Проекції вектора діагоналі паралелепіпеда на його ребра. Паралелепіпед і куб. Візуальний гід (2019). Захист особистих даних

Розділ третій

багатогранник

1. паралелепіпеда і ПІРАМІДА

Властивості граней і діагоналей паралелепіпеда

72. Теорема. У паралелепіпеді:

1) протилежні грані рівні і паралельні;

2) всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

1) Грані (рис. 80) ВВ 1 С 1 С і AA 1 D 1 D паралельні, тому що дві пересічні прямі ВВ 1 і В 1 С 1 однієї грані паралельні двом пересічним прямим АА 1 і A 1 D 1 інший (§ 15 ); ці межі і рівні, так як В 1 С 1 \u003d A 1 D 1, В 1 В \u003d А 1 А (як протилежні сторони паралелограма) і / ВВ 1 С 1 \u003d / АA 1 D 1.

2) Візьмемо (рис. 81) якісь дві діагоналі, наприклад АС 1 і ВD 1, і проведемо допоміжні прямі АD 1 і ВС 1.

Так як ребра АВ і D 1 С 1 відповідно рівні і паралельні ребру DС, то вони рівні і паралельні між собою; внаслідок цього фігура АD 1 С 1 В є паралелограм, в якому прямі З 1 А і ВD 1 -діагоналі, а в параллелограмме діагоналі діляться в точці перетину навпіл.

Візьмемо тепер одну з цих діагоналей, наприклад АС 1, з третьої діагоналлю, покладемо, з В1 D. Абсолютно так само ми можемо довести, що вони діляться в точці перетину навпіл. Отже, діагоналі B 1 D і АС 1 і діагоналі АС 1 і BD 1 (які ми раніше брали) перетинаються в одній і тій же точці, саме в середині діагоналі
АС 1. Нарешті, взявши цю ж діагональ АС 1 з четвертої діагоналлю А 1 С, ми також доведемо, що вони діляться навпіл. Значить, точка перетину і цієї пари діагоналей лежить в середині діагоналі АС 1. Таким чином, всі чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній і тій же точці і діляться цією точкою навпіл.

73. Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-діагоналі (АС 1, рис. 82) дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів .

Провівши діагональ підстави АС, отримаємо трикутники АС 1 С і АСВ. Обидва вони прямокутні: перший тому, що паралелепіпед прямий і, отже, ребро СС 1 перпендикулярно до основи; другий тому, що паралелепіпед прямокутний і, отже, в основі його лежить прямокутник. З цих трикутників знаходимо:

АС 1 2 \u003d АС 2 + СС 1 2 і АС 2 \u003d АВ 2 + ВС 2

отже,

AC 1 2 \u003d АВ 2 + ВС 2 + СС 1 2 \u003d АВ 2 + AD 2 + АА 1 2.

Слідство.У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.

Учням старших класів буде корисно навчитися вирішувати завдання ЄДІ на знаходження об'єму і інших невідомих параметрів прямокутного паралелепіпеда. Досвід попередніх років підтверджує той факт, що подібні завдання є для багатьох випускників досить складними.

При цьому розуміти, як знайти об'єм або площа прямокутного паралелепіпеда, повинні старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здачі єдиного держіспиту з математики.

Основні нюанси, які варто запам'ятати

Паралелограми, з яких складається паралелепіпед, є його гранями, їх сторони - ребрами. Вершини цих фігур вважаються вершинами самого багатогранника.
Все діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Так як це прямий багатогранник, то бічні грані являють собою прямокутники.
Так як паралелепіпед - це призма, в основі якої знаходиться паралелограм, ця фігура має всі властивості призми.
Бічні ребра прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні основі. Отже, вони є його висотами.

Готуйтеся до ЄДІ разом зі «Школково»!

Щоб заняття проходили легко і максимально ефективно, вибирайте наш математичний портал. Тут ви знайдете весь необхідний матеріал, який буде потрібно на етапі підготовки до єдиного державного іспиту.

Фахівці освітнього проекту «Школково» пропонують піти від простого до складного: спочатку ми даємо теорію, основні формули і елементарні завдання з рішенням, а потім поступово переходимо до завдань експертного рівня. Ви можете потренуватися, наприклад, с.

Потрібну базову інформацію ви знайдете в розділі «Теоретична довідка». Ви також можете відразу приступити до вирішення завдань по темі «Прямокутний паралелепіпед» в онлайн-режимі. У розділі «Каталог» представлена \u200b\u200bвелика добірка вправ різного ступеня складності. База завдань регулярно поповнюється.

Перевірте, чи легко ви зможете знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда, прямо зараз. Розберіть будь-яке завдання. Якщо вправа дається вам легко, переходите до більш складним завданням. А якщо виникли певні складнощі, рекомендуємо вам планувати свій день таким чином, щоб ваш розклад включало заняття з дистанційним порталом «Школково».

Призма називається параллелепипедом, Якщо її заснування - паралелограми. Див. рис.1.

Властивості паралелепіпеда:

Протилежні грані паралелепіпеда паралельні (тобто лежать в паралельних площинах) і рівні.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Суміжні грані паралелепіпеда - дві грані, що мають загальне ребро.

Протилежні грані паралелепіпеда - межі, які не мають спільних ребер.

Протилежні вершини паралелепіпеда - дві вершини, які не належать одній грані.

Діагональ паралелепіпеда - відрізок, який з'єднує протилежні вершини.

Якщо бічні ребра перпендикулярні площин підстав, то паралелепіпед називається прямим.

Прямий паралелепіпед, підстави якого - прямокутники, називається прямокутним. Призма, всі грані якої - квадрати, називається кубом.

паралелепіпед - призма, у якої підставами служать паралелограми.

прямий паралелепіпед - паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні площині підстави.

прямокутний паралелепіпед - це прямий паралелепіпед, підставами якого є прямокутники.

куб - прямокутний паралелепіпед з рівними ребрами.

параллелепипедом називається призма, основа якої - паралелограм; таким чином, паралелепіпед має шість граней і всі вони - паралелограми.

Протилежні грані попарно рівні і паралельні. Паралелепіпед має чотири діагоналі; всі вони перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл. За основу може бути прийнята будь-яка грань; обсяг дорівнює добутку площі підстави на висоту: V \u003d Sh.

Паралелепіпед, чотири бічні грані якого - прямокутники, називається прямим.

Прямий паралелепіпед, у якого всі шість граней - прямокутники, називається прямокутним. Див. рис.2.

Обсяг (V) прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі підстави (S) на висоту (h): V \u003d Sh .

Для прямокутного паралелепіпеда, крім того, має місце формула V \u003d abc , Де a, b, c - ребра.

Діагональ (d) прямокутного паралелепіпеда пов'язана з його ребрами співвідношенням d 2 \u003d а 2 + b 2 + c 2 .

прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні підставах, а підстави прямокутниками.

Властивості прямокутного паралелепіпеда:

У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней - прямокутники.

Всі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів (довжин трьох ребер, що мають спільну вершину).

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Прямокутний паралелепіпед, всі грані якого - квадрати, називається кубом. Всі ребра куба рівні; обсяг (V) куба виражається формулою V \u003d a 3, Де a - ребро куба.

На цьому уроці всі бажаючі зможуть вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний і прямий паралелепіпеди, згадаємо властивості їх протилежних граней і діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, і обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих і площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1, ВСС 1 В 1, СDD 1 С 1, DАА 1 D 1, називається параллелепипедом (Рис. 1).

Рис. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівних паралелограма АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 (підстави), вони лежать в паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1, ВВ 1, DD 1, СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхню називається параллелепипедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, у тому числі складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

наприклад:

АВСD \u003d А 1 В 1 С 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В \u003d DD 1 С 1 С (так як АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D \u003d ВВ 1 С 1 С (так як АА 1 D 1 D і ВВ 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1, В 1 D, А 1 С, D 1 В перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Рис. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і поділяються точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - АА 1, ВВ 1, СС 1, DD 1.

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні підставах.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярно основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна прямим АD і АВ, які лежать в площині підстави. А, значить, в бічних гранях лежать прямокутники. А в підставах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD \u003d φ, кут φ може бути будь-яким.

Рис. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні підставах паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Підстави є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDЕ 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині підстави, тобто паралелепіпед прямий).

2. ∠ВАD \u003d 90 °, т. Е. В основі лежить прямокутник.

Рис. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда. Але є додаткові властивості, які виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні основі. Підстава прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні основі. Значить, все бічні межі прямокутного паралелепіпеда - прямокутники.

3. Всі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, т. Е. Двогранний кут між площинами АВВ 1 і АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - в площині АВВ 1, а точка D в інший - в площині А 1 В 1 С 1 D 1. Тоді розглянутий двогранний кут можна ще визначити таким чином: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребрі АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребру АВ в площині АВВ- 1, AD перпендикуляр до ребру АВ в площині АВС. Значить, ∠А 1 АD - лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD \u003d 90 °, значить, двогранний кут при ребрі АВ дорівнює 90 °.

∠ (АВВ 1, АВС) \u003d ∠ (АВ) \u003d ∠А 1 АВD \u003d ∠А 1 АD \u003d 90 °.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСD 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести:.