Vad är COS 2. Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer

I den här artikeln visar vi hur de ges. definitioner av sinus, cosinus, tangent och catangens vinklar och siffror i trigonometri. Här kommer vi att prata om notationen, ge exempel på poster, låt oss ge grafiska illustrationer. Sammanfattningsvis kommer vi att genomföra en parallell mellan definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangen i trigonometri och geometri.

Navigeringssida.

Definition av sinus, cosinus, tangent och catangens

Låt oss följa hur tanken på sinus, cosinus, tangent och catangene bildas i skolans kurs. I lärdomarna av geometri ges definitionen av sinus, cosinus, tangent och catangens av en akut vinkel i en rektangulär triangel. Och senare studeras trigonometri, som talar om sinus, cosinus, tangent och catangent rotationsvinkel och siffror. Vi ger alla dessa definitioner, vi ger exempel och ger de nödvändiga kommentarerna.

Akut vinkel i en rektangulär triangel

Geometriens gång är känd för definitionen av sinus, cosinus, tangent och kattens av en spetsig vinkel i en rektangulär triangel. De ges som förhållandet mellan sidorna av den rektangulära triangeln. Vi presenterar sin formulering.

Definition.

Sinus av akut vinkel i en rektangulär triangel - Detta är förhållandet mellan motsatt kateke för hypotenus.

Definition.

Cosinus av akut vinkel i en rektangulär triangel - Detta är förhållandet mellan den intilliggande Catech för hypotenus.

Definition.

Tangent av akut vinkel i en rektangulär triangel - Det här är den motsatta Catech till den intilliggande.

Definition.

Akuta hörnkatangener i en rektangulär triangel - Detta är förhållandet mellan den intilliggande Catech mot motsatt.

Det introduceras också beteckningar av sinus, cosinus, tangent och catangent - synd, COS, TG och CTG.

Till exempel, om ABC är en rektangulär triangel med en direkt vinkel C, är dessusen av en akut vinkel A lika med förhållandet mellan det motsatta BC-förhållandet till AB-hypoten, det vill säga Sin∠a \u003d BC / AB.

Dessa definitioner gör det möjligt att beräkna värdena för sinus, cosinus, tangent och catangent av en spetsig vinkel enligt de kända längderna av sidorna av den rektangulära triangeln, såväl som enligt de kända värdena för sinus, cosinus, tangent, catangent och längden på en av parterna för att hitta längden på andra sidor. Om vi \u200b\u200btill exempel visste att i en rektangulär triangel var AC Catat 3, och AB hypotenus är 7, då kunde vi beräkna det kosinusvärdet av den akuta vinkeln A per definition: Cos∠a \u003d AC / AB \u003d 3/7.

Rotationsvinkel

I trigonometri vid vinkeln börjar man se mer - konceptet av rotationsvinkeln introduceras. Värdet av rotationsvinkeln, i motsats till den akuta vinkeln, är inte begränsad till ramarna från 0 till 90 grader, rotationsvinkeln i grader (och i radianer) kan överenskommas med något med ett giltigt nummer från -∞ till + ∞.

I det här ljuset ger de definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangent inte längre akut vinkel, men en vinkel av ett godtyckligt värde - en rotationsvinkel. De ges genom X- och Y-koordinaterna av punkten A 1, i vilken den så kallade initiala punkten A (1, 0) passerar efter dess rotation till vinkeln a runt punkten o - början av det rektangulära kartesiska koordinatsystemet och mitten av enhetens cirkel.

Definition.

Sinus hörn av rotation a är ordinatpunkten A 1, det vill säga sina \u003d y.

Definition.

Cosine vinklar sväng a kallas abscissen av punkten A 1, det vill säga cosα \u003d x.

Definition.

Tangentvinkelväng a är förhållandet mellan ordinatpunkten A 1 till dess abscissa, det vill säga TGa \u003d Y / X.

Definition.

Cotangen vinkel sväng a Ring till abscissen av punkten A 1 till dess ordinat, det vill säga ctgα \u003d x / y.

Sine och Cosine definieras för vilken vinkel som helst, eftersom vi alltid kan bestämma abscissen och ordinaten, som erhålls genom att vrida den ursprungliga punkten till vinkeln a. Och tangent och kotangenes definieras inte för någon vinkel. Tangent är inte definierad för sådana vinklar a, i vilka den ursprungliga punkten passerar till en punkt med noll abscissa (0, 1) eller (0, -1), och detta sker vid vinkel på 90 ° + 180 ° K, K ∈z (π / 2 + π · k är glad). I själva verket, i sådana vinklar, är uttrycket TGa \u003d Y / X inte meningsfullt, eftersom det är där en uppdelning till noll. När det gäller catangenten är det inte definierat för sådana vinklar a, i vilken initialpunkten går till en punkt med nollordinat (1, 0) eller (-1, 0), och detta sker för vinklarna 180 ° K, K ∈z (π · k är glad).

Så, sinus och cosinus definieras för alla rotationsvinklar, tangenten definieras för alla vinklar, förutom 90 ° + 180 ° · k, k∈z (π / 2 + π · k) och kotangenes - för alla Vinklar, utom 180 ° K, K∈Z (π · K är glad).

Definitionerna verkar redan kända för oss med synd, COS, TG och CTG, de är vana vid att beteckna sinus, cosinus, tangent och catangent rotationsvinkel (ibland kan du träffa solbränna och barnsängar som möter tangent och kotangent). Så rotationsvinkeln på 30 grader kan skrivas som Sin30 °, Tg (-24 ° 17 ') och CTGa-ingången motsvarar tangenten av rotationsvinkeln -24 graden 17 minuter och hörnet av rotationsvinkeln a. Minns att när man skriver en radianvinkelåtgärd, är beteckningen "kör" ofta bort. Till exempel hänvisas den cosinusvinkeln i tre PI vanligtvis COS3 · π.

Vid slutet av denna vara är det värt att notera att i en konversation om sinus, cosinus, tangent och hörnet av rotationsvinkeln ofta släpper ut frasen "rotationsvinkel" eller ordet "sväng". Det vill säga, i stället för frasen "sinusvinkel av rotation av alfa" brukar använda frasen "sinusvinkel av vinkeln av alfa" eller till och med kortare - "sinus alfa". Detsamma gäller cosinus och tangent och kotangens.

Vi säger också att definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangens av en akut vinkel i en rektangulär triangel är förenliga med den enda data av sinus, cosinus, tangent och hörnet av rotationsvinkeln från 0 till 90 grader. Vi kommer att motivera detta.

Tal

Definition.

Sinus, cosinus, tangent och catangent nummer TS kallar ett nummer som är lika med sinus, cosinus, tangent och catangent rotationsvinkel i T-radianerna.

Till exempel är cosinuset av nummer 8 · π per definition numret lika med orsaksvinkeln på 8 · π är glad. Och cosinusen av en vinkel av 8 · π är radikalt lika med en, därför är cosinuset av nummer 8 · π lika med 1.

Det finns ett annat tillvägagångssätt för definitionen av sinus, cosinus, tangent och catangent nummer. Den består i det faktum att varje giltigt nummer T sätts i enlighet med punkten för en enda cirkel med mitten i början av det rektangulära koordinatsystemet, och sinus, cosinus, tangent och catangenes bestäms genom koordinaterna för denna punkt. Låt oss fokusera på det här.

Vi visar hur korrespondensen mellan de giltiga siffrorna och poängen i cirkeln är inställd:

nummer 0 sätts i enlighet med den ursprungliga punkten A (1, 0);
det positiva numret T sätts i enlighet med punkten i en enda cirkel i vilken vi kommer att falla, om vi flyttar runt omkretsen från utgångspunkten i riktningen moturs och passerar banan t;
det negativa numret T sätts i enlighet med punkten i en enda cirkel där vi kommer att falla, om vi flyttar runt omkretsen från utgångspunkten i riktningen medurs och går igenom banans längd | t | .

Nu går vi till definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangent nummer t. Antag att numret T motsvarar punkten för cirkeln A 1 (X, Y) (till exempel, antalet & pi / 2, motsvarar punkt A-1 (O, 1)).

Definition.

Sinusnummer T kallas ordinatpunkten för en enda cirkel som motsvarar numret t, det vill säga sint \u003d y.

Definition.

Cosinusnummer T kallas abscissen av enhetens cirkelpunkt som motsvarar numret T, det vill säga kostnad \u003d x.

Definition.

Tangentnummer TS kallar förhållandet av ordinaten till abscissen av punkten av en enda cirkel som motsvarar numret T, det vill säga TGT \u003d Y / X. I en annan ekvivalent formulering av tangentnummer T är förhållandet mellan sinusen av detta nummer till cosinuset, det vill säga TGT \u003d sint / kostnad.

Definition.

Cotangennummer TS Ring AbsCissA-förhållandet till ordinatpunkten för en enda cirkel som motsvarar numret T, det vill säga CTGT \u003d X / Y. En annan formulering är som följer: Tangentnummer T är förhållandet mellan cosinusnummeret T till sinusen av numret T: CTGT \u003d Kostnad / sint.

Här noterar vi att endast dessa definitioner överensstämmer med den definition som anges i början av denna vara. Faktum är att punkten av en enda cirkel som motsvarar numret T med den punkt som erhölls som ett resultat av rotationen av utgångspunkten till vinkeln i T-radianer.

Det är också värt att förtydliga ett sådant ögonblick. Antag att vi spelar in sin3. Hur man förstår sinus av nummer 3 eller om den sinusvinkeln i rotationen i 3 Radian? Vanligtvis är det klart från sammanhanget, annars är det sannolikt inget grundvärde.

Trigonometriska funktioner i det vinkliga och numeriska argumentet

Enligt data i föregående stycke, definitioner, motsvarar varje rotationsvinkel ett helt definierat värde av sina, liksom värdet av COSa. Dessutom motsvarar värdena för TGa till alla rotationsvinklar andra än 90 ° + 180 ° K, K7Z (π / 2 + π · k) motsvarar värdena för TGa och skiljer sig från 180 ° · k, k∈z (π · k) - CTGa-värden. Därför är SINa, COSa, TGa och CTGa funktionen av vinkeln a. Med andra ord är dessa funktioner i vinkelargumentet.

På samma sätt kan du prata om funktionerna i sinus, cosinus, tangent och catangent numeriskt argument. Faktum är att varje giltigt nummer T svarar med ett helt definierat värde av sint, som kostnad. Dessutom motsvarar alla andra än π / 2 + π k, K∈z TGT-värden, och siffrorna π · K, K∈Z är CTGT-värden.

Funktioner sinus, cosinus, tangent och catangens kallas de viktigaste trigonometriska funktionerna.

Det är vanligtvis klart från sammanhanget, med trigonometriska funktioner i det vinkelargument eller numeriska argumentet, vi handlar om. Annars kan vi överväga en oberoende variabel av både vinkelåtgärden (vinkelargument) och det numeriska argumentet.

Skolan studerar emellertid huvudsakligen numeriska funktioner, det vill säga de funktioner vars argument, liksom motsvarande roliga värden, är siffror. Om vi \u200b\u200btalar om funktioner är det därför lämpligt att överväga trigonometriska funktioner med funktionerna i numeriska argument.

Kommunikation av definitioner av geometri och trigonometri

Om vi \u200b\u200bbetraktar rotationsvinkeln α från 0 till 90 grader, är data i samband med trigonometri av sinusdefinitionen, cosinus, tangent och hörnet av hörnet av hörnet helt överensstämmer med definitionerna av sinus, cosinus , tangent och kattens av en akut vinkel i en rektangulär triangel, som ges under geometri. Motivera det.

Bilder i det rektangulära decartian koordinatsystemet av Oxy-koordinatenheten. Observera utgångspunkten A (1, 0). Vi kommer att vända den på vinkeln α från 0 till 90 grader, vi får en punkt A 1 (x, y). Lägre från punkt A 1 på oxaxeln vinkelrätt en 1 h.

Det är lätt att se att i en rektangulär triangelvinkel en 1 OH är lika med rotationsvinkeln a, längden på den justerade OH är lika med det här hörnet av abscisspunkten A 1, det vill säga | OH | \u003d X, Längden av det motsatta hörnet av kategorin A 1 h är lika med punkt A 1, det vill säga | A ^ H | \u003d Y, och längden av OA 1 hypotenus är lika med en, eftersom den är en radie av en enda cirkel. Därefter är per definition av geometrin, sinus av den akuta vinkeln a i den rektangulära triangeln A 1 OH lika med förhållandet mellan den motsatta kategorin till hypotenus, det vill säga sina \u003d | A ^ H | / | OA 1 | \u003d y / 1 \u003d y. Och per definition av trigonometri är den sinusvinkeln för rotation a lika med punkten A 1, det vill säga sina \u003d y. Det framgår att definitionen av sinusen av en spetsig vinkel i en rektangulär triangel är ekvivalent med bestämning av den sinusvinkeln för rotation a med a från 0 till 90 grader.

På liknande sätt kan det visas att definitionerna av cosinus, tangent och katiner av den akuta vinkeln a är förenliga med definitionerna av cosinus, tangent och catangence av rotationsvinkeln a.

Bibliografi.

Geometri. 7-9 klasser: studier. För allmän utbildning. institutioner / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etc.]. - 20th ed. M.: Upplysning, 2010. - 384 c.: Il. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Pogorelov A. V. Geometri: Studier. för 7-9 cl. Allmän utbildning. Institutioner / A. V. Pogorelov. - 2: a ed - m.: Upplysning, 2001. - 224 C.: IL. - ISBN 5-09-010803-x.
Algebra och elementära funktioner: Studiehandbok för gymnasieelever / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redigerad av läkare av fysiska och matematiska vetenskaper O. N. Golovin. - 4: e ed. M.: Upplysning, 1969.
Algebra: Studier. För 9 cl. miljöer SHK. / U. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov; Ed. S. A. Telikovsky. - M.: Utbildning, 1990.- 272 C.: IL.- ISBN 5-09-002727-7
Algebra och startanalys: studier. För 10-11 cl. Allmän utbildning. Institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, etc; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed. - m.: Upplysning, 2004.-84 c.: Il.- ISBN 5-09-013651-3.
Mordkovich A. G. Algebra och startanalys. Grad 10. I 2 tsk. 1: lärobok för allmänna utbildningsinstitutioner (profilnivå) / A. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4: e ed., Extra. - m.: Mnemozina, 2007. - 424 s.: Il. ISBN 978-5-346-00792-0.
Algebra och började matematisk analys. Betyg 10: studier. För allmän utbildning. Institutioner: Grundläggande och profil. Nivåer / [yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Ed. A. B. Zhizchenko. - 3: e ed. - och.: Upplysning, 2010.-368 c.: IL.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M. I. Algebra och startanalys: Studier. För 10-11 cl. miljöer SHK. - 3: e ed. - M.: Upplysning, 1993. - 351 c: Il. - ISBN 5-09-004617-4.
GUSEV V. A., Mordkovich A. G. Matematik (fördel för sökande i tekniska skolor): Studier. Förmån. - M.; Högre. SHK., 1984.-351 s., Il.

Ursprungligen uppstod sinus och Cosinus på grund av behovet av att beräkna värdena i rektangulära trianglar. Det sågs att om värdet av graden av vinklar i den rektangulära triangeln inte ändras, är det aspektförhållandet mellan hur dessa parter förändras i längd, alltid detsamma.

Det var hur begreppen sinus och cosinus introducerades. Sine av en spetsig vinkel i en rektangulär triangel är förhållandet mellan den motsatta katekan för hypotenus, och cosinusen ligger intill hypotenusen.

Cosinus och sinus teorems

Men cosines och sys kan användas inte bara i rektangulära trianglar. För att hitta värdet av en dum eller akut vinkel, sidan av någon triangel, är det tillräckligt att applicera cosinus och sinusteorem.

Cosine-teoremet är ganska enkelt: "Triangens kvadratsida är lika med summan av de två andra parternas summan minus den dubbla produkten av dessa sidor på cosinusen i vinkeln mellan dem."

Det finns två tolkningar av sinusen teorem: liten och förlängd. Enligt LOW: "I triangeln är vinklarna proportionella mot motsatta parter." Denna teorem expanderas ofta av egenskapen hos omkretsen som beskrivs nära triangeln: "I triangeln är vinklarna proportionella mot motsatta parter, och deras förhållande är lika med diametern hos den beskrivna cirkeln."

Derivat

Derivatet är ett matematiskt verktyg som visar hur funktionen ändras i förhållande till förändringen av sitt argument. Derivaten används, geometri och ett antal tekniska discipliner.

Vid lösning av problem måste du veta tabellvärdena för derivat trigonometriska funktioner: sinus och cosinus. Det sinusiverande är cosinus, och cosinuset är sinus, men med ett minustecken.

Ansökan i matematik

I synnerhet används bihålor och cosiner för att lösa rektangulära trianglar och uppgifter i samband med dem.

Bekvämligheten med sinus och Cosinus återspeglas i tekniken. Korn och parterna utvärderades helt enkelt av teorema av cosinus och bihålor, vilket bröt de komplexa figurerna och föremålen på de "enkla" trianglarna. Ingenjörer och, som ofta hanterar beräkningarna av bildförhållandet och graden, spenderade mycket tid och ansträngning för att beräkna cosinus och bihålor är inte tabulära vinklar.

Då kom "på sinnet" Brady bord som innehöll tusentals sinus värderingar, cosines, tangenter och kedjor av olika vinklar. I sovjetiska tider tvingade vissa lärare sina avdelningssidor av Bradys bord av hjärtat.

Radine - bågens vinkelsträcka, i längd lika med radien eller 57,295779513 ° grader.

Grad (i geometri) - 1/360 av cirkeln eller 1/90: e delen av den direkta vinkeln.

π \u003d 3.141592653589793238462 ... (ungefärligt värde av numret PI).

Tabell av cosinus för vinklar: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 ° , 330 °, 360 °.

Vinkel x (i grader)	0°	30 °	45 °	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300 °	315 °	330 °	360 °
Vinkel x (i radianer)	0	π / 6.	π / 4.	π / 3.	π / 2.	2 x π / 3	3 x π / 4	5 x π / 6	π	7 x π / 6	5 x π / 4	4 x π / 3	3 x π / 2	5 x π / 3	7 x π / 4	11 x π / 6	2 x π.
cos X.	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Attityden hos den motsatta kategorin för hypotenus kallas sinus av akut vinkel rektangulär triangel.

\\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (a) (c)

Cosinus av akut vinkel av en rektangulär triangel

Attityden i den närliggande kategorin för hypotenus kallas cosinus av akut hörn rektangulär triangel.

\\ Cos \\ alpha \u003d \\ frac (b) (c)

Tangent av akut hörn av en rektangulär triangel

Attityden hos den motsatta kategorin till det närliggande kateten kallas tangent av akut hörn rektangulär triangel.

tG \\ ALPHA \u003d \\ FRAC (A) (B)

Cotangenes av den akuta vinkeln på den rektangulära triangeln

Attityden i den närliggande kategorin till motsatt katet kallas kotangens av akut hörn rektangulär triangel.

cTG \\ Alpha \u003d \\ frac (b) (a)

Sinus godtycklig vinkel

Punktens ordning på enhetens cirkel, som motsvarar vinkeln \\ Alpha-samtalet sinus godtycklig vinkel Vänd \\ Alpha.

\\ sin \\ alpha \u003d y

Cosinus av en godtycklig vinkel

Abscissapunkten på enhetscirkeln, vilket motsvarar vinkeln \\ Alpha kallas cosinus av en godtycklig vinkel Vänd \\ Alpha.

\\ cos \\ alpha \u003d x

Tangent godtycklig vinkel

Förhållandet mellan sinus med en godtycklig rotationsvinkel \\ Alpha till hans cosinus kallas tangent godtycklig vinkel Vänd \\ Alpha.

tG \\ alpha \u003d y_ (a)

tG \\ Alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

Cotanens av en godtycklig vinkel

Attityden hos cosinusen av en godtycklig rotationsvinkel \\ Alpha till sin sinus kallas cotangen godtycklig vinkel Vänd \\ Alpha.

ctg \\ alpha \u003d x_ (a)

ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)

Ett exempel på att hitta en godtycklig vinkel

Om \\ Alpha är en viss vinkel av AOM, där M är en punkt av en enda cirkel, då

\\ sin \\ alpha \u003d y_ (m), \\ cos \\ alpha \u003d x_ (m), tG \\ Alpha \u003d \\ frac (y_ (m)) (x_ (m)), cTG \\ alpha \u003d \\ frac (x_ (m)) (y_ (m)).

Till exempel, om \\ Vinkel aom \u003d - \\ frac (\\ pi) (4)Då: Ordinatpunkten M är lika - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2), abscissa är lika \\ Frac (\\ sqrt (2)) (2) och det är varför

\\ sin \\ vänster (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ höger) \u003d - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

\\ Cos \\ vänster (\\ frac (\\ pi) (4) \\ höger) \u003d \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

tg.;

cTG. \\ vänster (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ höger) \u003d - 1.

Bord av sinus bihålor av Cotangens Tangents

Värdena för de huvudsakliga vikta vinklarna visas i tabellen:

	0 ^ (\\ circ) (0)	30 ^ (\\ circ) \\ vänster (\\ frac (\\ pi) (6) \\ höger)	45 ^ (\\ circ) \\ vänster (\\ frac (\\ pi) (4) \\ höger)	60 ^ (\\ circ) \\ vänster (\\ frac (\\ pi) (3) \\ höger)	90 ^ (\\ circ) \\ vänster (\\ frac (\\ pi) (2) \\ höger)	180 ^ (\\ circ) \\ vänster (\\ pi \\ höger)	270 ^ (\\ circ) \\ vänster (\\ frac (3 \\ pi) (2) \\ höger)	360 ^ (\\ circ) \\ vänster (2 \\ pi \\ höger)
\\ sin \\ alfa	0	\\ Frac12.	\\ Frac (\\ sqrt 2) (2)	\\ Frac (\\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\\ Cos \\ alpha	1	\\ Frac (\\ sqrt 3) (2)	\\ Frac (\\ sqrt 2) (2)	\\ Frac12.	0	−1	0	1
tG \\ Alpha.	0	\\ Frac (\\ sqrt 3) (3)	1	\\ Sqrt3.	—	0	—	0
cTG \\ Alpha.	—	\\ Sqrt3.	1	\\ Frac (\\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

Förhållandena mellan de viktigaste trigonometriska funktionerna - sinus, cosinus, tangent och catangent - är inställda trigonometriska formler. Och eftersom det finns många anslutningar mellan trigonometriska funktioner, förklaras också överflöd av trigonometriska formler av detta. Vissa formler binder trigonometriska funktioner i samma vinkel, andra - funktionerna i en multipelvinkel, den tredje - tillåter att minska graden, den fjärde - för att uttrycka alla funktioner genom en halv vinkel tangent, etc.

I den här artikeln listar vi alla större trigonometriska formler som är tillräckliga för att lösa de överväldigande majoriteten av trigonometriska problem. För att underlätta memorisering och användning, kommer vi att gruppera dem med avsikt och gå in i tabellen.

Navigeringssida.

Grundläggande trigonometriska identiteter

Grundläggande trigonometriska identiteter Ställ in förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och kattenscent i ett hörn. De flyter ut ur definitionen av sinus, cosinus, tangent och catangent, liksom begreppen i en enda cirkel. De låter dig uttrycka en trigonometrisk funktion genom någon annan.

En detaljerad beskrivning av dessa trigonometriformler, deras slutsats och exempel på ansökan ser artikeln.

Formler av gjutet

Formler av gjutet Följ av egenskaperna hos sinus, cosinus, tangent och catangent, det vill säga de återspeglar egenskaperna hos trigonometriska funktioner, symmetriegenskapen, liksom skiftegenskapen för vinkeln. Dessa trigonometriska formler gör att du kan arbeta med godtyckliga vinklar för att växla till drift med vinklar som sträcker sig från noll till 90 grader.

Bakgrunden till dessa formler, den mnemoniska regeln för deras memorisering och exempel på deras ansökan kan undersökas i artikeln.

Formler tillägg

Trigonometrisk formler tillägg Visa, som trigonometriska funktioner av summan eller skillnaden i två vinklar, uttrycks genom de trigonometriska funktionerna hos dessa vinklar. Dessa formler fungerar som en bas för slutsatsen efter trigonometriska formler.

Formler Dubbel, Triple, etc. Vinkel

Formler Dubbel, Triple, etc. Vinkeln (de kallas också flera hörnformler) visar hur trigonometriska funktioner av dubbel, trippel etc. Vinklarna () uttrycks genom de trigonometriska funktionerna i den enda vinkeln. Deras slutsats är baserad på tilläggsformler.

Mer detaljerad information samlas in i artikeln med dubbel, trippel etc. hörn.

Formler av halvvinkel

Formler av halvvinkel Show, som trigonometriska funktioner av en halv vinkel uttrycks genom en kosineus i en hel vinkel. Dessa trigonometriska formler följer av formlerna i dubbelvinkeln.

Deras slutsats och exempel på ansökan kan ses i artikeln.

Examensreduceringsformler

Trigonometriska grader reduktionsformler Det kallas att främja övergången från naturliga grader av trigonometriska funktioner till sinus och cosinus i första graden, men flera hörn. Med andra ord tillåter de att minska graderna av trigonometriska funktioner till den första.

Formler av summan och skillnaden i trigonometriska funktioner

huvudmål formler av summan och skillnaden i trigonometriska funktioner Det är att byta till produkten av funktioner, vilket är mycket användbart när man förenklar trigonometriska uttryck. Dessa formler används också i stor utsträckning för att lösa trigonometriska ekvationer, eftersom de tillåter oss att lägga ut summan och skillnaden i bihålor och cosinus.

Formler fungerar av bihålor, cosinus och sinus på cosinus

Övergången från produkten av trigonometriska funktioner till mängden eller skillnaden utförs av formlerna av kinesiska verk, cosinus och sinus på cosinusen.

Bashmakov M. I. Algebra och startanalys: Studier. För 10-11 cl. miljöer SHK. - 3: e ed. - M.: Upplysning, 1993. - 351 c: Il. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra och startanalys: studier. För 10-11 cl. Allmän utbildning. Institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, etc; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed. - m.: Upplysning, 2004.-84 c.: Il.- ISBN 5-09-013651-3.

GUSEV V. A., Mordkovich A. G. Matematik (fördel för sökande i tekniska skolor): Studier. Förmån. - M.; Högre. SHK., 1984.-351 s., Il.

Upphovsrätt av Cleverstudents.

Alla rättigheter förbehållna.
Guards upphovsrättslag. Ingen del av webbplatsen www.site, inklusive interna material och extern design, kan inte reproduceras i någon form eller användning utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.

Begreppen sinus, cosinus, tangent och catangenes är huvudkategorierna av trigonometri - avsnitt av matematik, och är oupplösligt kopplade till definitionen av vinkeln. I besittning av denna matematiska vetenskap kräver memorisering och förståelse av formler och teorier, liksom utvecklat rumsligt tänkande. Det är därför som skolbarn och studenter har trigonometriska beräkningar orsakar ofta svårigheter. För att övervinna dem är det nödvändigt att bekanta sig med trigonometriska funktioner och formler.

Begrepp i trigonometri

För att förstå de grundläggande begreppen trigonometri måste du först bestämma vad som är en rektangulär triangel och vinkel i omkretsen, och varför alla grundläggande trigonometriska beräkningar är kopplade till dem. Den triangel i vilken en av hörnen har ett värde av 90 grader, är rektangulär. Historiskt sett användes denna siffra ofta av människor i arkitektur, navigering, konst, astronomi. Följaktligen studerade och analyserar egenskaperna i denna siffra, folk kom till beräkningen av motsvarande förhållanden av sina parametrar.

Huvudkategorier i samband med rektangulära trianglar - hypotenuse och Katenets. Hypotenuse - en triangel sida som ligger mot ett rakt hörn. Kartets respektive är det de andra två sidorna. Mängden vinklar av några trianglar är alltid lika med 180 grader.

Sfärisk trigonometri - en del av trigonometri som inte studeras i skolan, men i tillämpad vetenskap som astronomi och geodesi använder forskare det. Funktionen hos triangeln i sfärisk trigonometri är att den alltid har mängden hörn på mer än 180 grader.

Triangel hörn

I den rektangulära triangeln är sinusvinkeln förhållandet mellan katekeen, motsatta det önskade hörnet, till triangeln hypotenneus. Följaktligen är cosinuset förhållandet mellan de intilliggande katek- och hypotenuserna. Båda dessa värden har alltid en storlek mindre än en enhet, eftersom hypotenus alltid är längre än kategorin.

Vinkeln Tangent är värdet som är lika med förhållandet mellan den motsatta kategorin till det intilliggande kateten i den ursprungliga vinkeln eller sinus till cosinusen. Kotangenes är i sin tur förhållandet mellan den intilliggande kategorin av den önskade vinkeln mot den motsatta catet. Cotangent vinkel kan också erhållas genom att dividera enheten till värdet av tangent.

Enkel cirkel

En enda cirkel i geometri är en cirkel, vars radie är lika med en. En sådan cirkel är inbyggd i det kartesiska koordinatsystemet, medan mitten av cirkeln sammanfaller med ursprungsstället, och den ursprungliga positionen hos radiusvektorn bestäms av den positiva riktningen av X-axeln (AbsCissa-axeln). Varje punkt i cirkeln har två koordinater: XX och YY, det vill säga koordinaterna för abscissen och ordinaten. Välja vilken punkt som helst i omkretsen i XX-planet och droppar med det vinkelrätt mot abscissaxeln, får vi en rektangulär triangel som bildas av radien till den valda punkten (vi betecknar det med bokstaven c), den vinkelräta som utförs till axeln X (skärningspunkten betecknas med bokstaven G) och segmentet Abscissa-axeln mellan koordinatens början (punkten indikeras av bokstaven A) och skärningspunkten G. Den resulterande ASG-triangeln är en rektangulär triangel, inskriven i en cirkel, där AG är hypotenus, och AC och GC är Katenets. Vinkeln mellan radien av cirkeln av AG och segmentet av abscissa-axeln med beteckningen AG, vi definierar som a (alfa). Så, cos a \u003d ag / ac. Med tanke på att AC är radie av en enda cirkel, och det är lika med en, visar det sig att COS α \u003d AG. På samma sätt, synd α \u003d cg.

Dessutom kan man veta att dessa data bestäms av koordinaten av punkten C på cirkeln, eftersom COS-a \u003d Ag och Sin a \u003d CG, det betyder att punkten C har de angivna koordinaterna (COS a; sin α). Att veta att tangenten är lika med förhållandet mellan sinus till cosinusen, kan det bestämmas att Tg a \u003d y / x och ctg a \u003d x / y. Med tanke på vinklarna i det negativa koordinatsystemet är det möjligt att beräkna att värdena för sinus och cosinus av vissa vinklar kan vara negativa.

Beräkningar och grundläggande formler

Värden av trigonometriska funktioner

Efter att ha behandlat kärnan i trigonometriska funktioner via en enda cirkel kan du mata ut värdena för dessa funktioner för vissa vinklar. Värdena är listade i tabellen nedan.

Enkelaste trigonometriska identiteter

Ekvationer där ett okänt värde är närvarande under en trigonometrisk funktion, kallas trigonometrisk. Identiteter med SIN-värdet X \u003d α, K - något heltal:

synd x \u003d 0, x \u003d πk.
2. synd x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
synd x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
synd x \u003d a, | a | \u003e 1, inga lösningar.
synd x \u003d a, | a | ≦ 1, x \u003d (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Identiteter med värdet av COS X \u003d A, där K är något heltal:

cos x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
cos x \u003d 1, x \u003d 2πk.
cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
cos X \u003d A, | A | \u003e 1, inga lösningar.
cos X \u003d A, | A | ≦ 1, x \u003d ± arccos α + 2πk.

Identiteter med värdet av Tg x \u003d A, där K är något heltal:

tg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
tG X \u003d A, X \u003d Arctg α + πk.

Identiteter med CTG X \u003d A, där K är något heltal:

cTG X \u003d 0, X \u003d π / 2 + πk.
cTG X \u003d A, X \u003d ARCCTG α + πk.

Formler av gjutet

Denna kategori av permanenta formler betecknar metoder som du kan flytta från trigonometriska funktioner i formuläret till argumentets funktioner, det vill säga med sinus, cosinus, tangent och hörnet av något värde till motsvarande index av vinkeln på sträcker sig från 0 till 90 grader för större bekvämlighet för beräkning.

Formlerna för att få funktioner för sinusvinkel ser ut som:

synd (900 - α) \u003d α;
sIN (900 + α) \u003d COS α;
synd (1800 - α) \u003d synd α;
sIN (1800 + α) \u003d -Sin a;
sIN (2700 - α) \u003d -cos a;
sIN (2700 + α) \u003d -cos a;
sIN (3600 - α) \u003d -Sin a;
sIN (3600 + α) \u003d sin a.

För cosinusvinkel:

cos (900 - α) \u003d sin a;
cOS (900 + α) \u003d -Sin a;
cOS (1800 - α) \u003d -cos a;
cos (1800 + α) \u003d -cos a;
cOS (2700 - a) \u003d -Sin a;
cos (2700 + α) \u003d sin a;
cOS (3600 - α) \u003d COS α;
cOS (3600 + α) \u003d COS α.

Användningen av ovanstående formler är möjlig när de följs av två regler. För det första, om vinkeln kan representeras som ett värde (π / 2 ± A) eller (3π / 2 ± A) varierar värdet av funktionen:

med synd på cos;
med cos på synd;
med TG på CTG;
med CTG på TG.

Funktionsvärdet förblir oförändrat om vinkeln kan representeras som (π ± A) eller (2π ± A).

För det andra ändras inte tecknet på ovanstående funktion: om det ursprungligen var positivt, så kvarstår. På samma sätt med negativa funktioner.

Formler tillägg

Dessa formler uttrycker storleken på sinus, cosinus, tangent och catangent summa och skillnaden i två rotationsvinklar genom sina trigonometriska funktioner. Vanligtvis indikeras vinklarna som a och p.

Formler har detta slag:

sIN (α ± β) \u003d synd α * cos β ± cos a * synd.
cos (α ± β) \u003d cos a * cos β ∓ sin α * synd.
tg (α ± p) \u003d (Tg a ± Tg p) / (1 ∓ Tg a * Tg p).
cTG (a ± p) \u003d (-1 ± CTG α * CTG p) / (CTG a ± CTG p).

Dessa formler är giltiga för eventuella värden av vinklarna a och p.

Dubbel och trippelvinkelformler

Trigonometriska formler av en dubbel- och trippelvinkel är formler som binder effekten av vinklarna 2a och 3a, med trigonometriska funktioner i vinkeln a. Visar från formler:

sin2α \u003d 2sinα * cosα.
cos2α \u003d 1 - 2sin ^ 2 a.
tG2a \u003d 2TGa / (1 - Tg ^ 2 a).
sin3α \u003d 3sinα - 4sin ^ 3 a.
cos3α \u003d 4cos ^ 3 a - 3cosα.
tG3a \u003d (3TGa-Tg ^ 3 a) / (1-Tg ^ 2 a).

Övergång från beloppet till arbetet

Med tanke på att 2sinx * mysig \u003d synd (x + y) + synd (X-y), förenkling av denna formel, erhåller vi identiteten Sina + SINβ \u003d 2SIN (a + p) / 2 * COS (a-p) / 2. På samma sätt, Sinα - sinp \u003d 2sin (a-p) / 2 * COS (a + p) / 2; COSa + COSP \u003d 2COS (a + p) / 2 * COS (a-p) / 2; COSa-COSP \u003d 2SIN (a + p) / 2 * SIN (a-p) / 2; TGa + Tgp \u003d SIN (a + p) / COSa * COSP; TGa-Tgp \u003d SIN (a-p) / COSa * COSP; COSa + Sinα \u003d √2sin (π / 4 ∓ α) \u003d √2cos (π / 4 ± a).

Övergång från arbetet till beloppet

Dessa formler följer av övergångsbeloppets identitet i arbetet:

sinα * sinp \u003d 1/2 *;
cOSa * COSP \u003d 1/2 *;
sinα * Cosβ \u003d 1/2 *.

Examensreduceringsformler

I dessa identiteter kan torget och kubikgraden av sinus och cosinus uttryckas genom sinus och cosinus i den första graden av flera hörn:

sIN ^ 2 a \u003d (1 - COS2a) / 2;
cos ^ 2 a \u003d (1 + cos2a) / 2;
sIN ^ 3 α \u003d (3 * sina - sin3a) / 4;
cOS ^ 3 α \u003d (3 * COSa + COS3a) / 4;
sIN ^ 4 a \u003d (3 - 4COS2a + COS4a) / 8;
cOS ^ 4 a \u003d (3 + 4COS2a + COS4a) / 8.

Universell substitution

Formlerna för den universella trigonometriska substitutionsuttrycket trigonometriska fungerar genom en halv vinkel tangent.

sIN X \u003d (2TGX / 2) * (1 + Tg ^ 2 x / 2), med x \u003d π + 2πn;
cos x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (1 + tg ^ 2 x / 2), där x \u003d π + 2πn;
tG X \u003d (2TGX / 2) / (1 - Tg ^ 2 x / 2), där x \u003d π + 2πn;
cTG X \u003d (1 - Tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), med x \u003d π + 2πn.

Privata fall

Privata fall av de enklaste trigonometriska ekvationerna visas nedan (K - något heltal).

Privat för sinus:

Synd x	Värdet av X.
0	πk.
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk eller 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk eller -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk eller 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk eller -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk eller 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk eller -2π / 3 + 2πk

Privat för Cosine:

Cos X.	Vilket betyder H.
0	π / 2 + 2πk
1	2πk.
-1	2 + 2πk.
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

Privat för tangent:

Tg x	Vilket betyder H.
0	πk.
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

Privat för Kotnence:

CTG X-värde	Värdet av X.
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

Teorems.

Sinusoveorem

Det finns två alternativ på teorem - enkelt och avancerat. Enkel Sinus Teorem: A / SIN α \u003d B / SIN β \u003d C / SIN γ. Samtidigt, A, B, C - sidorna av triangeln, respektive α, p, y, motsatta vinklar.

Utökad sinusteorem för en godtycklig triangel: A / SIN α \u003d B / SIN β \u003d C / SIN γ \u003d 2R. I denna identitet betecknar R radien av cirkeln där den angivna triangeln är inskriven.

Kosinus teorem

Identiteten visas på detta sätt: A ^ 2 \u003d B ^ 2 + C ^ 2 - 2 * B * C * COS α. I formeln A, B, C - sidorna av triangeln och a är en vinkel, motsatt sida a.

Tangentseeorem

Formeln uttrycker förhållandet mellan tangenterna i två vinklar, och parternas längd, de motsätter sig. Parterna indikeras som A, B, C, och motsvarande motsatta vinklar är a, β, y. Formeln för tangenten theorems: (a-b) / (a \u200b\u200b+ b) \u003d tg ((a-p) / 2) / tg ((a + p) / 2).

Kotnensteorem

Binder den radius inskriven i cirkelns triangel med längden på dess sidor. Om A, B, C-sidor av triangeln, respektive A, C, s, motsatta vinklarna, är R är den inskriven cirkelns radie och P är halvversionsmaskinen av triangeln, är sådana identiteter giltiga:

cTG A / 2 \u003d (p-A) / R;
cTG B / 2 \u003d (P-B) / R;
cTG C \u200b\u200b/ 2 \u003d (p-C) / R.

Ansökan

Trigonometri är inte bara den teoretiska vetenskapen i samband med matematiska formler. Dess egenskaper, teorier och regler är i praktiken olika industrier av mänsklig verksamhet - astronomi, luft och navigering, musikteori, geodesi, kemi, akustik, optik, elektronik, arkitektur, ekonomi, teknik, mätarbete, datorgrafik, kartografi, oceanografi, och många andra.

Sinus, Kosinus, Tangent och Kotangenes - de grundläggande begreppen trigonometri, med vilken den kan matematiskt, kan uttrycka relationer mellan vinklarna och längderna på parterna i triangeln och hitta de önskade värdena genom identiteterna, teoremerna och förordningarna .