Videregående utdanning

UMK linje G.K. Muravin. Algebra og begynnelsen på matematisk analyse (10-11) (inngående)

UMK Merzlyak linje. Algebra og begynnelsen av analysen (10-11) (U)

Matte

Forberedelse til eksamen i matematikk (profilnivå): oppgaver, løsninger og forklaringer

Vi analyserer oppgaver og løser eksempler med en lærer

Eksamensarbeidet på profilnivå varer 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Minimum terskel - 27 poeng.

Eksamenoppgaven består av to deler, som varierer i innhold, kompleksitet og antall oppgaver.

Det definerende trekk ved hver del av arbeidet er form for oppgaver:

• del 1 inneholder 8 oppgaver (oppgaver 1-8) med et kort svar i form av et heltall eller en endelig desimalbrøk;
• del 2 inneholder 4 oppgaver (oppgaver 9-12) med et kort svar i form av et heltall eller en endelig desimalbrøk og 7 oppgaver (oppgaver 13-19) med et detaljert svar (fullstendig oversikt over løsningen med begrunnelse for utførte handlinger).

Panova Svetlana Anatolyevna, lærer i matematikk av høyeste skolekategori, arbeidserfaring 20 år:

“For å få et skolebevis må en kandidat bestå to obligatoriske eksamener i form av Unified State Exam, hvorav den ene er matematikk. I samsvar med konseptet for utvikling av matematisk utdanning i Russland er Unified State Exam in Mathematics delt inn i to nivåer: grunnleggende og spesialisert. I dag vil vi vurdere alternativer for profilnivået. "

Oppgave nummer 1 - tester USE-deltakernes evne til å anvende ferdighetene som ervervet i løpet av 5-9 trinn i elementær matematikk i praktiske aktiviteter. Deltakeren må ha beregningsferdigheter, kunne arbeide med rasjonelle tall, kunne avrunde desimalbrøker, kunne konvertere en måleenhet til en annen.

Eksempel 1. I leiligheten der Peter bor, ble det installert en kaldt vannmåler (meter). 1. mai viste måleren et forbruk på 172 kubikkmeter. m vann, og 1. juni - 177 kubikkmeter. m. Hvilket beløp skal Peter betale for kaldt vann i mai, hvis prisen på 1 cu. m kaldt vann er 34 rubler 17 kopekk? Gi svaret ditt i rubler.

Beslutning:

1) Finn mengden vann brukt per måned:

177 - 172 \u003d 5 (kubikkmeter)

2) La oss finne ut hvor mye penger som skal betales for vannet som brukes:

34,17 5 \u003d 170,85 (gni)

Svar: 170,85.

Oppgave nummer 2-er en av de enkleste eksamensoppgavene. De fleste nyutdannede takler det med suksess, noe som indikerer at de har mestret definisjonen av funksjonsbegrepet. Type oppgave nummer 2 i henhold til kravene kodifier er en oppgave for å bruke tilegnet kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdag. Oppgave nummer 2 består av beskrivelsen ved å bruke funksjoner av forskjellige reelle forhold mellom mengdene og tolkningen av deres grafer. Oppgave nummer 2 tester evnen til å hente ut informasjon presentert i tabeller, diagrammer, grafer. Nyutdannede må være i stand til å bestemme verdien til en funksjon av verdien av argumentet på forskjellige måter å definere en funksjon og beskrive oppførselen og egenskapene til en funksjon ved hjelp av grafen. Det er også nødvendig å kunne finne den høyeste eller laveste verdien på grafen til funksjonen og å plotte grafene til de studerte funksjonene. Feilene som er gjort er tilfeldige når du leser problemstillingen og leser diagrammet.

# ADVERTISING_INSERT #

Eksempel 2. Figuren viser endringen i markedsverdien til en andel i et gruveselskap i første halvdel av april 2017. 7. april kjøpte forretningsmannen 1000 aksjer i dette selskapet. 10. april solgte han tre fjerdedeler av de kjøpte aksjene, og 13. april solgte han resten. Hvor mye tapte forretningsmannen på grunn av disse operasjonene?

Beslutning:

2) 1000 3/4 \u003d 750 (aksjer) - utgjør 3/4 av alle kjøpte aksjer.

6) 247500 + 77500 \u003d 325000 (rubler) - forretningsmannen mottok etter salget av 1000 aksjer.

7) 340 000 - 325 000 \u003d 15 000 (rubler) - forretningsmannen tapte som et resultat av alle operasjoner.

Svar: 15000.

Oppgave nummer 3- er en oppgave av grunnnivået til den første delen, tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former i henhold til innholdet i kurset "Planimetri". I oppgave 3 testes evnen til å beregne arealet til en figur på rutet papir, evnen til å beregne gradsmålene til vinkler, beregne omkretsene osv.

Eksempel 3. Finn området til et rektangel avbildet på rutete papir med en cellestørrelse på 1 cm x 1 cm (se figur). Gi svaret ditt i kvadratcentimeter.

Beslutning: For å beregne arealet til en gitt form, kan du bruke Pick-formelen:

For å beregne arealet til dette rektangelet, bruker vi Pick-formelen:

S \u003d B +	D
	2

der B \u003d 10, G \u003d 6, derfor

S = 18 +	6
	2

Svar: 20.

Se også: Unified State Exam in Physics: Solving Oscillation Problems

Oppgave nummer 4 - oppgaven til kurset "Sannsynlighetsteori og statistikk". Evnen til å beregne sannsynligheten for en hendelse i den enkleste situasjonen blir testet.

Eksempel 4. Det er fem røde og 1 blå punkter merket på sirkelen. Bestem hvilke polygoner det er flere: de med alle hjørnene er røde, eller de som har en av hjørnene blå. I svaret ditt, angi hvor mange av noen som er flere enn andre.

Beslutning: 1) Vi bruker formelen for antall kombinasjoner fra n elementer av k:

der alle toppunktene er røde.

3) En femkant med alle hjørnene røde.

4) 10 + 5 + 1 \u003d 16 polygoner med alle hjørner røde.

hvis hjørner er røde eller med ett blå toppunkt.

hvis hjørner er røde eller med ett blå toppunkt.

8) En sekskant, med røde topper med en blå topp.

9) 20 + 15 + 6 + 1 \u003d 42 polygoner der alle hjørner er røde eller med ett blå toppunkt.

10) 42 - 16 \u003d 26 polygoner ved hjelp av det blå punktet.

11) 26 - 16 \u003d 10 polygoner - hvor mange polygoner med en av toppunktene - et blått punkt, mer enn polygoner med alle toppunktene bare røde.

Svar: 10.

Oppgave nummer 5 - det grunnleggende nivået i den første delen tester evnen til å løse de enkleste ligningene (irrasjonell, eksponentiell, trigonometrisk, logaritmisk).

Eksempel 5. Løs ligningen 2 3 + x \u003d 0,4 5 3 + x .

Beslutning. Del begge sider av denne ligningen med 5 3 + x ≠ 0, vi får

2 3 + x	\u003d 0,4 eller		2		3 + x	=	2	,
5 3 + x			5				5

hvorfra følger det at 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Oppgave nummer 6 på planimetri for å finne geometriske størrelser (lengder, vinkler, områder), modellering av reelle situasjoner på geometrispråket. Forskning på konstruerte modeller ved hjelp av geometriske begreper og teoremer. Kilden til vanskeligheter er som regel uvitenhet eller feil anvendelse av de nødvendige planimetiske teorier.

Område av en trekant ABC er lik 129. DE - midtlinjen parallelt med siden AB... Finn området til trapesformet EN SENG.

Beslutning. Triangel CDE som en trekant DROSJE i to hjørner, siden toppunktvinkelen C generelt, vinkel CDE lik vinkelen DROSJE som tilsvarende vinkler ved DE || AB sekant AC... Som DE - midtlinjen i trekanten etter tilstand, deretter etter egenskapen til midtlinjen | DE = (1/2)AB... Dette betyr at likhetskoeffisienten er 0,5. Områdene til slike figurer er derfor relatert til kvadratet av likhetskoeffisienten

Derfor, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Oppgave nummer 7- sjekker anvendelsen av derivatet til studiet av funksjonen. For vellykket implementering kreves en meningsfull, ikke-formell kunnskap om begrepet derivat.

Eksempel 7. Gå til funksjonsgrafen y = f(x) på det punktet med abscissen x 0 tegnes en tangens som er vinkelrett på den rette linjen som går gjennom punktene (4; 3) og (3; –1) i denne grafen. Finne f′( x 0).

Beslutning. 1) La oss bruke ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter og finne ligningen til en rett linje som går gjennom punktene (4; 3) og (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x - 13, hvor k 1 = 4.

2) Finn hellingen til tangenten k 2, som er vinkelrett på den rette linjen y = 4x - 13, hvor k 1 \u003d 4, i henhold til formelen:

3) Tangensens skråning er avledet av funksjonen på tangenspunktet. Derfor, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Oppgave nummer 8- tester eksamensdeltakernes kunnskap om elementær stereometri, evnen til å bruke formler for å finne områdene av overflater og volum av figurer, tovinklede vinkler, for å sammenligne volumene av lignende figurer, for å kunne utføre handlinger med geometriske figurer, koordinater og vektorer, etc.

Volumet på kuben som er beskrevet rundt sfæren er 216. Finn sfærens radius.

Beslutning. 1) V kube \u003d en 3 (hvor og Er lengden på kubens kant), derfor

og 3 = 216

og = 3 √216

2) Siden kule er innskrevet i en terning, betyr det at kuleens diameter er lik lengden på kubens kant, derfor d = en, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Oppgave nummer 9 - krever fra den utdannede ferdighetene til å konvertere og forenkle algebraiske uttrykk. Oppgave nummer 9 med økt vanskelighetsgrad med et kort svar. Oppgaver fra seksjonen "Beregninger og transformasjoner" i eksamen er delt inn i flere typer:

konvertering av numeriske rasjonelle uttrykk;

transformasjoner av algebraiske uttrykk og brøker;

konvertering av numeriske / alfabetiske irrasjonelle uttrykk;

handlinger med grader;

transformasjon av logaritmiske uttrykk;

1. konvertering av numeriske / alfabetiske trigonometriske uttrykk.

Eksempel 9. Beregn tgα hvis det er kjent at cos2α \u003d 0,6 og

3π	< α < π.
4

Beslutning. 1) Vi vil bruke formelen til dobbeltargumentet: cos2α \u003d 2 cos 2 α - 1 og finne

tg 2 α \u003d	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Derfor er tg 2 α \u003d ± 0,5.

3) Etter tilstand

3π	< α < π,
4

derfor er α vinkelen til II-kvartalet og tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Oppgave nummer 10- tester studentenes evne til å bruke tidlig tilegnet kunnskap og ferdigheter i praksis og hverdag. Vi kan si at dette er problemer i fysikk, og ikke i matematikk, men alle nødvendige formler og størrelser er gitt i tilstanden. Oppgavene er redusert til å løse en lineær eller kvadratisk ligning, eller en lineær eller kvadratisk ulikhet. Derfor er det nødvendig å kunne løse slike ligninger og ulikheter, og bestemme svaret. Svaret skal være enten et heltall eller en endelig desimalbrøk.

To kropper som veier m \u003d 2 kg hver, beveger seg i samme hastighet v \u003d 10 m / s i en vinkel på 2α til hverandre. Energien (i joule) som frigjøres under deres absolutt uelastiske kollisjon, bestemmes av uttrykket Q = mv 2 sin 2 α. Hva er den minste vinkelen 2α (i grader) bør kroppene bevege seg for å frigjøre minst 50 joule som et resultat av kollisjonen?
Beslutning. For å løse problemet, må vi løse ulikheten Q ≥ 50, i intervallet 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Siden α ∈ (0 °; 90 °), vil vi bare løse

La oss representere løsningen av ulikheten grafisk:

Siden det ved tilstand α ∈ (0 °; 90 °) betyr det 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Oppgave nummer 11 - er typisk, men viser seg å være vanskelig for studenter. Den viktigste kilden til vanskeligheter er å bygge en matematisk modell (ligning skriving). Oppgave nummer 11 tester evnen til å løse ordproblemer.

Eksempel 11. I løpet av vårpausen måtte 11-klassingen Vasya løse 560 opplæringsproblemer for å forberede seg på Unified State Exam. 18. mars, den siste skoledagen, løste Vasya 5 problemer. Hver dag løste han like mange oppgaver mer enn forrige dag. Bestem hvor mange problemer Vasya løste 2. april på den siste dagen av ferien.

Beslutning: Vi betegner en 1 \u003d 5 - antall oppgaver Vasya løste 18. mars, d - det daglige antall oppgaver løst av Vasya, n \u003d 16 - antall dager fra 18. mars til og med 2. april, S 16 \u003d 560 - totalt antall oppgaver, en 16 - antall problemer som Vasya løste 2. april. Å vite at Vasya hver dag løste samme antall problemer mer enn forrige dag, så kan du bruke formlene for å finne summen av en aritmetisk progresjon:

560 = (5 + en 16) 8,

5 + en 16 = 560: 8,

5 + en 16 = 70,

en 16 = 70 – 5

en 16 = 65.

Svar: 65.

Oppgave nummer 12- teste studentenes evne til å utføre handlinger med funksjoner, kunne anvende et derivat på studiet av en funksjon.

Finn det maksimale punktet for en funksjon y \u003d 10 ln ( x + 9) – 10x + 1.

Beslutning: 1) Finn domenet til funksjonen: x + 9 > 0, x \u003e –9, det vil si x ∈ (–9; ∞).

2) Finn den avledede av funksjonen:

4) Funnpunktet tilhører intervallet (–9; ∞). La oss bestemme tegnene på funksjonens avledede og skildre funksjonens oppførsel i figuren:

Søker maksimalt poeng x = –8.

Last ned gratis et arbeidsprogram i matematikk for undervisningsmetodene til G.K. Muravina, K.S. Muravina, O. V. Muravina 10-11 Last ned gratis læremidler for algebra

Oppgave nummer 13-økt vanskelighetsgrad med et detaljert svar, som tester evnen til å løse ligninger, den mest vellykkede løst blant oppgaver med et detaljert svar på et økt nivå av kompleksitet.

a) Løs ligningen 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finn alle røttene til denne ligningen som tilhører segmentet.

Beslutning: a) La logg 3 (2cos x) = t, deretter 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	logg 3 (2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ siden | cos x| ≤ 1,
	logg 3 (2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

deretter cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Finn røttene som ligger på segmentet.

Figuren viser at røttene

11π	og	13π	.
6		6

Svar: og)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Oppgave nummer 14- avansert nivå refererer til oppgavene til andre del med et detaljert svar. Oppgaven tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former. Oppgaven inneholder to elementer. I første ledd må oppgaven bevises, og i andre ledd må den beregnes.

Diameteren på omkretsen til sylinderens bunn er 20, generatriksen til sylinderen er 28. Flyet krysser basen langs akkorder med lengde 12 og 16. Avstanden mellom akkordene er 2√197.

a) Bevis at sentrene til sylinderens baser ligger på den ene siden av dette planet.

b) Finn vinkelen mellom dette planet og planet til sylinderens bunn.

Beslutning: a) En akkord med en lengde på 12 er plassert i en avstand \u003d 8 fra sentrum av basissirkelen, og en akkord med en lengde på 16, på samme måte, i en avstand på 6. Derfor er avstanden mellom deres fremspring på et plan parallelt med sylinderenes baser enten 8 + 6 \u003d 14 eller 8 - 6 \u003d 2.

Da er avstanden mellom akkordene enten

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ved hypotese ble det andre tilfellet realisert, hvor anslagene til akkordene ligger på den ene siden av sylinderaksen. Dette betyr at aksen ikke krysser dette planet i sylinderen, det vil si at basene ligger på den ene siden av den. Hva var nødvendig for å bevise.

b) La oss angi sentrene til basene for O 1 og O 2. La oss tegne fra midten av basen med en akkord med lengde 12 en midt-vinkelrett på denne akkorden (den har en lengde på 8, som allerede nevnt) og fra midten av den andre basen til en annen akkord. De ligger i samme plan β, vinkelrett på disse akkordene. Vi kaller midtpunktet til den mindre akkorden B større enn A og projeksjonen av A på den andre basen H (H ∈ β). Da er AB, AH ∈ β og derfor AB, AH vinkelrett på akkorden, det vil si skjæringslinjen til basen med det gitte planet.

Derfor er den nødvendige vinkelen

∠ABH \u003d arctg	AH	\u003d arctg	28	\u003d arctg14.
	BH		8 – 6

Oppgave nummer 15 - økt vanskelighetsgrad med et detaljert svar, tester evnen til å løse ulikheter, som er mest vellykket løst blant oppgaver med et detaljert svar på et økt nivå av kompleksitet.

Eksempel 15. Løs ulikhet | x 2 – 3x| Logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Beslutning: Domenet til denne ulikheten er intervallet (–1; + ∞). Vurder tre tilfeller hver for seg:

1) La x 2 – 3x \u003d 0, dvs. x\u003d 0 eller x \u003d 3. I dette tilfellet blir denne ulikheten sann, derfor er disse verdiene inkludert i løsningen.

2) La det nå x 2 – 3x \u003e 0, dvs. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Dessuten kan denne ulikheten skrives om som ( x 2 – 3x) Logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 og del med positivt x 2 – 3x... Vi får logg 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 -1 eller x ≤ –0,5. Tar vi hensyn til definisjonens domene, har vi det x ∈ (–1; –0,5].

3) Til slutt, vurder x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). I dette tilfellet blir den opprinnelige ulikheten skrevet om som (3 x – x 2) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Etter divisjon med positivt uttrykk 3 x – x 2, vi får logg 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Med tanke på regionen har vi x ∈ (0; 1].

Ved å kombinere de oppnådde løsningene får vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Oppgave nummer 16- avansert nivå refererer til oppgavene til andre del med et detaljert svar. Oppgaven tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former, koordinater og vektorer. Oppgaven inneholder to elementer. I første ledd må oppgaven bevises, og i andre ledd må den beregnes.

Halvsnittet BD er tegnet i en likestilt trekant ABC med en vinkel på 120 ° ved toppunkt A. Rektangel DEFH er innskrevet i trekanten ABC slik at siden FH ligger på segment BC, og toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevis at FH \u003d 2DH. b) Finn arealet til rektangelet DEFH hvis AB \u003d 4.

Beslutning: og)

1) ΔBEF - rektangulær, EF⊥BC, ∠B \u003d (180 ° - 120 °): 2 \u003d 30 °, deretter EF \u003d BE av egenskapen til benet som ligger motsatt vinkelen på 30 °.

2) La EF \u003d DH \u003d x, deretter BE \u003d 2 x, BF \u003d x√3 av Pythagoras teorem.

3) Siden ΔABC er likbenede, betyr det at ∠B \u003d ∠C \u003d 30˚.

BD er tverrsnittet av ∠B, så ∠ABD \u003d ∠DBC \u003d 15˚.

4) Tenk på ΔDBH - rektangulær, siden DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF \u003d 3 - √3

2) S DEFH \u003d ED EF \u003d (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH \u003d 24 - 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Oppgave nummer 17 - en oppgave med et detaljert svar, denne oppgaven tester anvendelsen av kunnskap og ferdigheter i praktisk aktivitet og hverdag, evnen til å bygge og utforske matematiske modeller. Denne oppgaven er et tekstproblem med økonomisk innhold.

Eksempel 17. Depositum på 20 millioner rubler er planlagt å være åpnet i fire år. Ved utgangen av hvert år øker banken sitt innskudd med 10% sammenlignet med størrelsen ved begynnelsen av året. I tillegg fyller innskyteren på begynnelsen av tredje og fjerde år hvert år innskuddet med x millioner rubler, hvor x - hel Antall. Finn den største verdien x, der banken vil belaste innskuddet mindre enn 17 millioner rubler på fire år.

Beslutning: På slutten av det første året vil bidraget være 20 + 20 · 0,1 \u003d 22 millioner rubler, og på slutten av det andre - 22 + 22 · 0,1 \u003d 24,2 millioner rubler. Ved begynnelsen av det tredje året vil bidraget (i millioner rubler) være (24,2 + x), og på slutten - (24,2 + x) + (24,2 + x) 0,1 \u003d (26,62 + 1,1 x). Ved begynnelsen av det fjerde året vil bidraget være (26,62 + 2,1 x), og på slutten - (26.62 + 2.1 x) + (26,62 + 2,1x) 0,1 \u003d (29,282 + 2,31 x). Ved hypotese må du finne det største heltallet x som ulikheten er for

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Den største heltalsløsningen på denne ulikheten er 24.

Svar: 24.

Oppgave nummer 18 - en oppgave med økt grad av kompleksitet med et detaljert svar. Denne oppgaven er ment for konkurransedyktig utvelgelse til universiteter med økte krav til matematisk opplæring av søkere. En oppgave med høy grad av kompleksitet er en oppgave ikke for å bruke en løsningsmetode, men for en kombinasjon av forskjellige metoder. For en vellykket gjennomføring av oppgave 18 kreves det i tillegg til solid matematisk kunnskap et høyt nivå av matematisk kultur.

Under hva en system med ulikheter

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – en 2 + 1
	y + en ≤ |x| – en

har nøyaktig to løsninger?

Beslutning: Dette systemet kan skrives om som

	x 2 + (y– en) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – en

Hvis vi tegner løsningen på den første ulikheten på planet, får vi det indre av en sirkel (med en grense) med radius 1 sentrert på punktet (0, og). Løsningssettet til den andre ulikheten er den delen av planet som ligger under grafen til funksjonen y = | x| – en, og sistnevnte er funksjonsgrafen
y = | x| flyttet ned av og... Løsningen på dette systemet er skjæringspunktet mellom løsningssettene for hver av ulikhetene.

Følgelig vil dette systemet bare ha to løsninger i tilfellet vist i fig. 1.

Tangenspunktene til sirkelen med rette linjer vil være to løsninger av systemet. Hver av de rette linjene er tilbøyelig til aksene i en vinkel på 45 °. Så trekanten PQR - rektangulære likebenede. Punkt Q har koordinater (0, og), og poenget R - koordinater (0, - og). I tillegg er segmentene PR og PQ er lik sirkelens radius lik 1. Derfor

Qr= 2en = √2, en =	√2	.
	2

Svar: en =	√2	.
	2

Oppgave nummer 19- en oppgave med økt grad av kompleksitet med et detaljert svar. Denne oppgaven er ment for konkurransedyktig utvelgelse til universiteter med økte krav til matematisk opplæring av søkere. En oppgave med høy grad av kompleksitet er en oppgave ikke for å bruke en løsningsmetode, men for en kombinasjon av forskjellige metoder. For en vellykket gjennomføring av oppgave 19 er det nødvendig å kunne søke etter en løsning, velge forskjellige tilnærminger blant de kjente, modifisere de studerte metodene.

La være Sn sum p medlemmer av den aritmetiske progresjonen ( a n). Det er kjent at S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Spesifiser formelen pth medlem av denne progresjonen.

b) Finn den minste modulosummen S n.

c) Finn den minste pved hvilken S n vil være kvadratet til et helt tall.

Beslutning: a) Det er åpenbart at a n = S n – S n - 1 . Ved å bruke denne formelen får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

midler a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Siden S n = 2n 2 – 25n, så vurder funksjonen S(x) = | 2x 2 – 25x |... Grafen kan sees i figuren.

Åpenbart oppnås den minste verdien på heltallene som er nærmest nullene til funksjonen. Åpenbart er dette poeng x= 1, x\u003d 12 og x\u003d 13. Siden, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | \u003d | 2 · 144 - 25 · 12 | \u003d 12, S(13) = |S 13 | \u003d | 2169 - 25 13 | \u003d 13, så er den minste verdien 12.

c) Fra forrige punkt følger det Sn positivt fra n \u003d 13. Siden S n = 2n 2 – 25n = n(2n - 25), så blir det åpenbare tilfellet når dette uttrykket er en perfekt firkant realisert på n = 2n - 25, altså kl p= 25.

Det gjenstår å sjekke verdiene fra 13 til 25:

S 13 \u003d 13 1, S 14 \u003d 14 3, S 15 \u003d 15 5, S 16 \u003d 16 7, S 17 \u003d 17 9, S 18 \u003d 18 11, S 19 \u003d 19 13, S 20 \u003d 20 13, S 21 \u003d 21 17, S 22 \u003d 22 19, S 23 \u003d 2321, S 24 \u003d 24 23.

Det viser seg at for mindre verdier p full firkant oppnås ikke.

Svar: og) a n = 4n - 27; b) 12; c) 25.

________________

* Siden mai 2017 er den felles publiseringsgruppen DROFA-VENTANA en del av Russian Textbook Corporation. Selskapet inkluderer også Astrel forlag og den digitale utdanningsplattformen LECTA. Alexander Brychkin, utdannet fra Financial Academy under regjeringen i Den russiske føderasjonen, Ph.D. i økonomi, leder for innovative prosjekter fra DROFA forlag innen digital utdanning (elektroniske former for lærebøker, Russian Electronic School, digital utdanningsplattform LECTA) er utnevnt til generaldirektør. Før han begynte i DROFA forlag, hadde han stillingen som visepresident for strategisk utvikling og investeringer i EKSMO-AST Publishing Holding. I dag har forlagsselskapet "Russian Textbook" den største porteføljen med lærebøker som inngår i Federal List - 485 titler (ca. 40%, eksklusive lærebøker for en spesialskole). Selskapets forlag eier de settene med lærebøker som russiske skoler krever mest om fysikk, tegning, biologi, kjemi, teknologi, geografi, astronomi - kunnskapsområder som er nødvendige for å utvikle landets produksjonspotensial. Bedriftens portefølje inkluderer lærebøker på grunnskolen og læremidler som har mottatt presidentens utdanningspris. Dette er lærebøker og håndbøker om fagområder som er nødvendige for utviklingen av det vitenskapelige, tekniske og produksjonspotensialet i Russland.

Det er ingen endringer i BRUKEN i matematikk på profilnivået i 2019 - eksamensprogrammet, som tidligere år, består av materialer fra de viktigste matematiske fagene. Billettene inkluderer matematiske, geometriske og algebraiske problemer.

Det er ingen endringer i KIM USE 2019 i matematikk på profilnivået.

Funksjoner av BRUK-oppgaver i matematikk-2019

• Når du forbereder deg til eksamen i matematikk (profil), må du være oppmerksom på de grunnleggende kravene til eksamensprogrammet. Den er designet for å teste kunnskapen om et grundig program: vektor- og matematiske modeller, funksjoner og logaritmer, algebraiske ligninger og ulikheter.
• Øv deg på å løse oppgaver hver for seg.
• Det er viktig å vise ikke-standard tenkning.

Eksamensstruktur

Unified State Exam Oppgaver i profilmatematikk delt inn i to blokker.

1. Del - korte svar, inkluderer 8 oppgaver som tester grunnleggende matematisk opplæring og evnen til å anvende kunnskap om matematikk i hverdagen.
2. Del -kort og detaljerte svar... Består av 11 oppgaver, hvorav 4 krever et kort svar, og 7 - utvidet med argumentasjonen for utførte handlinger.

• Økt kompleksitet - oppgaver 9-17 i andre del av KIM.
• Høy kompleksitet - oppgaver 18-19 -. Denne delen av eksamensoppgavene sjekker ikke bare nivået på matematisk kunnskap, men også tilstedeværelsen eller fraværet av en kreativ tilnærming til å løse tørre "digitale" oppgaver, samt effektiviteten av evnen til å bruke kunnskap og ferdigheter som et profesjonelt verktøy.

Viktig! Derfor, når du forbereder deg til eksamen, må du alltid styrke teorien i matematikk ved å løse praktiske problemer.

Hvordan poengene blir fordelt

Oppgavene til den første delen av KIMs i matematikk er i nærheten av USE-testene på grunnnivået, så det er umulig å score en høy score på dem.

Poengene for hver oppgave i matematikk på profilnivået ble fordelt som følger:

• for riktige svar på oppgaver 1-12 - 1 poeng hver;
• Nr. 13-15 - 2 hver;
• Nr. 16-17 - 3 hver;
• Nr. 18-19 - 4 hver.

Eksamenens varighet og oppførselsregler for eksamen

For å fullføre eksamensarbeidet -2019 student tildelt 3 timer 55 minutter (235 minutter).

I løpet av denne tiden skal studenten ikke:

• oppføre seg støyende;
• bruke dingser og andre tekniske midler;
• avskrive;
• prøver å hjelpe andre, eller ber om hjelp til deg selv.

For slike handlinger kan sensoren utvises fra publikum.

For statseksamen i matematikk lov å ta med med bare en linjal, vil resten av materialet bli gitt rett før eksamen. utstedt lokalt.

Effektiv forberedelse er løsningen på online matteprøver 2019. Velg og få maks poengsum!

Evaluering

to delergjelder også 19 oppgaver. Del 1 Del 2

3 timer 55 minutter (235 minutter).

Svar

Men du kan lage et kompass Kalkulatorer på eksamen ikke brukt.

passet), sende og kapillær eller! Tillat å ta med meg selv vann (i en gjennomsiktig flaske) og mat

Eksamenoppgaven består av to delergjelder også 19 oppgaver. Del 1 inneholder 8 oppgaver med et grunnleggende vanskelighetsnivå med et kort svar. Del 2 Inneholder 4 oppgaver med økt vanskelighetsgrad med kort svar og 7 oppgaver med høyt vanskelighetsnivå med detaljert svar.

Eksamensarbeidet i matematikk tildeles 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Svar for oppgavene 1-12 er skrevet som et heltall eller siste desimal... Skriv tallene i svarfeltene i teksten til arbeidet, og overfør dem til svarskjema nummer 1, utstedt på eksamen!

Når du utfører arbeid, kan du bruke de som er utgitt sammen med arbeidet. Bare linjalen er tillattmen du kan lage et kompass gjør det selv. Ikke bruk verktøy med referansemateriale trykt på. Kalkulatorer på eksamen ikke brukt.

Under eksamen må du ha et identitetsdokument ( passet), sende og kapillær eller gelpenn med svart blekk! Tillat å ta med meg selv vann (i en gjennomsiktig flaske) og mat (frukt, sjokolade, rundstykker, smørbrød), men kan bli bedt om å la være på gangen.