Функція називається первісною для функції якщо. Позакласний урок - Первісна. Інтегрування. Правила обчислення інтегралів для чайників

Первісна

Визначення первісної функції

функцію у \u003d F (x)називають первісною для функції у \u003d f (x) на заданому проміжку Х,якщо для всіх х ∈ Х виконується рівність: F '(x) \u003d f (x)

Можна прочитати двома способами:

f похідна функції F
F первісна для функції f

властивість первісних

якщо F (x)- первісна для функції f (x) на заданому проміжку, то функція f (x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F (x) + С, Де С - довільна стала.

геометрична інтерпретація

Графіки всіх первісних даної функції f (x) виходять з графіка якої-небудь однієї первісної паралельними переносами уздовж осі Про у.

Правила обчислення первісних

Первісна суми дорівнює сумі первісних. якщо F (x) - первісна для f (x), А G (x) - первісна для g (x), то F (x) + G (x) - первісна для f (x) + g (x).
Постійний множник можна виносити за знак похідної. якщо F (x) - первісна для f (x), і k - постійна, то k · F (x) - первісна для k · f (x).
якщо F (x) - первісна для f (x), і k, b - постійні, причому k ≠ 0, то 1 / k · F (kx + b) - первісна для f (kx + b).

Запам'ятай!

Будь-яка функція F (x) \u003d х 2 + С , Де С - довільна стала, і тільки така функція, є первісною для функції f (x) \u003d 2х.

наприклад:
F "(x) \u003d (х 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2х, тому F "(x) \u003d (х 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2х, тому F "(x) \u003d (х 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Зв'язок між графіками функції і її первісної:

Якщо графік функції f (x)\u003e 0 F (x) зростає на цьому проміжку.
Якщо графік функції f (x)<0 на проміжку, то графік її первісної F (x) убуває на цьому проміжку.
якщо f (x) \u003d 0, То графік її первісної F (x) в цій точці змінюється з зростаючого на спадаючий (або навпаки).

Для позначення первісної використовують знак невизначеного інтеграла, тобто інтеграла без вказівки меж інтегрування.

невизначений інтеграл

визначення:

Невизначеним інтегралом від функції f (x) називається вираз F (x) + С, тобто сукупність всіх первісних даної функції f (x). Позначається невизначений інтеграл так: \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C

f (x)- називають підінтегральної функцією;
f (x) dx- називають подинтегрального виразом;
x - називають змінної інтегрування;
F (x) - одна з первісних функції f (x);
З - довільна постійна.

Властивості невизначеного інтеграла

Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
Постійний множник подинтегрального вираження можна виносити за знак інтеграла: \\ Int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій: \\ Int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
якщо k, b- постійні, причому k ≠ 0, то \\ Int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot F (kx + b) + C.

Таблиця первісних і невизначених інтегралів

функція f (x)	Первісна F (x) + C	невизначені інтеграли \\ Int f (x) dx \u003d F (x) + C
0	C	\\ Int 0 dx \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + C	\\ Int kdx \u003d kx + C
f (x) \u003d x ^ m, m \\ not \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C	\\ Int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + C	\\ Int e (^ x) dx \u003d e ^ x + C
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C	\\ Int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C
f (x) \u003d \\ sin x	F (x) \u003d - \\ cos x + C	\\ Int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ sin x + C	\\ Int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + C	\\ Int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \\ not \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ 2a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C	\\ Int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C	\\ Int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C

Формула Ньютона-Лейбніца

нехай f (х) дана функція, F її довільна первісна.

\\ Int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - F (a)

де F (x) - первісна для f (x)

Тобто, інтеграл функції f (x) на інтервалі дорівнює різниці первісних в точках b і a.

Площа криволінійної трапеції

криволінійної трапецією називається фігура, обмежена графіком неотрицательной і безперервної на відрізку функції f, Віссю Ox і прямими x \u003d a і x \u003d b.

Площа криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Визначення первісної.

Первісної функції f (x) на проміжку (a; b) називається така функція F (x), що виконується рівність для будь-якого х з заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи дорівнює нулю, то справедливо рівність . Таким чином, функція f (x) має безліч первісних F (x) + C, для довільної константи, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Визначення невизначеного інтеграла.

Всі безліч первісних функції f (x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

вираз називають подинтегрального виразом, А f (x) - підінтегральної функцією. Підінтегральний вираз являє собою диференціал функції f (x).

Дія знаходження невідомої функції по заданому її диференціалу називається невизначеним інтеграцією, тому що результатом інтегрування є не одна функція F (x), а безліч її первісних F (x) + C.

На підставі властивостей похідної можна сформулювати і довести властивості невизначеного інтеграла (Властивості первісної).

Проміжні рівності першого і другого властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для доказу третього і четвертого властивостей досить знайти похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні дорівнюють підінтегральної функції, що і є доказом в силу першого властивості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотній задачі диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

перша властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевірити правильність виконаного інтегрування досить обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана в результаті диференціювання функція виявиться рівною підінтегральної функції, то це буде означати, що інтегрування проведено вірно;
друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалу функції знайти її первісну. На цій властивості засновано безпосереднє обчислення невизначених інтегралів.

Розглянемо приклад.

Приклад.

Знайти первісну функції, значення якої дорівнює одиниці при х \u003d 1.

Рішення.

Ми знаємо з диференціального обчислення, що (Досить заглянути в таблицю похідних основних елементарних функцій). Таким чином, . За другим властивості . Тобто, маємо безліч первісних. При х \u003d 1 отримаємо значення. За умовою, це значення має дорівнювати одиниці, отже, С \u003d 1. Шукана первісна набуде вигляду.

Приклад.

Знайти невизначений інтеграл і результат перевірити диференціюванням.

Рішення.

За формулою синуса подвійного кута з тригонометрії , тому

Первісна функція і невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме, відновлення функції по відомій похідною цієї функції. Відновлена \u200b\u200bтаким чином функція F(x) називається первообразной для функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) На деякому проміжку X, Якщо для всіх значень x з цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), Тобто дана функція f(x) Є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) \u003d Sin x є первісною для функції f(x) \u003d Cos x на всій числовій прямій, так як при будь-якому значенні ікси (sin x) "\u003d (Cos x) .

Визначення 2. невизначеність інтегралом функції f(x) Називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) - підінтегральної функцією, а f(x)dx - підінтегральна виразом.

Таким чином, якщо F(x) - якась первісна для f(x), То

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функції як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційна дерев'яна двері). Її функція - "бути дверима". А з чого зроблена двері? Із дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральної функції "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може означати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблена з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів і відповідних їм первісних ( "бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" і ін.) Аналогічна таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде приведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, з яких "зроблені" ці функції. У частині завдань на знаходження невизначеного інтеграла дано такі підінтегральної функції, які без особливих услілій можуть бути проінтегрувати безпосередньо, тобто по таблиці невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральної функції потрібно попередньо перетворити так, щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми повинні враховувати довільну постійну (константу) C, А щоб не писати список первообразной з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою C, Наприклад, так: 5 x³ + С. Отже, довільна постійна (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³ + 4 або 5 x³ + 3 і при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа звертаються в нуль.

Поставимо задачу інтегрування: для даної функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якої дорівнює f(x).

Приклад 1.Знайти безліч первісних функції

Рішення. Для даної функції первообразной є функція

функція F(x) Називається первісною для функції f(x), Якщо похідна F(x) дорівнює f(x), Або, що одне і те ж, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, Тобто

(2)

Отже, функція - первісна для функції. Однак вона не є єдиною первісною для. Ними служать також функції

де З - довільна постійна. У цьому можна переконатися дифференцированием.

Таким чином, якщо функція має одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійний доданок. Всі Первісні для функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає з наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).якщо F(x) - первісна для функції f(x) На деякому проміжку Х, То будь-яка інша первісна для f(x) На тому самому проміжку може бути представлена \u200b\u200bу вигляді F(x) + C, де З- довільна постійна.

У наступному прикладі вже звертаємося до таблиці інтегралів, яка буде дана в параграфі 3, після властивостей невизначеного інтеграла. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб була зрозуміла суть вищевикладеного. А після таблиці і властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повністю.

Приклад 2.Знайти безлічі первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безлічі первісних функцій, з яких "зроблені" дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки просто прийміть, що там є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n \u003d 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n \u003d 1/3, маємо

3) Так як

то за формулою (7) при n \u003d -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f , А її твір на диференціал dx . Це робиться насамперед для того, щоб вказати, з якої змінної шукається первісна. наприклад,

, ;

тут в обох випадках подинтегральная функція дорівнює, але її невизначені інтеграли в розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція розглядається як функція від змінної x , А в другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегруванням цієї функції.

Геометричний сенс невизначеного інтеграла

Нехай потрібно знайти криву y \u003d F (x) і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній її точці є задана функція f (x) абсциси цієї точки.

Згідно геометричному змістом похідної, тангенс кута нахилу дотичної в цій точці кривої y \u003d F (x) дорівнює значенню похідної F "(x). Значить, потрібно знайти таку функцію F (x), для якої F "(x) \u003d f (x). Необхідна в завданні функція F (x) є первісною від f (x). Умові завдання задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y \u003d F (x) - одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням уздовж осі Oy.

Назвемо графік первісної функції від f (x) інтегральної кривої. якщо F "(x) \u003d f (x), То графік функції y \u003d F (x) є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений семества всіх інтегральних кривих , Як на малюнку нижче. Відстань кожній кривій від початку координат визначається довільної сталої (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтеграла

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, а його диференціал - підінтегральна висловом.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціала функції f(x) Дорівнює функції f(x) З точністю до постійного доданка , Тобто

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник в подинтегрального вираженні можна виносити за знак невизначеного інтеграла , Тобто

Визначення. Функція F (x) називається первісною для функції f (x) на даному проміжку, якщо для будь-якого х з даного проміжку F "(x) \u003d f (x).

Основна властивість первісних.

Якщо F (x) - первісна функції f (x), то і функція F (x) + C, де C -довільний постійна, також є первісною функції f (x) (тобто все Первісні функції f (x) записуються у вигляді F (x) + С).

Геометрична інтерпретація.

Графіки всіх первісних даної функції f (x) виходять з графіка якої-небудь однієї первісної паралельними переносами уздовж осі Оу.

Таблиця первісних.

Правила знаходження первісних .

Нехай F (x) і G (x) - первісні відповідно функцій f (x) і g (x). тоді:

1. F ( x) ± G ( x) - первісна для f( x) ± g( x);

2. а F ( x) - первісна для а f( x);

3. - первісна для а f( kx + b).

Завдання і тести по темі "Первісна"

Первісна
Уроків: 1 Завдань: 11 Тестів: 1
Похідна і первісна - Підготовка до ЄДІ з математики ЄДІ з математики
Завдань: 3
інтеграл - Первісна та інтеграл 11 клас
Уроків: 4 Завдань: 13 Тестів: 1
Обчислення площ за допомогою інтеграла - Первісна та інтеграл 11 клас
Уроків: 1 Завдань: 10 Тестів: 1

Вивчивши цю тему, Ви повинні знати, що називається первісною, її основна властивість, геометричну інтерпретацію, правила знаходження первісних; вміти знаходити все Первісні функцій за допомогою таблиці і правил знаходження первісних, а також первісну, що проходить через задану точку. Розглянемо рішення задач по даній темі на прикладах. Зверніть увагу на оформлення рішень.

Приклади.

1. З'ясувати, чи є функція F ( x) = х 3 – 3х + 1 первісною для функції f(x) = 3(х 2 – 1).

Рішення: F "( x) = (х 3 – 3х + 1) '\u003d 3 х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), Тобто F "( x) = f(x), Отже, F (x) є первісною для функції f (x).

2. Знайти всі первісні функції f (x):

а) f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

Рішення: Використовуючи таблицю і правила знаходження первісних, отримаємо:

відповідь:

б) f(x) \u003d Sin (3 x – 2)

Рішення:

Первісна. Гарне слово.) Для початку трохи російської мови. Вимовляється це слово саме так, а не "Первісних" , Як може здатися. Первісна - базове поняття всього інтегрального числення. Будь-які інтеграли - невизначені, певні (з ними ви познайомитеся вже в цьому семестрі), а також подвійні, потрійні, криволінійні, поверхневі (а це вже головні герої другого курсу) - будуються на цьому ключовому понятті. Має повний сенс освоїти. Поїхали.)

Перш ніж знайомитися з поняттям первісної, давайте в найзагальніших рисах згадаємо саму звичайну похідну. Аби не заглиблюватися в нудну теорію меж, збільшень аргументу і іншого, можна сказати, що знаходження похідної (або диференціювання) - це просто математична операція над функцією. І все. Береться будь-яка функція (припустимо, f (x) \u003d x 2) і за певними правиламиперетворюється, перетворюючись на нову функцію. І ось ця сама нова функція і називається похідною.

У нашому випадку, до диференціювання була функція f (x) \u003d x 2, А після диференціювання стала вже інша функція f '(x) \u003d 2x.

похідна - тому, що наша нова функція f '(x) \u003d 2x сталася від функції f (x) \u003d x 2. В результаті операції диференціювання. І причому саме від неї, а не від якоїсь іншої функції ( x 3, Наприклад).

Грубо кажучи, f (x) \u003d x 2 - це мама, а f '(x) \u003d 2x - її улюблена дочка.) Це зрозуміло. Йдемо далі.

Математики - народ невгамовний. На кожну свою дію прагнуть знайти протидію. :) Є складання - є і віднімання. Є множення - є і розподіл. Піднесення до степеня - добування кореня. Синус - арксинус. Точно також є диференціювання- значить, є і ... інтегрування.)

А тепер поставимо таку цікаву задачу. Є у нас, припустимо, така простенька функція f (x) \u003d 1. І нам треба відповісти на таке питання:

Похідна ЯКИЙ функції дає нам функціюf(x) = 1?

Іншими словами, бачачи дочку, за допомогою аналізу ДНК, обчислити, хто ж її матуся. :) Так от який же вихідної функції (назвемо її F (x)) сталася наша похідна функція f (x) \u003d 1? Або, в математичній формі, для якої функції F (x) виконується рівність:

F '(x) \u003d f (x) \u003d 1?

Приклад елементарний. Я намагався.) Просто підбираємо функцію F (x) так, щоб рівність спрацювало. :) Ну як, підібрали? Так звичайно! F (x) \u003d x. Тому що:

F '(x) \u003d x' \u003d 1 \u003d f (x).

Зрозуміло, знайдену матусю F (x) \u003d x треба якось назвати, так.) Знайомтеся!

Первісною для функціїf(x) Називається така функціяF(x), Похідна якої дорівнюєf(x), Тобто для якої справедлива рівністьF’(x) = f(x).

От і все. Більше ніяких наукових хитрощів. У строгому визначенні додається ще додаткова фраза "На проміжку Х". Але ми поки в ці тонкощі заглиблюватися не будемо, бо наше першочергове завдання - навчитися знаходити ці самі первісні.

У нашому випадку якраз і виходить, що функція F (x) \u003d x є первообразной для функції f (x) \u003d 1.

Чому? Тому що F '(x) \u003d f (x) \u003d 1. Похідна ікси є одиниця. Заперечень немає.)

Термін "первісна" по-обивательському означає "родоначальниця", "батько", "предок". Відразу ж згадуємо найріднішої і близької людини.) А сам пошук первообразной - це відновлення вихідної функції за відомою її похідною. Іншими словами, це дія, зворотне диференціювання. І все! Сам же цей захоплюючий процес теж називається цілком науково - інтегрування. але про інтеграли - пізніше. Терпіння, друзі!)

запам'ятовуємо:

Інтегрування - це математична операція над функцією (як і диференціювання).

Інтегрування - операція, зворотна диференціюванню.

Первісна - результат інтегрування.

А тепер ускладнити завдання. Знайдемо тепер первісну для функції f (x) \u003d x. Тобто, знайдемо таку функцію F (x) , щоб її похідна дорівнювала б Іксу:

F '(x) \u003d x

Хто дружить з похідними, тому, можливо, на розум прийде щось типу:

(X 2) '\u003d 2x.

Що ж, респект і уважуха тим, хто пам'ятає таблицю похідних!) Вірно. Але є одна проблемка. Наша початкова функція f (x) \u003d x, а (X 2) '\u003d 2 x. Два ікс. А у нас після диференціювання повинен вийти просто ікс. Чи не котить. Але ...

Ми з вами народ учений. Атестати отримали.) І зі школи знаємо, що обидві частини будь-якого рівності можна множити і ділити на одне і те ж число (крім нуля, зрозуміло)! так вже влаштовані. Ось і реалізуємо цю можливість собі на благо.)

Адже ми хочемо, щоб справа залишився чистий ікс, вірно? А двійка заважає ... Ось і беремо співвідношення для похідної (x 2) '\u003d 2x і ділимо обидві його частини на цю саму двійку:

Так, вже дечого прояснюється. Йдемо далі. Ми знаємо, що будь-яку константу можна винести за знак похідної.Ось так:

Всі формули в математиці працюють як зліва направо, так і навпаки - справа наліво. Це означає, що, з тим же успіхом, будь-яку константу можна і внести під знак похідної:

У нашому випадку сховаємо двійку в знаменнику (або, що те ж саме, коефіцієнт 1/2) під знак похідної:

А тепер уважно придивимося до нашої записи. Що ми бачимо? Ми бачимо рівність, з якого випливає, що похідна від чогось (це щось - в дужках) дорівнює Іксу.

Отримане рівність якраз і означає, що шуканої первісною для функції f (x) \u003d x служить функція F (x) \u003d x 2/2 . Та, що стоїть в дужках під штрихом. Прямо за змістом первісної.) Що ж, перевіримо результат. Знайдемо похідну:

Відмінно! Отримано початкова функція f (x) \u003d x. Від чого танцювали, до того і повернулися. Це означає, що наша первісна знайдена вірно.)

А якщо f (x) \u003d x 2? Чому дорівнює її Первісна? Не питання! Ми з вами знаємо (знову ж таки, з правил диференціювання), що:

3x 2 \u003d (x 3) '

І, стало бути,

Вловили? Тепер ми, непомітно для себе, навчилися рахувати Первісні для будь-якої статечної функції f (x) \u003d x n. У розумі.) Беремо вихідний показник n, Збільшуємо його на одиничку, а в якості компенсації ділимо всю конструкцію на n + 1:

Отримана формулка, між іншим, справедлива не тільки для натурального показника ступеня n, Але і для будь-якого іншого - негативного, дрібного. Це дозволяє легко знаходити первісні від простеньких дробів і коренів.

наприклад:

природно, n ≠ -1 , Інакше в знаменнику формули виходить нуль, і формула втрачає сенс.) Про цей особливий випадок n \u003d -1 трохи пізніше.)

Що таке невизначений інтеграл? Таблиця інтегралів.

Скажімо, чому дорівнює похідна для функції F (x) \u003d x? Ну, одиниця, одиниця - чую незадоволені відповіді ... Все вірно. Одиниця. Але ... Для функції G (x) \u003d x + 1 похідна теж буде дорівнює одиниці:

Також похідна буде дорівнює одиниці і для функції x + 1234 , І для функції x-10 , І для будь-якої іншої функції виду x + C , де З - будь-яка константа. Бо похідна будь-константи дорівнює нулю, а від додавання / віднімання нуля нікому ні холодно ні жарко.)

Виходить неоднозначність. Виходить, що для функції f (x) \u003d 1 первообразной служить не тільки функція F (x) \u003d x , Але і функція F 1 (x) \u003d x + 1234 і функція F 2 (x) \u003d x-10 і так далі!

Так. Саме так.) У будь-якої ( безперервної на проміжку) Функції існує не якась одна первісна, а нескінченно багато - ціле сімейство! Не одна мама або тато, а ціла родовід, ага.)

Але! Всіх наших родичів-первісних об'єднує одна важлива властивість. На те вони і родичі.) Властивість настільки важливе, що в процесі розбору прийомів інтегрування ми про нього ще не раз згадаємо. І будемо згадувати ще довго.)

Ось воно, це властивість:

Будь-які дві первісні F 1 (x) іF 2 (x) Від однієї і тієї ж функціїf(x) Відрізняються на константу:

F 1 (x) - F 2 (x) \u003d С.

Кому цікаво доказ - студіює літературу або конспекти лекцій.) Гаразд, так вже й бути, доведу. Благо доказ тут елементарне, в одну дію. беремо рівність

F 1 (x) - F 2 (x) \u003d С

і диференціюючи обидві його частини. Тобто, просто тупо ставимо штрихи:

От і все. Як то кажуть, ЧТД. :)

Про що говорить ця властивість? А про те, що дві різні первісні від однієї і тієї ж функції f (x) не можуть відрізнятися на якесь вираження з іксом . Тільки строго на константу! Іншими словами, якщо у нас є графік якийсь однією з первісних (Нехай це буде F (x)), то графіки всіх інших наших первісних будуються паралельним перенесенням графіка F (x) уздовж осі ігрек.

Подивимося, як це виглядає на прикладі функції f (x) \u003d x. Всі її первісні, як нам уже відомо, мають загальний вигляд F (x) \u003d x 2/2 + C . На зображенні це виглядає як безліч парабол, Одержуваних з "основний" параболи y \u003d x 2/2 зрушенням уздовж осі OY вгору або вниз в залежності від значення константи З.

Пам'ятайте шкільне побудова графіка функції y \u003d f (x) + a зрушенням графіка y \u003d f (x) на "а" одиниць уздовж осі ігрек?) Ось і тут те ж саме.)

Причому, зверніть увагу: наші параболи ніде не перетинаються!Воно й природно. Адже дві різні функції y 1 (x) і y 2 (x) неминуче будуть відповідати двом різним значенням константи – З 1 і З 2.

Тому рівняння y 1 (x) \u003d y 2 (x) ніколи не має рішень:

З 1 \u003d З 2

x ε ∅ , так як З 1 ≠ С2

А тепер ми плавно підходимо до другого наріжного поняття інтегрального числення. Як ми тільки що встановили, у будь-якої функції f (x) існує безліч первісних F (x) + C, що відрізняються один від одного на константу. Це саме безліч теж має свою спеціальну назву.) Що ж, прошу любити і жалувати!

Що таке невизначений інтеграл?

Безліч всіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтеграломвід функціїf(x).

Ось і все визначення.)

"Невизначений" - тому, що безліч всіх первісних для однієї і тієї ж функції нескінченно. Занадто багато різних варіантів.)

"Інтеграл" - з докладною розшифровкою цього звірячого слова ми познайомимося в наступному великому розділі, присвяченому певним интегралам. А поки, в грубій формі, будемо вважати інтегралом щось загальне, єдине, ціле. А інтеграцією - об'єднання, узагальнення, В даному випадку перехід від приватного (похідною) до загального (первісних). От якось так.

Позначається невизначений інтеграл ось так:

Читається так само, як і пишеться: інтеграл еф від ікс де ікс. або інтеграл від еф від ікс де ікс.Ну ви зрозуміли.)

Тепер розберемося з позначеннями.

∫ - значок інтеграла. Сенс той же, що і штрих для похідної.)

d - значокдиференціала. Чи не лякаємося! Навіщо він там потрібен - трохи нижче.

f (x) - підінтегральна функція (Через "и").

f (x) dx - підінтегральний вираз. Або, грубо кажучи, "начинка" інтеграла.

Згідно змістом невизначеного інтеграла,

тут F (x) - та сама первісна для функції f (x), Яку ми так чи інакше знайшли самі.Як саме знайшли - не суть. Наприклад, ми встановили, що F (x) \u003d x 2/2 для f (x) \u003d x.

"С" - довільна постійна. Або, більш науково, інтегральна константа. або константа інтегрування. Все одно.)

А тепер повернемося до наших найпершим прикладів на пошук первісної. У термінах невизначеного інтеграла можна тепер сміливо записати:

Що таке інтегральна константа і навіщо вона потрібна?

Питання дуже цікаве. І дуже (ДУЖЕ!) Важливий. Інтегральна константа з усього нескінченної кількості первісних виділяє ту лінію, яка проходить через задану точку.

В чому суть. З вихідного нескінченної кількості первісних (тобто невизначеного інтеграла) Треба виділити ту криву, яка буде проходити через задану точку. З якимись конкретними координатами.Таке завдання завжди і всюди зустрічається при початковому знайомстві з інтегралами. Як в школі, так і у ВНЗ.

Типова задача:

Серед безлічі всіх первісних функції f \u003d x виділити ту, яка проходить через точку (2; 2).

Починаємо думати головою ... Безліч всіх первоообразних - це значить, спочатку треба проинтегрировать нашу вихідну функцію.Тобто, ікс (х). Цим ми займалися трохи вище і отримали таку відповідь:

А тепер розбираємося, що саме ми отримали. Ми отримали не одну функцію, а ціле сімейство функцій. Яких саме? виду y \u003d x 2/2 + C . Залежне від значення константи С. І ось це значення константи нам і належить тепер "відловити".) Ну що, займемося ловом?)

Вудка наша - сімейство кривих (парабол) y \u003d x 2/2 + C.

константи - це рибини. Багато багато. Але на кожну знайдеться свій гачок і приманка.)

А що ж служить приманкою? Правильно! Наша точка (-2; 2).

Ось і підставляємо координати нашої точки в загальний вигляд первісних! отримаємо:

y (2) \u003d 2

Звідси вже легко шукається C \u003d 0.

Що сіё означає? Це означає, що з усього нескінченної кількості парабол видуy \u003d x 2/2 + Cтільки парабола з константою С \u003d 0 нам підходить! А саме:y \u003d x 2/2. І тільки вона. Тільки ця парабола буде проходити через потрібну нам точку (-2; 2). А все інші параболи з нашого сімейства проходити через цю точку вже не будуть.Через якісь інші точки площині - так, а ось через точку (2; 2) - вже немає. Вловили?

Для наочності ось вам дві картинки - все сімейство парабол (тобто невизначений інтеграл) і якась конкретна парабола, відповідна конкретним значенням константи і проходить через конкретну точку:

Бачите, наскільки важливо враховувати константу З при інтегруванні! Так що не нехтуємо цієї буквою "С" і не забуваємо приписувати до остаточної відповіді.

А тепер розберемося, навіщо ж всередині інтегралів всюди тусується символ dx . Забувають про нього студенти частенько ... А це, між іншим, теж помилка! І досить груба. Вся справа в тому, що інтегрування - операція, зворотна диференціюванню. А що саме є результатом диференціювання? Похідна? Вірно, але не зовсім. Диференціал!

У нашому випадку, для функції f (x) диференціал її первісної F (x), Буде:

Кому незрозуміла дана ланцюжок - терміново повторити визначення і сенс диференціала і то, як саме він розкривається! Інакше в інтеграли будете гальмувати нещадно ....

Нагадаю, в самій грубій обивательської формі, що диференціал будь-якої функції f (x) - це просто витвір f '(x) dx. І все! Взяти похідну і помножити її на диференціал аргументу (Тобто dx). Тобто, будь-який диференціал, по суті, зводиться до обчислення звичайної похідною.

Тому, строго кажучи, інтеграл "береться" немає від функції f (x), Як прийнято вважати, а від диференціала f (x) dx! Але, в спрощеному варіанті, прийнято говорити, що "Інтеграл береться від функції". або: "Інтегрується функція f(x)". Це одне і теж. І ми будемо говорити точно так же. Але про значок dx при цьому забувати не будемо! :)

І зараз я підкажу, як його не забути під час запису. Уявіть собі спочатку, що ви обчислюєте звичайну похідну по змінній ікс. Як ви зазвичай її пишете?

Ось так: f '(x), y' (x), у 'x. Або більш солідно, через ставлення диференціалів: dy / dx. Всі ці записи нам показують, що похідна береться саме за Іксу. А не по "Ігрек", "те" або якийсь там інший змінної.)

Так само і в інтеграли. запис ∫ f (x) dx нам також як би показує, що інтегрування проводиться саме по змінної ікс. Звичайно, це все дуже спрощено і грубо, але зате зрозуміло, я сподіваюся. І шанси забути приписати всюдисуще dx різко знижуються.)

Отже, що таке ж невизначений інтеграл - розібралися. Прекрасно.) Тепер добре б навчитися ці самі невизначені інтеграли обчислювати. Або, інакше кажучи, "брати". :) І ось тут студентів чекає дві новини - хороша і не дуже. Поки почнемо з хорошою.)

Новина хороша. Для інтегралів, так само як і для похідних, існує своя табличка. І все інтеграли, які нам будуть зустрічатися по шляху, навіть найстрашніші і наворочені, ми за певними правилами будемо так чи інакше зводити до цих самих табличним.)

Отже, ось вона, таблиця інтегралів!

Ось така ось красива табличка інтегралів від самих-самих популярних функцій. Рекомендую звернути окрему увагу на групу формул 1-2 (константа і статечна функція). Це - найбільш вживані формули в інтеграли!

Третя група формул (тригонометрія), як можна здогадатися, отримана простим зверненням відповідних формул для похідних.

наприклад:

C четвертою групою формул (показова функція) - все аналогічно.

А ось чотири останні групи формул (5-8) для нас нові. Звідки ж вони взялися і за які такі заслуги саме ці екзотичні функції, раптом, увійшли в таблицю основних інтегралів? Чим же ці групи функцій так виділяються на тлі інших функцій?

Так уже склалося історично в процесі розвитку методів інтегрування . Коли ми будемо тренуватися брати най-най різноманітні інтеграли, то ви зрозумієте, що інтеграли від перерахованих в таблиці функцій зустрічаються дуже і дуже часто. Настільки часто, що математики віднесли їх до табличних.) Через них виражаються дуже багато інших інтеграли, від більш складних конструкцій.

Заради інтересу можна взяти котрусь із цих страшних формул і продифференцировать. :) Наприклад, саму звірячу 7-ю формулу.

Все нормально. Чи не обманули математики. :)

Таблицю інтегралів, як і таблицю похідних, бажано знати напам'ять. У всякому разі, перші чотири групи формул. Це не так важко, як здається на перший погляд. Заучувати напам'ять останні чотири групи (з дробом і корінням) бувай не варто. Все одно спочатку будете плутатися, де логарифм писати, де арктангенс, де арксинус, де 1 / а, де 1 / 2а ... Вихід тут один - вирішувати побільше прикладів. Тоді таблиця сама собою поступово і запам'ятається, а сумніви гризти перестануть.)

Особливо допитливі особи, придивившись до таблиці, можуть запитати: а де ж в таблиці інтеграли від інших елементарних "шкільних" функцій - тангенса, логарифма, "АРКОВ"? Скажімо, чому в таблиці Є інтеграл від синуса, але при цьому НЕМАЄ, скажімо, інтеграла від тангенса tg x? Або немає інтеграла від логарифма ln x? від арксинуса arcsin x? Чим вони гірше? Але зате повно якихось "лівих" функцій - з корінням, дробом, квадратами ...

Відповідь. Нічим не гірше.) Просто вищеназвані інтеграли (від тангенса, логарифма, арксинуса і т.д.) не є табличними . І зустрічаються на практиці значно рідше, ніж ті, що представлені в таблиці. Тому знати напам'ять, Чому вони рівні, зовсім не обов'язково. Достатньо лише знати, як вони обчислюються.)

Що, комусь все-таки невтерпеж? Так вже й бути, спеціально для вас!

Ну як, будете заучувати? :) Не будете? І не треба.) Але не хвилюйтеся, все подібні інтеграли ми обов'язково знайдемо. У відповідних уроках. :)

Що ж, тепер переходимо до властивостей невизначеного інтеграла. Так-так, нічого не поробиш! Вводиться нове поняття - тут же і якісь його властивості розглядаються.

Властивості невизначеного інтеграла.

Тепер не дуже хороша новина.

На відміну від диференціювання, загальних стандартних правил інтегрування, справедливих на всі випадки життя, В математиці немає. Це фантастика!

Наприклад, ви все прекрасно знаєте (сподіваюся!), Що будь-який твір, добуток будь-яких двох функцій f (x) · g (x) диференціюється ось так:

(F (x) · g (x)) '\u003d f' (x) · g (x) + f (x) · g '(x).

Будь-яке приватна диференціюється ось так:

А будь-яка складна функція, якою б накрученою вона не була, диференціюється ось так:

І які б функції не ховалися під буквами f і g, загальні правила все одно спрацюють і похідна, так чи інакше, буде знайдена.

А ось з інтегралами такий номер уже не пройде: для твору, приватного (дроби), а також складної функції загальних формул інтегрування не існує! Нема ніяких стандартних правил! Вірніше, вони є. Це я даремно математику образив.) Але, по-перше, їх набагато менше, ніж загальних правил для диференціювання. А по-друге, більшість методів інтегрування, про які ми будемо розмовляти в наступних уроках, дуже і дуже специфічні. І справедливі лише для певного, дуже обмеженого класу функцій. Скажімо, тільки для дрібно-раціональних функцій. Або якихось ще.

А якісь інтеграли, хоч і існують в природі, але взагалі ніяк не виражаються через елементарні "шкільні" функції! Так-так, і таких інтегралів повно! :)

Саме тому інтегрування - набагато більш трудомістке і копітка заняття, ніж диференціювання. Але в цьому є і своя родзинка. Заняття це творче і дуже захоплююче.) І, якщо ви добре засвоїте таблицю інтегралів і освоїте хоча б два базових прийому, про які ми поговоримо далі (і), то інтегрування вам дуже сподобається. :)

А тепер познайомимося, власне, з властивостями невизначеного інтеграла. Їх всього нічого. Ось вони.

Перші дві властивості повністю аналогічні таким же властивостям для похідних і називаються властивостями лінійності невизначеного інтеграла . Тут все просто і логічно: інтеграл від суми / різниці дорівнює сумі / різниці інтегралів, а постійний множник можна винести за знак інтеграла.

А от наступні три властивості для нас принципово нові. Розберемо їх детальніше. Звучать по-російськи вони в такий спосіб.

третя властивість

Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральної функції

Все просто, як в казці. Якщо проінтегрувати функцію, а потім назад знайти похідну від результату, то ... вийде вихідна подинтегральная функція. :) Цим властивістю завжди можна (і потрібно) користуватися для перевірки остаточного результату інтегрування. Вирахували інтеграл - продіфференціруйте відповідь! Отримали підінтегральної функції - ОК. Вам не прийшов - значить, десь накосячілі. Шукайте помилку.)

Звичайно ж, у відповіді можуть виходити настільки звірячі і громіздкі функції, що і назад диференціювати їх не хочеться, так. Але краще, по можливості, намагатися себе перевіряти. Хоча б в тих прикладах, де це нескладно.)

Четверте властивість

Диференціал від інтеграла дорівнює подинтегрального висловом .

Тут нічого особливого. Суть та ж сама, тільки dx на кінці з'являється. Згідно з попереднім властивості і правилам розкриття диференціала.

п'яте властивість

Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої .

Теж дуже просте властивість. Їм ми теж будемо регулярно користуватися в процесі рішення інтегралів. особливо - в і.

Ось такі ось корисні властивості. Занудствовать з їх строгими доказами я тут не збираюся. Бажаючим пропоную це зробити самостійно. Прямо за змістом похідної та диференціала. Доведу лише останнім, п'яте властивість, бо воно менш очевидно.

Отже, у нас є твердження:

Витягуємо "начинку" нашого інтеграла і розкриваємо, згідно з визначенням диференціала:

Про всяк випадок, нагадую, що, згідно з нашим позначенням похідною і первісної, F’(x) = f(x) .

Вставляємо тепер наш результат назад всередину інтеграла:

Отримано в точності визначення невизначеного інтеграла (Хай вибачить мене російська мова)! :)

От і все.)

Що ж. На цьому наше початкове знайомство з таємничим світом інтегралів вважаю таким, що відбувся. На сьогодні пропоную закруглитися. Ми вже достатньо озброєні, щоб йти в розвідку. Якщо не кулеметом, то хоча б водяним пістолетом базовими властивостями і таблицею. :) В наступному уроці нас вже чекають найпростіші нешкідливі приклади інтегралів на пряме застосування таблиці та виписаних властивостей.

До зустрічі!