тесте автоматизированность умений не проверяется.

Примеры задач

Прямое применение алгоритма деления (самого трудного для учащихся). Представлен наиболее принципиальный случай, когда в частном нужно учесть 0, т.е. не пропустить разряд.

Прямое использование правил, определяющих порядок действий. Все дистракторы – это ответы, которые получаются при неправильном порядке выполнения действий. Сами вычисления сведены к минимуму, поскольку в данном случае алгоритмы выполнения вычислений не проверяются.

Раздел 2. Измерение величин

К первому уровню относятся задачи, предполагающие отдельный акт измерения или сравнения величин, в котором напрямую используются известные способы:

Измерение геометрических величин (длины и площади) путем непосредственного укладывания мерки (единицы) или сравнение площадей фигур путем наложения. В учебном процессе при введении понятия величины возможно использовать измерения не только длины и площади, но также объема и массы предметов. Однако в тесте задания такого рода представить затруднительно.

Измерение величин с помощью приборов (линейка, весы, часы и др.). В тесте такие задания могут быть представлены посредством изображения соответствующих ситуаций измерения.

Нахождение значений величин с помощью известных формул и правил (например, формула площади прямоугольника, формула периметра прямоугольника (квадрата), правило вычисления длины ломаной линии).

Применение формулы понимается не только как прямое вычисление, но и как нахождение неизвестного члена (например, по формуле площади прямоугольника можно не только вычислять площадь прямоугольника, зная его стороны, но и находить, например, ширину прямоугольника по его площади и длине).

Примеры задач

Прямое укладывание единицы (мерки).

Рисунок представляет ситуацию одноактного уравновешивания предмета и гирь на весах. Результат напрямую выводится из наглядно представленных условий равновесия.

Описание задания

Первое задание проверяет наши умения проведения вычислений. Это самое простое задание из всего модуля и требует от нас только знания арифметики. В первом задании арифметические действия будут самыми простыми. В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается сложить две дроби: обыкновенную и десятичную. Тем не менее, в соответствии с документами о проведении ОГЭ, учащиеся должны быть готовы и к выполнению некоторых других несложных заданий. Ответом в первом задании является целое число или конечная десятичная дробь.

Тематика заданий: числа и вычисления

Первичный бал: 1

Сложность задания: ♦ ◊◊

Примерное время выполнения: 3 мин.

Теория к заданию №1

Итак, для успешного выполнения необходимо помнить:

1. порядок проведения арифметических операций — сначала производятся действия в скобках, затем возведение в степень или извлечение корня, затем умножения и деления, а затем вычитания и сложения .
2. правила умножения и деления в столбик
3. правила вычисления обыкновенных дробей

Напоминаем правила операций с обыкновенными дробями:

Разбор типовых вариантов задания №1 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Найдите значение выражения:

Решение:

Задачу можно решать разными путями, а именно менять последовательность действий , но этот вариант решения рекомендуется для тех, кто уверен в своих возможностях и знает математику на отлично . Для остальных мы рекомендуем выполнить последовательно действия в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель на знаменатель. Числитель вычислять в данном примере нет необходимости, это число 9.

Вычислим значение знаменателя:

Можно произвести , тогда получим:

4,5 2,5 = 11,25

Либо перевести дробь к простому виду :

4,5 2,5 = 4½ 2 ½ = 9 / 2 5 / 2 = 45 / 4

Последний случай предпочтительней, так как для дальнейшей операции — деления числителя на знаменатель задача упрощается. Делим числитель на знаменатель, умножая числитель на перевернутую дробь в знаменателе:

9 / (45 / 4) = (9 / 1) (4 / 45) = (9 4) / (1 45)

9 и 45 можно сократить на 9:

(9 4) / (1 45) = (1 4)/ (1 5) = 4 / 5 = 8 / 10 = 0,8

Получаем ответ: 0,8

Подводя итог, сделаем выводы:

Удобней сразу переходить к дробям простого вида. Надежней производить вычисления последовательно в числителе и знаменателе.

Второй вариант задания

Найдите значение выражения:

6 (1/3)² - 17 1/3

Решение:

Можно решать задачу напрямую - вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что 1/3 присутствует как в уменьшаемом - 6 (1/3)², так и в вычитаемом - 17 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.

1/3 (6 (1/3) - 17)

Проведя вычисления в скобках, получим:

1/3 (6 (1/3) - 17) = 1/3 (6 /3 - 17) = 1/3 (2 - 17) = 1/3 (-15)

Теперь умножим полученное значение -15 на 1/3:

1/3 (-15) = -5

Какие выводы можно сделать: не всегда стоит стараться решить задачу «в лоб», даже в ОГЭ.

Третий вариант задания

Найдите значение выражения:

Решение:

Аналогично предыдущим заданиям вычисляем знаменатель: для этого приводим дроби к общему знаменателю - это 84. Для этого первую дробь умножаем на 4, а вторую на 3, получим:

1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84

Затем складываем:

4/84 + 3/84 = 7/84

Итак, мы получили в знаменателе 7/84, теперь делим числитель на знаменатель - это все равно что умножить 1 на обратную 7/84 дробь:

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Найдите значение выражения: ¼ + 0,07

Решение:

К данному заданию, как и к большинству заданий 1 модуля Алгебры, подход к решению заключается в переводе дроби от одного вида к другому. В нашем случае это переход от обыкновенной дроби к десятичной.

Переводим ¼ из обыкновенной дроби в десятичную. Делим 1 на 4, получаем 0,25. Затем переписываем выражение с использованием только десятичных дробей и вычисляем:

0,25 + 0,07 = 0,32

Ответ: 0,32

Четвертый вариант задания

Найдите значение выражения:

–0,3·(–10) 4 +4·(–10) 2 –59

Решение:

Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.

–0,3·(–10) 4 +4·(–10) 2 –59 =

Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:

= –0,3·10000+4·100–59 =

Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:

= –3000+400–59 =

Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:

= –2600–59 =

Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:

= –(2600+59) = –2659

Ответ: –2659

Пятый вариант задания

Найдите значение выражения:

–13·(–9,3)–7,8

Решение:

Это задание требует простого умения выполнять арифметические действия с десятичными дробями.

–13·(–9,3)–7,8 =

Сначала выполняем умножение. Умножаем –13 и –9,3 в столбик без учета знаков «–» перед сомножителями. В полученном произведении отделяем одну – последнюю – цифру десятичной запятой:

Знак произведения будет положительным, поскольку умножаются два отрицательных числа. Получаем:

Эту разность можно вычислить в столбик, но можно и устно. Выполним это действие в уме: вычитаем отдельно целые части и десятичные. Получаем.

Тест 1 по теме «Числа и вычисления»

Вариант 1

1. Какому из выражений равно произведение 0,5·0,005·0,00005

1) 5·10-9 2)125·10-9 3)5·10-5 4)125·10-5

2.Укажите наименьшее из чисел: 3/5; 0,41; 5/13; 1/2.

1) 3/5; 2) 0,41; 3) 5/13; 4) ½.

3.Какое из чисел ; ; не является рациональным

1) ; 2) ; 3) 4) ни одно из этих чисел.

4. Сопоставьте числовые выражения и принимаемые ими значения:

Числовые выражения

А) -0,008:0,04 Б) -0,01· ·5 В)

Значения

0,002 2) 0,2 3) -0,2 4) -0,002

5.Запишите в ответе номера неверных равенств:

1) (0,9) 2 = 8,1

2) 0,6·0,8 = 0,7 2 -1

3) · – 0,1 2 ·100 =0

4) 0,6 (0,8–0,7)= 0,6

6. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары:

«Стоимость участия в семинаре – 2000 рублей с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 4 до 10 человек – 5 %; более 10 человек – 8 %». Сколько рублей должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 8 человек?

7. Выразите десятичной дробью 72,5%.

Ответ: _______________________

8. Какие целые числа заключены между числами и ?

1) 51, 52, … 89 2) 7, 8, 9, 10 3) 7, 8, 9 4) 8, 9

9. Население Венесуэлы составляет 2,7·10 7 человек, а ее площадь равна 9·105 км 2 . Чему равна плотность населения Венесуэлы?

1) 30 2) 3 3) 3,3 4) 0,33

10) Вычислите значение выражения (а + b )/(с + b ) при а=2,6; b = – 1,1; с = 1,3

Ответ:__________________

Тест 2 по теме «Алгебраические выражения»

Вариант 1

В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1) 3(x – y) = 3x – y 2 ) (3 + x)(x – 3) = 9 – x 2 3) (x – y) 2 = x 2 – y 2 4) (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9

Разложите квадратный трехчлен на множители х 2 – 4х – 32

(х+8)(х+4); 2) (х–8)(х–4); 3) (х–8)(х+4); 4) (х+8)(х–4)

1) 2) 3) 4)

Пешеход прошел S км. Составьте выражение для вычисления скорости пешехода, если он был в пути а минут (в м/мин).

Из формулы Q = cm ( t 2 – t 1 ) выразите t 2

Ответ:____________

Какое из выражений не имеет смысла при х = 1 и х = –2?

Ответ:__________________

a 2 2) a -4 3) a 8 4) a -2

с с a a В гараже выделили помещение для мойки машин (на рисунке оно показано штриховкой). Какова площадь S оставшейся части гаража? 1)
2)
3)

Тест 3 по теме «Уравнения, системы уравнений»

Вариант 1

Решите уравнение 4х 2 – 13х – 12 =0.

1)0,75; 4 2) -0,75; 4 3) 0,75; -4 4) -0,75; - 4

Корнями какого уравнения являются числа -2; 0; 2?

х 3 –4х=0; 2) х(х 2 –4х+4)=0; 3) х 3 –2х=0; 4) х 3 –4х+4=0

Соотнести квадратные уравнения и их корни.

А) 4 х 2 + 4 х – 15 = 0 Б) 2 х 2 + 7= 0 В) 4 х 2 – 9 = 0

1) –2,5; 1,5 2) –1,5; 1,5 3) 1,5; –2,5 4) корней нет

1) -9; 2) -6; 3) 36; 4) 2

Расстояние между пристанями на реке 12 км. Катер проплыл от одной пристани до другой и вернулся обратно, затратив на весь путь 2 ч 30 мин. Какова скорость течения реки (в км/ч), если собственная скорость катера равна 10 км/ч?

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначена скорость течения реки (в км/ч).

1) 2) х =

3) 4)

Решите систему уравнений

Ответ:_____________

Вычислите координаты точек пересечения параболы у=2х 2 –5 и прямой у=4х–5

(0;2), (-5;3) 2) (-5;0), (2;3) 3) (0;-5), (3;2) 4) (0;-5), (2;3)

Цена товара сначала увеличилась на 20%, а затем уменьшилась на 20%, после чего она стала 6720 рублей. Найдите первоначальную цену товара.

Ответ:______________

Сколько воды нужно добавить к 400 г 80%-ного раствора спирта, чтобы получить 50%-ный раствор спирта?

1) 200 2) 240 3) 160 4) 400

Решите уравнение х 4 –3х 3 +4х 2 –12х=0

Ответ:_____________

Тест 4 по теме « Неравенства, системы неравенств»

Вариант 1

На координатной прямой отмечены числа х, у и z . Какая из следующих разностей отрицательна?

1) х – у 2) у – х 3) z – у 4) z – х

Какое из следующих неравенств не следует из неравенства k > m – n ?

1) n + k >m 2) n > m – n3) m – n – k > 0 4) n – m + k > 0

Сколько целых чисел входит в промежуток (-2; 4]?

6; 2) 7; 3) 5; 4) 4

Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1) х 2 - 16 0 2) х 2 - 16 0 3) х 2 +16 0 4) х 2 +16 0

Решите неравенство : 2 y − 3( y + 4) ≤ y +12 .

1) (− ∞;12] 2) [−12;+ ∞) 3) (− ∞;−12] 4) }