Розв'язання задач за топографічними планами. Вимірювання площі ділянки з прямолінійними межами

називається масштаб, який виражається дробом, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник показує, у скільки разів горизонтальне прокладання лінії місцевості зменшено при зображенні горизонтального прокладання лінії на плані або карті.

Чисельний масштаб- Величина неіменована. Він записується так: 1:1000, 1:2000, 1: 5000 і т.д., причому в такому записі 1000, 2000 та 5000 називається знаменником масштабу М.

Чисельний масштаб свідчить, що в одній одиниці довжини лінії на плані (карті) міститься стільки ж одиниць довжини біля.Так, наприклад, в одній одиниці довжини лінії на плані 1:5000 міститься точно 5000 таких одиниць довжини на місцевості, а саме: один сантиметр довжини лінії на плані 1:5000 відповідає 5000 сантиметрам на місцевості (тобто 50 метрам на місцевості ); в одному міліметрі довжини лінії на плані 1:5000 міститься 5000 міліметрів на місцевості (тобто, в одному міліметрі довжини лінії на плані 1:5000 міститься 500 сантиметрів або 5 метрів на місцевості) і т.д.

Працюючи з планом часом користуються лінійним масштабом.

Лінійний масштаб

- графічна побудова, (рис. 1) яка є зображенням певного чисельного масштабу.
Рис.1

Підставою лінійного масштабуназивається відрізок АВ лінійного масштабу (основна частка масштабу), що дорівнює зазвичай 2 см. Він переводиться у відповідну довжину на місцевості та підписується. Крайню ліву основу масштабу ділять на 10 рівних частин.

Найменший розподіл основи лінійного масштабудорівнює 1/10 основи масштабу.

Приклад: для лінійного масштабу (що використовується при роботі на топографічному плані масштабу 1:2000), показаного на малюнку 1, основа масштабу АВ дорівнює 2 см (тобто 40 метрів на місцевості), а найменший розподіл основи дорівнює 2 мм, що в масштаб 1:2000 відповідає 4 м на місцевості.

Відрізок cd (рис. 1), взятий з топографічного плану масштабу 1:2000, складається з двох підстав масштабу та двох найменших поділів підстави, що, в результаті, відповідає на території 2х40м+2х2м = 88 м.

Більш точне графічне визначення та побудова довжин ліній можна зробити за допомогою іншої графічної побудови – поперечного масштабу (рис. 2).

Поперечний масштаб

– графічна побудова для максимально точного виміру та відкладання відстаней на топографічному плані (карті). Точністю масштабу називається горизонтальний відрізок біля, що відповідає величині 0,1 мм у плані даного масштабу. Ця характеристика залежить від роздільної здатності неозброєного людського ока, яка (роздільна здатність) дозволяє розглянути мінімальну відстань на топографічному плані в 0.1 мм. На території ця величина дорівнюватиме 0.1 мм х М, де М – знаменник масштабу

Основа AB нормального поперечного масштабу так само, як і в лінійному масштабі, а також 2 см. Найменше розподіл основи дорівнює CD = 1/10 АВ = 2мм. Найменше розподіл поперечного масштабу дорівнює cd = 1/10 CD = 1/100 АВ = 0,2мм (що випливає з подібності трикутника BCD і трикутника Bcd).

Таким чином, для чисельного масштабу 1:2000 основа поперечного масштабу буде відповідати 40 м, найменший розподіл основи (1/10 основи) дорівнює 4 м, а найменший розподіл масштабу 1/100 АВ дорівнює 0,4 м.

Приклад: відрізок ав (рис. 2), взятий з плану масштабу 1:2000, відповідає на території 137,6 м (3 основи поперечного масштабу (3х40 = 120 м), 4 найменших поділу основи (4х4 = 16 м) і 4 найменших поділу масштабу (0.4х4=1.6 м), тобто 120+16+1.6=137.6 м).

Зупинимося однією з найважливіших характеристик поняття «масштаб».

Точністю масштабуназивається горизонтальний відрізок біля, що відповідає величині 0,1 мм у плані даного масштабу. Ця характеристика залежить від роздільної здатності неозброєного людського ока, яка (роздільна здатність) дозволяє розглянути мінімальну відстань на топографічному плані в 0.1мм. На території ця величина дорівнюватиме 0.1 мм x М, де М – знаменник масштабу.

Рис.2

Поперечний масштаб дозволяє виміряти довжину лінії на плані (карті) масштабу 1:2000 саме з точністю даного масштабу.

Приклад: 1 мм плану 1:2000 міститься 2000 мм місцевості, а 0,1мм, відповідно, 0,1 x М (мм) = 0.1 x 2000 мм = 200 мм = 20 див, тобто. 0,2м.

Тому при вимірі (побудові) на плані довжини лінії її значення слід округлитиз точністю масштабу. Приклад: при вимірі (побудові) лінії довжиною 58,37 м (рис. 3), її значення масштабу 1:2000 (з точністю масштабу 0,2 м) округляється до 58,4 м, а масштабі 1:500 (точність масштабу 0,05 м) – довжина лінії заокруглюється вже до 58,35 м.

Масштаб – цевідношення довжини лінії на кресленні, плані або карті до довжини відповідної лінії насправді. Він показує, скільки разів відстань на карті зменшено щодо реальної відстані на місцевості. Якщо, наприклад, масштаб географічної карти 1: 1000000, це означає, що 1 см на карті відповідає 1 000 000 см на місцевості, або 10 км.

Розрізняють чисельний, лінійний та іменований масштаби .

Чисельний масштаб зображується у вигляді дробу, у якого чисельник дорівнює одиниці, а знаменник – число, що показує, скільки разів зменшено лінії на карті (плані) щодо ліній на місцевості. Наприклад, масштаб 1:100 000 показує, що всі лінійні розміри на карті зменшено у 100 000 разів. Очевидно, що більше знаменник масштабу, то масштаб дрібніший, при меншому знаменнику — більший. Чисельний масштаб – це дріб, тому чисельник та знаменник даються в однакових вимірах (сантиметрах).

Лінійний масштаб є пряму лінію, розділену на рівні відрізки. Ці відрізки відповідають певній відстані на місцевості, що зображується; розподілу позначаються цифрами. Міра довжини, за якою нанесені поділки на масштабній лінійці, називаються основою масштабу. У нашій країні основу масштабу прийнято рівним 1 см. Кількість метрів або кілометрів, що відповідає основі масштабу, називають величиною масштабу. При побудові лінійного масштабу цифру 0 , від якої починається відлік поділів, зазвичай ставлять не біля самого кінця масштабної лінії, а відступивши на один поділ (основа) праворуч; на першому ж відрізку ліворуч від 0 наносять найменші поділки лінійного масштабу – міліметри. Відстань на місцевості, що відповідає одному найменшому розподілу лінійного масштабу, відповідає точності масштабу, а 0,1 мм – граничної точності масштабу. Лінійний масштаб у порівнянні з чисельним має ту перевагу, що дає можливість без додаткових обчислень визначати дійсну відстань на плані та карті.

Іменований масштаб – масштаб, виражений словами, наприклад, 1 см 32 км.

Вимірювання відстаней на карті та плані.

Вимірювання відстаней за допомогою масштабу. Потрібно прокреслити пряму лінію (якщо потрібно дізнатися відстань по прямій) між двома точками і за допомогою лінійки виміряти цю відстань у сантиметрах, а потім помножити отримане число на величину масштабу. Наприклад, на карті масштабу 1: 100 000 (в 1 см 1 км) відстань дорівнює 5 см, Т. е. на місцевості ця відстань становить 1 * 5 = 5 (км). Вимірювати відстань по карті можна і за допомогою циркуля-вимірника. І тут зручно користуватися лінійним масштабом.

Вимірювання відстаней за допомогою градусної мережі.Для розрахунку відстаней по карті чи глобусу можна використовувати такі величини: довжина дуги 1°меридіана та 1°екватора дорівнює приблизно 111 км. Для меридіанів це правильно завжди, а довжина дуги 1° по паралелях зменшується до полюсів. На екваторі його можна також прийняти 111 км. А на полюсах – 0 (Тобто полюс - це точка). Тому необхідно знати число кілометрів, що відповідає довжині 1° дуги кожної конкретної паралелі. Щоб визначити відстань у кілометрах між двома пунктами, що лежать на одному меридіані, обчислюють відстань між ними у градусах, а потім кількість градусів множать на 111 км. Для визначення відстані між двома точками на екваторі також потрібно визначити відстань між ними в градусах, а потім помножити на 111 км.

ВСТУП

Топографічна карта є зменшенеузагальнене зображення місцевості, яке показує елементи за допомогою системи умовних знаків.
Відповідно до вимог топографічні карти відрізняються високою геометричною точністюта географічною відповідністю. Це забезпечується їх масштабом, геодезичною основою, картографічними проекціями та системою умовних знаків.
Геометричні властивості картографічного зображення: розміри та форма ділянок, зайнятих географічними об'єктами, відстані між окремими пунктами, напрямки від одного до іншого – визначаються його математичною основою. Математична основакарт включає як складові частини масштаб, геодезичну основу та картографічну проекцію.
Що є масштаб карти, які види масштабів бувають, як побудувати графічний масштаб і як користуватися масштабами розглянемо на лекції.

6.1. ВИДИ МАСШТАБІВ ТОПОГРАФІЧНИХ КАРТ

При складанні карт та планів горизонтальні проекції відрізків зображують на папері у зменшеному вигляді. Ступінь такого зменшення характеризується масштабом.

Масштаб картки (плану) - відношення довжини лінії на карті (плані) до довжини горизонтального прокладання відповідної лінії місцевості

m = l До : d M

Масштаб зображення невеликих ділянок на всій топографічній карті практично постійний. У цих випадках можна вважати масштабом довжини відношення довжини лінії на карті до довжини відповідної лінії на місцевості.

Масштаб вказується на картах у різних варіантах

6.1.1. Чисельний масштаб

Чисельний масштаб виражають у вигляді дробу з чисельником 1(Аліквотний дріб).

Або

Знаменник Мчисельного масштабу показує ступінь зменшення довжин ліній на карті (плані) стосовно довжин відповідних ліній біля. Порівнюючи між собою чисельні масштаби, більшим називають той, у якого знаменник менший.
Використовуючи чисельний масштаб карти (плану), можна визначити горизонтальне прокладання dмлінії на місцевості

приклад.
Масштаб картки 1:50 000. Довжина відрізка на карті lК= 4,0 див. Визначити горизонтальне прокладання лінії біля.

Рішення.
Помноживши величину відрізка на карті в сантиметрах на знаменник чисельного масштабу, отримуємо горизонтальне прокладання в сантиметрах.
d= 4,0 см × 50 000 = 200 000 см, або 2000 м, або 2 км.

Зверніть увагу те що, що чисельний масштаб є величина абстрактна, яка має конкретних одиниць виміру.Якщо чисельник дробу висловити у сантиметрах, те й знаменник матиме самі одиниці виміру, тобто. сантиметри.

Наприклад, масштаб 1:25 000 означає, що 1 сантиметр карти відповідає 25 000 сантиметрів місцевості, або 1 дюйм карти відповідає 25 000 дюймів місцевості.

Для задоволення потреб господарства, науки та оборони країни необхідні карти різних масштабів. Для державних топографічних карт, лісовпорядних планшетів, планів лісництв та лісонасаджень визначено стандартні масштаби. масштабний ряд(Табл. 6.1, 6.2).

Масштабний ряд топографічних карт

Таблиця 6.1.

Чисельний масштаб	Назва картки	1 см картки відповідає на території відстані	1 см2 картки відповідає біля площі
	П'ятитисячна		0,25 га
	Десятитисячна
	Двадцятип'ятитисячна		6,25 га
	П'ятдесятитисячна
	Стотисячна
	Двохсоттисячна
	П'ятисоттисячна
	Мільйонна

Раніше цей ряд включав масштаби 1: 300 000 і 1: 2 000.

6.1.2. Іменований масштаб

Іменованим масштабом називають словесне вираз чисельного масштабу.Під чисельним масштабом на топографічній карті є напис, що пояснює, скільки метрів або кілометрів на місцевості відповідає одному сантиметру карти.

Наприклад, на карті під чисельним масштабом 1:50 000 записано: "в 1 сантиметрі 500 метрів". Цифра 500 у цьому прикладі є величина іменованого масштабу .
Використовуючи іменований масштаб карти, можна визначити горизонтальне прокладання dмлінії на території. Для цього необхідно величину відрізка, виміряну на карті сантиметрів, помножити на величину іменованого масштабу.

приклад. Іменований масштаб карти – «в 1 сантиметрі 2 кілометри». Довжина відрізка на карті lК= 6,3 див. Визначити горизонтальне прокладання лінії біля.
Рішення. Помноживши величину відрізка виміряного на карті в сантиметрах на величину іменованого масштабу, отримуємо горизонтальне прокладання кілометрів біля.
d= 6,3 см × 2 = 12,6 км.

6.1.3. Графічні масштаби

Щоб уникнути математичних обчислень та прискорити роботу на карті, користуються графічними масштабами . Таких масштабів два: лінійний і поперечний .

Лінійний масштаб

Для побудови лінійного масштабу вибирають вихідний відрізок, зручний для цього масштабу. Цей вихідний відрізок ( а) називають основою масштабу (Рис. 6.1).

Мал. 6.1. Лінійний масштаб. Вимірюваний відрізок біля
буде CD = ED + CE = 1000 м + 200 м = 1200 м.

Основу відкладають на прямій лінії необхідну кількість разів, крайню ліву основу ділять на частини (відрізок) b), які будуть найменшими поділами лінійного масштабу . Відстань на місцевості, що відповідає найменшому розподілу лінійного масштабу, називають точністю лінійного масштабу .

Порядок користування лінійним масштабом:

• праву ніжку циркуля поставити одне з поділів праворуч від нуля, а ліву ніжку - на ліву основу;
• Довжина лінії складається з двох відліків: відлік цілих основ та відліку поділів лівої основи (рис. 6.1).
• Якщо відрізок на карті довше побудованого лінійного масштабу, його вимірюють частинами.

Поперечний масштаб

Для більш точних вимірів користуються поперечним масштабом (Рис. 6.2, б).

Рис 6.2. Поперечний масштаб. Виміряна відстань
PK = TK + PS + ST = 1 00 +10 + 7 = 117 м.

Для його побудови на відрізку прямої лінії відкладають декілька підстав масштабу ( a). Зазвичай довжина основи становить 2 см або 1 см. В отриманих точках встановлюють перпендикуляри до лінії АBі проводять через них десять паралельних ліній через рівні проміжки. Крайню ліву основу зверху та знизу ділять на 10 рівних відрізків та з'єднують їх косими лініями. Нульову точку нижньої основи з'єднують з першою точкою Зверхньої основи і так далі. Отримують ряд паралельних похилих ліній, які називають трансверсалями.
Найменший поділ поперечного масштабу дорівнює відрізку C 1 D 1 , (Рис. 6. 2, а). На таку довжину відрізняється сусідній паралельно розташований відрізок під час руху вгору по трансверсалі 0Ста по вертикальній лінії 0Д.
Поперечний масштаб із основою 2 см, називають нормальним . Якщо основа поперечного масштабу розділена на десять частин, його називають сотенним . У сотному масштабі ціна найменшого поділу дорівнює одній сотій частці основи.
Поперечний масштаб гравіюють на металевих лінійках, які називають масштабними.

Порядок користування поперечним масштабом:

• циркулем-вимірником зафіксувати довжину лінії на карті;
• праву ніжку циркуля поставити на цілий поділ основи, а ліву - на будь-яку трансверсаль, при цьому обидві ніжки циркуля повинні розташовуватися на лінії, паралельній лінії AB;
• довжина лінії складається з трьох відліків: відлік цілих основ, плюс відлік поділів лівої основи, плюс відлік поділів вгору трансверсалі.

Точність виміру довжини лінії з допомогою поперечного масштабу оцінюється половиною ціни найменшого поділу.

6.2. РІЗНОВИДНОСТІ ГРАФІЧНИХ МАСШТАБІВ

6.2.1. Перехідний масштаб

Іноді на практиці доводиться користуватися картою або аерознімком, масштаб яких не є стандартним. Наприклад, 1:17500, тобто. 1 см на карті відповідають 175 м на місцевості. Якщо побудувати лінійний масштаб із основою 2 див, то найменше розподіл лінійного масштабу у своїй буде 35 м. Оцифрування такого масштабу викликає труднощі під час виконання практичних робіт.
Щоб спростити визначення відстаней по топографічній карті, надходять у такий спосіб. Основу лінійного масштабу приймають не 2 см, а розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу метрів - 100, 200, і т.д.

приклад. Потрібно розрахувати довжину основи відповідного 400 м для карти масштабу 1:17500 (в одному сантиметрі 175 метрів).
Щоб визначити, які розміри на карті масштабу 1:17 500 матиме відрізок завдовжки 400 м, складаємо пропорції:
на місцевості на плані
175 м 1 см
400 м Х см
Х см = 400 м 1 см / 175 м = 2,29 см.

Вирішивши пропорцію, робимо висновок: основа перехідного масштабу в сантиметрах дорівнює величині відрізка біля метрах ділена на величину іменованого масштабу метрах.Довжина основи в нашому випадку
а= 400/175 = 2,29 см.

Якщо тепер побудувати поперечний масштаб із довжиною основи а= 2,29 см, то один розподіл лівої основи буде відповідати 40 м (рис. 6.3).

Мал. 6.3. Перехідний лінійний масштаб.
Виміряна відстань АС = НД + АВ = 800 +160 = 960 м.

Для більш точних вимірів на картах та планах будують поперечний перехідний масштаб.

6.2.2. Масштаб кроків

Використовують цей масштаб для визначення відстаней, виміряних кроками під час окомірної зйомки. Принцип побудови та використання масштабу кроків подібний до перехідного масштабу. Основу масштабу кроків розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу кроків (пар, трійок) - 10, 50, 100, 500.
Для розрахунку величини основи масштабу кроків необхідно визначити масштаб зйомки та розрахувати середню довжину кроку ШСР.
Середню довжину кроку (пари кроків) розраховують відомою відстані, пройденому у прямому і зворотному напрямках. Розділивши відому відстань на кількість пройдених кроків, одержують середню довжину одного кроку. При нахилі земної поверхні кількість пройдених кроків у прямому та зворотному напрямках буде різною. Під час руху у бік підвищення рельєфу крок буде коротшим, а у зворотний бік – довшим.

приклад. Відома відстань 100 м виміряна кроками. У прямому напрямку пройдено 137 кроків, а у зворотному – 139 кроків. Розрахувати середню довжину одного кроку.
Рішення. Усього пройдено: Σ м = 100 м + 100 м = 200 м. Сума кроків складає: Σ ш = 137 ш + 139 ш = 276 ш. Середня довжина одного кроку становить:

ШСР= 200/276 = 0,72 м.

Зручно працювати з лінійним масштабом, коли масштабна лінія розмічена через 1 – 3 см, а розподіли підписані круглим числом (10, 20, 50, 100). Очевидно, величина одного кроку 0,72 м у будь-якому масштабі матиме вкрай малі значення. Для масштабу 1:2 000 відрізок на плані становитиме 0,72 / 2 000 = 0,00036 м або 0,036 см. Десять кроків, у відповідному масштабі, будуть виражені відрізком 0,36 см. Найбільш зручною основою даних умов, на думку автора, буде величина 50 кроків: 0,036×50 = 1,8 см.
Для тих, хто вважає кроки парами, зручною основою буде 20 пар кроків (40 кроків) 0,036×40 = 1,44 см.
Довжину основи масштабу кроків можна також вирахувати з пропорцій або за формулою
а = (ШСР × КШ) / М
де: ШСР -середня величина одного кроку в сантиметрах,
КШ -кількість кроків на основі масштабу ,
М -знаменник масштабу.

Довжина основи для 50 кроків у масштабі 1:2 000 з довжиною одного кроку рівним 72 см складатиме:
а= 72 × 50/2000 = 1,8 см.
Щоб побудувати масштаб кроків для прикладу, необхідно горизонтальну лінію розділити на відрізки рівні 1,8 см, а ліву основу розділити на 5 або 10 рівних частин.

Мал. 6.4. Масштаб кроків.
Виміряна відстань АС = НД + АВ = 100 + 20 = 120 ш.

6.3. ТОЧНІСТЬ МАСШТАБУ

Точність масштабу (гранична точність масштабу) – це відрізок горизонтального прокладання лінії, що відповідає 0,1 мм на плані. Значення 0,1 мм визначення точності масштабу прийнято через те, що це мінімальний відрізок, який людина може розрізнити неозброєним оком.
Наприклад, для масштабу 1:10 000 точність масштабу дорівнюватиме 1 м. У цьому масштабі 1 см на плані відповідає 10 000 см (100 м) на місцевості, 1 мм - 1 000 см (10 м), 0,1 мм - 100 см (1 м). З наведеного прикладу випливає, що якщо знаменник чисельного масштабу поділити на 10 000, то отримаємо граничну точність масштабу в метрах.
Наприкладдля чисельного масштабу 1:5 000 гранична точність масштабу буде 5 000 / 10 000 = 0,5м.

Точність масштабу дозволяє вирішувати два важливі завдання:

• визначення мінімальних розмірів об'єктів та предметів місцевості, що зображуються в даному масштабі, та розмірів об'єктів, які у даному масштабі неможливо зобразити;
• встановлення масштабу, в якому слід створювати карту, щоб на ній зобразилися предмети та об'єкти місцевості із заздалегідь визначеними мінімальними розмірами.

Практично приймається, що довжина відрізка на плані чи карті може бути оцінена з точністю 0,2 мм. Горизонтальна відстань на місцевості, що відповідає в даному масштабі 0,2 мм (0,02 см) на плані, називається графічною точністю масштабу . Графічна точність визначення відстаней на плані або карті може бути досягнута лише при використанні поперечного масштабу.
Слід мати на увазі, що при вимірах на карті взаємного положення контурів точність визначається не графічною точністю, а точністю самої карти, де помилки можуть становити в середньому 05 мм внаслідок впливу інших, крім графічних, похибок.
Якщо врахувати похибку самої карти і похибку вимірювань на карті, можна зробити висновок, що графічна точність визначення відстаней на карті в 5 - 7 гірше граничної точності масштабу, тобто становить 0,5 - 0,7 мм у масштабі карти.

6.4. ВИЗНАЧЕННЯ НЕВІДОМОГО МАСШТАБУ КАРТИ

У тих випадках, коли з якоїсь причини масштаб на карті відсутній (наприклад, обрізаний при склеюванні), він може бути визначений одним із таких способів.

• По координатній сітці . Потрібно виміряти відстань на карті між лініями координатної сітки та визначити, через яку кількість кілометрів проведені ці лінії; цим визначиться і масштаб карти.

Наприклад, координатні лінії позначені числами 28, 30, 32 і т. д. (за західною рамкою) та 06, 08, 10 (по південній рамці). Зрозуміло, що лінії проведено за 2 км. Відстань на карті між сусідніми лініями дорівнює 2 см. Звідси випливає, що 2 см на карті відповідають 2 км на місцевості, а 1 см на карті – 1 км на місцевості (іменований масштаб). Значить масштаб карти буде 1:100 000 (в 1 сантиметрі 1 кілометр).

• За номенклатурою аркуша картки. Система позначень (номенклатура) аркушів карт кожного масштабу цілком визначена, тому, знаючи систему позначень, неважко дізнатися масштаб карти.

Аркуш карти масштабу 1:1 000 000 (мільйонної) позначається однією з букв латинського алфавіту і одним із чисел від 1 до 60. Система позначень карт більших масштабів має в своїй основі номенклатуру листів мільйонної картки і може бути представлена ​​такою схемою:

1:1 000 000 - N-37
1:500 000 - N-37-Б
1:200 000 - N-37-X
1:100 000 - N-37-117
1:50 000 - N-37-117-А
1:25 000 - N-37-117-А-г

Залежно від розташування картки, літери та числа, що становлять його номенклатуру, будуть різні, але порядок і кількість літер та чисел у номенклатурі аркуша карти даного масштабу будуть завжди однакові.
Таким чином, якщо карта має номенклатуру М-35-96, то порівнявши її з наведеною схемою, можна відразу сказати, що масштаб цієї карти буде 1:100 000.
Докладніше про номенклатуру карт див. Главу 8.

• Відстань між місцевими об'єктами. Якщо на карті є два об'єкти, відстань між якими на місцевості відома або може бути виміряна, то для визначення масштабу потрібно число метрів між цими предметами на місцевості розділити число сантиметрів між зображеннями цих предметів на карті. В результаті отримаємо число метрів в 1 см цієї картки (найменований масштаб).

Наприклад, відомо, що відстань від н. Кувечине до оз. Глибоке 5 км. Вимірявши цю відстань на карті, отримали 4.8 см. Тоді
5000 м/4,8 см = 1042 м в одному сантиметрі.
Карти в масштабі 1:104 200 не видаються, тому виконуємо округлення. Після заокруглення матимемо: 1 см картки відповідає 1 000 м місцевості, тобто масштаб карти 1:100 000.
Якщо на карті є дорога з кілометровими стовпами, то масштаб найзручніше визначати, на відстані між ними.

• За розмірами довжини дуги однієї хвилини меридіана . Рамки топографічних карт по меридіанам та паралелях мають поділки у хвилинах дуги меридіана та паралелі.

Однією хвилиною дуги меридіана (за східною чи західною рамкою) відповідає біля відстань 1852 м (морська миля). Знаючи це, можна визначити масштаб карти так само, як і на відомій відстані між двома об'єктами місцевості.
Наприклад, Хвилинний відрізок по меридіану на карті дорівнює 1,8 см. Отже, в 1 см на карті буде 1852: 1,8 = 1030 м. Зробивши округлення, отримуємо масштаб карти 1:100 000.
У наших обчисленнях отримано наближені значення масштабів. Це сталося через наближеність взятих відстаней і неточність їх вимірювання на карті.

6.5. ТЕХНІКА ВИМІРЮВАННЯ ТА ВІДКЛАДАННЯ ВІДСТАН НА КАРТІ

Для вимірювання відстаней по карті використовують міліметрову або масштабну лінійку, циркуль-вимірювач, а для вимірювання кривих ліній – курвіметр.

6.5.1. Вимірювання відстаней міліметровою лінійкою

Міліметровою лінійкою виміряти відстань між заданими точками на карті з точністю 0,1 см. Отримане число сантиметрів помножити на величину іменованого масштабу. Для рівнинної місцевості результат відповідатиме відстані на місцевості за метри або кілометри.
приклад.На карті масштабу 1: 50 000 (1 см - 500 м) відстань між двома точками дорівнює 3,4 см. Визначити відстань між цими точками.
Рішення. Іменований масштаб: 1 см 500 м. Відстань на місцевості між точками буде 3,4 × 500 = 1700 м.
При кутах нахилу земної поверхні понад 10 º необхідно ввести відповідну поправку (див. далі).

6.5.2. Вимірювання відстаней циркулем-вимірювачем

При вимірі відстані по прямій лінії голки циркуля встановлюють на кінцеві точки, потім, не змінюючи розчину циркуля, лінійному або поперечному масштабі відраховують відстань. У тому випадку, коли розчин циркуля перевищує довжину лінійного або поперечного масштабу, ціле число кілометрів визначається квадратами координатної сітки, а залишок - звичайним порядком за масштабом.

Мал. 6.5. Вимірювання відстаней циркулем-вимірювачем за лінійним масштабом.

Для отримання довжини ламаною лінії послідовно вимірюють довжину кожної її ланки, а потім підсумовують їх величини. Такі лінії вимірюють нарощуванням розчину циркуля.
приклад. Щоб виміряти довжину ламаної АВСD(Рис. 6.6, а), ніжки циркуля спочатку ставлять у крапки Аі У. Потім, обертаючи циркуль навколо точки У. переміщають задню ніжку з точки Ав точку У", що лежить на продовженні прямої НД.
Передню ніжку з точки Упереносять у крапку З. В результаті одержують розчин циркуля В "С=АВ+НД. Перемістивши аналогічним чином задню ніжку циркуля з точки В"в точку С", а передню з Зв D. одержують розчин циркуля
С"D = В"С + СD, довжину якого визначають за допомогою поперечного або лінійного масштабу.

Мал. 6.6. Вимірювання довжини лінії: а - ламаною ABCD; б - кривий A 1 B 1 C 1;
B"C" - допоміжні точки

Довгі криві відрізкивимірюють по хордах кроками циркуля (див. рис. 6.6 б). Крок циркуля, що дорівнює цілій кількості сотень або десятків метрів, встановлюють за допомогою поперечного або лінійного масштабу. При перестановці ніжок циркуля вздовж вимірюваної лінії у напрямках, показаних на рис. 6.6 б стрілками, вважають кроки. Загальна довжина лінії А 1 З складається з відрізка А 1 В 1 , рівного величині кроку, помноженої на число кроків, і залишку В 1 З 1 вимірюваного за поперечним або лінійним масштабом.

6.5.3. Вимір відстаней курвіметром

Криві відрізки вимірюють механічним (рис. 6.7) чи електронним (рис. 6.8) курвіметром.

Мал. 6.7. Курвіметр механічний

Спочатку, обертаючи коліщатко рукою, встановлюють стрілку на нульовий поділ, потім прокочують коліщатко по вимірюваній лінії. Відлік на циферблаті проти кінця стрілки (у сантиметрах) множать на величину масштабу карти та одержують відстань на місцевості. Цифровий курвіметр (рис. 6.7.) – це високоточний, зручний у використанні прилад. Курвіметр включає архітектурні та інженерні функції та має зручний дисплей для читання інформації. Цей прилад може обробляти метричні та англо-американські (фути, дюйми, тощо) значення, що дозволяє працювати з будь-якими картами та кресленнями. Можна ввести найпоширеніший вид вимірювань, і прилад автоматично переводитиме масштабні вимірювання.

Мал. 6.8. Курвіметр цифровий (електронний)

Для підвищення точності та надійності результатів рекомендується всі вимірювання проводити двічі – у прямому та зворотному напрямках. У разі незначних відмінностей виміряних даних кінцевий результат приймається середнє арифметичне значення виміряних величин.
Точність виміру відстаней зазначеними способами із застосуванням лінійного масштабу становить 0,5 - 1,0 мм у масштабі карти. Те саме, але із застосуванням поперечного масштабу становить 0,2 - 0,3 мм на 10 см довжини лінії.

6.5.4. Перерахунок горизонтального прокладання в похилій дальності

Слід пам'ятати, що в результаті вимірювання відстаней по картах одержують довжини горизонтальних проекцій ліній (d), а не довжини ліній на земній поверхні (S) (рис. 6.9)..

Мал. 6.9. Похила дальність ( S) та горизонтальне прокладання ( d)

Діючу відстань на похилій поверхні можна обчислити за такою формулою:

де d - Довжина горизонтальної проекції лінії S;
v – кут нахилу земної поверхні.

Довжину лінії на топографічній поверхні можна визначити за допомогою таблиці (табл.6.3) відносних величин поправок до довжини горизонтального прокладання (%).

Таблиця 6.3

Кут нахилу

Правила користування таблицею

1. У першому рядку таблиці (0 десятків) наведено відносні величини поправок при кутах нахилу від 0° до 9°, у другому - від 10° до 19°, у третьому - від 20° до 29°, у четвертому - від 30° до 39 °.
2. Щоб визначити абсолютну величину виправлення, необхідно:
а) у таблиці за кутом нахилу знайти відносну величину поправки (якщо кут нахилу топографічної поверхні заданий не цілим числом градусів, то треба відносну величину поправки знайти інтерполювання між табличними величинами);
б) обчислити абсолютну величину поправки до довжини горизонтального прокладання (тобто. цю довжину помножити на відносну величину поправки та отриманий добуток розділити на 100).
3. Щоб визначити довжину лінії на топографічній поверхні, треба обчислену абсолютну величину поправки додати до довжини горизонтального прокладання.

приклад. На топографічній карті визначено довжину горизонтального прокладання 1735 м, кут нахилу топографічної поверхні - 7 ° 15 '. У таблиці відносні величини поправок наведено цілих градусів. Отже, для 7°15" необхідно визначити найближчу велику і найближчу меншу величини, кратні одному градусу - 8º і 7º:
для 8° відносна величина виправлення 0,98%;
для 7 ° 0,75%;
різницю табличних величин в 1º (60′) 0,23%;
різницю між заданим кутом нахилу земної поверхні 7°15" і найближчою меншою табличною величиною 7º становить 15".
Складаємо пропорції та знаходимо відносну величину поправки для 15":

Для 60′ поправка становить 0,23%;
Для 15′ поправка становить х%
х% = = 0,0575 ≈ 0,06%

Відносна величина виправлення для кута нахилу 7°15"
0,75%+0,06% = 0,81%
Потім треба визначити абсолютну величину виправлення:
= 14,05 м-коду приблизно 14 м-коду.
Довжина похилої лінії на топографічній поверхні буде:
1735 м+14 м=1749 м.

При малих кутах нахилу (менше 4 ° - 5 °) різниця в довжині похилої лінії та її горизонтальної проекції дуже мала і може не враховуватися.

6.6. ВИМІР ПЛОЩЕЙ ЗА КАРТАМИ

Визначення площ ділянок за топографічними картами ґрунтується на геометричній залежності між площею фігури та її лінійними елементами. Масштаб площ дорівнює квадрату лінійного масштабу.
Якщо сторони прямокутника на карті зменшені в n разів, площа цієї фігури зменшиться в n 2 разів.
Для карти масштабу 1:10 000 (1 см 100 м) масштаб площ дорівнюватиме (1: 10 000) 2 або в 1 см 2 буде 100 м × 100 м = 10 000 м 2 або 1 га, а на карті масштабу 1 :1 000 000 за 1 см 2 - 100 км 2 .

Для вимірювання площ картами застосовують графічні, аналітичні та інструментальні способи. Застосування того чи іншого способу вимірювань обумовлено формою ділянки, що вимірюється, заданою точністю результатів вимірювань, необхідною швидкістю отримання даних і наявністю необхідних приладів.

6.6.1. Вимірювання площі ділянки з прямолінійними межами

При вимірі площі ділянки з прямолінійними межами ділянку ділять на прості геометричні фігури, вимірюють площу кожної їх геометричним способом і, підсумовуючи площі окремих ділянок, обчислених з урахуванням масштабу карти, отримують загальну площу об'єкта.

6.6.2. Вимірювання площі ділянки з криволінійним контуром

Об'єкт із криволінійним контуром розбивають на геометричні фігури, попередньо спрямувавши кордони з таким розрахунком, щоб сума відсічених ділянок та сума надлишків взаємно компенсували одна одну (рис. 6.10). Результати вимірювань будуть певною мірою наближеними.

Мал. 6.10. Випрямлення криволінійних меж ділянки та
розбивка його площі на прості геометричні фігури

6.6.3. Вимірювання площі ділянки зі складною конфігурацією

Вимірювання площ ділянок, мають складну неправильну конфігурацію, частіше виробляють за допомогою палеток та планіметрів, що дає найбільш точні результати. Сіткова палетка є прозорою пластиною з сіткою квадратів (рис. 6.11).

Мал. 6.11. Квадратна сіткова палетка

Палетку накладають на контур, що вимірюється, і по ній підраховують кількість клітин та їх частин, що опинилися всередині контуру. Частки неповних квадратів оцінюються на око, тому підвищення точності вимірювань застосовуються палетки з дрібними квадратами (зі стороною 2 - 5 мм). Перед роботою на цій карті визначають площу одного осередку.
Площа ділянки розраховується за такою формулою:

Р = а 2 n,

Де: а -сторона квадрата, виражена у масштабі карти;
n- Число квадратів, що потрапили в межі контуру вимірюваної ділянки

Для підвищення точності площу визначають кілька разів з довільною перестановкою палетки, що використовується в будь-яке положення, в тому числі і з поворотом щодо її початкового положення. За остаточне значення площі приймають середнє арифметичне результати вимірювань.

Крім сіткових палеток, застосовують точкові та паралельні палетки, що являють собою прозорі пластини з награвіруваними точками або лініями. Крапки ставляться в одному з кутів осередків сіткової палетки з відомою ціною розподілу, потім видаляють лінії сітки (рис. 6.12).

Мал. 6.12. Точкова палетка

Вага кожної точки дорівнює ціні розподілу палетки. Площа вимірюваної ділянки визначають шляхом підрахунку кількості точок, що опинилися всередині контуру, і множать цю кількість на вагу точки.
На паралельній палетці награвіровано рівновіддалені паралельні прямі (рис. 6.13). Ділянка, що вимірюється, при накладенні на неї палетки, виявиться розділеною на ряд трапецій з однаковою висотою h. Відрізки паралельних ліній усередині контуру (посередині між лініями) є середніми лініями трапецій. Для визначення площі ділянки за допомогою цієї палетки необхідно суму всіх виміряних середніх ліній помножити на відстань між паралельними лініями палетки h(З урахуванням масштабу).

P = h∑l

Рис 6.13. Палетка, що складається із системи
паралельних ліній

Вимірювання площ значних ділянокпроводиться за картами за допомогою планіметра.

Мал. 6.14. Полярний планіметр

Планіметр служить визначення площ механічним способом. Широке поширення має полярний планіметр (рис. 6.14). Він складається з двох важелів - полюсного та обвідного. Визначення площі контуру планіметром зводиться до таких дій. Закріпивши полюс та встановивши голку обвідного важеля у початковій точці контуру, беруть відлік. Потім обвідний шпиль обережно ведуть контуром до початкової точки і беруть другий відлік. Різниця відліків дасть площу контуру в поділах планіметра. Знаючи абсолютну ціну поділу планіметра, визначають площу контуру.
Розвиток техніки сприяє створенню нових приладів, що підвищують продуктивність праці при обчисленні площ, зокрема використання сучасних приладів, серед яких - електронні планіметри.

Мал. 6.15. Електронний планіметр

6.6.4. Обчислення площі багатокутника за координатами його вершин
(Аналітичний спосіб)

Цей спосіб дозволяє визначити площу ділянки будь-якої конфігурації, тобто. з будь-яким числом вершин, координати яких (х, y) відомі. При цьому нумерація вершин повинна проводитися протягом годинної стрілки.
Як видно із рис. 6.16 площа S багатокутника 1-2-3-4 можна розглядати як різницю площ S" фігури 1у-1-2-3-3у і S" фігури 1y-1-4-3-3у
S = S" - S".

Мал. 6.16. До обчислення площі багатокутника за координатами.

У свою чергу кожна з площ S" і S" є сумою площ трапецій, паралельними сторонами яких є абсциси відповідних вершин багатокутника, а висотами - різниці ординат цих же вершин, тобто.

S = пл. 1у-1-2-2у + пл. 2у-2-3-3у,
S" = пл 1у-1-4-4у + пл. 4у-4-3-3у
або: 2S = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3) (у 3 - у 2)
2 S = (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) + (х 4 + х 3) (у 3 - у 4).

Таким чином,
2S = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3) (у 3 - у 2) - (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) - (х 4 + х 3) (у 3 - у 4). Розкривши дужки, отримуємо
2S = х 1 у 2 - х 1 у 4 + х 2 у 3 - x 2 у 1 + х 3 у 4 - х 3 у 2 + х 4 у 1 - х 4 у 3

Звідси
2S = х 1 (у 2 - у 4) + х 2 (у 3 - у 1)+х 3 (у 4 - у 2)+х 4 (у 1 - у 3) (6.1)
2S = y 1 (х 4 - х 2) + y 2 (х 1 - х 3) + y 3 (х 2 - х 4) + y 4 (х 3 - х 1) (6.2)

Представимо вирази (6.1) та (6.2) у загальному вигляді, позначивши через i порядковий номер (i = 1, 2, ..., п) вершини багатокутника:
(6.3)
(6.4)
Отже, подвоєна площа багатокутника дорівнює або сумі творів кожної абсциси на різницю ординат наступної та попередньої вершин багатокутника, або сумі творів кожної ординати на різницю абсцис попередньої та наступної вершин багатокутника.
Проміжним контролем обчислень є задоволення умов:

0 або = 0
Значення координат та його різниці зазвичай округляються до десятих часток метра, а твори - до цілих квадратних метрів.
Складні формули розрахунку площі ділянки можна легко вирішити за допомогою електронних таблиць MicrosoftXL. Приклад для багатокутника (полігону) з 5 точок наведено у таблицях 6.4, 6.5.
У таблицю 6.4 вводимо вихідні дані та формули.

Таблиця 6.4.

				y i (x i-1 - x i+1)
	Подвійна площа в м 2			СУМ(D2: D6)
	Площа у гектарах

У таблиці 6.5 бачимо результати обчислень.

Таблиця 6.5.

				y i (x i-1 -x i+1)
	Подвійна площа в м 2
	Площа у гектарах

6.7. ОЧОМІРНІ ВИМІРИ НА КАРТІ

У практиці картометричних робіт широко використовують окомірні вимірювання, що дають приблизні результати. Проте вміння окомірно визначити за картою відстані, напрями, площі, крутість схилу та інші характеристики об'єктів сприяє оволодінню навичками правильного розуміння картографічного зображення. Точність окомірних визначень підвищується із набуттям досвіду. Окомірні навички попереджають грубі прорахунки у вимірах приладами.
Для визначення довжини лінійних об'єктів по карті слід окомірно порівняти величину цих об'єктів з відрізками кілометрової сітки або поділами лінійного масштабу.
Для визначення площ об'єктів як своєрідну палетку використовують квадрати кілометрової сітки. Кожному квадрату сітки карт масштабів 1:10 000 - 1:50 000 біля відповідає 1 км 2 (100 га), масштабу 1:100 000 - 4 км 2 , 1:200 000 - 16 км 2 .
Точність кількісних визначень за картою, з розвитком окоміру, становить 10-15% вимірюваної величини.

Відео

Завдання визначення масштабу

Завдання та питання для самоконтролю

1. Які елементи включають математичну основу карт?
2. Розкрийте поняття: "масштаб", "горизонтальне прокладання", "чисельний масштаб", "лінійний масштаб", "точність масштабу", "підстави масштабу".
3. Що являє собою іменований масштаб карти та як ним користуватися?
4. Що являє собою поперечний масштаб карти, з якою метою він призначений?
5. Який поперечний масштаб карти вважають за нормальний?
6. Які масштаби топографічних карт та лісовпорядних планшетів застосовують в Україні?
7. Що таке перехідний масштаб карти?
8. Як розраховують основу перехідного масштабу?
Попередня