Формула теоремы виета, и примеры решения. Теорема Виета: примеры ее использования при работе с квадратными уравнениями

Формулировка и доказательство теоремы Виета для квадратных уравнений. Обратная теорема Виета. Теорема Виета для кубических уравнений и уравнений произвольного порядка.

Квадратные уравнения

Теорема Виета

Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1) .
Тогда сумма корней равна коэффициенту при , взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
;
.

Замечание по поводу кратных корней

Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
.

Доказательство первое

Найдем корни уравнения (1). Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения :
;
;
.

Находим сумму корней:
.

Чтобы найти произведение, применим формулу:
.
Тогда

.

Теорема доказана.

Доказательство второе

Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то
.
Раскрываем скобки.

.
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
.
Сравнивая с (1) находим:
;
.

Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения
,
где
(2) ;
(3) .

Доказательство обратной теоремы Виета

Рассмотрим квадратное уравнение
(1) .
Нам нужно доказать, что если и , то и являются корнями уравнения (1).

Подставим (2) и (3) в (1):
.
Группируем члены левой части уравнения:
;
;
(4) .

Подставим в (4) :
;
.

Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).

Теорема доказана.

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5) ,
где , и есть некоторые числа. Причем .

Разделим уравнение (5) на :
.
То есть мы получили приведенное уравнение
,
где ; .

Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.

Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения
.
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
;
.

Теорема Виета для кубического уравнения

Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6) ,
где , , , есть некоторые числа. Причем .
Разделим это уравнение на :
(7) ,
где , , .
Пусть , , есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда

.

Сравнивая с уравнением (7) находим:
;
;
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени

Тем же способом можно найти связи между корнями , , ... , , для уравнения n-й степени
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
;
;
;

.

Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
.
Затем приравниваем коэффициенты при , , , ... , и сравниваем свободный член.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

При изучении способов решения уравнений второго порядка в школьном курсе алгебры, рассматривают свойства полученных корней. Они в настоящее время известны под названием теоремы Виета. Примеры использования ее приводятся в данной статье.

Квадратное уравнение

Уравнение второго порядка представляет собой равенство, которое показано на фото ниже.

Здесь символы a, b, c являются некоторыми числами, носящими название коэффициентов рассматриваемого уравнения. Чтобы решить равенство, необходимо найти такие значения x, которые делают его истинным.

Заметим, что поскольку максимальное значение степени, в которую возводится икс, равно двум, тогда число корней в общем случае также равно двум.

Для решения этого типа равенств существует несколько способов. В данной статье рассмотрим один из них, который предполагает использование так называемой теоремы Виета.

Формулировка теоремы Виета

В конце XVI известный математик Франсуа Виет (француз) заметил, анализируя свойства корней различных квадратных уравнений, что определенные их комбинации удовлетворяют конкретным соотношениям. В частности, этими комбинациями является их произведение и сумма.

Теорема Виета устанавливает следующее: корни квадратного уравнения при их сумме дают отношение коэффициентов линейного к квадратичному взятое с обратным знаком, а при их произведении приводят к отношению свободного члена к квадратичному коэффициенту.

Если общий вид уравнения записан так, как это представлено на фото в предыдущем разделе статьи, тогда математически эту теорему можно записать в виде двух равенств:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 х r 2 = c / a.

Где r 1 , r 2 - это значение корней рассматриваемого уравнения.

Приведенные два равенства можно использовать для решения ряда самых разных математических задач. Использование теоремы Виета в примерах с решением приведены в следующих разделах статьи.

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет "высшее образование" и все снова ищут - "Как решить квадратное уравнение?", "Как найти корни уравнения?", "Как найти дискриминант?" и...

Формула дискриминанта

Дискриминант D квадратного уравнения a*x^2+bx+c=0 равен D=b^2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 - уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. .

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения :

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней - это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни




До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла - "Зачем школьникам квадратное уравнение?", "Какой физический смысл дискриминанта?".

Давайте попробуем разобраться, что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Так вот физический смысл квадратного уравнения - это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0) ,

или парабола ветвями вниз (a<0) .

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox .
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида x ² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0. Например, уравнение 4x ² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x ² + x — 3/4 = 0. Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ax ² + bx + c = 0

Приведенное уравнение x ² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p , c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:

последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число. Для примера решим уравнение x ² — 14x — 15 = 0

В ответ запишем уравнение имеет два корня.

Для приведенного квадратного уравнения с положительным справедлива следующая теорема.

Теорема Виета

Если x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0, то справедливы формулы:

x 1 + x 2 = — р

x 1 * x 2 = q, то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:

Складывая эти равенства, получаем: x 1 + x 2 = —р.

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:

Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x 1 = x 2 = — р /2.

Не решая уравнения x ² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x 1 и x 2 . этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x ² — рx — 12 = 0 равен x 1 = 4. Найти коэффициент р и второй корень x 2 этого уравнения. По теореме Виета x 1 * x 2 = — 12, x 1 + x 2 = — р. Так как x 1 = 4, то 4x 2 = — 12, откуда x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишем, второй корень x 2 = — 3, коэффициент р = — 1.

Не решая уравнения x ² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x 1 и x 2 — корни уравнения. По теореме Виета x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Так как x 1 ²+ x 2 ² = (x 1 + x 2)² — 2x 1 x 2 , тогда x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x ² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.

Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.

В общем случае корни уравнения ax ² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Для получения этих формул достаточно разделить обе части данного квадратного уравнения на а ≠ 0 и применить к полученному приведенному квадратному уравнению теорему Виета. Рассмотрим пример, требуется составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x 1 = 3, x 2 = 4. Так как x 1 = 3, x 2 = 4 — корни квадратного уравнения x ² + px + q = 0, то по теореме Виета р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. В ответ запишем x ² — 7x + 12 = 0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа р , q , x 1 , x 2 таковы, что x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q , то x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Подставим в левую часть x ² + px + q вместо р выражение — (x 1 + x 2), а вместо q — произведение x 1 * x 2 . Получим: x ² + px + q = x ² — (x 1 + x 2) х + x 1 x 2 = x² — x 1 x — x 2 x + x 1 x 2 = (x — x 1) (x — x 2). Таким образом, если числа р , q , x 1 и x 2 связаны этими соотношениями, то при всех х выполняется равенство x ² + px + q = (x — x 1) (x — x 2), из которого следует, что x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. Рассмотрим пример, x ² — 5x + 6 = 0. Здесь р = — 5, q = 6. Подберем два числа x 1 и x 2 так, чтобы x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Заметив, что 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x 1 = 2, x 2 = 3 — корни уравнения x ² — 5x + 6 = 0.