Mikä on neliöjuuri? Neliöjuuri. Yksityiskohtainen teoria esimerkein Usein 100:n juuri

Melko usein ongelmia ratkaistaessa kohtaamme suuria lukuja, joista meidän on otettava irti Neliöjuuri. Monet opiskelijat päättävät, että tämä on virhe, ja alkavat ratkaista koko esimerkkiä uudelleen. Älä missään tapauksessa saa tehdä tätä! Tähän on kaksi syytä:

1. Ongelmissa esiintyy suurten määrien juuret. Varsinkin tekstissä;
2. On olemassa algoritmi, jolla nämä juuret lasketaan melkein suullisesti.

Harkitsemme tätä algoritmia tänään. Ehkä jotkut asiat tuntuvat sinulle käsittämättömiltä. Mutta jos kiinnität huomiota tähän oppiaiheeseen, saat voimakkaan aseen neliöjuuret.

Eli algoritmi:

1. Rajoita vaadittu juuri ylä- ja alapuolella lukuihin, jotka ovat 10:n kerrannaisia. Näin ollen vähennämme hakualueen 10 numeroon;
2. Karsi näistä 10 numerosta pois ne, jotka eivät todellakaan voi olla juuria. Tämän seurauksena 1-2 numeroa jää jäljelle;
3. Neliöi nämä 1-2 numerot. Se, jonka neliö on yhtä suuri kuin alkuperäinen luku, on juuri.

Ennen kuin käytät tätä algoritmia, tarkastellaan jokaista yksittäistä vaihetta.

Juuren rajoitus

Ensinnäkin meidän on selvitettävä, minkä numeroiden välissä juuremme sijaitsee. On erittäin toivottavaa, että luvut ovat kymmenen kerrannaisia:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Saamme numerosarjan:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Mitä nämä luvut kertovat meille? Se on yksinkertaista: saamme rajat. Otetaan esimerkiksi luku 1296. Se on välillä 900 ja 1600. Siksi sen juuri ei voi olla pienempi kuin 30 ja suurempi kuin 40:

[Kuvan kuvateksti]

Sama koskee kaikkia muita lukuja, joista voit löytää neliöjuuren. Esimerkiksi 3364:

[Kuvan kuvateksti]

Siten käsittämättömän luvun sijasta saamme hyvin tarkan alueen, jossa alkuperäinen juuri sijaitsee. Voit rajata hakualuetta edelleen siirtymällä toiseen vaiheeseen.

Ilmeisen tarpeettomat numerot poistetaan

Joten meillä on 10 numeroa - juuriehdokkaita. Saimme ne erittäin nopeasti, ilman monimutkaista ajattelua ja kertomista sarakkeessa. On aika jatkaa eteenpäin.

Uskokaa tai älkää, vähennämme nyt ehdokkaiden lukumäärän kahteen - jälleen ilman monimutkaisia ​​laskelmia! Riittää, kun tietää erikoissäännön. Tässä se on:

Neliön viimeinen numero riippuu vain viimeisestä numerosta alkuperäinen numero.

Toisin sanoen, katso vain neliön viimeistä numeroa ja ymmärrämme heti, mihin alkuperäinen numero päättyy.

Viimeiselle sijalle voi tulla vain 10 numeroa. Yritetään selvittää, mitä ne muuttuvat neliöitynä. Katsokaa taulukkoa:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Tämä taulukko on toinen askel kohti juuren laskemista. Kuten näet, toisen rivin numerot osoittautuivat symmetrisiksi suhteessa viiteen. Esimerkiksi:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kuten näet, viimeinen numero on sama molemmissa tapauksissa. Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi 3364:n juuren tulee päättyä numeroon 2 tai 8. Toisaalta muistamme edellisen kappaleen rajoituksen. Saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Punaiset neliöt osoittavat, että emme vielä tiedä tätä lukua. Mutta juuri on välillä 50-60, jossa on vain kaksi numeroa, jotka päättyvät numeroihin 2 ja 8:

[Kuvan kuvateksti]

Siinä kaikki! Kaikista mahdollisista juurista jätimme vain kaksi vaihtoehtoa! Ja tämä on vaikeimmassa tapauksessa, koska viimeinen numero voi olla 5 tai 0. Ja silloin on vain yksi ehdokas juurille!

Lopulliset laskelmat

Meillä on siis 2 ehdokasnumeroa jäljellä. Mistä tiedät kumpi on juuri? Vastaus on ilmeinen: neliöi molemmat luvut. Se, joka neliöi antaa alkuperäisen luvun, on juuri.

Esimerkiksi numerolle 3364 löysimme kaksi ehdokasnumeroa: 52 ja 58. Nelitetään ne:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Siinä kaikki! Kävi ilmi, että juuri on 58! Samalla käytin laskelmien yksinkertaistamiseksi kaavaa summan ja erotuksen neliöille. Tämän ansiosta minun ei tarvinnut edes kertoa numeroita sarakkeeksi! Tämä on laskennan optimoinnin toinen taso, mutta se on tietysti täysin valinnainen :)

Esimerkkejä juurien laskemisesta

Teoria on tietysti hyvä. Mutta tarkistetaan käytännössä.

[Kuvan kuvateksti]

Selvitetään ensin, minkä numeroiden välissä luku 576 on:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Katsotaanpa nyt viimeistä numeroa. Se on yhtä suuri kuin 6. Milloin tämä tapahtuu? Vain jos juuri päättyy numeroon 4 tai 6. Saamme kaksi numeroa:

Jäljelle jää vain neliöttää jokainen numero ja verrata sitä alkuperäiseen:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Loistava! Ensimmäinen neliö osoittautui yhtä suureksi kuin alkuperäinen luku. Tämä on siis juuri.

Tehtävä. Laske neliöjuuri:

[Kuvan kuvateksti]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Katsotaanpa viimeistä numeroa:

1369 → 9;
33; 37.

Neliö:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Tässä vastaus: 37.

Tehtävä. Laske neliöjuuri:

[Kuvan kuvateksti]

Rajoitamme määrää:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Katsotaanpa viimeistä numeroa:

2704 → 4;
52; 58.

Neliö:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Saimme vastauksen: 52. Toista numeroa ei enää tarvitse neliöidä.

Tehtävä. Laske neliöjuuri:

[Kuvan kuvateksti]

Rajoitamme määrää:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Katsotaanpa viimeistä numeroa:

4225 → 5;
65.

Kuten näet, toisen vaiheen jälkeen on enää yksi vaihtoehto: 65. Tämä on haluttu juuri. Mutta katsotaanpa vielä ja tarkistetaan:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Kaikki on oikein. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Johtopäätös

Valitettavasti ei parempaa. Katsotaanpa syitä. Niitä on kaksi:

• Kaikissa normaaleissa matematiikan kokeissa, oli se sitten valtiokoe tai yhtenäinen valtionkoe, laskimien käyttö on kielletty. Ja jos tuot laskimen luokkaan, sinut voidaan helposti potkaista ulos kokeesta.
• Älä ole kuin tyhmät amerikkalaiset. Jotka eivät ole kuin juuria - ne eivät voi lisätä kahta alkulukua. Ja kun he näkevät murto-osia, heistä tulee yleensä hysteerisiä.

Ennen laskimia opiskelijat ja opettajat laskivat neliöjuuret käsin. On olemassa useita tapoja laskea luvun neliöjuuri manuaalisesti. Jotkut niistä tarjoavat vain likimääräisen ratkaisun, toiset antavat tarkan vastauksen.

Askeleet

Alkutekijähajotelma

Kerro radikaaliluku tekijöiksi, jotka ovat neliölukuja. Radikaaliluvusta riippuen saat likimääräisen tai tarkan vastauksen. Neliöluvut ovat lukuja, joista voidaan ottaa koko neliöjuuri. Tekijät ovat lukuja, jotka kerrottuna antavat alkuperäisen luvun. Esimerkiksi luvun 8 tekijät ovat 2 ja 4, koska 2 x 4 = 8, luvut 25, 36, 49 ovat neliölukuja, koska √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Neliötekijät ovat tekijöitä, jotka ovat neliölukuja. Yritä ensin laskea radikaaliluku neliötekijöiksi.

• Laske esimerkiksi 400:n neliöjuuri (käsin). Kokeile ensin laskea 400 neliötekijöiksi. 400 on 100:n kerrannainen, eli jaollinen 25:llä - tämä on neliöluku. Jakamalla 400 luvulla 25, saat 16. Luku 16 on myös neliöluku. Näin ollen 400 voidaan laskea neliötekijöihin 25 ja 16, eli 25 x 16 = 400.
• Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: √400 = √(25 x 16).

1. Joidenkin termien tulon neliöjuuri on yhtä suuri kuin kunkin termin neliöjuuren tulo, eli √(a x b) = √a x √b. Käytä tätä sääntöä ottaaksesi neliöjuuren jokaisesta neliötekijästä ja kertomalla tulokset löytääksesi vastauksen.

   • Esimerkissämme otetaan 25:n ja 16:n juuri.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jos radikaaliluku ei kerro kahta neliötekijää (ja näin tapahtuu useimmissa tapauksissa), et voi löytää tarkkaa vastausta kokonaisluvun muodossa. Mutta voit yksinkertaistaa ongelmaa jakamalla radikaaliluvun neliötekijäksi ja tavalliseksi tekijäksi (luku, josta ei voida ottaa koko neliöjuurta). Sitten otat neliötekijän neliöjuuren ja otat yhteisen tekijän juuren.

   • Laske esimerkiksi luvun 147 neliöjuuri. Lukua 147 ei voi laskea kahteen neliötekijään, mutta se voidaan jakaa seuraaviin tekijöihin: 49 ja 3. Ratkaise tehtävä seuraavasti:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Tarvittaessa arvioi juuren arvo. Nyt voit arvioida juuren arvon (löytää likimääräisen arvon) vertaamalla sitä neliölukujen juurien arvoihin, jotka ovat lähimpänä (lukuviivan molemmilla puolilla) radikaalilukua. Saat juuriarvon desimaalilukuna, joka on kerrottava juurimerkin takana olevalla luvulla.

   • Palataanpa esimerkkiimme. Radikaaliluku on 3. Sitä lähinnä olevat neliöluvut ovat luvut 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Siten √3:n arvo sijaitsee 1:n ja 2:n välillä. Koska √3:n arvo on todennäköisesti lähempänä 2:ta kuin 1:tä, arviomme on: √3 = 1,7. Kerromme tämän arvon juurimerkin luvulla: 7 x 1,7 = 11,9. Jos teet laskutoimituksen laskimella, saat 12,13, mikä on melko lähellä vastaustamme.
     • Tämä menetelmä toimii myös suurilla numeroilla. Oletetaan esimerkiksi √35. Radikaaliluku on 35. Sitä lähimmät neliöluvut ovat luvut 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Näin ollen √35:n arvo sijaitsee välillä 5 ja 6. Koska √35:n arvo on paljon lähempänä 6:ta kuin 5:tä (koska 35 on vain 1 pienempi kuin 36), voidaan sanoa, että √35 on hieman alle 6 Laskurin tarkistus antaa meille vastauksen 5,92 - olimme oikeassa.

4. Toinen tapa - kerro radikaaliluku alkutekijöiksi . Alkutekijät ovat lukuja, jotka ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään. Kirjoita alkutekijät sarjaan ja etsi identtisten tekijöiden parit. Tällaiset tekijät voidaan ottaa pois juurimerkistä.

   • Laske esimerkiksi 45:n neliöjuuri. Laitamme radikaaliluvun alkutekijöihin: 45 = 9 x 5 ja 9 = 3 x 3. Näin ollen √45 = √(3 x 3 x 5). 3 voidaan ottaa pois juurimerkkinä: √45 = 3√5. Nyt voimme arvioida √5.
   • Katsotaanpa toista esimerkkiä: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sait kolme kerrointa 2; ota pari niitä ja siirrä ne juurimerkin yli.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyt voit arvioida √2 ja √11 ja löytää likimääräisen vastauksen.

   Laske neliöjuuri manuaalisesti

   Pitkän jaon käyttäminen

   1. Tämä menetelmä sisältää pitkän jaon kaltaisen prosessin ja antaa tarkan vastauksen. Piirrä ensin pystysuora viiva, joka jakaa arkin kahteen puolikkaaseen, ja vedä sitten oikealle ja hieman arkin yläreunan alapuolelle vaakaviiva pystyviivaan. Jaa nyt radikaaliluku lukupareiksi aloittaen desimaalipilkun jälkeisestä murto-osasta. Joten numero 79520789182.47897 kirjoitetaan muodossa "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Lasketaan esimerkiksi luvun 780.14 neliöjuuri. Piirrä kaksi viivaa (kuten kuvassa) ja kirjoita annettu numero vasemmassa yläkulmassa olevaan muotoon “7 80, 14”. On normaalia, että ensimmäinen numero vasemmalta on pariton numero. Kirjoitat vastauksen (tämän luvun juuren) oikeaan yläkulmaan.

   2. Etsi ensimmäiselle numeroparille (tai yksittäiselle numerolle) vasemmalta suurin kokonaisluku n, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin kyseessä oleva lukupari (tai yksittäinen luku). Toisin sanoen etsi neliöluku, joka on lähimpänä, mutta pienempi kuin ensimmäinen numeropari (tai yksittäinen luku) vasemmalta, ja ota neliöjuuri kyseisestä neliöluvusta; saat numeron n. Kirjoita löytämäsi n oikeaan yläkulmaan ja n:n neliö oikeaan alakulmaan.

      • Meidän tapauksessamme ensimmäinen numero vasemmalla on 7. Seuraavaksi 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Vähennä juuri löytämäsi luvun n neliö ensimmäisestä numeroparista (tai yksittäisestä numerosta) vasemmalla. Kirjoita laskennan tulos aliosan (luvun n neliön) alle.

      • Esimerkissämme vähennä 4 7:stä ja saat 3.

   4. Ota toinen numeropari muistiin ja kirjoita se edellisessä vaiheessa saadun arvon viereen. Tuplaa sitten oikea yläkulman luku ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan lisäämällä "_×_=".

      • Esimerkissämme toinen numeropari on "80". Kirjoita "80" 3:n perään. Tuplaa sitten oikeassa yläkulmassa oleva numero, jolloin saadaan 4. Kirjoita oikeaan alakulmaan "4_×_=".

   5. Täytä oikealla olevat kohdat.

      • Meidän tapauksessamme, jos laitamme luvun 8 väliviivojen sijaan, niin 48 x 8 = 384, mikä on enemmän kuin 380. Siksi 8 on liian suuri luku, mutta 7 riittää. Kirjoita 7 väliviivojen sijaan ja saa: 47 x 7 = 329. Kirjoita 7 oikeaan yläkulmaan - tämä on luvun 780.14 halutun neliöjuuren toinen numero.

   6. Vähennä tuloksena oleva luku vasemmalla olevasta nykyisestä numerosta. Kirjoita edellisen vaiheen tulos nykyisen numeron alle vasemmalle, etsi ero ja kirjoita se alaosan alle.

      • Esimerkissämme vähennä 329 luvusta 380, joka on yhtä kuin 51.

   7. Toista vaihe 4. Jos siirrettävä lukupari on alkuperäisen luvun murto-osa, laita erotin (pilkku) kokonaisluvun ja murto-osien väliin vaadittuun neliöjuureen oikeassa yläkulmassa. Laske vasemmalla seuraava numeropari alas. Tuplaa numero oikeassa yläkulmassa ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan lisäämällä "_×_=".

      • Esimerkissämme seuraava poistettava numeropari on luvun 780.14 murto-osa, joten aseta kokonaisluvun ja murto-osien erotin haluttuun neliöjuureen oikeassa yläkulmassa. Ota 14 alas ja kirjoita se vasempaan alakulmaan. Oikeassa yläkulmassa oleva tuplanumero (27) on 54, joten kirjoita "54_×_=" oikeaan alakulmaan.

   8. Toista vaiheet 5 ja 6. Etsi oikealla olevien viivojen tilasta suurin luku (viivoiden sijaan sinun on korvattava sama luku), jotta kertolaskutulos on pienempi tai yhtä suuri kuin nykyinen vasemmalla oleva luku.

      • Esimerkissämme 549 x 9 = 4941, mikä on pienempi kuin nykyinen numero vasemmalla (5114). Kirjoita oikeaan yläkulmaan 9 ja vähennä kertolaskutulos vasemmalla olevasta nykyisestä luvusta: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jos haluat löytää lisää desimaaleja neliöjuurelle, kirjoita pari nollaa nykyisen luvun vasemmalle puolelle ja toista vaiheet 4, 5 ja 6. Toista vaiheet, kunnes saat vastauksen tarkkuuden (desimaalien lukumäärä). tarve.

   Prosessin ymmärtäminen

   Tämän menetelmän hallitsemiseksi kuvittele numero, jonka neliöjuuri sinun on löydettävä neliön S pinta-alaksi. Tässä tapauksessa etsit tällaisen neliön sivun L pituutta. Laskemme L:n arvon siten, että L² = S.

   Anna jokaiselle vastauksessa olevalle numerolle kirjain. Merkitään A:lla L:n arvon ensimmäinen luku (haluttu neliöjuuri). B on toinen numero, C kolmas ja niin edelleen.

   Määritä kirjain jokaiselle ensimmäisten numeroiden parille. Merkitään S a:lla S:n arvon ensimmäinen numeropari, S b:llä toinen numeropari ja niin edelleen.

   Ymmärrä tämän menetelmän ja pitkän jaon välinen yhteys. Aivan kuten jaossa, jossa olemme kiinnostuneita vain joka kerta jakamamme luvun seuraavasta numerosta, neliöjuurta laskettaessa käymme läpi numeroparin peräkkäin (saadaksemme neliöjuuren arvon seuraavan numeron ).

   1. Tarkastellaan luvun S ensimmäistä numeroparia Sa (esimerkissämme Sa = 7) ja etsitään sen neliöjuuri. Tässä tapauksessa halutun neliöjuuren arvon ensimmäinen numero A on numero, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin S a (eli etsimme sellaista A:ta, jossa epäyhtälö A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Oletetaan, että meidän on jaettava 88962 seitsemällä; tässä ensimmäinen vaihe on samanlainen: tarkastelemme jaollisen luvun 88962 ensimmäistä numeroa (8) ja valitsemme suurimman luvun, joka kerrottuna 7:llä antaa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 8. Eli etsimme luku d, jolle epäyhtälö on tosi: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

No, jos otamme huomioon, että tämä juuri neliöjuuri on saman luvun tulo (eli b = a), niin sadan neliöjuuri on 10 (100 = 10).

On huomattava, että luku 100 voidaan esittää 25:n ja 4:n tulona. Laske sitten sekä 25:n että 4:n neliöjuuri. 5 ja 2. Kerro ja saat myös 10.

Kun aloimme opiskella tätä aihetta koulussa, 100 neliöjuuri oli luultavasti yksi helpoimmin ymmärrettävistä ja laskelmat. Yleensä katsoin parillista (!) nollien määrää ja lasken heti, mikä luku itsellään kerrottuna antaa neliöjuuren alla olevan luvun. Jos se esimerkiksi olisi 10 000, luvun neliöjuuri olisi sata (100 x 100 = 10 000). Jos numero on alle neliömetrin juuri on kuusi nollaa, niin vastaus sisältää kolme nollaa. Jne.

Tässä tapauksessa numerossa on vain kaksi nollaa, mikä tarkoittaa, että kymmeniä oli kaksi. Niin, 100:n neliöjuuri on 10. Tarkistamme: 10x10 = 100

Neliöjuuren laskemiseen on useita tapoja.

1) Ota laskin tai älypuhelin/tabletti/tietokone, johon on asennettu laskentaohjelma, syötä numero 100 ja napsauta neliöjuurikuvaketta, joka näyttää suunnilleen tältä:

2) Tunne numeroiden neliötaulukko aina 100=25*4 asti.

3) Jakomenetelmällä.

4) Alkutekijöiksi hajotuksen menetelmällä 100=10*10.

Teoriassa, jos teet kaiken oikein, saat tulokseksi 10.

Neliöjuurta edustavaa kuvaketta kutsutaan radikaaliksi ja se näyttää tältä.

Ja 100:n neliöjuuri on helppo poimia, jos tunnet numeroiden neliöt. 10 X 10 = 100. Eli 100:n neliöjuuri neliöjuuren määritelmän mukaan on 10.

Luultavasti jokainen koululainen tietää, että luku 100 on 10 x 10 tulo.

Koska neliöjuuri on luku, joka kerrottuna itsestään on radikaalilauseke, niin Sadan neliöjuuri on yhtä suuri kuin luku 10.

Jos unohdit, että 100=10*10, voit käyttää juurien ominaisuuksia:

100:n juuri = (25*4) = 25:n juuri * 4:n juuri.

Kaikki tietävät, että 5*5 = 25 ja 2*2 = 4. Siksi 100:n juuri = 5 * 2 = 10.

No, jos et tiedä tätä, voit käyttää laskinta tai Excel-taulukoita, niillä on erityinen kaava nimeltä JUURI. Tältä kaikki näyttää visuaalisesti:



Nykyään laskimen avulla on helppo laskea minkä tahansa luvun neliöjuuri.

Voit poimia 100 neliöjuuren suullisesti. Loppujen lopuksi tiedetään, että luvun x tuominen neliöön on luku x kerrottuna luvulla x.

Jos 10 10 = 100, niin 100:n neliöjuuri on 10.

Vastaus kysymykseen: 10 .

Matematiikan neliöjuuri on merkitty tavanomaisella symbolilla.

Luvun neliöjuuri on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin a. Koska 10^2 = 100, 100:n neliöjuuri on 10.

On numeroita, joiden juuret on erittäin helppo muistaa. Minulle tämä on esimerkiksi 25 - juuri on 5, koska 5*5=25, 625 on 25:n juuri, koska 25*25=625.

Lisään myös luvun 100 sellaisina numeroina - juuri on 10, tarkista 10*10=100. Joten se on oikein.

Sadan neliöjuuri? näyttää olevan 10

On vaikea kuvitella, että ihminen menisi verkossa etsimään tätä vastausta, mutta jos kuvittelemme hänen olevan täysin keräämätön ja huomaamaton, annan vastauksen. Numeron 100 neliöjuuri on 10 ja myös -10. Monet lähteet kirjoittavat näin.



100:n neliöjuurella on kaksi arvoa: 10 ja -10. Ne, jotka eivät usko, voivat tarkistaa kertomalla.

Jos haluat poimia neliöjuuren ilman laskinta, sinun on hajotettava juuren alla oleva luku pienimpiin tekijöihin ja edettävä sieltä. Joten numero sata:

Ja vastaavasti täältä käy heti selväksi, että sadan neliöjuuri on täsmälleen 10.

Minun piti muistaa sääntö, jonka muistin koulusta:

Vaikka 100:n juuren poimiminen on yksinkertainen asia, joka ei vaadi laskimien käyttöä, koska se on juurtunut muistiin koko elämän. Luku 100 saadaan kertomalla 10 10:llä ja siten luku 10 ja tulee olemaan sadan juuri.

Mikä on neliöjuuri?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä käsite on hyvin yksinkertainen. Luonnollista, sanoisin. Matemaatikot yrittävät löytää reaktion jokaiseen toimintaan. On yhteenlasku - on myös vähennyslasku. On kertolasku - on myös jako. On neliöintiä... Joten on myös ottaen neliöjuuren! Siinä kaikki. Tämä toiminta ( neliöjuuri) matematiikassa on merkitty tällä kuvakkeella:

Itse kuvaketta kutsutaan kauniiksi sanaksi " radikaali".

Kuinka poimia juuri? On parempi katsoa esimerkkejä.

Mikä on luvun 9 neliöjuuri? Mikä neliö antaa meille 9? 3 neliötä antaa meille 9! Nuo:

Mutta mikä on nollan neliöjuuri? Ei ongelmaa! Minkä luvun neliössä nolla tekee? Kyllä se antaa nollan! Keinot:

Sain sen, mikä on neliöjuuri? Sitten mietitään esimerkkejä:

Vastaukset (sekaisin): 6; 1; 4; 9; 5.

Päätetty? Oikeasti, kuinka paljon helpompaa se on?!

Mutta... Mitä ihminen tekee, kun hän näkee jonkin tehtävän, jolla on juuret?

Ihminen alkaa olla surullinen... Hän ei usko juuriensa yksinkertaisuuteen ja keveyteen. Vaikka hän näyttää tietävän mikä on neliöjuuri...

Tämä johtuu siitä, että henkilö jätti huomioimatta useita tärkeitä kohtia tutkiessaan juuria. Sitten nämä villitteet kostavat julman kokeen ja kokeen...

Kohta yksi. Sinun täytyy tunnistaa juuret silmästä!

Mikä on luvun 49 neliöjuuri? Seitsemän? Oikein! Mistä tiesit, että kello on seitsemän? Tuli seitsemän ja sai 49? Oikein! Huomatkaa että irrota juuri 49:stä meidän piti tehdä käänteinen toimenpide - neliö 7! Ja varmista, ettemme missaa. Tai sitten he olisivat voineet jättää väliin...

Tämä on vaikeus juurien uuttaminen. Neliö Voit käyttää mitä tahansa numeroa ilman ongelmia. Kerro luku itsellään sarakkeella - siinä kaikki. Mutta varten juurien uuttaminen Tällaista yksinkertaista ja varmaa tekniikkaa ei ole olemassa. Meidän täytyy noukkia vastaa ja tarkista, onko se oikein neliöimällä se.

Tämä monimutkainen luova prosessi - vastauksen valinta - yksinkertaistuu huomattavasti, jos muistaa suosittujen lukujen neliöt. Kuin kertotaulukko. Jos esimerkiksi sinun täytyy kertoa 4 kuudella, et lisää neljää kuusi kertaa, vai mitä? Vastaus 24 tulee heti esiin. Vaikka kaikki eivät sitä ymmärrä, kyllä...

Jotta juurien kanssa voi työskennellä vapaasti ja menestyksekkäästi, riittää, että tietää numeroiden neliöt 1-20. siellä Ja takaisin. Nuo. sinun pitäisi pystyä lausumaan helposti sekä esimerkiksi 11 neliö että 121:n neliöjuuri. Tämän ulkoamisen saavuttamiseksi on kaksi tapaa. Ensimmäinen on neliötaulukon oppiminen. Tästä on suuri apu esimerkkien ratkaisemisessa. Toinen on ratkaista lisää esimerkkejä. Tämä auttaa sinua suuresti muistamaan neliötaulukon.

Eikä laskureita! Vain testaustarkoituksiin. Muuten hidastut armottomasti kokeen aikana...

Niin, mikä on neliöjuuri Ja miten poimi juuret– Minusta se on selvä. Nyt selvitetään, MITÄ voimme poimia ne.

Kohta kaksi. Root, en tunne sinua!

Mistä luvuista voit ottaa neliöjuuret? Kyllä, melkein mikä tahansa niistä. On helpompi ymmärtää mistä se johtuu se on kielletty purkaa ne.

Yritetään laskea tämä juuri:

Tätä varten meidän on valittava luku, joka neliössä antaa meille -4. Me valitsemme.

Mitä, se ei sovi? 2 2 antaa +4. (-2) 2 antaa jälleen +4! Siinä kaikki... Ei ole olemassa lukuja, jotka neliöitynä antaisivat meille negatiivisen luvun! Vaikka tiedän nämä luvut. Mutta en kerro). Mene yliopistoon, niin saat selville.

Sama tarina tapahtuu minkä tahansa negatiivisen luvun kanssa. Tästä johtopäätös:

Lauseke, jossa neliöjuuren merkin alla on negatiivinen luku - ei ole järkeä! Tämä on kielletty toimenpide. Se on yhtä kiellettyä kuin nollalla jakaminen. Muista tämä tosiasia lujasti! Tai toisin sanoen:

Et voi poimia neliöjuuria negatiivisista luvuista!

Mutta kaikista muista se on mahdollista. Esimerkiksi se on täysin mahdollista laskea

Ensi silmäyksellä tämä on erittäin vaikeaa. Murtolukujen valinta ja neliöinti... Älä huoli. Kun ymmärrämme juurien ominaisuudet, tällaiset esimerkit pelkistetään samaan neliötaulukkoon. Elämästä tulee helpompaa!

Okei, murto-osat. Mutta kohtaamme silti ilmaisuja, kuten:

Se on okei. Aivan sama. Kahden neliöjuuri on luku, joka neliöitynä antaa meille kaksi. Vain tämä luku on täysin epätasainen... Tässä se on:

Mielenkiintoista on, että tämä murto-osa ei lopu koskaan... Tällaisia ​​lukuja kutsutaan irrationaaleiksi. Neliöjuurissa tämä on yleisin asia. Muuten, juuri tästä syystä kutsutaan lausekkeita, joissa on juuret irrationaalinen. On selvää, että tällaisen äärettömän murto-osan kirjoittaminen koko ajan on hankalaa. Siksi äärettömän murto-osan sijaan he jättävät sen näin:

Jos esimerkkiä ratkaiseessasi päädyt johonkin, jota ei voi purkaa, kuten:

sitten jätetään se sellaiseksi. Tämä on vastaus.

Sinun on ymmärrettävä selvästi, mitä kuvakkeet tarkoittavat

Tietenkin, jos luvun juuri otetaan sileä, sinun on tehtävä tämä. Tehtävän vastaus on esimerkiksi muodossa

Melko täydellinen vastaus.

Ja tietysti sinun on tiedettävä likimääräiset arvot muistista:

Tämä tieto auttaa suuresti arvioimaan tilannetta monimutkaisissa tehtävissä.

Kohta kolme. Kaikkein ovelin.

Suurin hämmennys juurien kanssa työskentelyssä johtuu tästä kohdasta. Hän on se, joka luo luottamusta omiin kykyihinsä... Käsittelemme tätä asiaa kunnolla!

Otetaan ensin neljän neliöjuuri uudelleen. Olenko jo vaivannut sinua tällä juurilla?) Ei hätää, nyt siitä tulee mielenkiintoista!

Minkä luvun neliö on 4? No, kaksi, kaksi - kuulen tyytymättömiä vastauksia...

Oikein. Kaksi. Mutta myös miinus kaksi antaa 4 neliötä... Sillä välin vastaus

oikein ja vastaus

törkeä virhe. Kuten tämä.

Joten mikä on sopimus?

Todellakin, (-2) 2 = 4. Ja neljän neliöjuuren määritelmän mukaan miinus kaksi varsin sopiva... Tämä on myös neliöjuuri neljästä.

Mutta! Koulun matematiikan kurssilla on tapana harkita neliöjuuria vain ei-negatiiviset luvut! Eli nolla ja kaikki ovat positiivisia. Jopa erityinen termi keksittiin: numerosta A- Tämä ei-negatiivinen numero, jonka neliö on A. Negatiiviset tulokset poimittaessa aritmeettista neliöjuurta yksinkertaisesti hylätään. Koulussa kaikki on neliöjuuria - aritmeettinen. Vaikka tätä ei erityisesti mainita.

Okei, se on ymmärrettävää. On vielä parempi olla vaivautumatta negatiivisiin tuloksiin... Tämä ei ole vielä hämmennystä.

Sekaannus alkaa, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöitä. Sinun on esimerkiksi ratkaistava seuraava yhtälö.

Yhtälö on yksinkertainen, kirjoitamme vastauksen (kuten opetetaan):

Tämä vastaus (muuten täysin oikein) on vain lyhennetty versio kaksi vastaukset:

Pysähdy, lopeta! Juuri edellä kirjoitin, että neliöjuuri on luku Aina ei negatiivinen! Ja tässä on yksi vastauksista - negatiivinen! Häiriö. Tämä on ensimmäinen (mutta ei viimeinen) ongelma, joka aiheuttaa epäluottamusta juuria kohtaan... Ratkaistaan ​​tämä ongelma. Kirjoita vastaukset muistiin (ymmärryksen vuoksi!) näin:

Sulut eivät muuta vastauksen olemusta. Erotin sen vain suluilla merkkejä alkaen juuri. Nyt voit selvästi nähdä, että juuri itse (suluissa) on edelleen ei-negatiivinen luku! Ja merkit ovat yhtälön ratkaisun tulos. Loppujen lopuksi, kun ratkaisemme yhtälön, meidän on kirjoitettava Kaikki X:t, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat oikean tuloksen. Viiden juuri (positiivinen!), jossa on sekä plus että miinus, sopii yhtälöihimme.

Kuten tämä. Jos sinä ota vain neliöjuuri mistä tahansa, sinä Aina saat yksi ei-negatiivinen tulos. Esimerkiksi:

Koska se - aritmeettinen neliöjuuri.

Mutta jos ratkaiset jonkin toisen asteen yhtälön, kuten:

Että Aina se käy ilmi kaksi vastaus (plussilla ja miinuksilla):

Koska tämä on yhtälön ratkaisu.

Toivoa, mikä on neliöjuuri Sinulla on pointtisi selvät. Nyt on vielä selvitettävä, mitä juurille voidaan tehdä, mitkä ovat niiden ominaisuudet. Ja mitkä ovat pisteet ja sudenkuopat... anteeksi, kivet!)

Kaikki tämä on seuraavilla oppitunneilla.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Katsoin uudelleen kylttiä... Ja mennään!

Aloitetaan jostain yksinkertaisesta:

Hetkinen. tämä tarkoittaa, että voimme kirjoittaa sen näin:

Sain sen? Tässä sinulle seuraava:

Eikö saatujen lukujen juuria ole tarkalleen poimittu? Ei hätää – tässä muutamia esimerkkejä:

Entä jos kertoimia ei ole kaksi, vaan enemmän? Sama! Juurien kertomiskaava toimii useiden tekijöiden kanssa:

Nyt täysin yksin:

Vastaukset: Hyvin tehty! Samaa mieltä, kaikki on erittäin helppoa, tärkeintä on tietää kertotaulukko!

Juurijako

Olemme selvittäneet juurien kertomisen, siirrytään nyt jako-ominaisuuteen.

Muistutan, että yleinen kaava näyttää tältä:

Mikä tarkoittaa sitä osamäärän juuri on yhtä suuri kuin juurien osamäärä.

No, katsotaanpa joitain esimerkkejä:

Siinä kaikki tiede on. Tässä on esimerkki:

Kaikki ei ole niin sujuvaa kuin ensimmäisessä esimerkissä, mutta kuten näet, ei ole mitään monimutkaista.

Mitä jos kohtaat tämän ilmaisun:

Sinun tarvitsee vain soveltaa kaavaa vastakkaiseen suuntaan:

Ja tässä esimerkki:

Saatat myös kohdata tämän ilmaisun:

Kaikki on sama, vain täällä sinun on muistettava murtolukujen kääntäminen (jos et muista, katso aihetta ja palaa!). Muistatko? Nyt päätetään!

Olen varma, että olet selvinnyt kaikesta, nyt yritetään nostaa juuria asteisiin.

Eksponentointi

Mitä tapahtuu, jos neliöjuuri on neliöity? Se on yksinkertaista, muista luvun neliöjuuren merkitys - tämä on luku, jonka neliöjuuri on yhtä suuri.

Joten jos neliöimme luvun, jonka neliöjuuri on yhtä suuri, mitä saamme?

No tottakai, !

Katsotaanpa esimerkkejä:

Se on yksinkertaista, eikö? Entä jos juuri on eri asteella? Se on okei!

Noudata samaa logiikkaa ja muista ominaisuudet ja mahdolliset toiminnot asteilla.

Lue teoria aiheesta "" ja kaikki tulee sinulle erittäin selväksi.

Tässä on esimerkiksi lauseke:

Tässä esimerkissä aste on parillinen, mutta entä jos se on pariton? Käytä jälleen eksponentien ominaisuuksia ja kerro kaikki:

Kaikki näyttää selvältä tässä, mutta kuinka saada luvun juuri potenssiin? Tässä on esimerkiksi tämä:

Aika yksinkertaista, eikö? Entä jos tutkinto on suurempi kuin kaksi? Noudatamme samaa logiikkaa käyttämällä asteiden ominaisuuksia:

No onko kaikki selvää? Ratkaise sitten esimerkit itse:

Ja tässä vastaukset:

Sisäänpääsy juuren merkin alla

Mitä emme ole oppineet tekemään juurien kanssa! Jäljelle jää vain harjoitella numeron syöttämistä juurimerkin alle!

Se on todella helppoa!

Oletetaan, että meillä on numero kirjoitettuna

Mitä voimme tehdä sillä? Tietysti piilota kolme juuren alle muistaen, että kolme on neliöjuuri!

Miksi me tarvitsemme tätä? Kyllä, vain laajentaaksemme kykyjämme esimerkkejä ratkaistaessa:

Mitä pidät tästä juurien ominaisuudesta? Helpottaako se elämää paljon? Minulle se on aivan oikein! Vain Meidän on muistettava, että voimme syöttää vain positiivisia lukuja neliöjuuren alle.

Ratkaise tämä esimerkki itse -
Onnistuitko? Katsotaan mitä sinun pitäisi saada:

Hyvin tehty! Onnistuit syöttämään numeron juurimerkin alle! Jatketaan yhtä tärkeään asiaan - katsotaan kuinka vertailla neliöjuuren sisältäviä lukuja!

Juurien vertailu

Miksi meidän on opittava vertaamaan neliöjuuren sisältäviä lukuja?

Erittäin yksinkertainen. Usein kokeessa kohtaamissa suurissa ja pitkissä ilmaisuissa saamme irrationaalisen vastauksen (muistatko mitä tämä on? Puhuimme tästä jo tänään!)

Meidän on sijoitettava saadut vastaukset esimerkiksi koordinaattiviivalle määrittääksemme, mikä väli sopii yhtälön ratkaisemiseen. Ja tässä syntyy ongelma: kokeessa ei ole laskinta, ja ilman sitä, kuinka voit kuvitella, mikä luku on suurempi ja mikä pienempi? Se siitä!

Määritä esimerkiksi kumpi on suurempi: vai?

Et voi kertoa heti. No, käytetäänkö disassembled-ominaisuutta syöttämällä numero juurimerkin alle?

Sitten eteenpäin:

No, on selvää, että mitä suurempi numero juurimerkin alla on, sitä suurempi itse juuri on!

Nuo. jos sitten, .

Tästä päätämme vahvasti sen. Ja kukaan ei vakuuta meitä toisin!

Juurien poimiminen suurista määristä

Ennen tätä syötimme kertoimen juuren merkin alle, mutta kuinka se poistetaan? Sinun tarvitsee vain ottaa se huomioon tekijöissä ja poimia se, mitä otat!

Oli mahdollista valita eri polku ja laajentaa muihin tekijöihin:

Ei paha, eikö? Mikä tahansa näistä lähestymistavoista on oikea, päätä miten haluat.

Factoring on erittäin hyödyllinen, kun ratkaistaan ​​tällaisia ​​​​epätyypillisiä ongelmia:

Älä pelkää, vaan toimi! Jaetaan jokainen juuren alla oleva tekijä erillisiin tekijöihin:

Kokeile nyt itse (ilman laskinta! Se ei ole kokeessa):

Onko tämä loppu? Älä pysähdy puoliväliin!

Siinä kaikki, se ei ole niin pelottavaa, eikö?

Tapahtui? Hyvin tehty, juuri niin!

Kokeile nyt tätä esimerkkiä:

Mutta esimerkki on kova pähkinä murrettava, joten et voi heti keksiä, miten sitä lähestyisi. Mutta tietysti me selviämme siitä.

No, aloitetaanko factoring? Huomattakoon heti, että voit jakaa luvun (muista jakomerkit):

Kokeile nyt itse (uudelleen, ilman laskinta!):

No, toimiko se? Hyvin tehty, juuri niin!

Tehdään se yhteenveto

1. Ei-negatiivisen luvun neliöjuuri (aritmeettinen neliöjuuri) on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri.
   .
2. Jos otamme vain neliöjuuren jostakin, saamme aina yhden ei-negatiivisen tuloksen.
3. Aritmeettisen juuren ominaisuudet:
4. Neliöjuuria verrattaessa on muistettava, että mitä suurempi luku juurimerkin alla on, sitä suurempi itse juuri on.

Miten on neliöjuuri? Kaikki kunnossa?

Yritimme selittää sinulle ilman hälinää kaiken, mitä sinun tulee tietää kokeessa neliöjuuresta.

Sinun vuorosi. Kirjoita meille, onko tämä aihe sinulle vaikea vai ei.

Opitko jotain uutta vai oliko kaikki jo selvä?

Kirjoita kommentteihin ja onnea kokeisiin!