Довжина відрізка та її вимір. Довжина відрізка та її вимір Чому дорівнює довжина відрізка прямої

ПОВТОРЮЄМО ТЕОРІЇ

16. Заповніть пропуски.

1) Точка і відрізок є прикладами геометричних фігур.
2) Виміряти відрізок означає підрахувати, скільки єдиних відрізків в ньому міститься.
3) Якщо на відрізку АВ відмітити точку С, то довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин відрізків АС + СВ
4) Два відрізка називають рівними, якщо вони збігаються при накладанні.
5) Рівні відрізки мають рівні довжини.
6) Відстанню між точками А і В називають довжину відрізка АВ.

ВИРІШУЄМО ЗАВДАННЯ

17. Позначте відрізки, зображені на малюнку, і виміряйте їх довжини.

18. Проведіть всі можливі відрізки з кінцями в точках A, B, C і D. Запишіть позначення всіх проведених відрізків.

AB, ВC, СD, АD, АС, ВD

19. Запишіть все відрізки, зображені на малюнку.

20. Накресліть відрізки СК і АD так, щоб СК \u003d 4 см 6 мм, АD \u003d 2 см 5 мм.

21. Накресліть відрізок ВЕ, довжина якого дорівнює 5 см 3 мм. Відзначте на ньому точку А так, щоб ВА \u003d 3 см 8 мм. Яка довжина відрізка АЕ?

АЕ \u003d ВЕ-ВА \u003d 5 см 3 мм - 3 см 8мм \u003d 1 см 5мм

22. Виразіть цю величину в зазначених одиницях виміру.

23. Запишіть ланки ламаної і виміряйте їх довжини (в міліметрах). Обчисліть довжину ламаної.

24. Відзначте точку В, розташовану на 6 клітин лівіше і на 1 клітину нижче точки А; точку С, розташовану на 3 клітини правіше і на 3 клітини нижче точки В; точку D, розташовану на 7 клітин правіше і на 2 клітини вище точки С. З'єднайте послідовно відрізками точки А, В, С і D.

Утворилася ламана АВСD, що складається з 3 ланок.

25. Обчисліть довжину ламаної, зображеної на малюнку.

а) 5 * 36 \u003d 180 мм
б) 3 * 28 \u003d 84 мм
в) 10 * 10 + 15 * 4 \u003d 160 мм

26. Побудуйте ламану DСЕК так, щоб DС \u003d 18 мм, РЄ \u003d 37 мм, ЄК \u003d 26 мм. Обчисліть довжину ламаної.

27. Відомо, що АС \u003d 17 см, ВD \u003d 9см, ВС \u003d 3 см. Обчисліть довжину відрізка АD.

28. Відомо, що МК \u003d KN \u003d NP \u003d PR \u003d RT \u003d 3 см. Які ще рівні відрізки є на цьому малюнку? Знайдіть їх довжини.

29. На прямій відзначили точки так, що відстань між двома будь-якими сусідніми точками дорівнює 4 см, а між крайніми точками - 36 см. Скільки точок зазначено?

30. Накресліть, не відриваючи олівця від паперу, фігури, зображені на малюнку. По кожній лінії можна проводити олівцем тільки один раз.

Якщо ви добре заточеним олівцем доторкнетеся до зошита, то залишиться слід, який дає уявлення про точку. (Рис. 3).

Відзначимо на аркуші паперу дві точки A і B. Ці точки можна з'єднати різними лініями (рис. 4). А як з'єднати точки A і B найкоротшою лінією? Це можна зробити з допомогу лінійки (рис. 5). Отриману лінію називають відрізком.

Точка і відрізок - приклади геометричних фігур.

Точки A і B називають кінцями відрізка.

Існує єдиний відрізок, кінцями якого є точки A і B. Тому відрізок позначають, записуючи точки, які є його кінцями. Наприклад, відрізок на малюнку 5 позначають одним з двох способів: AB або BA. Читають: "відрізок AB" або "відрізок BA".

На малюнку 6 зображено три відрізка. Довжина відрізка AB дорівнює 1 см. Він міститься в відрізку MN рівно три рази, а в відрізку EF - рівно 4 рази. Будемо говорити, що довжина відрізка MN дорівнює 3 см, а довжина відрізка EF - 4 см.

Також прийнято говорити: "відрізок MN дорівнює 3 см", "відрізок EF дорівнює 4 см". Пишуть: MN \u003d 3 см, EF \u003d 4 см.

Довжини відрізків MN і EF ми виміряли одиничним відрізком, Довжина якого дорівнює 1 см. Для вимірювання відрізків можна вибрати і інші одиниці довжини, Наприклад: 1 мм, 1 дм, 1 км. На малюнку 7 довжина відрізка дорівнює 17 мм. Він виміряно одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 мм, за допомогою лінійки з поділками. Також за допомогою лінійки можна побудувати (накреслити) відрізок заданої довжини (см. Рис. 7).

взагалі, виміряти відрізок означає підрахувати, скільки одиничних відрізків в ньому міститься.

Довжина відрізка має наступну властивість.

Якщо на відрізку AB відзначити точку C, то довжина відрізка AB дорівнює сумі довжин відрізків AC і CB(Рис. 8).

Пишуть: AB \u003d AC + CB.

На малюнку 9 зображені два відрізки AB і CD. Ці відрізки при накладенні співпадуть.

Два відрізка називають рівними, якщо вони співпадуть при накладенні.

Отже відрізки AB і CD рівні. Пишуть: AB \u003d CD.

Рівні відрізки мають рівні довжини.

З двох нерівних відрізків більшим будемо вважати той, у уоторого довжина більше. Наприклад, на малюнку 6 відрізок EF більше відрізка MN.

Довжину відрізка AB називають відстанню між точками A і B.

Якщо кілька відрізків розташувати так, як показано на малюнку 10, то вийде геометрична фігура, яку називають ламана. Зауважимо, що всі відрізки на малюнку 11 ламану не утворюють. Вважають, що відрізки, утворюють ламану, якщо кінець першого відрізка збігається з кінцем другого, а інший кінець другого відрізка - з кінцем третього і т. Д.

Точки A, B, C, D, E - вершини ламаної ABCDE, точки A і E - кінці ламаної, А відрізки AB, BC, CD, DE - її ланки (Див. Рис. 10).

довжиною ламаної називають суму довжин усіх її ланок.

На малюнку 12 зображено дві ламані, кінці яких збігаються. Такі ламані називають замкнутими.

приклад 1 . Відрізок BC на 3 см менше відрізка AB, довжина якого дорівнює 8 см (рис. 13). Знайдіть довжину відрізка AC.

Рішення. Маємо: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (см).

Скориставшись властивістю довжини відрізка, можна записати AC \u003d AB + BC. Звідси AC \u003d 8 + 5 \u003d 13 (см).

Відповідь: 13 см.

приклад 2 . Відомо, що MK \u003d 24 см, NP \u003d 32 см, MP \u003d 50 см (рис. 14). Знайдіть довжину відрізка NK.

Рішення. Маємо: MN \u003d MP - NP.

Звідси MN \u003d 50 - 32 \u003d 18 (см).

Маємо: NK \u003d MK - MN.

Звідси NK \u003d 24 - 18 \u003d 6 (см).

Відповідь: 6 см.

Поняття довжини відрізка і її вимірювання були вже використані неодноразово, зокрема, коли розглядали натуральне число як міру величини. У цьому пункті ми тільки узагальнимо уявлення про довжину відрізка як геометричній величиною.

В геометрії довжина - це величина, що характеризує протяжність відрізка, а також інших ліній (ламаної, кривої). У нашому курсі буде розглянуто тільки поняття довжини відрізка. При його визначенні будемо використовувати запроваджену в темі 18 поняття «відрізок складається з відрізків».

Визначення.Довжиною відрізка називається позитивна величина, що володіє наступними властивостями: 1) рівні відрізки мають рівні довжини; 2) якщо відрізок складається з двох відрізків, то його довжина дорівнює сумі довжин його частин.

Ці властивості довжини відрізка використовуються при її вимірі. Щоб виміряти довжину відрізка, потрібно мати одиницю довжини. В геометрії такою одиницею є довжина довільного відрізка.

Як показано в темі 18, результатом вимірювання довжини відрізка є позитивне дійсне число - його називають чисельним значенням довжини відрізка при обраному об'єкті довжини або мірою довжини даного відрізка. Якщо позначити довжину відрізка буквою X, одиницю довжини - Е, а отримується при вимірі дійсне число - буквою а, то можна записати: а \u003d m Е (Х) або Х \u003d а ∙ Е.

Отримується при вимірі довжини відрізка позитивне дійсне число повинне задовольняти ряду вимог:

1. Якщо два відрізки рівні, то чисельні значення їх довжин теж рівні.

2. Якщо відрізок х складається з відрізків х 1 і х 2, то чисельне значення його довжини дорівнює сумі чисельних значень довжин відрізків х 1 і х 2.

3. При заміні одиниці довжини чисельне значення довжини даного відрізка збільшується (зменшується) у стільки разів, у скільки нова одиниця менше (більше) старої.

4. Чисельне значення довжини одиничного відрізка дорівнює одиниці.

Доведено, що позитивний дійсне число, яке є мірою довжини заданого відрізка, завжди існує і єдино. Доведено також, що для кожного позитивного дійсного числа існує відрізок, довжина якого виражається цим числом.

Зауважимо, що часто, заради стислості промови, чисельне значення довжини відрізка називають просто довжиною. Наприклад, в завданні «Знайдіть довжину даного відрізка» під словом «довжина» мається на увазі чисельне значення довжини відрізка. Не менш часто допускають і іншу вільність - кажуть: «Виміряй відрізок» замість «Виміряй довжину відрізка».

Завдання. Побудувати відрізок, довжина якого 3,2Е. Яким буде чисельне значення довжини цього відрізка, якщо одиницю довжини Е збільшити в 3 рази?

Рішення. Побудуємо довільний відрізок і будемо вважати його одиничним. Потім побудуємо пряму, відзначимо на ній точку А і відкладемо від неї 3 відрізка, довжини яких дорівнюють Е. Одержимо відрізок АВ, довжина якого 3Е (рис. 1).

Щоб отримати відрізок довжиною 3,2Е, треба ввести нову одиницю довжини. Для цього одиничний інтервал треба розбити або на 10 рівних частин, або на 5, оскільки 0,2 \u003d. Якщо від точки В відкласти відрізок, рівний одиничного, то довжина відрізка АС буде дорівнює 3,2Е.

Щоб виконати другу вимогу завдання, скористаємося властивістю 3, згідно з яким при збільшенні одиниці довжини в 3 рази чисельне значення довжини даного відрізка зменшується в 3 рази. Розділимо 3,2 на 3, отримаємо:

3,2: 3 \u003d\u003d 3: 3 \u003d \u003d 1. Таким чином, при одиниці довжини 3Е чисельне значення довжини побудованого відрізка АС дорівнюватиме 1.

відрізком називають частину прямої лінії, що складається з усіх точок цієї лінії, які розташовані між даними двома точками - їх називають кінцями відрізка.

Розглянемо перший приклад. Нехай в площині координат задано двома точками якийсь відрізок. В даному випадку його довжину ми можемо знайти, застосовуючи теорему Піфагора.

Отже, в системі координат накреслив відрізок із заданими координатами його кінців (X1; y1) і (X2; y2) . на осі X і Y з кінців відрізка опустимо перпендикуляри. Відзначимо червоним кольором відрізки, які є на осі координат проекціями від вихідного відрізка. Після цього перенесемо паралельно до кінців відрізків відрізки-проекції. Отримуємо трикутник (прямокутний). Гіпотенузою у даного трикутника стане сам відрізок АВ, а його катетами є перенесені проекції.

Обчислимо довжину даних проекцій. Отже, на вісь Y довжина проекції дорівнює y2-y1 , А на вісь Х довжина проекції дорівнює x2-x1 . Застосуємо теорему Піфагора: | AB | ² \u003d (y2 - y1) ² + (x2 - x1) ² . В даному випадку | AB | є довжиною відрізка.

Якщо використовувати дану схему для обчислення довжини відрізка, то можна навіть відрізок і не будувати. Тепер підрахуємо, яка довжина відрізка з координатами (1;3) і (2;5) . Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо: | AB | ² \u003d (2 - 1) ² + (5 - 3) ² \u003d 1 + 4 \u003d 5 . А це означає, що довжина нашого відрізка дорівнює 5:1/2 .

Розглянемо наступний спосіб знаходження довжини відрізка. Для цього нам необхідно знати координати двох точок в будь-якій системі. Погляньмо на цей варіант, застосовуючи двомірну Декартову систему координат.

Отже, в двомірної системі координат дано координати крайніх точок відрізка. Якщо проведемо прямі лінії через ці точки, вони повинні бути перпендикулярними до осі координат, то одержимо прямокутний трикутник. Вихідний відрізок буде гіпотенузою отриманого трикутника. Катети трикутника утворюють відрізки, їх довжина дорівнює проекції гіпотенузи на осі координат. Виходячи з теореми Піфагора, робимо висновок: для того щоб знайти довжину даного відрізка, потрібно знайти довжини проекцій на дві осі координат.

Знайдемо довжини проекцій (X і Y) вихідного відрізка на координатні осі. Їх обчислимо шляхом знаходження різниці координат точок по окремій осі: X \u003d X2-X1, Y \u003d Y2-Y1 .

Розрахуємо довжину відрізка А , Для цього знайдемо квадратний корінь:

A \u003d √ (X² + Y²) \u003d √ ((X2-X1) ² + (Y2-Y1) ²) .

Якщо наш відрізок розташований між точками, координати яких 2;4 і 4;1 , То його довжина, відповідно, дорівнює √ ((4-2) ² + (1-4) ²) \u003d √13 ≈ 3,61 .