Paliwanag ng solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation. Mga Paraan para sa Paglutas ng Trigonometriko Equations.

Kapag nilulutas ang marami mathematical Tasks.Lalo na ang mga nakatagpo ng hanggang sa 10 klase, ang pamamaraan para sa mga pagkilos na isinagawa, na hahantong sa layunin, ay tiyak na tinukoy. Kasama sa ganitong mga layunin ang, halimbawa, linear at square equation, linear at square inequalities, fractional equation at equation na nabawasan sa parisukat. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: ito ay kinakailangan upang maitatag kung paano ang uri ay ang nalutas na gawain na may kaugnayan, upang maalala ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos na hahantong sa ninanais na resulta, i.e. Sagot, at isagawa ang mga pagkilos na ito.

Ito ay malinaw na ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isa o ibang gawain ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung paano tama ang uri ng equation ay tinukoy kung paano tama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, kinakailangan upang pagmamay-ari ang mga kasanayan sa pagsasagawa ng magkaparehong mga pagbabago at kalkulasyon.

Ang iba pang sitwasyon ay nakuha sa. trigonometriko equation. Itaguyod ang katotohanan na ang equation ay trigonometriko, ganap na hindi mahirap. Lumilitaw ang mga paghihirap kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos na humantong sa tamang sagot.

Ayon sa hitsura ng equation, kung minsan mahirap matukoy ang uri nito. At hindi alam ang uri ng equation, halos imposible na pumili mula sa ilang dosenang trigonometriko na mga formula na kinakailangan.

Upang malutas ang trigonometriko equation, dapat mong subukan:

1. Lumikha ng lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong sulok";
2. Gumawa ng isang equation sa "magkatulad na mga function";
3. Ilagay ang kaliwang bahagi ng equation ng pabrika, atbp.

Isaalang-alang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometriko equation.

I. Pagdadala sa pinakasimpleng trigonometriko equations.

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometriko function sa pamamagitan ng mga kilalang sangkap.

Hakbang 2. Maghanap ng isang argumento function sa pamamagitan ng mga formula:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

sin x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n є z.

tG x \u003d a; x \u003d arctg a + πn, n є z.

ctg x \u003d a; x \u003d arcctg a + πn, n є z.

Hakbang 3. Maghanap ng isang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Desisyon.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

Sagot: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

II. Pinapalitan ang variable

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Lumikha ng isang equation sa algebraic form na may kaugnayan sa isa sa mga trigonometriko function.

Hakbang 2. Italaga ang nagresultang pag-andar ng variable na T (kung kinakailangan, ipasok ang mga paghihigpit sa T).

Hakbang 3. I-record at lutasin ang nagresultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng kapalit.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometriko equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Desisyon.

1) 2 (1 - Sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2Sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x / 2) \u003d t, kung saan | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 o e \u003d -3/2, hindi nasiyahan ang kondisyon | t | ≤ 1.

4) kasalanan (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Sagot: x \u003d π + 4πn, n є z.

III. Ang paraan ng pagbaba ng pagkakasunud-sunod ng equation

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Palitan ang linear equation na ito gamit ang formula ng pagbawas ng degree para dito:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang nakuha equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Desisyon.

1) Cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · Cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · Cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Sagot: x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Uniform equations.

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form.

a) isang kasalanan x + b cos x \u003d 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa paningin.

b) isang kasalanan 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (homogeneous equation ng ikalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang parehong bahagi ng equation sa.

a) cos x ≠ 0;

b) Cos 2 x ≠ 0;

at makuha ang equation na may kaugnayan sa TG X:

a) isang TG X + B \u003d 0;

b) isang tg 2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation sa pamamagitan ng mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

Desisyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (Sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) TG 2 X + 3TG X - 4 \u003d 0.

3) Hayaan ang TG X \u003d T.

t 2 + 3t - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 o t \u003d -4, pagkatapos

tG X \u003d 1 o TG X \u003d -4.

Mula sa unang equation x \u003d π / 4 + πn, n є z; Mula sa ikalawang equation x \u003d -Arctg 4 + πk, k є z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn, n є z; x \u003d -Arctg 4 + πk, K є z.

V. paraan ng pag-convert ng isang equation gamit ang Trigonometric Formula.

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng mga uri ng trigonometriko formula, humantong ang equation na ito sa equation, lutasin pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang mga nagresultang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin X + Sin 2x + Sin 3x \u003d 0.

Desisyon.

1) (Sin X + Sin 3x) + Sin 2x \u003d 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x \u003d 0.

2) kasalanan 2x · (2cos x + 1) \u003d 0;

sin 2x \u003d 0 o 2cos x + 1 \u003d 0;

Mula sa unang equation 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Mula sa pangalawang equation cos x \u003d -1/2.

Mayroon kaming x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Mula sa ikalawang equation x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; X \u003d ± 2π / 3 + 2πk, K є z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; X \u003d ± 2π / 3 + 2πk, K є z.

Ang mga kasanayan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometriko equation ay tunay mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng maraming pagsisikap, kapwa ng mag-aaral at mula sa guro.

Gamit ang solusyon ng trigonometriko equation, maraming mga hamon ng stereometry, physics, at iba pa ay nauugnay sa proseso ng paglutas ng ganoong mga gawain, tulad ng ito, concludes maraming kaalaman at kasanayan, na binili sa pag-aaral ng mga elemento ng trigonometrya.

Ang mga trigonometriko equation ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa kabuuan.

May mga tanong? Hindi mo alam kung paano malutas ang trigonometriko equation?
Upang makakuha ng tulong sa tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

ang site, na may ganap o bahagyang pagkopya ng materyal na sanggunian sa orihinal na pinagmulan ay kinakailangan.

Nangangailangan ito ng kaalaman sa mga pangunahing pormula ng trigonometrya - ang kabuuan ng mga parisukat ng sinus at cosine, ang pagpapahayag ng padaplis sa pamamagitan ng sinus at cosine at iba pa. Para sa mga nakalimutan ang mga ito o hindi alam, inirerekumenda namin ang pagbabasa ng artikulong "".
Kaya, alam namin ang mga pangunahing trigonometriko formula, oras na gamitin ang mga ito sa pagsasanay. Paglutas ng Trigonometric Equations. Gamit ang tamang diskarte, isang makatarungang kapana-panabik na aktibidad, tulad ng, halimbawa, upang mangolekta ng Rubik's Cube.

Batay sa pangalan, maaari itong makita na ang trigonometriko equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay sa ilalim ng isang trigonometriko function.
May mga tinatawag na simpleng trigonometriko equation. Narito kung ano ang hitsura nila: Sinh \u003d A, Cos X \u003d A, TG X \u003d a. Isaalang-alang paano malutas ang naturang trigonometriko equation.Para sa kalinawan, gagamitin namin ang pamilyar na Trigonometric Circle.

sinh \u003d a.

cos x \u003d A.

tG X \u003d A.

cOT X \u003d A.

Ang anumang trigonometriko equation ay nalutas sa dalawang yugto: bigyan ang equation sa pinakasimpleng anyo at pagkatapos ay malutas ito bilang pinakasimpleng trigonometriko equation.
Mayroong 7 pangunahing pamamaraan kung saan nalutas ang mga trigonometriko equation.

Paraan para sa pagpapalit ng isang variable at pagpapalit

Lutasin ang equation 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

Gamit ang mga formula, nakukuha namin:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Palitan ang cos (x + / 6) sa y upang gawing simple at makakuha ng isang maginoo square equation:

2Y 2 - 3Y + 1 + 0.

Ang mga ugat na kung saan y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Ngayon pumunta kami sa reverse order.

Pinalitan namin ang nahanap na mga halaga ng y at nakakakuha ng dalawang sagot:

Paglutas ng mga trigonometriko equation sa pamamagitan ng agnas ng multipliers.

Paano malutas ang equation sin x + cos x \u003d 1?

Inilipat namin ang lahat sa kaliwa hanggang sa kanan ay nananatiling 0:

sin X + Cos X - 1 \u003d 0.

Ginagamit namin ang mataas na pagkakakilanlan upang gawing simple ang equation:

sin x - 2 Sin 2 (x / 2) \u003d 0

Gumawa kami ng pagpapalawak ng mga multiplier:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0.

Nakukuha namin ang dalawang equation

Nagdadala sa isang homogenous equation.

Ang equation ay homogenous na kamag-anak sa sinus at cosine, kung ang lahat ng mga miyembro nito ay may kaugnayan sa sinus at cosine ng parehong antas ng parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogeneous equation, pumasok sa mga sumusunod:

a) Ilipat ang lahat ng mga miyembro nito sa kaliwang bahagi;

b) Gumawa ng lahat ng karaniwang mga kadahilanan para sa mga braket;

c) katumbas ng lahat ng multiplier at bracket sa 0;

d) sa mga bracket na nakuha ng isang homogenous equation sa isang mas maliit na lawak, ito naman ay nahahati sa sinus o cosine sa mataas na antas;

e) Lutasin ang nagresultang equation na may kaugnayan sa TG.

Lutasin ang equation 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Ginagamit namin ang kasalanan 2 x + cos 2 x \u003d 1 formula at mapupuksa ang bukas na dalawang beses sa kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

Hatiin namin sa cos x:

tG 2 X + 4 TG X + 3 \u003d 0

Pinapalitan namin ang TG X sa Y at nakakakuha kami ng isang parisukat na equation:

y 2 + 4y +3 \u003d 0, ang mga ugat na kung saan y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

Mula dito nakikita namin ang dalawang solusyon ng pinagmulan ng equation:

x 2 \u003d Arctg 3 + K.

Paglutas ng mga equation, sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating sulok

Lutasin ang equation 3sin x - 5cos x \u003d 7.

Pumunta sa x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Preen lahat kaliwa:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Hinati namin ang cos (x / 2):

tG 2 (x / 2) - 3TG (x / 2) + 6 \u003d 0

Ang pagpapakilala ng auxiliary corner.

Para sa pagsasaalang-alang, kunin ang equation ng form: isang kasalanan x + b cos x \u003d c,

kung saan ang isang, B, C ay ilang mga arbitrary coefficients, at x ay hindi kilala.

Ang parehong mga bahagi ng equation ay nahahati sa:

Ngayon ang mga coefficients ng equation ayon sa trigonometriko formula ay may mga katangian ng kasalanan at cos, lalo: ang kanilang module ay hindi higit sa 1 at ang kabuuan ng mga parisukat \u003d 1. Ipahiwatig ang mga ito, ayon sa pagkakabanggit, bilang cos at kasalanan, kung saan ito ay ang tinatawag na anggulo ng auxiliary. Pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng form:

cos * sin x + sin * cos x \u003d c

o kasalanan (x +) \u003d C.

Sa pamamagitan ng solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation na ito

x \u003d (-1) k * arcsin c - + k, kung saan

Dapat pansinin na ang mga pagtatalaga ng cos at kasalanan ay mapagpapalit.

Lutasin ang kasalanan 3x equation - cos 3x \u003d 1.

Sa equation na ito, ang mga coefficients:

a \u003d, b \u003d -1, kaya hinati namin ang parehong mga bahagi sa pamamagitan ng \u003d 2

Konsepto ng paglutas ng mga trigonometriko equation.

Upang malutas ang trigonometriko equation, i-convert ito sa isa o higit pa sa mga pangunahing trigonometriko equation. Ang solusyon ng trigonometriko equation ay ganap na nabawasan sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometriko equation.

Solusyon ng pangunahing trigonometriko equation.

Mayroong 4 na uri ng mga pangunahing trigonometriko equation:
sin x \u003d a; Cos x \u003d A.
tg x \u003d a; Ctg x \u003d A.
Ang solusyon ng pangunahing trigonometriko equation ay nagpapahiwatig ng pagsasaalang-alang ng iba't ibang mga probisyon na "X" sa isang solong bilog, pati na rin ang paggamit ng talahanayan ng conversion (o calculator).
Halimbawa 1. Sin x \u003d 0.866. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), makakatanggap ka ng isang sagot: x \u003d π / 3. Ang isang bilog ay nagbibigay ng isa pang sagot: 2π / 3. Tandaan: Ang lahat ng mga trigonometriko function ay pana-panahon, iyon ay, ang kanilang mga halaga ay paulit-ulit. Halimbawa, ang dalas ng Sin X at Cos X ay 2πn, at ang dalas ng TG X at CTG X ay katumbas ng πn. Samakatuwid, ang sagot ay isinulat tulad ng sumusunod:
x1 \u003d π / 3 + 2πn; x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
Halimbawa 2. Cos x \u003d -1/2. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), matatanggap mo ang sagot: x \u003d 2π / 3. Ang isang bilog ay nagbibigay ng isa pang sagot: -2π / 3.
x1 \u003d 2π / 3 + 2π; x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
Halimbawa 3. TG (x - π / 4) \u003d 0.
Sagot: x \u003d π / 4 + πn.
Halimbawa 4. CTG 2x \u003d 1.732.
Sagot: x \u003d π / 12 + πn.

Pagbabagong ginagamit sa paglutas ng mga trigonometriko equation.

Upang ibahin ang anyo ng trigonometriko equation, algebraic transformations ay ginagamit (agnas ng mga multiplier, nagdadala ng mga homogenous na miyembro, atbp.) At Trigonometriko Identities.
Halimbawa 5. Paggamit ng Trigonometriko Identities, ang Equation Sin X + Sin 2x + Sin 3x \u003d 0 ay na-convert sa 4cos x * Sin equation (3x / 2) * cos (x / 2) \u003d 0. Kaya, ang mga sumusunod na pangunahing trigonometriko equation ay dapat malutas: cos x \u003d 0; kasalanan (3x / 2) \u003d 0; Cos (x / 2) \u003d 0.
Paghahanap ng mga anggulo ayon sa mga kilalang halaga ng mga function.
- Bago pag-aralan ang mga paraan ng paglutas ng mga trigonometriko equation, kailangan mong malaman kung paano makahanap ng mga sulok ayon sa mga kilalang halaga ng mga function. Magagawa ito gamit ang conversion o calculator table.
- Halimbawa: Cos x \u003d 0.732. Ang calculator ay magbibigay ng sagot na x \u003d 42.95 degrees. Ang isang bilog ay magbibigay ng mga karagdagang anggulo na ang cosine ay katumbas din sa 0.732.
I-postulate ang desisyon sa isang solong bilog.
- Maaari mong ipagpaliban ang mga solusyon ng trigonometriko equation sa isang solong bilog. Ang mga solusyon ng trigonometriko equation sa isang solong bilog ay vertices ng tamang polygon.
- Halimbawa: Mga Solusyon X \u003d π / 3 + πn / 2 Sa isang solong bilog ay ang mga vertex ng parisukat.
- Halimbawa: Mga Solusyon X \u003d π / 4 + πn / 3 Sa isang solong bilog ay ang mga vertex ng tamang heksagono.
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometriko equation.
- Kung ang trigonometriko equation na ito ay naglalaman lamang ng isang trigonometriko function, magpasya ang equation na ito bilang isang pangunahing trigonometriko equation. Kung ang equation na ito ay may kasamang dalawa o higit pang mga trigonometriko na pag-andar, pagkatapos ay mayroong 2 mga pamamaraan para sa paglutas ng naturang equation (depende sa posibilidad ng pagbabagong nito).
  - Paraan 1.
- I-convert ang equation na ito sa equation ng form: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0, kung saan f (x), g (x), h (x) ay ang pangunahing trigonometriko equation.
- Halimbawa 6. 2cos x + sin 2x \u003d 0. (0< x < 2π)
- Desisyon. Gamit ang formula ng isang double anggulo kasalanan 2x \u003d 2 * Sin x * cos x, palitan ang kasalanan 2x.
- 2sos x + 2 * sin x * cos x \u003d 2cos x * (Sin x + 1) \u003d 0. Ngayon magpasya dalawang pangunahing trigonometriko equation: cos x \u003d 0 at (sin x + 1) \u003d 0.
- Halimbawa 7. Cos X + Cos 2x + Cos 3x \u003d 0. (0< x < 2π)
- Solusyon: Paggamit ng Trigonometriko Identities, i-convert ang equation na ito sa equation ng form: Cos 2x (2COS X + 1) \u003d 0. Ngayon magpasya ang dalawang pangunahing trigonometriko equation: cos 2x \u003d 0 at (2cos x + 1) \u003d 0.
- Halimbawa 8. Sin X - Sin 3x \u003d Cos 2x. (0.< x < 2π)
- Solusyon: Paggamit ng Trigonometriko Identities, i-convert ang equation na ito sa equation ng form: -cos 2x * (2Sin x + 1) \u003d 0. Ngayon magpasya ang dalawang pangunahing trigonometriko equation: cos 2x \u003d 0 at (2sin x + 1) \u003d 0 .
  - Paraan 2.
- I-convert ang trigonometriko equation na ito sa isang equation na naglalaman lamang ng isang trigonometriko function. Pagkatapos ay palitan ang trigonometriko na pag-andar na ito sa ilang hindi alam, halimbawa, t (Sin x \u003d t; cos x \u003d t; cos 2x \u003d t, tg x \u003d t; tg (x / 2) \u003d t, atbp.).
- Halimbawa 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4Sin x + 7 (0< x < 2π).
- Desisyon. Sa equation na ito, palitan (cos ^ 2 x) sa (1 - kasalanan ^ 2 x) (ayon sa pagkakakilanlan). Ang transformed equation ay:
- 3Sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 \u003d 0. Palitan ang sin x sa t. Ngayon ang equation ay mukhang: 5T ^ 2 - 4T - 9 \u003d 0. Ito ay isang parisukat na equation na may dalawang Roots: T1 \u003d -1 at T2 \u003d 9/5. Ang ikalawang root T2 ay hindi nakakatugon sa mga halaga ng mga halaga ng function (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Halimbawa 10. TG X + 2 TG ^ 2 x \u003d CTG X + 2
- Desisyon. Palitan ang TG X sa T. Mapawi ang unang equation sa sumusunod na form: (2T + 1) (t ^ 2 - 1) \u003d 0. Ngayon mahanap t, at pagkatapos ay hanapin X para sa T \u003d TG x.

Upang malutas ang trigonometriko equation, dapat mong subukan:

1. Lumikha ng lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong sulok";
2. Gumawa ng isang equation sa "magkatulad na mga function";
3. Ilagay ang kaliwang bahagi ng equation ng pabrika, atbp.

Isaalang-alang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometriko equation.

I. Pagdadala sa pinakasimpleng trigonometriko equations.

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometriko function sa pamamagitan ng mga kilalang sangkap.

Hakbang 2. Maghanap ng isang argumento function sa pamamagitan ng mga formula:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

sin x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n є z.

tG x \u003d a; x \u003d arctg a + πn, n є z.

ctg x \u003d a; x \u003d arcctg a + πn, n є z.

Hakbang 3. Maghanap ng isang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Desisyon.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

Sagot: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

II. Pinapalitan ang variable

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Lumikha ng isang equation sa algebraic form na may kaugnayan sa isa sa mga trigonometriko function.

Hakbang 2. Italaga ang nagresultang pag-andar ng variable na T (kung kinakailangan, ipasok ang mga paghihigpit sa T).

Hakbang 3. I-record at lutasin ang nagresultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng kapalit.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometriko equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Desisyon.

1) 2 (1 - Sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2Sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x / 2) \u003d t, kung saan | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 o e \u003d -3/2, hindi nasiyahan ang kondisyon | t | ≤ 1.

4) kasalanan (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Sagot: x \u003d π + 4πn, n є z.

III. Ang paraan ng pagbaba ng pagkakasunud-sunod ng equation

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Palitan ang linear equation na ito gamit ang formula ng pagbawas ng degree para dito:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang nakuha equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Desisyon.

1) Cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · Cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · Cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Sagot: x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Uniform equations.

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form.

a) isang kasalanan x + b cos x \u003d 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa paningin.

b) isang kasalanan 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (homogeneous equation ng ikalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang parehong bahagi ng equation sa.

a) cos x ≠ 0;

b) Cos 2 x ≠ 0;

at makuha ang equation na may kaugnayan sa TG X:

a) isang TG X + B \u003d 0;

b) isang tg 2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation sa pamamagitan ng mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

Desisyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (Sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) TG 2 X + 3TG X - 4 \u003d 0.

3) Hayaan ang TG X \u003d T.

t 2 + 3t - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 o t \u003d -4, pagkatapos

tG X \u003d 1 o TG X \u003d -4.

Mula sa unang equation x \u003d π / 4 + πn, n є z; Mula sa ikalawang equation x \u003d -Arctg 4 + πk, k є z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn, n є z; x \u003d -Arctg 4 + πk, K є z.

V. paraan ng pag-convert ng isang equation gamit ang Trigonometric Formula.

Eskematiko solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng mga uri ng trigonometriko formula, humantong ang equation na ito sa equation, lutasin pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang mga nagresultang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin X + Sin 2x + Sin 3x \u003d 0.

Desisyon.

1) (Sin X + Sin 3x) + Sin 2x \u003d 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x \u003d 0.

2) kasalanan 2x · (2cos x + 1) \u003d 0;

sin 2x \u003d 0 o 2cos x + 1 \u003d 0;

Mula sa unang equation 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Mula sa pangalawang equation cos x \u003d -1/2.

Mayroon kaming x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Mula sa ikalawang equation x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; X \u003d ± 2π / 3 + 2πk, K є z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; X \u003d ± 2π / 3 + 2πk, K є z.

Ang mga kasanayan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometriko equation ay tunay mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng maraming pagsisikap, kapwa ng mag-aaral at mula sa guro.

Ang mga trigonometriko equation ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa kabuuan.

May mga tanong? Hindi mo alam kung paano malutas ang trigonometriko equation?
Upang makakuha ng tulong ng isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.et, na may ganap o bahagyang pagkopya ng materyal na sanggunian sa orihinal na pinagmulan ay kinakailangan.

Ang pagsunod sa iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, nakagawa kami ng isang patakaran sa privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Koleksyon at paggamit ng personal na impormasyon

Sa ilalim ng personal na impormasyon ay napapailalim sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang tao o pakikipag-usap dito.

Maaari kang hilingin na ibigay ang iyong personal na impormasyon sa anumang oras kapag kumonekta ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang mga halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin, at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang kinokolekta namin:

Kapag umalis ka ng isang application sa site, maaari naming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Habang ginagamit namin ang iyong personal na impormasyon:

Pinahihintulutan kami ng personal na impormasyon na makipag-ugnay sa amin at mag-ulat tungkol sa mga natatanging panukala, promo at iba pang mga kaganapan at pinakamalapit na kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mga mahahalagang notification at mensahe.
Maaari rin kaming gumamit ng personalized na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pag-awdit, pagtatasa ng data at iba't ibang mga pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyo ng aming mga serbisyo at pagbibigay sa iyo ng mga rekomendasyon para sa aming mga serbisyo.
Kung lumahok ka sa mga premyo, kumpetisyon o katulad na stimulating event, maaari naming gamitin ang impormasyong iyong ibinibigay upang pamahalaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng Impormasyon sa Mga Ikatlong Partido

Hindi namin ibunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga third party.

Mga Pagbubukod:

Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraan ng panghukuman, sa pagsubok, at / o batay sa mga pampublikong query o mga kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - upang ipakita ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin naming ibunyag ang impormasyon tungkol sa iyo kung tinukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o angkop para sa layunin ng seguridad, pagpapanatili ng batas at kaayusan, o iba pang mahahalagang kaso sa lipunan.
Sa kaso ng reorganisasyon, ang mga pagsasanib o benta, maaari naming ihatid ang personal na impormasyon na kinokolekta namin ang nararapat sa ikatlong partido - isang kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at walang prinsipyo na paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagsunod sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, dinala namin ang pamantayan ng pagiging kompidensyal at seguridad sa aming mga empleyado, at mahigpit na sundin ang pagpapatupad ng mga hakbang sa pagiging kumpidensyal.

Paliwanag ng solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation. Mga Paraan para sa Paglutas ng Trigonometriko Equations.

sinh \u003d a.

cos x \u003d A.

tG X \u003d A.

cOT X \u003d A.

Paraan para sa pagpapalit ng isang variable at pagpapalit

Paglutas ng mga trigonometriko equation sa pamamagitan ng agnas ng multipliers.

Nagdadala sa isang homogenous equation.

Paglutas ng mga equation, sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating sulok

Ang pagpapakilala ng auxiliary corner.

Koleksyon at paggamit ng personal na impormasyon

Pagbubunyag ng Impormasyon sa Mga Ikatlong Partido

Proteksyon ng personal na impormasyon

Pagsunod sa iyong privacy sa antas ng kumpanya