Площа пря. Площа прямокутника онлайн калькулятор. Квадратура приміщень округлої форми

Розрахувати площу прямокутника з докладним рішенням. Калькулятор знаходить площу за формулою через довжину та ширину прямокутника. Основні способи та пояснення формул, за якими ви зможете самостійно вирішити свої завдання.

Онлайн-калькулятор

Спочатку давайте розберемося з визначенням. У прямокутника є чотири сторони. Кожна сторона дорівнює протилежній і паралельна їй. Тут важливо розуміти, що всі 4 сторони не можуть бути рівними, інакше вийде квадрат. У прямокутнику будуть 2 однакові сторони однієї довжини і 2 однакові іншою.

Всі 4 кути, що знаходяться всередині прямокутника, – прямі. Тобто кожен кут дорівнює 90 °.

Формула площі прямокутника через його сторони

Щоб знайти площу S S Sпрямокутника, потрібно перемножити дві сторони: сторону a a aмножимо набік b b b.

S = a ⋅ b. S = a \ cdot b. S =a ⋅b.

приклад

У нас є прямокутник A B C D ABCD A B C D. Одна його сторона A B AB A Bдорівнює 5 5 5 см, друга B C BC B Cдорівнює 3 3 3 див. Нам потрібно знайти його площу S S S.

Рішення:

Щоб знайти площу S S Sпотрібно помножити сторону A B AB A Bна бік B C BC B Cі отримуємо: S = 5 ⋅ 3 S = 5 \cdot 3 S =5 ⋅ 3 .

Відповідь: S = 15 S = 15 S =1 5 см 2 .

Формула площі прямокутника через діагоналі

S = 1 2 d 2 sin ⁡ α. S = \frac (1)(2)d^2 \sin \alpha.S =2 1 ​ d 2 sin α.

Пам'ятаємо, довжини діагоналей у прямокутнику рівні і при перетині діляться навпіл.

приклад

Даний прямокутник A B C D ABCD A B C D. Його діагональ A C AC A Cдорівнює 8 8 8 см, а гострий кут між діагоналями 30 ° 30 ° 3 0 °. Знайдіть площу фігури.

Використовуємо наведену вище формулу та отримуємо:
S = 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ = 1 2 ⋅ 64 ⋅ 1 2 = 64 4 = 16 S = \frac(1)(2) \cdot 8^2 \cdot \sin 30^(\circ ) = \frac(1)(2) \cdot 64 \cdot \frac(1)(2) = \frac(64)(4) = 16S =2 1 ​ ⋅ 8 2 ⋅ sin 3 0 ∘ = 2 1 ​ ⋅ 6 4 ⋅ 2 1 ​ = 4 6 4 ​ = 1 6

Відповідь: S = 16 S = 16 S =1 6 см 2 .

Урок на тему: "Формули визначення площі трикутника, прямокутника, квадрата"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 5 класу
Тренажер до підручника І.І.Зубарєвої та А.Г.Мордковича
Тренажер до підручника Г.В.Дорофєєва та Л.Г.Петерсона

Визначення та поняття площі фігури

Щоб краще зрозуміти, що таке площа фігури, розглянемо рисунок.
Ця довільна фігура розбита на 12 маленьких квадратиків. Сторона кожного квадратика дорівнює 1 см. А площа кожного квадратика дорівнює 1 квадратному сантиметру, що записується так: 1 см 2 .

Тоді площа фігури дорівнює 12 квадратних сантиметрів. У математиці площа позначається латинською літерою S.
Значить, площа нашої фігури дорівнює: S фігури = 12 см 2 .

Площа фігури дорівнює площі всіх маленьких квадратиків, у тому числі вона складається!

Хлопці, запам'ятайте!
Площа вимірюється квадратними одиницями довжини. Одиниці виміру площі:
1. Квадратний кілометр - км 2 (коли площі дуже великі, наприклад, країна чи море).
2. Квадратний метр - м 2 (цілком підходить для того, щоб вимірювати площу ділянки або квартири).
3. Квадратний сантиметр - см 2 (зазвичай використовується під час уроків математики, коли малюють постаті у зошити).
4. Квадратний міліметр - мм2.

Площа трикутника

Розглянемо два види трикутників: прямокутний та довільний.

Щоб знайти площу прямокутного трикутника необхідно знати довжину основи та висоту. У прямокутному трикутнику висоту замінює одна із сторін. Тому у формулу площі трикутника замість висоти підставляємо одну із сторін.
У нашому прикладі сторони дорівнюють 7 см і 4 см. Формула для розрахунку площі трикутника записується так:
S прямокутного трикутника АВС = ВС * СА: 2

S прямокутного трикутника АВС = 7 см * 4 см: 2 = 14 см 2

Тепер розглянемо довільний трикутник.

Для такого трикутника необхідно провести висоту до основи.
У нашому прикладі висота дорівнює 6 см, а основа дорівнює 8 см. Як і в попередньому прикладі, розраховуємо площу за формулою:
S довільного трикутника АВС = НД * h: 2.

Підставимо у формулу наші дані та отримаємо:
S довільного трикутника АВС = 8 см * 6 см: 2 = 24 см 2 .

Площа прямокутника та квадрата

Візьмемо прямокутник АВСD зі сторонами 5 см та 8 см.
Формула розрахунку площі прямокутника записується так:
S прямокутника АВСD = АВ * ВС.

S прямокутника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см 2 .

Тепер розрахуємо площу квадрата. На відміну від прямокутника та трикутника, для знаходження площі квадрата необхідно знати лише одну сторону. У прикладі сторона квадрата ABCD дорівнює 9 див. S квадрата АВСD = АВ * ВС = АВ 2 .

Підставимо у формулу наші дані та отримаємо:
S квадрата АВСD = 9 см * 9 см = 81 см 2 .

Що таке площа та що таке прямокутник

Площа - це така геометрична величина, за допомогою якої можна визначити розмір будь-якої поверхні геометричної фігури.

Упродовж багатьох століть так повелося, що обчислення площі називали квадратурою. Тобто, щоб дізнатися про площу нескладних геометричних фігур, достатньо було підрахувати кількість одиничних квадратів, якими умовно були покриті фігури. А фігуру, яка мала площу, називали квадрованою.

Тому можна підбити підсумок, що площа – це така величина, яка показує нам розмір частини площини, з'єднаної між собою відрізками.

Прямокутник – це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Тобто чотиристоронню фігуру, яка має чотири прямі кути та її протилежні сторони рівні, називають прямокутником.

Як знайти площу прямокутника

Найпростіший спосіб знаходження площі прямокутника – взяти прозорий папір, наприклад кальку, або клейонку та розкреслити її на рівні квадратики по 1 см, а потім прикласти до зображення прямокутника. Кількість заповнених квадратиків і буде площею в квадратних сантиметрах. Наприклад, на малюнку видно, що прямокутник потрапляє до 12 квадратів, отже, його площа дорівнює – 12 кв. див.

Але для знаходження площі великих об'єктів, наприклад квартири, необхідний універсальний спосіб, тому була доведена формула, щоб знайди площу прямокутника необхідно помножити його довжину на ширину.

А тепер спробуємо записати правило знаходження площі прямокутника у вигляді формули. Позначимо площу нашої фігури буквою S, буква а – позначатиме його довжину, а буква b – ширину.

У результаті отримуємо таку формулу:

S = а * b.

Якщо накласти цю формулу на малюнок прямокутника вище, ми отримаємо самі 12 кв.см, т.к. а = 4 см, b = 3 см, а S = 4*3 = 12 кв.см.

Якщо взяти дві ідентичні фігури, і накласти їх одну на іншу, то вони збігатимуться, а називатимуться рівними. У таких рівних фігур будуть також рівні їхні площі та периметри.

Навіщо вміти знаходити площу

По-перше, якщо ви знаєте, як знайти площу будь-якої фігури, то за допомогою її формули ви без проблем зможете вирішувати будь-які завдання з геометрії та тригонометрії.
По-друге, навчившись знаходити площу прямокутника, ви спочатку зможете вирішувати прості завдання, а згодом перейдете до вирішення складніших, і навчитеся знаходити площі фігур, які вписані в прямокутник або біля нього.
По-третє, знаючи таку просту формулу, як S = а*b, ви отримуєте можливість без проблем вирішувати будь-які прості побутові завдання (наприклад, знаходити S квартири чи будинки), а згодом і зможете застосувати їх до вирішення складних архітектурних проектів.

Тобто, якщо спростити формулу знаходження площі, то вона виглядатиме так:

П = Д х Ш,

Що позначає П – це потрібна площа, Д – це її довжина, Ш – означає її ширину, а х – є знаком множення.

А чи відомо вам, що площу будь-якого багатокутника можна умовно розбити на певну кількість квадратних блоків, що знаходяться всередині цього багатокутника? Яка різниця між площею та периметром

Давайте на прикладі спробуємо зрозуміти різницю між периметром та площею. Наприклад, наша школа знаходиться на ділянці, яка огороджена парканом – сумарна довжина цього паркану буде периметром, а той простір, що знаходиться всередині огорожі та є площею.

Одиниці виміру площі

Якщо одномірний периметр вимірюється в лінійних одиницях, якими є дюйми, фути і метри, то S відноситься до двовимірних обчислень і має свою довжину і ширину.

І вимірюється S у квадратних одиницях, таких, як:

Один квадратний міліметр, де S квадрата має сторону, що дорівнює одному міліметру;
Квадратний сантиметр має S такого квадрата, у якого сторона дорівнює одному сантиметру;
Квадратний дециметр дорівнює S цього квадрата зі стороною один дециметр;
Квадратний метр має S квадрата, сторона якого дорівнює одному метру;
І, нарешті, квадратний кілометр має S квадрата, сторона якого дорівнює одному кілометру.

Для вимірювання площ великих ділянок на Землі використовують такі одиниці, як:

Один ар або сотка – якщо S квадрат має сторону десять метрів;
Один гектар дорівнює квадрату S, у якого сторона має сто метрів.

Завдання та вправи

А тепер розглянемо кілька прикладів.

На малюнку 62 намальовано фігуру, яка має вісім квадратів і кожна сторона цих квадратів дорівнює одному сантиметру. Тому такого квадрата буде квадратний сантиметр.

Якщо записати, то це виглядатиме так:

1 см2. А S всі цієї фігури, що складається з восьми квадратів, дорівнюватиме 8 кв.см.

Якщо взяти якусь фігуру і розбити її на «р» квадратів зі стороною, що дорівнює одному сантиметру, то її площа дорівнюватиме:

Р см2.

Давайте розглянемо прямокутник, зображень на малюнку 63. Цей прямокутник складається з трьох смуг, а кожна така смужка розбита на п'ять рівних квадратів, що мають бік 1 см.

Спробуємо знайти його площу. І так беремо п'ять квадратів, і множимо на три смужки і отримуємо площу рівну 15 кв.

Розглянемо наступний приклад. На малюнку 64 зображено прямокутник ABCD, ламаною лінією KLMN він розбитий на дві частини. Перша його частина дорівнює площі 12 см2, а друга має площу 9 см2. Тепер давайте знайдемо площу всього прямокутника:

Отже, беремо три і множимо на сім і отримуємо 21 кв.

37 = 21 кв.см. У цьому 21 = 12 + 9.

І приходимо до висновку, що площа всієї нашої фігури дорівнює сумі площ її окремих частин.

Розглянемо ще один приклад. І так на малюнку 65 зображено прямокутник, який за допомогою відрізка АС розбитий на два рівні трикутники ABC і ADC

А так, як нам уже відомо, що квадрат – це такий самий прямокутник, який має рівні сторони, то площа кожного трикутника дорівнюватиме половині площі всього прямокутника.

Уявимо, що сторона квадрата дорівнює а, то:

S = a = a2.

Робимо висновок, що формула площі квадрата матиме такий вигляд:

А запис a2 називається квадратом числа а.

І так, якщо сторона нашого квадрата дорівнює чотирьом сантиметрам, то його площа буде:

4 4, тобто 4*2 = 16 кв.см.

Запитання та завдання

Знайдіть площу фігури, яка розбита на шістнадцять квадратів, сторона яких дорівнює одному сантиметру.
Згадайте формулу прямокутника та запишіть її.
Які вимірювання потрібно зробити, щоб дізнатися площу прямокутника?
Дайте визначення рівних фігур.
Чи можуть мати рівні фігури різні площі? А периметри?
Якщо вам відомі площі окремих частин фігури, як дізнатися про її загальну площу?
Сформулюйте та запишіть, чому дорівнює площа квадрата.

Історична довідка

А чи знаєте ви, що давні люди в Вавилоні вміли розрахувати площу прямокутника. Так само древні єгиптяни робили розрахунки різних постатей, але оскільки точних формул вони знали, то обчислення мали невеликі похибки.

У своїй книзі «Початку» знаменитий давньогрецький математик Евклід описує різні способи обчислення площ різних геометричних фігур.

Площа прямокутника, як не зухвало звучатиме, але це важливе поняття. У повсякденному житті ми постійно зустрічаємося з ним. Дізнатися розмір полів, городів, розрахувати кількість фарби, необхідної для побілки стелі, скільки знадобиться шпалер для обклеювання

мнати та інше.

Геометрична фігура

Для початку поговоримо про прямокутник. Це фігура на площині, яка має чотири прямі кути, а її протилежні сторони рівні. Сторони його звикли називати довжиною та шириною. Вимірюють їх у міліметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах тощо. Тепер відповімо на запитання: «Як знайти площу прямокутника?» Для цього потрібно довжину помножити на ширину.

Площа = довжина * ширина

Але ще одне застереження: довжина та ширина повинні бути виражені в однакових одиницях виміру, тобто метр і метр, а не метр і сантиметр. Записується площа латинської літерою S. Для зручності позначимо довжину латинської літерою b, а ширину латинською літерою a, як показано малюнку. Звідси ми робимо висновок, що одиницею вимірювання площі є мм 2 см 2 м 2 і т. д.

Розглянемо на конкретному прикладі, як знайти площу прямокутника. Довжина b = 10 од. Ширина a = 6 од. Рішення: S = a * b, S = 10 од. * 6 од., S = 60 од 2 . Завдання. Як дізнатися площу прямокутника, якщо довжина в 2 рази більша за ширину і становить 18 м? Рішення: якщо b = 18 м, тоді а = b / 2, a = 9 м. Як знайти площу прямокутника, якщо відомі обидві сторони? Правильно, підставити у формулу. S = a * b, S = 18 * 9, S = 162 м 2 . Відповідь: 162 м 2 . Завдання. Скільки потрібно купити рулонів шпалер для кімнати, якщо її розміри становлять: довжина 5,5 м ширина 3,5, а висота 3 м? Розмір рулону шпалер: довжина 10 м, ширина 50 см. Рішення: зробимо малюнок кімнати.

Площі протилежних сторін рівні. Обчислимо площу стіни з розмірами 5,5 м та 3 м. S стіни 1 =5,5*3,

S стіни 1 = 16,5 м2. Отже, протилежна стіна має площу рівну 16,5 м 2 . Знайдемо площу наступних двох стін. Сторони їх відповідно рівні 3,5 м і 3 м. S стіни 2 =3,5*3, S стіни 2 =10,5 м 2 . Отже, і протилежний бік дорівнює 10,5 м 2 . Складемо всі результати. 16,5 +16,5 +10,5 +10,5 = 54 м2. Як обчислити площу прямокутника, якщо сторони виражені у різних одиницях виміру. Раніше ми обчислювали площі в м2, то й у цьому випадку будемо використовувати метри. Тоді ширина рулону шпалер дорівнюватиме 0,5 м. S рулону = 10 * 0,5, S рулону = 5 м 2 . Тепер дізнаємося, скільки рулонів необхідно для обклеювання кімнати. 54: 5 = 10,8 (рулонів). Так як вони вимірюються цілими числами, потрібно купити 11 рулонів шпалер. Відповідь: 11 рулонів шпалер. Завдання. Як обчислити площу прямокутника, якщо відомо, що ширина на 3 см коротша за довжину, а сума сторін прямокутника становить 14 см? Рішення: нехай довжина х см, тоді ширина (х-3) див. прямокутника, 5-3 = 2 см - ширина прямокутника, S = 5 * 2, S = 10 см 2 Відповідь: 10 см 2 .

Резюме

Розглянувши приклади, сподіваюся, стало зрозуміло, як знайти площу прямокутника. Нагадаю, що одиниці виміру довжини та ширини повинні збігатися, інакше вийде неправильний результат, щоб не допустити помилок, читайте завдання уважно. Іноді сторона може бути виражена через іншу сторону, боятися не варто. Зверніться до наших вирішених завдань, можливо, вони можуть допомогти. Але хоч раз у житті ми стикаємося зі знаходженням площі прямокутника.

Прямокутник – це окремий випадок чотирикутника. Це означає, що прямокутник має чотири сторони. Його протилежні сторони рівні: наприклад, якщо одна з його сторін дорівнює 10 см, то протилежна їй буде так само рівні 10 см. Приватним випадком прямокутника є квадрат. Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі квадрата можна скористатися тим самим алгоритмом, що й обчислення площі прямокутника.

Як дізнатися площу прямокутника по обидва боки

Щоб знайти площу прямокутника, треба помножити його довжину на ширину: Площа = Довжина × Ширина. У такому випадку: Площа = AB × BC.

Як дізнатися площу прямокутника по стороні та довжині діагоналі

У деяких завданнях необхідно знайти площу прямокутника, використовуючи довжину діагоналі та одну зі сторін. Діагональ прямокутника ділить його на два рівні прямокутні трикутники. Отже, можна визначити другий бік прямокутника, скориставшись теоремою Піфагора. Після цього завдання зводиться до попереднього пункту.

Як дізнатися площу прямокутника по периметру та стороні

Периметр прямокутника – це сума всіх сторін. Якщо відомий периметр прямокутника та одна сторона (наприклад ширина), можна обчислити площу прямокутника, скориставшись такою формулою:
Площа = (Периметр × ширина – ширина 2)/2.

Площа прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та довжину діагоналі.

Діагоналі у прямокутнику рівні, тому, щоб обчислити площу на підставі довжини діагоналі та синуса гострого кута між ними, слід скористатися наступною формулою: Площа = Діагональ^2 × sin(гострого кута між діагоналями)/2.