Угол между параллельными прямыми в пространстве. Угол между скрещивающимися прямыми (2019). Взаимное расположение двух прямых

AB и С D пересечены третьей прямой MN , то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы : 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы : 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы : 1 и 8, 2 и 7.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам , как углы вертикальные .

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

то первые две прямые параллельны.

Две прямые AB и CD называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать (AB|| CD). Угол между параллельными прямыми равен нулю.

Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми,- расстояние между ними.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Свойства параллельных прямых:

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов (рис.13), которые попарно называются:

1) соответственные углы (1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 );

углы попарно равны : (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10 src=">5; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10">6; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10">7; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10">8 );

2) внутренние накрест лежащие углы (4 и 5; 3 и 6 ); они попарно равны ;

3) внешние накрест лежащие углы (1 и 8; 2 и 7 ); они попарно равны;

4) внутренние односторонние углы (3 и 5; 4 и 6 ); сумма односторонних углов равна 180 °

(https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10">5 = 180° ; 4 + 6 = 180°);

5) внешние односторонние углы (1 и 7; 2 и 8 ); их сумма равна 180° (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10">7 = 180°; 2 + 8 = 180°).

Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми (рис.16) стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:

Подобные треугольники.

Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Сходственные стороны подобных треугольников - это стороны, лежащие напротив равных углов.

https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif" alt="подобные треугольники" width="13" height="14">A = https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif" alt="подобные треугольники" width="13" height="14">B = B1, С = С1 и Число k , равное отношению сходственных сторон треугольника называется коэффициентом подобия .

Признаки подобия:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треуг-ки подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами , равны , то треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого , то такие треугольники подобны.

Следствия: 1. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

2. Отношение периметров подобных треугольников и биссектрис , медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Предпринимательство как самоорганизующаяся система существует и развивается под влиянием системы факторов. В конце 70-х гг. XX в. такие исследователи, как Т. Бачкаи, Д. Месена, Д. Мико и другие, изучая действие факторов риска, указывали, что все они находятся во взаимосвязи . Наряду с «естественными»...

ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ РИСКА И КРИТЕРИИ ВЫБОРА РЕШЕНИЯ

Управление риском невозможно без оценки его величины. Способ оценки зависит от вида риска. Учитывая многообразие рисков и сложность задач управления ими, на практике используют три вида оценок: качественные, аксиологические и количественные. Качественная оценка риска широко применяется и позволяет быстро,...
(Риски в бухгалтерском учете)

Пересекающиеся прямые

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых. Действительно (рисунок 2.30), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения...
(Инженерная графика)

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рисунке 2.32 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной линиям связи L"L" и...
(Инженерная графика)

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Расстояние между скрещивающимися прямыми а и Ъ определяется длиной отрезка перпендикуляра КМ, пересекающего обе прямые (а _1_ КМ; Ы.КМ ) (рис. 349, б, в). Задача решается просто, если одна из прямых - проецирующая. Пусть, например, а±Пь тогда искомый отрезок КМ ...
(Начертательная геометрия)

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Признаки взаимного положения прямой и плоскости, двух плоскостей Вспомним признаки взаимного положения прямой и плоскости, а также двух плоскостей, знакомые из стереометрии. 1. Если у прямой и плоскости есть одна общая точка, то прямая и плоскость пересекаются (рис. 3.6а). 2. Если у прямой и плоскости...
(Основы инженерной графики)

Признаки взаимного положения прямой и плоскости, двух плоскостей

Вспомним признаки взаимного положения прямой и плоскости, а также двух плоскостей, знакомые из стереометрии. 1. Если у прямой и плоскости есть одна общая точка, то прямая и плоскость пересекаются (рис. 3.6а). 2. Если у прямой и плоскости есть две общие точки, то прямая лежит в плоскости (рис. 3.66)....
(Основы инженерной графики)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На этом уроке мы дадим определение сонаправленных лучей и докажем теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами. Далее дадим определение угла между пересекающимися прямыми и скрещивающимися прямыми. Рассмотрим, каким может быть угол между двумя прямыми. В конце урока решим несколько задач на нахождение углов между скрещивающимися прямыми.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Углы с сонаправленными сторонами. Угол между двумя прямыми

Любая прямая, например ОО 1 (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О 1 А 1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными .

Лучи О 2 А 2 и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О 1 А 1 и параллельные лучи ОВ и О 1 В 1 (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А 1 О 1 В 1 , чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

На стороне луча ОА и О 1 А 1 выберем точки А и А 1 так, чтобы отрезки ОА и О 1 А 1 были равны. Аналогично, точки В и В 1 выберем так, чтобы отрезки ОВ и О 1 В 1 были равны.

Рассмотрим четырехугольник А 1 О 1 ОА (Рис. 3.) ОА и О 1 А 1 А 1 О 1 ОА А 1 О 1 ОА ОО 1 и АА 1 параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В 1 О 1 ОВ . В этом четырехугольники стороны ОВ и О 1 В 1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В 1 О 1 ОВ является параллелограммом. Так как В 1 О 1 ОВ - параллелограмм, то стороны ОО 1 и ВВ 1 параллельны и равны.

И прямая АА 1 параллельна прямой ОО 1 , и прямая ВВ 1 параллельна прямой ОО 1 , значит прямые АА 1 и ВВ 1 параллельны.

Рассмотрим четырехугольник В 1 А 1 АВ . В этом четырехугольники стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В 1 А 1 АВ является параллелограммом. Так как В 1 А 1 АВ - параллелограмм, то стороны АВ и А 1 В 1 параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 . Стороны ОА и О 1 А 1 равны по построению. Стороны ОВ и О 1 В 1 также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А 1 В 1 тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны, что и требовалось доказать.

1) Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между двумя прямыми , называется наименьший из углов между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что .

Рис. 4. Угол между двумя пересекающимимся прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О . Через точку О проведем прямую а 1 , параллельную прямой а , и прямую b 1 , параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а 1 и b 1 пересекаются в точке О . Угол между двумя пересекающимися прямыми а 1 и b 1 , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Рис. 5. Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О 1 . Через точку О 1 проведем прямую а 2 , параллельную прямой а , и прямую b 2 , параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямыми а 2 и b 2 обозначим φ 1 . Тогда углы φ и φ 1 - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О .

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD , если:

1) ∠АОВ = 40°.

Выберем точку С . Через нее проходи прямая СD . Проведем СА 1 параллельно ОА (Рис. 7.). Тогда угол А 1 СD - угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD . По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А 1 СD равен углу АОВ , то есть 40°.

Рис. 7. Найти угол между двумя прямыми

2) ∠АОВ = 135°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 8.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА 1 .

3) ∠АОВ = 90°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 9.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА 1 равны 90°. Искомый угол равен 90°.

1) Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство

Пусть нам дан пространственный четырехугольник ABCD . M, N, K, L - середины ребер BD, AD, AC, BC соответственно (Рис. 10.). Нужно доказать, что MNKL - параллелограмм.

Рассмотрим треугольник АВD . МN МN параллельна АВ и равняется ее половине.

Рассмотрим треугольник АВС . LК - средняя линия. По свойству средней линии, LК параллельна АВ и равняется ее половине.

И МN , и LК параллельны АВ . Значит, МN параллельна LК по теореме о трех параллельных прямых.

Получаем, что в четырехугольнике MNKL - стороны МN и LК параллельны и равны, так как МN и LК равны половине АВ . Значит, по признаку параллелограмма, четырехугольник MNKL - параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СD , если угол МNК = 135°.

Как мы уже доказали, МN параллельна прямой АВ . NК - средняя линия треугольника АСD , по свойству, NК параллельна DС . Значит, через точку N проходят две прямые МN и NК , которые параллельны скрещивающимся прямым АВ и DС соответственно. Значит, угол между прямыми МN и NК является углом между скрещивающимися прямыми АВ и DС . Нам дан тупой угол МNК = 135°. Угол между прямыми МN и NК - наименьший из углов, полученных при пересечении этих прямых, то есть 45°.

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач на нахождение угла между двумя прямыми. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.

В) BC и D 1 В 1 .

Рис. 11. Найти угол между прямыми

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 54