Ensimmäinen taso

Quadratic yhtälöt. Kaksistava opas (2019)

Näppäin on "neliöyhtälö", avain on sana "neliö". Tämä tarkoittaa, että muuttujan on oltava läsnä yhtälössä (sama IX) neliössä, eikä kolmannessa (ja suuremmassa) tutkinnossa ei pitäisi olla IC: tä.

Monien yhtälöiden ratkaisu vähenee tarkalleen neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Opitaan, miten määrittää, että meillä on neliöyhtälö, eikä mikään muu.

Esimerkki 1.

Jokainen edustajan yhtälön jäsen ja hallinnollisuus eroon

Siirrämme kaiken vasemmalle ja paikoille jäsenille laskevassa järjestyksessä ICA: n astetta

Nyt voit sanoa luottamuksella, että tämä yhtälö on neliö!

Esimerkki 2.

Kotimaan vasen ja oikea puoli:

Tämä yhtälö, vaikka se oli alunperin siinä, ei ole neliö!

Esimerkki 3.

Kaikki on:

Pelottava? Neljäs ja toinen aste ... kuitenkin, jos korvaamme, näemme, että meillä on yksinkertainen neliön yhtälö:

Esimerkki 4.

Se näyttää olevan, mutta katsotaan tarkasti. Siirrämme kaiken vasemmalle:

Katso, vähentynyt - ja nyt se on yksinkertainen lineaarinen yhtälö!

Yritä nyt määrittää, mikä seuraavista yhtälöistä on neliö ja mikä ei:

Esimerkkejä:

Vastaukset:

1. neliö;
2. neliö;
3. ei neliö;
4. ei neliö;
5. ei neliö;
6. neliö;
7. ei neliö;
8. neliö.

Matematiikka Tavanomaisesti jakaa kaikki neliön yhtälöt tyyppi:

• Koko neliöyhtälöt - yhtälöt, joissa kertoimet ja samoin kuin vapaa jäsen ei ole yhtä suuri kuin nolla (kuten esimerkissä). Lisäksi koko neliön yhtälöt jaetaan esitetty - Nämä ovat yhtälöitä, joissa kerroin (yhtälö esimerkistä ei ole vain täydellinen, vaan myös annettu!)

• Epätäydelliset neliöyhtälöt - yhtälöt, joissa kerroin ja vapaa jäsen on nolla:

  Epätäydellisesti, koska heillä ei ole jonkinlaista kohdetta. Mutta yhtälö tulisi aina olla läsnä neliöllä! Muussa tapauksessa se ei ole neliö, vaan muuta yhtälöä.

Miksi keksit tällaisen divisioonan? Näyttäisi siltä, \u200b\u200bettä neliöllä on x, ja okei. Tällainen jako johtuu ratkaisujen menetelmistä. Harkitse jokainen niistä tarkemmin.

Päätös epätäydellisten neliön yhtälöiden

Aluksi, lopetamme epätäydellisten neliön yhtälöiden ratkaisemisessa - ne ovat paljon yksinkertaisempia!

Epätäydelliset neliöyhtälöt ovat tyypit:

1. Tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.
2. Tässä yhtälössä vapaa jäsen on yhtä suuri.
3. Tässä yhtälössä kerroin ja vapaa jäsen ovat yhtä suuret.

1. ja. Kun tiedämme, miten poimia neliöjuuri, ilmoittavat tästä yhtälöstä

Ilmaisu voi olla sekä negatiivinen että positiivinen. Neliöön pystytetty numero ei voi olla negatiivinen, koska kerrotaan kahdella negatiivisella tai kahdella positiivisella numeroilla - tulos on aina positiivinen numero, joten jos yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Ja jos saat kaksi juuria. Näiden kaavojen ei tarvitse muistaa. Tärkein asia, jonka sinun pitäisi tietää ja muistaa aina, että se ei ehkä ole vähemmän.

Yritetään ratkaista muutamia esimerkkejä.

Esimerkki 5:

Päättää yhtälöstä

Nyt se on edelleen poistettava vasemmalta ja oikealta puolelta. Loppujen lopuksi muistatko juurien poistamista?

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuret negatiivisella merkillä !!!

Esimerkki 6:

Päättää yhtälöstä

Vastaus:

Esimerkki 7:

Päättää yhtälöstä

Vai niin! Numeron neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa yhtälöä

ei juuria!

Tällaisille yhtälöille, joissa ei ole juuria, matematiikka syntyi erityisellä kuvakkeella - (tyhjä sarja). Ja vastaus voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Vastaus:

Siten tämä neliön yhtälö on kaksi juuria. Tässä ei ole rajoituksia, koska emme poistaneet juurta.
Esimerkki 8:

Päättää yhtälöstä

Aion tiivistää kannattimet:

Tällä tavalla,

Tämä yhtälö on kaksi juuria.

Vastaus:

Helpoin tyyppinen epätäydellinen neliön yhtälö (vaikka ne ovat kaikki yksinkertaisia, eikö?). Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juurta:

Täällä emme ilman esimerkkejä.

Koko neliön yhtälöiden ratkaisu

Muistutamme, että koko neliön yhtälö on yhtälön yhtälö, jossa

Täydellisten neliön yhtälöiden liuos on hieman monimutkaisempi (hyvin hieman) kuin edellä.

Muistaa, kaikki neliön yhtälö voidaan ratkaista syrjivän avulla! Jopa puutteellinen.

Loput tapoja auttaa tekemään nopeammin, mutta jos sinulla on ongelmia neliön yhtälöissä, aluksi ratkaisu kutsutaan syrjinnän.

1. Neliön yhtälöiden ratkaisu syrjinnän avulla.

Neliön yhtälöiden ratkaisu tällä tavoin on hyvin yksinkertainen, tärkein asia on muistaa toimien ja pari kaavoja.

Jos yhtälöllä on juuri erityistä huomiota korvaa. Syrjivä () ilmaisee meidät yhtälön juurien lukumäärästä.

• Jos kaava pienenee. Näin ollen yhtälöllä on koko juurta.
• Jos emme voi purkaa juurta syrjivästä vaiheessa. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Palataan yhtälöihimme ja harkita useita esimerkkejä.

Esimerkki 9:

Päättää yhtälöstä

Vaihe 1 Ohitamme.

Vaihe 2.

Löydämme syrjintää:

Joten yhtälöllä on kaksi juuria.

Vaihe 3.

Vastaus:

Esimerkki 10:

Päättää yhtälöstä

Yhtälö esitetään standardimuodossa, joten Vaihe 1 Ohitamme.

Vaihe 2.

Löydämme syrjintää:

Joten yhtälöllä on yksi juurta.

Vastaus:

Esimerkki 11:

Päättää yhtälöstä

Yhtälö esitetään standardimuodossa, joten Vaihe 1 Ohitamme.

Vaihe 2.

Löydämme syrjintää:

Se ei pysty poistamaan juurta syrjivästä. Yhtälön juuret eivät ole olemassa.

Nyt tiedämme, kuinka kirjoittaa tällaisia \u200b\u200bvastauksia oikein.

Vastaus:Ei juuria

2. Neliöyhtälöiden ratkaisu Vieta-teoreen avulla.

Jos muistat, eli sellaiset yhtälöt, joita kutsutaan esitetyksi (kun kerroin A on yhtä suuri):

Tällaiset yhtälöt ovat erittäin helppoja ratkaista Vieta-teoreen käyttäminen:

Juurien summa määritetty Neliöyhtälö on yhtä suuri, ja juurien tuote on yhtä suuri.

Esimerkki 12:

Päättää yhtälöstä

Tämä yhtälö soveltuu ratkaisemaan Vieta-teoreen avulla, koska .

Yhtälön juurien määrä on yhtä suuri, eli Saat ensimmäisen yhtälön:

Ja työ on:

Päätämme myös järjestelmän:

• ja. Määrä on yhtä suuri;
• ja. Määrä on yhtä suuri;
• ja. Määrä on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Vastaus: ; .

Esimerkki 13:

Päättää yhtälöstä

Vastaus:

Esimerkki 14:

Päättää yhtälöstä

Yhtälö annetaan, ja siksi:

Vastaus:

Quadratic yhtälöt. KESKITASO

Mikä on neliöyhtälö?

Toisin sanoen neliön yhtälö on lajin yhtälö, jossa tuntematon on joitain numeroita, ja.

Numeroa kutsutaan vanhuksi tai ensimmäinen kerroin Square yhtälö - toinen kerroin, mutta - vapaa jäsen.

Miksi? Koska jos yhtälö tulee välittömästi lineaariseksi, koska katoavat.

Samaan aikaan ja voi olla nolla. Tässä ulosteessa yhtälö kutsutaan epätäydellisiksi. Jos kaikki komponentit ovat paikallaan, toisin sanoen yhtälö on valmis.

Ratkaisut erilaisista neliöyhtälöistä

Menetelmät epätäydellisten neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi:

Aluksi analysoimme epätäydellisten neliöyhtälöiden ratkaisujen menetelmiä - ne ovat helpompaa.

Voit valita tällaisten yhtälöiden tyypin:

I. Tässä yhtälössä kerroin ja vapaa jäsen ovat yhtä suuret.

II. Tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.

III. Tässä yhtälössä vapaa jäsen on yhtä suuri.

Nyt harkitse kunkin näiden alatyyppejä.

Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juurta:

Neliöön pystytetty numero ei voi olla negatiivinen, koska kerrotaan kahdella negatiivisella tai kahdella positiivisella numerolla, tulos on aina positiivinen numero. Siksi:

jos yhtälöllä ei ole ratkaisuja;

jos olemme oppineet kaksi juuria

Näiden kaavojen ei tarvitse muistaa. Tärkeintä muistaa, että se ei ehkä ole vähemmän.

Esimerkkejä:

Ratkaisut:

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!

Numeron neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa yhtälöä

ei juuria.

Jos haluat tallentaa lyhyesti, että tehtävällä ei ole ratkaisuja, käytä tyhjää sarjan kuvaketta.

Vastaus:

Joten, tällä yhtälöllä on kaksi juuria: ja.

Vastaus:

Aion tiivistää tehtaan suluissa:

Tuote on nolla, jos ainakin yksi kerroksista on nolla. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on ratkaisu, kun:

Joten, tämä neliön yhtälö on kaksi juuria: ja.

Esimerkki:

Päätä yhtälö.

Päätös:

Levitä tehtaan yhtälön vasen osa ja etsi juuret:

Vastaus:

Menetelmät täyden neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. syrjintä

Solving Square Yhtälöt tällä tavoin helppoa, tärkein asia on muistaa toimien ja pari kaavojen sekvenssi. Muista, kaikki neliön yhtälö voidaan ratkaista syrjivän avulla! Jopa puutteellinen.

Huomaatko juuret syrjivästä juurihaajassa? Mutta syrjintä voi olla negatiivinen. Mitä tehdä? Meidän on kiinnitettävä erityistä huomiota vaiheeseen 2. Syrjijä ilmaisee meidät yhtälön juurien lukumäärästä.

• Jos yhtälöllä on juuri:
• Jos yhtälöllä on sama juuret ja itse asiassa yksi juuret:

  Tällaisia \u200b\u200bjuuria kutsutaan kaksinkertaiseksi.

• Jos syrjivän juuren ei poisteta. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Miksi on mahdollista eri juurien määrä? Käännymme neliön yhtälön geometriseen merkitykseen. Toiminto kaavio on parabola:

Tietyssä tapauksessa, joka on neliöyhtälö. Tämä tarkoittaa, että neliön yhtälön juuret ovat risteyspisteitä abscissan (akselin) akselin kanssa. Parabola ei saa ylittää akselia lainkaan tai ylittää sen yhdellä (kun parabolan yläosa sijaitsee akselilla) tai kaksi pistettä.

Lisäksi kerroin vastaa parabolin sivukonttoreiden suunnasta. Jos parabolan oksat ohjataan ylöspäin, ja jos se on alhaalla.

Esimerkkejä:

Ratkaisut:

Vastaus:

Vastaus:.

Vastaus:

Joten, ei ole ratkaisuja.

Vastaus:.

2. Vieta Theorem

Vietan teorema on erittäin helppokäyttöinen: sinun tarvitsee vain poimia tällaiset pari numeroa, jonka tuote on yhtä suuri kuin yhtälön vapaa jäsen, ja määrä on toinen kertoimen vastakkaisella merkillä.

On tärkeää muistaa, että VITATA: n lause voidaan käyttää vain alennetut neliöyhtälöt ().

Harkitse muutamia esimerkkejä:

Esimerkki numero 1:

Päätä yhtälö.

Päätös:

Tämä yhtälö soveltuu ratkaisemaan Vieta-teoreen avulla, koska . Jäljellä olevat kertoimet:; .

Yhtälön juurien määrä on:

Ja työ on:

Valitsemme tällaiset numerot, joiden tuote on yhtä suuri ja tarkistaa, onko niiden summa sama:

• ja. Määrä on yhtä suuri;
• ja. Määrä on yhtä suuri;
• ja. Määrä on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Siten yhtälön juuret.

Vastaus:; .

Esimerkki numero 2:

Päätös:

Valitsemme tällaiset numerot, jotka on annettu työssä ja tarkista, onko niiden summa sama:

ja: niiden antamassa määrässä.

ja: niiden antamassa määrässä. Saada tarpeeksi vain muuttamaan väitetyt juuret: ja, koska työ.

Vastaus:

Esimerkki numero 3:

Päätös:

Yhtälön vapaa jäsen on negatiivinen, mikä tarkoittaa juurien tuotetta - negatiivinen numero. Tämä on mahdollista vain, jos jokin juurista on negatiivinen, ja toinen on positiivinen. Siksi juurien määrä on yhtä suuri niiden moduulien erot.

Valitsemme tällaiset numerot, jotka on annettu työssä, ja ero on yhtä suuri kuin:

ja: niiden ero on yhtä suuri - ei sopiva;

ja: - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - sopii. Se on vain muistettava, että yksi juurista on negatiivinen. Koska niiden määrä olisi yhtä suuri, sen pitäisi olla negatiivinen juurimoduuli :. Tarkistaa:

Vastaus:

Esimerkki numero 4:

Päätä yhtälö.

Päätös:

Yhtälö annetaan, ja siksi:

Vapaa jäsen on negatiivinen, joten juurien tuote on negatiivinen. Ja tämä on mahdollista vain silloin, kun yhtälön juuret ovat negatiivisia, ja toinen on positiivinen.

Valitsemme tällaiset numerot, joiden tuote on yhtä suuri, ja sitten määritämme, mitkä juuret pitäisi olla negatiivinen merkki:

On selvää, että vain juuret sopivat ensimmäiseen tilaan ja:

Vastaus:

Esimerkki numero 5:

Päätä yhtälö.

Päätös:

Yhtälö annetaan, ja siksi:

Juurien määrä on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että ainakin yksi juurista on negatiivinen. Mutta koska heidän työnsä on positiivinen, se tarkoittaa molempia juuria miinusmerkki.

Valitsemme tällaiset numerot, joiden tuote on:

On selvää, että juuret ovat numeroita ja.

Vastaus:

Hyväksy, se on erittäin kätevä - keksiä juuret suullisesti sen sijaan, että harkitsisi tätä ilkeä syrjintää. Yritä käyttää Vieta: n lauseemia mahdollisimman paljon.

Mutta Vieta-teoria tarvitaan juurien havaitsemisen helpottamiseksi ja nopeuttamiseksi. Auttaa sinua käyttämään sitä, sinun on tuettava toimintaa automatismiin. Ja tästä, peitä enemmän korkokenkiä esimerkkejä. Mutta ei skaalaus: syrjintää ei voi käyttää! Vain Vieta Theorem:

Riippumattoman työn tehtäväratkaisut:

Tehtävä 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vieta teoremissa:

Kuten tavallista, aloitamme työn valinnan:

Ei sovi, koska määrä;

: Määrä - mitä tarvitset.

Vastaus:; .

Tehtävä 2.

Ja jälleen suosikkimme Vieta Theorem: summassa pitäisi osoittautua ja työ on yhtä suuri.

Mutta koska sen ei pitäisi olla, vaan muuttaa juurien merkkejä: ja (määrä).

Vastaus:; .

Tehtävä 3.

Hmm ... ja missä on?

On tarpeen siirtää kaikki ehdot yhteen osassa:

Juurien määrä on yhtä suuri, työ.

Joten, lopeta! Yhtälöä ei anneta. Mutta Vieta teoremia sovelletaan vain edellä mainituissa yhtälöissä. Joten ensin sinun täytyy tuoda yhtälö. Jos et toimi, heitä tämä ajatus ja päättää eri tavalla (esimerkiksi syrjivällä). Haluan muistuttaa sinua, että neliöyhtälö tuo - se tarkoittaa, että vanhempi kerroin:

Erinomainen. Sitten juurien määrä on yhtä suuri ja työ.

Täällä on helpompi poimia yksinkertainen: loppujen lopuksi yksinkertainen numero (anteeksi tautologiaa).

Vastaus:; .

Tehtävä 4.

Vapaa jäsen on negatiivinen. Mikä on erityinen tässä? Ja se, että juuret ovat erilaisia \u200b\u200bmerkkejä. Ja nyt valinnassa emme tarkista juurien määrää, vaan niiden moduulien välinen ero: Tämä ero on yhtä suuri ja työ.

Joten juuret ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä miinus. Vieta lause kertoo meille, että juurien määrä on yhtä suuri kuin toinen kertoimen vastakkainen merkki, eli. Joten miinus on pienemmässä juuressa: ja siitä lähtien.

Vastaus:; .

Tehtävä 5.

Mitä on tehtävä ensin? OIKEA, tuo yhtälö:

Jälleen: Valitsemme numeron kertojat, ja niiden ero olisi yhtä suuri:

Juurit ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä miinus. Mitä? Heidän määrän tulisi olla yhtä suuri, se tarkoittaa, että miinus on suurempi juurta.

Vastaus:; .

Olen tiivistetty:

1. Vieta Theoremia käytetään vain annetuissa neliöyhtälöissä.
2. Vieta-teoreen käyttäminen löydät juuret valinnalla suullisesti.
3. Jos yhtälöä ei anneta tai ei ole sopivaa paria vapaasta jäsenestä, mikä tarkoittaa koko juuria, ja on tarpeen ratkaista toinen menetelmä (esimerkiksi syrjivällä).

3. Täyden neliön jakamismenetelmä

Jos kaikki termit, jotka käsittävät tuntematon, esitellä summan tai eron summan summan lyhennettyjen kertoimien muodossa, sen jälkeen, kun vaihdat muuttujat, voidaan esittää yhtälön epätäydellisen neliöyhtälön muodossa tyyppiä .

Esimerkiksi:

Esimerkki 1:

Päätä yhtälö :.

Päätös:

Vastaus:

Esimerkki 2:

Päätä yhtälö :.

Päätös:

Vastaus:

Yleensä muutos näyttää tältä:

Tämä merkitsee :.

Mikään ei muistuta? Tämä on syrjivä! Se on se, syrjivä ja sai.

Quadratic yhtälöt. Lyhyesti tärkein asia

Nesadratiikan yhtälö- Tämä on lajin yhtälö, jossa - tuntematon - neliöyhtälön kertoimet, on vapaa jäsen.

Koko neliön yhtälö - yhtälö, jossa kertoimet eivät ole nolla.

Alennettu neliöyhtälö - Yhtälö, jossa kerroin, se on :.

Epätäydellinen neliö yhtälö - yhtälö, jossa kerroin ja vapaa jäsen on nolla:

• jos kerroin, yhtälö on :,
• jos vapaa jäsen, yhtälö on lomake:,
• jos yhtälöllä on lomake :.

1. Algoritmin ratkaiseminen epätäydellisistä neliöyhtälöistä

1.1. Epätäydellinen neliöyhtälö lajista, jossa:

1) ilmaista tuntematon:

2) Ilmaisun merkki:

• jos yhtälöllä ei ole ratkaisuja,
• jos yhtälöllä on kaksi juuria.

1.2. Epätäydellinen neliöyhtälö lajista, jossa:

1) Olen tiivistetty tehtaan suluissa:

2) Tuote on nolla, jos ainakin yksi kerroksista on nolla. Siksi yhtälöllä on kaksi juuria:

1.3. Lajin epätäydellinen neliöyhtälö, jossa:

Tällä yhtälöllä on aina vain yksi juurta :.

2. Algoritmi lajin täyden neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi, jossa

2.1. Ratkaisu syrjinnän ansiosta

1) Annamme yhtälön vakiomuotoon:

2) Laske syrjintä kaavan mukaan: mikä ilmaisee yhtälön juurien määrän:

3) Etsi yhtälön juuret:

• jos yhtälöllä on juuret, jotka ovat kaavassa:
• jos yhtälöllä on juuri, mikä on kaava:
• jos yhtälöllä ei ole juuria.

2.2. Ratkaisu Vieta-teoreen avulla

Alennetun neliön yhtälön juurien summa (lomakkeen yhtälö, jossa) on yhtä suuri, ja juurien tuote on yhtä suuri eli eli. , mutta.

2.3. Koko neliön jakomenetelmän ratkaiseminen

Vietan teorea (tarkemmin sanottuna teorem, Vieta-teema) vähentää aikaa neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi. Sinun tarvitsee vain käyttää sitä. Kuinka oppia ratkaistakseen neliön yhtälöt Vieta Theoremiin? Se on helppoa, jos kypsymme vähän.

Nyt puhumme vain nykyisen neliön yhtälön vietta-lauseesta. Toimitettu neliöyhtälö on yhtälö, jossa a, eli x²: n etukerroin on yhtä suuri. Et voi myöskään ratkaista Vieta-teoreen neliöyhtälöitä, mutta jo ainakin yksi juurista ei ole kokonaisluku. On vaikeampaa arvata.

Lause, Vieta: n käänteinen teoreemi, sanoo: Jos numerot X1 ja X2 ovat sellaisia

sitten X1 ja X2 - neliön yhtälön juuret

Kun ratkettele neliöyhtälöä teoreella, Vieta on mahdollista vain 4 vaihtoehtoa. Jos muistat perustelut, koko juuret voidaan oppia hyvin nopeasti.

I. Jos Q on positiivinen numero,

tämä tarkoittaa, että X1: n ja X2: n juuret ovat saman merkin numerot (koska vain numeroiden lisääntyminen samoilla merkkeillä on positiivinen luku).

I.A. Jos -P on positiivinen numero, (vastaavasti, P<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.B. Jos -P on negatiivinen numero, (Vastaavasti p\u003e 0), molemmat juuret ovat negatiivisia numeroita (yksi merkki oli luku, negatiivinen numero saatiin).

II. Jos Q on negatiivinen numero,

tämä tarkoittaa, että X1: n ja X2: n juurilla on erilaiset merkit (numeron moninkertaistuminen, negatiivinen luku saadaan vain siinä tapauksessa, että kerroksista on erilaisia \u200b\u200bmerkkejä). Tällöin X1 + X2 ei ole enää määrä, vaan ero (koska lisätään numeroita eri merkkeihin, vähennetään vähemmän pienemmältä moduulilta). Siksi X1 + X2 osoittaa, kuinka paljon X1: n ja X2: n juuret ovat erilaisia, eli kuinka paljon juuret ovat suuremmat kuin muut (moduulilla).

II.A. Jos -P on positiivinen numero, (eli P<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.B. Jos -P on negatiivinen numero, (P\u003e 0), suurempi (moduuli) juuret ovat negatiivinen luku.

Harkitse neliöyhtälöiden ratkaisua Vieta-lauseessa esimerkeissä.

Ratkaise alennettu neliön yhtälö Vieta-teoreen:

Tässä q \u003d 12\u003e 0, joten X1: n ja X2: n juuret ovat yhden merkin numerot. Niiden määrä on -P \u003d 7\u003e 0, joten molemmat juuret ovat positiivisia numeroita. Valitsemme kokonaislukuja, joiden tuote on 12. Tämä on 1 ja 12, 2 ja 6, 3 ja 4. Määrä on 7 parin 3 ja 4. niin, 3 ja 4 ovat yhtälön juuret.

Tässä esimerkissä Q \u003d 16\u003e 0 se tarkoittaa, että juuret ovat X1 ja X2 - yhden merkin numero. Niiden määrä on -P \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tässä q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, pidempi numero on positiivinen. Joten juuret ovat 5 ja -3.

q \u003d -36.<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Matematiikassa on erityisiä tekniikoita, joiden kanssa monet neliön yhtälöt ratkaistaan \u200b\u200bhyvin nopeasti ja ilman syrjimiä. Lisäksi asianmukaisella koulutuksella monet alkavat ratkaista neliön yhtälöt suullisesti, kirjaimellisesti "ensi silmäyksellä".

Valitettavasti nykyaikaisessa koulun matematiikan aikana tällaisia \u200b\u200bteknologioita ei ole lähes tutkittu. Ja sinun täytyy tietää! Ja tänään tarkastelemme yhtä näistä tekniikoista - Vieta Theorem. Aloita, otamme käyttöön uuden määritelmän.

Lomakkeen X 2 + BX + C \u003d 0 neliöyhtälö kutsutaan edellä. Huomaa: X 2: n kerroin on 1. Mikään muita rajoituksia kertoimille ei ole päällekkäin.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 on tietty neliöyhtälö;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - myös annettu;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - Mutta tämä ei ole NiFiga, koska kerroin x 2 on 2.

Tietenkin kaikki neliön yhtälö tyypin Ax 2 + BX + C \u003d 0 voidaan tehdä annettavaksi - riittää jakamaan kaikki kertoimet numeroon A. Voimme aina tehdä niin, koska se seuraa neliön yhtälön määritelmää, että a ≠ 0.

Totta, ei aina nämä muutokset ovat hyödyllisiä juurien löytämiseksi. Allalle varmistamme, että on välttämätöntä vain silloin, kun yhtälön viimeisessä neliössä kaikki kertoimet ovat kokonaislukuisia. Tällä välin harkita yksinkertaisimmat esimerkit:

Tehtävä. Muunna neliön yhtälö edellä mainittuun:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1.5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Jaamme jokaisen yhtälön kertoimella variaatiolla X 2. Saamme:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - Jaettuna kaikki 3: llä;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - jaettu -4;
3. 1.5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - Jaettuna 1,5: llä, kaikki kertoimet tulivat kokonaislukuksi;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5.5 \u003d 0 - Jaettuna 2. Tässä tapauksessa murtokertoimet syntyivät.

Kuten näet, esillä olevilla neliön yhtälöllä voi olla koko kertoimet, vaikka alkuperäinen yhtälö sisälsi fraktio.

Nyt laatimaan tärkein teoremin, jonka vuoksi otettiin käyttöön tietyn neliön yhtälön käsite:

Vieta Theorem. Harkitse lomakkeen X 2 + BX + C \u003d 0. Oletetaan, että tällä yhtälöllä on voimassa olevat juuret x 1 ja x 2. Tässä tapauksessa seuraavat lausunnot ovat totta:

1. x 1 + x 2 \u003d -b. Toisin sanoen nykyisen neliön yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin vaihteleva X, joka on otettu vastakkaisella merkillä;
2. x 1 · x 2 \u003d c. Neliön yhtälön juurien tuote on yhtä suuri kuin vapaakerroin.

Esimerkkejä. Yksinkertaisuuden vuoksi harkitsemme vain edellä mainittuja neliöyhtälöitä, jotka eivät vaadi lisää muutoksia:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (-9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 20; juuret: x 1 \u003d 4; X 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -2; x 1 · x 2 \u003d -15; juuret: x 1 \u003d 3; X 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d 4; juuret: x 1 \u003d -1; X 2 \u003d -4.

Vieta Theorem antaa meille lisätietoja neliön yhtälön juurista. Ensi silmäyksellä tämä voi tuntua vaikealta, mutta jopa vähimmäiskoulutuksesta opit "katso" juuret ja kirjaimellisesti arvata ne muutamassa sekunnissa.

Tehtävä. Ratkaise neliön yhtälö:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. -7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Yritetään kirjoittaa kertoimet Vieunan teoreen ja "arvaus" juuret:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 on tietty neliöyhtälö.
   Teoreella meillä on: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. On helppo huomata, että juuret ovat numerot 2 ja 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - annetaan myös.
   Vieta-teoreen avulla: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 · x 2 \u003d 27. Siksi juuret: 3 ja 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - Tätä yhtälöä ei anneta. Mutta korjaamme sen nyt, jakamalla yhtälön molemmat puolet kerroin A \u003d 3. Saavutamme: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Päätämme Veetore-lauseesta: x 1 + x 2 \u003d -11; x 1 · x 2 \u003d 10 ⇒ juuret: -10 ja -1;
4. -7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - Jälleen kerroin x 2: ssä ei ole yhtä suuri kuin 1, ts. Yhtälöä ei anneta. Me jakaamme kaiken numeroon A \u003d -7. Saavutamme: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
   Vieta-teemana: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 · x 2 \u003d 30; Näistä yhtälöistä on helppo arvata juuret: 5 ja 6.

Edellä mainitussa päättelyssä nähdään, miten Vieta-teorema yksinkertaistaa neliön yhtälöiden ratkaisua. Ei yhdistettä laskelmia, ei aritmeettisia juuria ja fraktioita. Ja jopa syrjivä (ks. Neliöyhtälöiden oppitunti "), jota emme tarvinneet.

Tietenkin kaikissa heijastuksissa etenimme kahdesta tärkeästä oletuksesta, jotka yleisesti ottaen ei aina suoriteta todellisissa tehtävissä:

1. Neliöyhtälö annetaan, ts. Yökerroin X 2 on 1;
2. Yhtälöllä on kaksi eri juuria. Algebran näkökulmasta tässä tapauksessa syrjivä D\u003e 0 - itse asiassa oletetaan aluksi, että tämä epätasa-arvo on totta.

Kuitenkin tyypillisissä matemaattisissa tehtävissä näitä ehtoja suoritetaan. Jos laskelmien seurauksena se osoittautui "huono" neliön yhtälö (kerroin x 2: ssä on erilainen kuin 1), se on helppo korjata - katsokaa esimerkkejä oppitunnin alussa. Tietoja juurista lainkaan hiljaa: Mikä tämä tehtävä, jossa ei ole vastausta? Tietenkin juuret ovat.

Näin ollen Vieta Theoremin neliöyhtälöiden yleinen järjestelmä näyttää tältä:

1. Vähennä neliön yhtälöä annettuun, jos sitä ei ole vielä tehty ongelman kunnossa;
2. Jos määritetyn neliön yhtälön kertoimet osoittautuivat murtoista, ratkaisivat syrjivän läpi. Voit jopa palata alkuperäiseen yhtälöön työskennellä enemmän "käteviä" numeroita;
3. Kokonaiskertoimien tapauksessa ratkaisemme Vieta-teoreen yhtälön;
4. Jos muutamassa sekunnissa se ei onnistunut arvaamaan juuret, pisteytettiin Vieta teoremissa ja ratkaista syrjivän kautta.

Tehtävä. Päätä yhtälö: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Joten, edessämme, yhtälö, jota ei anneta, koska Kerroin A \u003d 5. Me jaamme kaikki 5: llä, saamme: X 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Kaikki neliön yhtälön kertoimet ovat kokonaisluku - Yritämme päättää Vieta teoremista. Meillä on: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; X 1 · X 2 \u003d 10. Tässä tapauksessa juuret arvataan helposti - tämä on 2 ja 5. Ei ole välttämätöntä laskea syrjivän.

Tehtävä. Päätä yhtälö: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Katsomme: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - Tätä yhtälöä ei anneta, jakaamme molemmat osapuolet kerroin A \u003d5. Saavutamme: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - yhtälö murtokertoimilla.

On parempi palata alkuperäiseen yhtälöön ja laskea syrjivän: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 ⇒ d \u003d 8 2 - 4 · (-5) · (-2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1.2; X 2 \u003d 0,4.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

Aluksi me jakaamme kaiken kerroin A \u003d 2. Se muuttuu yhtälöön x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Tämä on vähäinen yhtälö, Vieta-teoreella, meillä on: x 1 + x 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d -300. Arvaa neliön yhtälön juuret tässä tapauksessa on vaikeaa - henkilökohtaisesti, olen vakavasti "ripustettu", kun ratkaisin tämän tehtävän.

Meidän on etsittävä juuret syrjivän kautta: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (-300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Jos et muista juurta syrjivästä, huomasin, että 1225: 25 \u003d 49. Siksi 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Nyt kun syrjivän juuret tunnetaan, yhtälöä ei ratkea. Saamme: x 1 \u003d 15; X 2 \u003d -20.

Yksi neliön yhtälön ratkaisujen menetelmistä on sovellus vieta-kaavatjoka kutsuttiin Francois Vietan kunniaksi.

Hän oli kuuluisa asianajaja, ja hän palveli 1600-luvulla ranskalaisessa kuningas. Vapaa-ajallaan harjoittaa tähtitiedettä ja matematiikkaa. Se on perustanut suhde neliön yhtälön juurien ja kertoimien välisen suhteen.

Kaavan edut:

1 . Kaavan soveltaminen, voit nopeasti löytää ratkaisun. Koska sinun ei tarvitse syöttää toista kerrosta neliöön, vähennä sitten 4A: ta, löytää syrjivä, korvaamaan arvonsa kaavassa juurien löytämiseksi.

2 . Ilman ratkaisuja voit määrittää juurien merkkejä, poimia juurien arvot.

3 . Päättää kahden tietueen järjestelmän, on helppo löytää juuret itse. Nykyisessä neliön yhtälössä juurien määrä on yhtä suuri kuin toisen kerroksen arvo miinusmerkki. Ruiskujen tuote määritellyllä neliöyhtälössä on yhtä suuri kuin kolmas kerroin.

4 . Juurien mukaan kirjoita neliöyhtälö, eli vastakkaisen tehtävän ratkaisemiseksi. Esimerkiksi tätä menetelmää käytetään teoreettisen mekaniikan ongelmien ratkaisemisessa.

5 . On kätevää käyttää kaavaa, kun vanhempi kerroin on yhtä suuri.

Haitat:

1 . Kaava ei ole universaali.

Vieta Theorem Grade 8

Kaava
Jos x 1 ja x 2 ovat tietyn neliön yhtälön x 2 + px + q \u003d 0 juuret, sitten:

Esimerkkejä
x 1 \u003d -1; X 2 \u003d 3 - Yhtälön X 2 - 2x - 3 \u003d 0 juuret.

P \u003d -2, q \u003d -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 \u003d -1 3 \u003d -3 \u003d Q.

Kääntää lause

Kaava
Jos numerot x 1, x 2, p, q liittyvät olosuhteisiin:

Että x 1 ja x 2 ovat yhtälön X 2 + Px + q \u003d 0 juuret.

Esimerkki
Tehdään neliöyhtälö sen juurille:

X 1 \u003d 2 -? 3 ja x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p \u003d -4; Q \u003d X 1 x 2 \u003d (2 - 3) (2 + 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Haluttu yhtälö on: x 2 - 4x + 1 \u003d 0.

Kun opiskelemme, miten ratkaista toisen kertaluvun yhtälöt Algebran kouluvuonna, harkitse saamien juurien ominaisuuksia. Ne tunnetaan tällä hetkellä Vieta-teoreen nimellä. Esimerkkejä sen käyttämisestä annetaan tässä artikkelissa.

Nesadratiikan yhtälö

Toinen tilausyhtälö on tasa-arvo, joka näkyy alla olevassa kuvassa.

Tässä symbolit A, B, C ovat joitakin numeroita, jotka käyttävät tarkasteltavan yhtälön kertoimien nimeä. Tasa-arvon ratkaisemiseksi on tarpeen löytää tällaiset x-arvot, jotka tekevät sen totta.

Huomaa, että kun asteen maksimiarvo, johon X on rakennettu, on kaksi, sitten juurien määrä yleisessä tapauksessa on myös kaksi.

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on useita tapoja. Tässä artikkelissa on yksi niistä, joihin liittyy ns. Vieta teoremin käyttö.

Vieta-teoreen sanamuoto

XVI: n lopussa tunnettu matemaatikko Francois Vieta (ranska) huomasi analysoimalla eri neliöyhtälöiden juurien ominaisuuksia, että niiden erityiset yhdistelmät täyttävät erityiset suhteet. Erityisesti nämä yhdistelmät ovat heidän työnsä ja määrä.

Vieta-teoreella asetetaan seuraavat: neliöyhtälön juuret niiden summan alla antavat lineaaristen kertoimien suhdetta nelikulmaiseen merkkiin, ja kun ne tuotetaan, ne johtavat vapaan jäsenen suhteeseen kvadraatiseen kerroin.

Jos yhtälön yleinen näkemys tallennetaan kuvan edellisessä osassa olevassa kuvassa, niin matemaattisesti tämä teorema voidaan tallentaa kahden yhtäläisyyden muodossa:

• r2 + R1 \u003d -B / A;
• r 1 x R2 \u003d C / A.

Jossa R1, R2 on tarkasteltavana olevan yhtälön juurien arvo.

Näitä yhtäläisyyksiä voidaan käyttää ratkaisemaan useita erilaisia \u200b\u200bmatemaattisia tehtäviä. Vieta-teoreen käyttö esimerkeissä liuoksessa on esitetty seuraavissa artikkelissa.