Властивості додавання. Як читається поєднувальна властивість додавання

a, b - числа, над якими виконується додавання, з - результат додавання.

Додавання багатозначних чисел проводиться порозрядно.

Приклад: 9067542 + 34981 = 9102523

Закони складання.

1) переміщувальний: a + b = b + a;

приклад. 310 + 1454 = 1454 + 310. Яким би способом не складали результат дорівнюватиме 1764.

2) сполучний: (a + b) + c = a + (b + c);

Приклад: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 = 534;

3) закон складання числа з нулем: а + 0 = а.

Віднімання

a (зменшуване) - b (віднімається) = c (різниця)

Приклад: 42397 – 17963 = 24434

Властивості дій віднімання:

1) закон віднімання із суми числа:

(a + b) – c = (a – c) + b, якщо а > c або a = c;

2) закон віднімання з числа суми:

a - (b + c) = (a - b) - c;

3) закон віднімання з числа:

4) закон віднімання з числа нуля:

5) закон віднімання із суми суми:

(a + b) - (c + d) =;

Завдання як приклад дій додавання та віднімання

Обчисліть зручним способом:

1) (4981 - 2992) - 808;
2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Застосовуємо 2-й та 5-й закони віднімання:

1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

множення

Помножити число а число b (b>1)- значить знайти суму b доданків (кожний доданок дорівнює а).

a x b = а + а + ... + а

Якщо b = 1, то x 1 = a.

a (перший множник) x b (другий множник) = c (твір)

Наприклад: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 х 3 + 34 х 2 = 171 + 68 + 239

Закони множення

1) переміщувальний: a x b = b x a;

приклад. 15 х 110 = 110 х 15.

2) сполучний: (a x b) x c = a x (b x c);

Приклад: (9 х 30) х 10 = 9 х (30 х 10) = 9 х 300 = 2700;

(65 х 25) х 44 = (25 х 65) х 44 = 25 х (65 X 44) = 25 х 2860 = 71500.

3) множення на нуль: 0 x a = 0;

Приклад: 0 x 10 = 0.

4) розподільчий закон множення щодо дії додавання (віднімання):

a x (b + c) = a x b + a x c;

Завдання як приклад дії множення

Завдання 1.Обчислити зручним способом:

1) (37 х 125) х 8;
2) 49 х 84 + 49 х 83 – 49 х 67.

1) (37 х 125) х 8 = 37 х (125 х 8) = 37 х 1000 = 37000;

2) 49 х 84 + 49 х 83 - 49 х 67 = 49 х (84 + 83 - 67) = 49 х 100 = 4900.

Завдання 2. 1 кВт/год коштує 12 руб. Електрична праска за 1 год роботи витрачає 2 кВт/год. Праскою два дні гладили білизну: першого дня- 3 год, другого - 2ч. Скільки коштує електроенергія, витрачена за два дні? Завдання вирішіть самі, а ми дамо тільки відповіді: за 3 год-72руб; за 2ч-48руб.

Поділ

а (ділене): b (ділитель) = с (приватне)

Закони поділу:

1) а: 1 = а, тому що а х 1 = а;
2) 0: а = 0, оскільки 0 х а = 0;
3) на 0 не можна ділити!

2224222: 2222 = 1001

Закон поділу суми (різниці) на число:

1) (а + b): с = а: с + b: с, не дорівнює 0;
2) (а - b) : с = а: с -b: с, не дорівнює 0;

Приклад: (4800 + 9300): 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Закон поділу твору на число:

(а х b) :с = (а: с) х b = (b: с) х а, не дорівнює 0.

Накреслимо на листку в клітинку прямокутник зі сторонами 5 см і 3 см. Розіб'ємо його на квадрати зі стороною 1 см (рис. 143). Підрахуємо кількість клітин, розташованих у прямокутнику. Це можна зробити, наприклад, так.

Кількість квадратів зі стороною 1 см дорівнює 5*3. Кожен такий квадрат складається із чотирьох клітин. Тому загальна кількість клітин дорівнює (5 * 3) * 4.

Це завдання можна вирішити інакше. Кожен із п'ять стовпців прямокутника складається з трьох квадратів зі стороною 1 см. Тому в одному стовпці міститься 3*4 клітин. Отже, всього клітин буде 5*(3*4).

Підрахунок клітин малюнку 143 двома способами ілюструє сполучна властивість множеннядля чисел 5, 3 та 4 . Маємо: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого чи третього чисел.

(ab)c = a(bc)

З переміщувальних і комбінаційних властивостей множення випливає, що при множенні декількох чисел множники можна міняти місцями і укладати в дужки, тим самим визначаючи порядок обчислень .

Наприклад, вірні рівності:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На малюнку 144 відрізок AB ділить розглянутий вище прямокутник прямокутник і квадрат.

Підрахуємо кількість квадратів із стороною 1 см двома способами.

З одного боку, в квадраті, що утворився, їх міститься 3 * 3, а в прямокутнику - 3 * 2 . Усього отримаємо 3*3+3*2 квадратів. З іншого боку, у кожній із трьох рядків даного прямокутника знаходиться 3 + 2 квадрати. Тоді їх загальна кількість дорівнює 3*(3+2).

Равенсто 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 ілюструє розподільна властивість множення щодо додавання.

Щоб число помножити на суму двох чисел, можна це число помножити на кожен доданок та одержані твори скласти.

У буквеному вигляді цю властивість записують так:

a(b + c) = ab + ac

З розподільчої властивості множення щодо складання випливає, що

ab+ac=a(b+c).

Ця рівність дозволяє формулу P = 2 a + 2 b для знаходження периметра прямокутника записати у такому вигляді:

P = 2 (a + b).

Зауважимо, що розподільна властивість справедлива для трьох і більше доданків. Наприклад:

a(m+n+p+q) = am+an+ap+aq.

Також справедлива розподільна властивість множення щодо віднімання: якщо b > c або b = c, то

a(b − c) = ab − ac

приклад 1 . Обчисліть зручним способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Використовуємо переміщувальну, а потім поєднану властивості множення:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Маємо:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

приклад 2 . Спростіть вираз:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m - 13 m.

1 ) Використовуючи переміщувальну та поєднану властивості множення, отримуємо:

4 a * 3 b = (4 * 3) * ab = 12 ab.

2 ) Використовуючи розподільну властивість множення щодо віднімання, отримуємо:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

приклад 3 . Запишіть вираз 5 (2 m + 7 ) так, щоб він не містив дужок.

Відповідно до розподільчої властивості множення щодо складання маємо:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Таке перетворення називають розкриттям дужок.

приклад 4 . Обчисліть зручним способом значення виразу 125*24*283.

Рішення. Маємо:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

приклад 5 . Виконайте множення: 3 доби 18 год * 6 .

Рішення. Маємо:

3 діб 18 год * 6 = 18 діб 108 год = 22 діб 12 год.

При рішенні прикладу було використано розподільну властивість множення щодо додавання:

3 доби 18 год * 6 = (3 доби + 18 год) * 6 = 3 доби * 6 + 18 год * 6 = 18 діб + 108 год = 18 діб + 96 год + 12 год = 18 діб + 4 доби + 12 год = 22 діб 12 год.

Додати одне число до іншого досить легко. Розглянемо приклад, 4+3=7. Цей вислів означає, що до чотирьох одиниць додали три одиниці та в результаті отримали сім одиниць.
Числа 3 та 4, які ми склали називається доданками. А результат додавання число 7 називається сумою.

Сума- Це складання чисел. Знак плюс "+".
У буквеному вигляді цей приклад виглядатиме так:

a+b=c

Компоненти додавання:
a- доданок, b- доданки, c- Сума.
Якщо ми до 3 одиниць додамо 4 одиниці, то в результаті додавання отримаємо той же результат він дорівнюватиме 7.

З цього прикладу робимо висновок, що як би ми не міняли місцями доданки відповідь залишається незмінною:

Називається така властивість доданків переміщувальним законом додавання.

Переміщувальний закон складання.

Від зміни місць доданків сума не змінюється.

У буквеному записі переміщувальний закон виглядає так:

a+b=b+a

Якщо ми розглянемо три доданки, наприклад, візьмемо числа 1, 2 і 4. І виконаємо додавання в такому порядку, спочатку додамо 1+2, а потім виконаємо додавання до суми 4, що вийшла, то отримаємо вираз:

(1+2)+4=7

Можемо зробити навпаки, спочатку скласти 2+4, а потім до отриманої суми додати 1. У нас приклад виглядатиме так:

1+(2+4)=7

Відповідь залишилася колишньою. В обох видів складання одного й того ж приклад відповідь однакова. Робимо висновок:

(1+2)+4=1+(2+4)

Ця властивість додавання називається сполучним законом додавання.

Переміщувальний та сполучний закон складання працює для всіх невід'ємних чисел.

Сполучний закон складання.

Щоб до двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього числа.

(a+b)+c=a+(b+c)

Сполучний закон працює для будь-якої кількості доданків. Цей закон ми використовуємо, коли нам потрібно скласти числа у зручному для нас порядку. Наприклад, складемо три числа 12, 6, 8 і 4. Зручніше спочатку скласти 12 і 8, а потім додати до отриманої суми суму двох чисел 6 і 4.
(12+8)+(6+4)=30

Властивість додавання з нулем.

При складанні числа з нулем, в результаті сума буде тим самим числом.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

У буквеному вираз додавання з нулем виглядатиме так:

a+0=a
0+ a=a

Питання на тему складання натуральних чисел:
Таблиця складання, складіть і подивіться як працює якість переміщувального закону?
Таблиця додавання від 1 до 10 може виглядати так:

Другий варіант таблиці складання.

Якщо подивимося таблиці складання, видно як працює переміщувальний закон.

У виразі a+b=c сумою, що буде?
Відповідь: сума – це результат складання доданків. a+b та с.

У виразі a+b=c доданками, що буде?
Відповідь: a та b. Доданки – це числа, які ми складаємо.

Що станеться з числом, якщо до нього додати 0?
Відповідь: нічого, число не зміниться. При додаванні з нулем, число залишається незмінним, тому що нуль це відсутність одиниць.

Скільки доданків має бути у прикладі, щоб можна було застосувати поєднаний закон складання?
Відповідь: від трьох доданків і більше.

Запишіть переміщувальний закон у буквеному виразі?
Відповідь: a+b=b+a

Приклади завдання.
Приклад №1:
Запишіть відповідь у поданих виразів: а) 15+7 б) 7+15
Відповідь: а) 22 б) 22

Приклад №2:
Застосуйте поєднаний закон до доданків: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Відповідь: 20.

Приклад №3:
Вирішіть вираз:
а) 5921+0; б) 0+5921
Рішення:
а) 5921 +0 = 5921
б) 0+5921=5921

Можна відзначити низку результатів, властивих цій дії. Ці результати називають властивостями додавання натуральних чисел. У цій статті ми докладно розберемо властивості складання натуральних чисел, запишемо їх за допомогою літер і наведемо приклади, що пояснюють.

Навігація на сторінці.

Сполучна властивість складання натуральних чисел.

Тепер наведемо приклад, що ілюструє поєднану властивість складання натуральних чисел.

Уявимо ситуацію: з першої яблуні впало 1 яблуко, а з другої яблуні - 2 яблука та ще 4 яблука. А тепер розглянемо таку ситуацію: з першої яблуні впало 1 яблуко та ще 2 яблука, а з другої яблуні впало 4 яблука. Зрозуміло, що на землі й у першому та у другому випадку виявиться однакова кількість яблук (що можна перевірити перерахунком). Тобто, результат додавання числа 1 із сумою чисел 2 і 4 дорівнює результату додавання суми чисел 1 та 2 з числом 4 .

Розглянутий приклад дозволяє нам сформулювати сполучну властивість складання натуральних чисел: щоб додати до даного числа цю суму двох чисел, можна до цього додати перший доданок даної суми і до отриманого результату додати другий доданок даної суми . Цю властивість за допомогою літер можна записати так: a+(b+c)=(a+b)+c, де a, b та c – довільні натуральні числа.

Зверніть увагу, що в рівності a+(b+c)=(a+b)+c є круглі дужки «(» і «)». Дужки використовуються у виразах для вказівки порядку виконання дій – спочатку виконуються дії у дужках (докладніше про це написано у розділі). Іншими словами, у дужки полягають вирази, значення яких обчислюються насамперед.

Наприкінці цього пункту відзначимо, що сполучна властивість додавання дозволяє однозначно визначити додавання трьох, чотирьох і більшої кількості натуральних чисел .

Властивість додавання нуля і натурального числа, властивість додавання нуля з нулем.

Ми знаємо, що нуль НЕ є натуральним числом. То чому ми вирішили розглянути властивість складання нуля та натурального числа у цій статті? На це є три причини. Перша: ця властивість використовується при складанні натуральних чисел стовпчиком. Друга: ця властивість використовується при відніманні натуральних чисел. Третя: якщо вважати, що нуль означає відсутність чогось, то зміст додавання нуля і натурального числа збігається із змістом додавання двох натуральних чисел .

Проведемо міркування, які допоможуть нам сформулювати властивість складання нуля та натурального числа. Припустимо, що в ящику немає жодного предмета (іншими словами, в ящику знаходиться 0 предметів), і в нього поміщають предметів, де a - будь-яке натуральне число. Тобто склали 0 та a предметів. Зрозуміло, що після цієї дії в ящику стало предметів. Отже, справедлива рівність 0+a=a.

Аналогічно, якщо в ящику знаходиться a предметів і до нього додають 0 предметів (тобто, не додають жодного предмета), то після цієї дії в ящику виявляться a предметів. Отже, a+0=a .

Тепер ми можемо навести формулювання якості складання нуля та натурального числа: сума двох чисел, одне з яких дорівнює нулю, дорівнює другому числу. Математично цю властивість можна записати у вигляді наступної рівності: 0+a=aабо a+0=aде a - довільне натуральне число.

Окремо звернемо увагу на те, що при додаванні натурального числа і нуля залишається вірним переміщувальна властивість додавання, тобто, a+0=0+a .

Нарешті, сформулюємо властивість додавання нуля з нулем (вона досить очевидна і не потребує додаткових коментарів): сума двох чисел, кожне з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю. Тобто, 0+0=0 .

Тепер настав час розібратися з тим, як виконується складання натуральних чисел.

Список літератури.

Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.