Konsultasyon sa isang online na tutor sa matematika. Pag-aaral ng quadratic trinomial. Mga Square Trinomial at Parameter na Nag-graph ng Quadratic Trinomial

Kahulugan

Parabola ay tinatawag na graph ng isang quadratic function $y = ax^(2) + bx + c$, kung saan $a \neq 0$.

Graph ng function na $y = x^2$.

Upang balangkasin ang eskematiko ng graph ng function na $y = x^2$, makakahanap tayo ng ilang puntos na nagbibigay-kasiyahan sa pagkakapantay-pantay na ito. Para sa kaginhawahan, isinulat namin ang mga coordinate ng mga puntong ito sa anyo ng isang talahanayan:

Graph ng function na $y = ax^2$.

Kung ang coefficient $a > 0$, ang graph na $y = ax^2$ ay makukuha mula sa graph na $y = x^2$ alinman sa pamamagitan ng vertical stretching (para sa $a > 1$) o compression sa $x$ axis (para sa $0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$	$y = \dfrac(x^2)(2)$

Kung $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$	$y = -2x^2$	$y = - \dfrac(x^2)(2)$

Graph ng isang quadratic function.

Upang i-plot ang function na $y = ax^2 + bx + c$, kailangan mong ihiwalay ang isang kumpletong parisukat mula sa quadratic trinomial $ax^2 + bx + c$, ibig sabihin, kinakatawan ito sa anyong $a(x - x_0)^2 + y_0$ . Ang graph ng function na $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ ay nakuha mula sa kaukulang graph na $y = ax^2$ sa pamamagitan ng paglilipat ng $x_0$ kasama ang $x$ axis, at ng $y_0$ kasama ang $y$ axis. Bilang resulta, ang puntong $(0;0)$ ay lilipat sa puntong $(x_0;y_0)$.

Kahulugan

Sa itaas ang parabola $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ ay ang puntong may mga coordinate $(x_0;y_0)$.

Bumuo tayo ng parabola $y = 2x^2 - 4x - 6$. Sa pagpili ng kumpletong parisukat, makakakuha tayo ng $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

I-plot natin ang $y = 2x^2$	Ilipat natin ito sa kanan ng 1	At pababa ng 8

Ang resulta ay isang parabola na may tuktok nito sa puntong $(1;-8)$.

Ang graph ng quadratic function na $y = ax^2 + bx + c$ ay nag-intersect sa $y$ axis sa puntong $(0; c)$ at ang $x$ axis sa mga puntos na $(x_(1,2) ;0)$, kung saan ang $ x_(1,2)$ ay ang mga ugat ng parisukat na equation na $ax^2 + bx + c = 0$ (at kung ang equation ay walang mga ugat, kung gayon ang kaukulang parabola ay hindi nagsalubong sa $ x$ axis).

Halimbawa, ang parabola na $y = 2x^2 - 4x - 6$ ay nag-intersect sa mga axes sa mga puntong $(0; -6)$, $(-1; 0)$ at $(3; 0)$.

Panimulang pangungusap at mga simpleng halimbawa

Halimbawa 1. Para sa anong mga halaga ng a ang equation ax 2 + 2x + 1 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat?

Solusyon.

Ang equation na ito ay quadratic na may paggalang sa variable x para sa a№ 0 at may iba't ibang mga ugat kapag ang discriminant nito

ibig sabihin, para sa a< 1.

Bilang karagdagan, kapag ang a = 0, ang equation na 2x + 1 = 0 ay nakuha, na may isang ugat.

Kaya, isang O (– Ґ ; 0) AT (0; 1).

Panuntunan 1. Kung ang koepisyent ng x 2 ng isang polynomial ng pangalawang antas ay naglalaman ng isang parameter, kinakailangan upang pag-aralan ang kaso kapag ito ay nawala.

Halimbawa 2. Ang equation na ax 2 + 8x + c = 0 ay may iisang ugat na katumbas ng 1. Ano ang a at c katumbas ng?

Solusyon. Simulan natin ang paglutas ng problema sa espesyal na kaso a = 0, ang equation ay may anyo na 8x + c = 0. Ang linear equation na ito ay may solusyon x 0 = 1 para sa c = – 8.

Kapag ang isang no. 0 quadratic equation ay may iisang ugat kung

Bilang karagdagan, ang pagpapalit ng root x 0 = 1 sa equation, makakakuha tayo ng + 8 + c = 0.

Ang paglutas ng isang sistema ng dalawang linear na equation, makikita natin ang a = c = – 4.

Teorama 1.

Para sa pinababang quadratic trinomial y = x 2 + px + q (ipagpalagay na p 2і 4q)
kabuuan ng mga ugat x 1 + x 2 = – p, produkto ng mga ugat x 1 x 2 = q, ang pagkakaiba ng mga ugat ay
at ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.

Teorama 2.

Para sa isang quadratic trinomial y = ax 2 + bx + c na may dalawang ugat x 1 at x 2, mayroon kaming
expansion ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2), para sa trinomial na may isang ugat x 0 – expansion
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2 .

Magkomento. Kadalasan, tungkol sa mga quadratic equation na may discriminant na katumbas ng zero at pagkakaroon, nang naaayon, isang ugat, sinasabi nila na mayroon itong dalawang magkatugma na ugat (?). Ito ay nauugnay sa factorization ng polynomial na ibinigay sa Theorem 2.(Ang tamang paraan upang sabihin at maunawaan sa kasong ito ay "isang ugat ng maramihang dalawa." - Ed.)

Bibigyan natin ng pansin ang subtlety na ito at i-highlight ang kaso ng iisang ugat ng multiplicity 2.

Halimbawa 3. Sa equation x 2 + ax + 12 = 0, tukuyin ang a sa paraang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng isa.

Solusyon. Pagkakaiba ng ugat
saan a = ± 7.

Halimbawa 4. Para sa ano a ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation na 2x 2 + 4x + a = 0 ay katumbas ng 6?

Solusyon. Isulat natin ang equation sa form
kung saan ang x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 at a = – 2.

Halimbawa 5. Para sa lahat ng a, lutasin ang equation na ax 2 – 2x + 4 = 0.

Solusyon. Kung a = 0, kung gayon x = 2. Kung a№ 0, pagkatapos ang equation ay magiging parisukat. Ang discriminant nito
katumbas ng D = 4 – 16a. Kung si D< 0, т. е. a > ,
ang equation ay walang mga solusyon. Kung D = 0, ibig sabihin, a = ,
x = 4. Kung D > 0, ibig sabihin, a< ,
ang equation ay may dalawang ugat

Lokasyon ng mga ugat ng quadratic trinomial

Ang graph ng isang quadratic equation ay isang parabola, at ang mga solusyon sa isang quadratic equation ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng parabola na ito sa Ox axis. Ang batayan para sa paglutas ng lahat ng mga problema sa seksyong ito ay ang pag-aaral ng mga tampok ng lokasyon ng mga parabola na may ibinigay na mga katangian sa coordinate plane.

Halimbawa 6. Para saan a ang mga ugat ng equation na x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 ay may iba't ibang palatandaan?

Solusyon (Larawan 1).

Ang isang quadratic equation ay maaaring walang mga solusyon (ang graph ay isang parabola ng uri D), o may isa o dalawang positibong ugat (parabola C), o may isa o dalawang negatibong ugat (parabola A), o may mga ugat ng magkakaibang mga palatandaan (parabola B).

Madaling maunawaan na ang huling uri ng mga parabola, hindi katulad ng iba, ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Ang solusyon na ito ay nagbibigay-daan para sa isang generalization, na aming bubuuin bilang sumusunod na panuntunan.

Panuntunan 2. Upang ang equation na ax 2 + bx + c = 0

ay may dalawang magkaibang ugat x 1 at x 2 na ang x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Halimbawa 7. Para saan a ang equation x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat ng parehong tanda?

Solusyon. Interesado kami sa mga parabola ng uri A at C (tingnan ang Fig. 1). Sila ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na

kung saan ang isang O (– 6; – 2) AT (3; + Ґ ).

Halimbawa 8. Para saan a ang equation x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 ay may dalawang magkaibang positibong ugat?

Solusyon. Interesado kami sa mga uri ng C parabola sa Fig. 1.

Para magkaroon ng mga ugat ang equation, kailangan namin

Dahil ang parehong mga ugat ng equation ay dapat na positibo ayon sa kondisyon, ang abscissa ng vertex ng parabola na nasa pagitan ng mga ugat ay positibo: x 0 = a > 0.

Vertex ordinate f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, pagkatapos, dahil sa pagpapatuloy ng pag-andar na pinag-aaralan, mayroong isang punto x 1 TUNGKOL SA (0; x 0) na ang f(x 1) = 0. Malinaw, ito ay isang mas maliit na ugat ng equation.

Kaya, f(0) = a 2 – a – 6 > 0, at, pagsasama-sama ng lahat ng kundisyon, makukuha natin ang system

na may solusyon na isang O (3; + Ґ ).

Halimbawa 9. Para saan a ang equation x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 ay may dalawang magkaibang negatibong ugat?

Solusyon. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng uri A parabolas sa Fig. 1, nakukuha namin ang sistema

kung saan ang isang O (– 6; – 2).

I-generalize natin ang solusyon sa mga nakaraang problema sa anyo ng sumusunod na panuntunan.

Panuntunan 3. Upang ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay magkaroon ng dalawang magkaibang ugat na x 1 at x 2, na ang bawat isa ay mas malaki (mas mababa sa) M, kinakailangan at sapat na

Halimbawa 10. Ang function na f(x) ay ibinibigay ng formula

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang equation na f(x) = 0 ay mayroong kahit isang solusyon.

Solusyon. Ang lahat ng posibleng solusyon sa isang ibinigay na equation ay nakuha bilang mga solusyon sa isang quadratic equation

x 2 – (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

na may karagdagang kundisyon na kahit isa (malinaw na mas malaki) ugat x 2 ako a.

Naturally, para magkaroon ng mga ugat ang equation, dapat ito ay = – 5(a + 2) і 0,
saan ang isang Ј – 2.

Ang graph ng kaliwang bahagi ng napiling equation ay isang parabola, ang abscissa ng vertex na kung saan ay x 0 = 2a + 7. Ang solusyon sa problema ay ibinibigay ng dalawang uri ng parabolas (Fig. 2).

A: x 0 i a, mula sa kung saan a i – 7. Sa kasong ito, ang mas malaking ugat ng polynomial ay x 2 i x 0 i a.

B: x 0< a, f(a) Ј 0, mula saan .
Sa kasong ito, ang mas malaking ugat ng polynomial ay x 2 ako a.

Sa wakas .

Tatlong solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay

Halimbawa 11. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

ginanap:

1) para sa lahat ng mga halaga ng x;
2) para sa lahat ng positibong halaga ng x;
3) para sa lahat ng mga halaga ng x O [– 1; 1].

Solusyon.

Unang paraan.

1) Malinaw, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nananatili para sa lahat ng x kapag negatibo ang discriminant, ibig sabihin.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3< 0,

saan a >.

2) Upang mas maunawaan kung ano ang kinakailangan sa pahayag ng problema, gumamit tayo ng isang simpleng pamamaraan: gumuhit ng ilang parabola sa coordinate plane, at pagkatapos ay kunin at isara ang kaliwang kalahating eroplano na may kaugnayan sa Oy axis. Ang bahagi ng parabola na nananatiling nakikita ay dapat na nasa itaas ng axis ng Ox.

Ang kondisyon ng problema ay nasiyahan sa dalawang kaso (tingnan ang Fig. 3):

< 0, откуда a > ;

B: parehong mga ugat (maaaring isa, ngunit doble) ng equation na x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 ay nasa kaliwa ng pinanggalingan. Ayon sa panuntunan 3, ang kundisyong ito ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay Dі 0, x 0 Ј 0 at f(0) и 0.

Gayunpaman, kapag nilulutas ang sistemang ito, ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring tanggalin, dahil kahit na ang ilang halaga a ay hindi nakakatugon sa kundisyon D.і 0, pagkatapos ay awtomatiko itong nahuhulog sa solusyon ng punto A. Kaya, nalutas namin ang sistema

saan ang isang Ј – 3.

Ang pagsasama-sama ng mga solusyon ng mga puntos A at B, nakukuha namin

sagot:

3) Ang kondisyon ng problema ay nasiyahan sa tatlong kaso (tingnan ang Fig. 4):

A: ang graph ng function na y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 ay nasa itaas ng Ox axis, ibig sabihin, D< 0, откуда a > ;

B: ang parehong mga ugat (maaaring isa sa maramihang 2) ng equation na x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 ay nasa kaliwa ng – 1. Ang kundisyong ito ay katumbas, gaya ng alam natin mula sa panuntunan 3, hanggang sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay Dі 0, x 0< – 1, f(– 1) > 0;

C: parehong mga ugat ng equation x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 ay nasa kanan ng 1.
Ang kundisyong ito ay katumbas ng D i 0, x 0 > 1, f(1) > 0.

Gayunpaman, sa mga puntong B at C, pati na rin sa paglutas sa nakaraang problema, ang hindi pagkakapantay-pantay na nauugnay sa diskriminasyon ay maaaring alisin.

Alinsunod dito, nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Sa pagsasaalang-alang sa lahat ng mga kaso, makuha namin ang resulta: a >
sa punto
sa C.
Ang sagot sa problema ay ang pagsasama ng tatlong set na ito.

Pangalawang paraan. Upang matupad ang kondisyon ng bawat isa sa tatlong punto ng problema, ang pinakamaliit na halaga ng function
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 sa bawat isa sa mga katumbas na pagitan ay dapat na positibo.

1) Ang vertex ng parabola y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 ay nasa punto (a; 2a – 3), samakatuwid ang pinakamaliit na halaga ng function sa buong linya ng numero ay 2a – 3, at isang > .

2) sa semi-axis x i 0 ang pinakamaliit na halaga ng function ay f(0) = a 2 + 2a – 3, kung a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Pagsusuri sa parehong mga kaso, nakukuha namin

3) Ang pinakamaliit sa segment [– 1; 1] ang halaga ng function ay

Dahil ang pinakamaliit na halaga ay dapat na positibo, nakakakuha tayo ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang solusyon sa tatlong sistemang ito ay isang set

Pangatlong paraan. 1) Vertex ng parabola y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

ay matatagpuan sa punto (a; 2a – 3). Gumuhit tayo ng isang set sa coordinate plane na nabuo sa pamamagitan ng vertices ng lahat ng parabolas para sa iba't ibang a (Fig. 5).

Ito ang linyang y = 2x – 3. Alalahanin natin na ang bawat punto sa linyang ito ay may sariling halaga ng parameter, at mula sa bawat punto sa linyang ito ay "lumalabas" ang isang parabola na tumutugma sa isang ibinigay na halaga ng parameter. Ang mga parabola na ganap na nasa itaas ng axis ng Ox ay nailalarawan sa pamamagitan ng kundisyong 2a – 3 > 0.

2) Ang mga solusyon sa puntong ito ay ang lahat ng mga solusyon sa unang punto, at, bilang karagdagan, ang mga parabola kung saan ang a ay negatibo, at f(0) = a 2 + 2a – 3і 0.

3) Mula sa Fig. 5 malinaw na interesado tayo sa mga parabola kung saan ang a ay negatibo at f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
o a ay positibo at f(1) = a 2 – 2 > 0.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na bumababa sa mga parisukat

Halimbawa 12. Para sa anong mga halaga ng a walang solusyon ang equation na 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0?

Solusyon. Sa paggawa ng pagpapalit na y = x 2, nakukuha natin ang quadratic equation f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.

Ang resultang equation ay walang solusyon kapag D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Ang mga kundisyong ito ay maaaring isulat bilang isang set

saan

Halimbawa 13. Para sa bawat halaga ng parameter a, lutasin ang equation cos x sin 2x = asin 3x.

Solusyon. Dahil ang 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x at sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,

pagkatapos ang equation ay isusulat bilang sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.

Mula dito nakakakuha tayo ng mga solusyon x = p n, n O Z para sa anumang a. Ang equation

may mga solusyon

hindi tumutugma sa mga solusyon ng unang equation, sa ilalim lamang ng kondisyon

Ang mga huling paghihigpit ay katumbas

Sagot: x = p n, n O Z para sa anumang a; Bukod sa,

Halimbawa 14. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a, para sa bawat isa kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 hold para sa anumang numerong x.

Solusyon. Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo na cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

at gawin ang kapalit na t = cos x. Mahalagang tandaan na ang parameter t ay mula sa – 1 hanggang 1, kaya ang problema ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: hanapin ang lahat ng tulad na

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

humahawak para sa lahat ng t TUNGKOL SA [- 1; 1]. Nalutas na namin ang problemang ito nang mas maaga.

Halimbawa 15. Tukuyin kung anong mga halaga ng isang equation log 3 (9 x + 9a 3) = x ang may mga solusyon at hanapin ang mga ito.

Solusyon. Ibahin natin ang equation sa anyong 9 x – 3 x + 9a 3 = 0

at, ginagawa ang kapalit na y = 3 x, nakukuha namin ang y 2 – y + 9a 3 = 0.

Kung negatibo ang discriminant, walang solusyon ang equation. Kapag ang discriminant

D = 1 – 36a 3 = 0, ang equation ay may iisang ugat,
at x = – log 3 2. Sa wakas, kapag positibo ang discriminant, ibig sabihin,
ang orihinal na equation ay may isang ugat ,
at kung, bilang karagdagan, ang expression 1 ay positibo,
pagkatapos ang equation ay mayroon ding pangalawang ugat .

Kaya, nakuha namin sa wakas

,

walang mga solusyon para sa natitirang a.

Halimbawa 16. Para sa bawat halaga ng parameter a, lutasin ang equation na sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Solusyon. kasi
Isulat muli natin ang equation sa anyong sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Hayaan ang y = sin 2x, pagkatapos ay y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | J 1).

Ang graph ng function sa kaliwang bahagi ng equation ay isang parabola na may vertex na ang abscissa ay y 0 = 1; ang halaga ng function sa puntong y = – 1 ay 1 – 2a; ang discriminant ng equation ay 8a + 12. Nangangahulugan ito na ang mas malaking ugat na y 2 ng equation na y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, kahit na mayroon ito, ay mas malaki sa 1, at ang katumbas na equation ay sin 2x = y 2 ay walang solusyon. 3. Para sa anong mga halaga ng a ang equation na 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 ay may hindi bababa sa isang ugat?
4. Ang equation na ax 2 + bx + 5 = 0 ay may iisang ugat na katumbas ng 1. Ano ang katumbas ng a at b?
5. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang mga ugat ng quadratic equation na 5x 2 – 7x + a = 0 ay nauugnay bilang 2 hanggang 5?
6. Sa equation ax 2 + 8x + 3 = 0, tukuyin ang a upang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng isa.
7. Para saan a ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 ay katumbas ng 20?
8. Para sa ano b at c ang equation c + bx – 2x 2 = 0 ay may isang positibo at isang negatibong ugat?
9. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang isang ugat ng equation x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 ay mas malaki kaysa sa a, at ang isa ay mas mababa sa a.
10. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang equation x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat ng parehong sign.
11. Para sa anong mga halaga ng a lahat ng resultang mga ugat ng equation (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 ay positibo?
12. Para sa ano a ang lahat ng mga resultang ugat ng equation (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 ay mas malaki sa 1?
13. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang magkaibang mga ugat ng equation x 2 + x + a = 0 ay mas malaki kaysa sa a.
14. Para sa anong mga halaga ng a ang parehong mga ugat ng equation na 4x 2 – 2x + a = 0 na nasa pagitan ng – 1 at 1?
15. Para sa anong mga halaga ng a ang equation x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 ay may kahit isang positibong ugat?
16. Ang function na f(x) ay ibinibigay ng formula

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang equation na f(x) = 0 ay mayroong kahit isang solusyon.
17. Para saan a ang hindi pagkakapantay-pantay (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 totoo para sa lahat ng x?
18. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang hindi pagkakapantay-pantay na ax 2 + 2x > 1 – 3a ay hawak para sa lahat ng positibong x?
19. Para sa anong mga halaga ng a walang solusyon ang equation x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0?
20. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation na 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 ay may isa o dalawang solusyon?
21. Para sa bawat halaga ng a, lutasin ang equation na acos x cos 2x = cos 3x.
22. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a, para sa bawat isa kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay cos 2 x + 2asin x – 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. Para sa lahat ng a, lutasin ang equation log 2 (4 x + a) = x.
24. Para sa bawat halaga ng parameter a, lutasin ang equation na sin 2 x + asin 2 2x = sin.

Aralin: Paano gumawa ng parabola o quadratic function?

TEORETIKAL NA BAHAGI

Ang parabola ay isang graph ng isang function na inilarawan ng formula ax 2 +bx+c=0.
Upang bumuo ng isang parabola kailangan mong sundin ang isang simpleng algorithm:

1) Parabola formula y=ax 2 +bx+c,
Kung a>0 pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas,
kung hindi, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.
Libreng miyembro c ang puntong ito ay nagsa-intersect sa parabola sa OY axis;

2), ito ay matatagpuan gamit ang formula x=(-b)/2a, pinapalitan namin ang natagpuang x sa parabola equation at hanapin y;

3)Mga function na zero o, sa madaling salita, ang mga punto ng intersection ng parabola sa OX axis, tinatawag din silang mga ugat ng equation. Upang mahanap ang mga ugat, itinutumbas namin ang equation sa 0 ax 2 +bx+c=0;

Mga uri ng equation:

a) Ang kumpletong quadratic equation ay may anyo ax 2 +bx+c=0 at nalulutas ng may diskriminasyon;
b) Hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 +bx=0. Upang malutas ito, kailangan mong alisin ang x sa mga bracket, pagkatapos ay ipantay ang bawat salik sa 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 at ax+b=0;
c) Hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 +c=0. Upang malutas ito, kailangan mong ilipat ang mga hindi alam sa isang tabi, at ang mga kilala sa isa pa. x =±√(c/a);

4) Maghanap ng ilang karagdagang mga punto upang mabuo ang function.

PRAKTIKAL NA BAHAGI

At kaya ngayon, gamit ang isang halimbawa, susuriin namin ang lahat ng hakbang-hakbang:
Halimbawa #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 ay nangangahulugan na ang parabola ay nagsalubong sa OY sa puntong x=0 y=3. Ang mga sanga ng parabola ay tumitingin sa itaas dahil a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vertex ay nasa punto (-2;-1)
Hanapin natin ang mga ugat ng equation x 2 +4x+3=0
Gamit ang discriminant nahanap natin ang mga ugat
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Kumuha tayo ng ilang di-makatwirang punto na matatagpuan malapit sa vertex x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Palitan sa halip na x sa equation na y=x 2 +4x+3 values
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Makikita mula sa mga halaga ng function na ang parabola ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x = -2

Halimbawa #2:
y=-x 2 +4x
c=0 ay nangangahulugan na ang parabola ay nag-intersect sa OY sa puntong x=0 y=0. Ang mga sanga ng parabola ay tumingin pababa dahil a=-1 -1 Hanapin natin ang mga ugat ng equation -x 2 +4x=0
Hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0. Upang malutas ito, kailangan mong alisin ang x sa mga bracket, pagkatapos ay i-equate ang bawat factor sa 0.
x(-x+4)=0, x=0 at x=4.

Kumuha tayo ng ilang di-makatwirang mga punto na matatagpuan malapit sa vertex x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Palitan sa halip na x sa equation na y=-x 2 +4x na mga halaga
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Makikita mula sa mga halaga ng function na ang parabola ay simetriko tungkol sa tuwid na linya x = 2

Halimbawa Blg. 3
y=x 2 -4
c=4 ay nangangahulugan na ang parabola ay nagsalubong sa OY sa puntong x=0 y=4. Ang mga sanga ng parabola ay tumitingin dahil a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 ang vertex ay nasa punto (0;- 4)
Hanapin natin ang mga ugat ng equation x 2 -4=0
Hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0. Upang malutas ito, kailangan mong ilipat ang mga hindi alam sa isang tabi, at ang mga kilala sa isa pa. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Kumuha tayo ng ilang di-makatwirang punto na matatagpuan malapit sa vertex x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Palitan sa halip na x sa equation na y= x 2 -4 na mga halaga
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Makikita mula sa mga halaga ng function na ang parabola ay simetriko tungkol sa tuwid na linya x = 0

Mag-subscribe sa channel sa YOUTUBE upang manatiling abreast sa lahat ng mga bagong produkto at maghanda kasama namin para sa mga pagsusulit.

Mula sa kursong matematika ng paaralan ay kilala na ang isang quadratic trinomial ay nauunawaan bilang isang pagpapahayag ng anyo

ax 2 + bx + c, kung saan a ≠ 0.

Ang mga ugat ng trinomial na ito ay kinakalkula gamit ang formula: X 1.2 = (-b ± √D) / (2a), kung saan D = b 2 – 4ac.

Tinatawag si D may diskriminasyon. Ito ay pinakamahalaga para sa paglutas ng mga problema sa paksang ito, dahil tinutukoy nito ang bilang ng mga ugat ng isang trinomial.

Mayroong dalawa sa kanila - kung D > 0, isa - kung D = 0(minsan sinasabi nilang magkapareho ang dalawa, ibig sabihin, x 1 = x 2 = -b/(2a)), at kung D< 0, то действительных корней нет.

Isang function ng form (*) y = ax 2 + bx + c, kung saan ang isang ≠ 0 ay tinatawag na quadratic. Ang graph nito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas kung a > 0 at pababa kung a< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Ang punto ng intersection ng parabola na may axis na OU ay c. Madaling matukoy ang mga coordinate ng vertex ng parabola (m ;n).

m = (x 1 + x 2)/2 o (**) m = -b/(2a).

Ang n ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagpapalit ng halaga ng m para sa x sa formula

y = ax 2 + bx + c, o gamitin ang formula na y = -D/(4a).

Kung pipili tayo ng kumpletong parisukat sa isang quadratic trinomial, ang m at n ay makikita sa notasyon sa tahasang anyo: (***) y = a(x – m) 2 + n.

Halos lahat ng sangguniang materyal na kinakailangan upang malutas ang mga problema sa nakasaad na paksa ay ipinakita dito. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng mga gawain.

Halimbawa 1.

Para sa anong mga halaga ng a ang vertex ng parabola y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 ay nasa ikalawang quarter ng coordinate plane?

Solusyon.

Ang quadratic function ay nakasulat sa anyo ng isang natatanging perpektong parisukat (***).

Pagkatapos ay malinaw na ang m = 13a at n = -a 2 + 6a + 16. Para sa isang vertex na may mga coordinate (m; n) na humiga sa ikalawang quarter, kinakailangan na m< 0, n >0. Ang mga kundisyon ay dapat matugunan nang sabay-sabay. Samakatuwid, malulutas namin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

(13a< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0

Mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay mayroon tayong a< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

Sagot: para sa lahat ng Є(-2: 0) o para sa -2< a < 0.

Halimbawa 2.

Para sa anong mga halaga ng parameter a ang pinakamalaking halaga ng function y = ax 2 – 2x + 7a katumbas ng 6?

Solusyon.

Ang quadratic function ay magkakaroon lamang ng pinakamalaking halaga kung ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa (i.e. a< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .

Pagkatapos n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; o 7a 2 – 1 = 6a.

Nang malutas ang resultang equation, mayroon tayong a = 1 o a = -1/7. Ngunit ang a = 1 ay hindi nakakatugon sa unang kondisyon.

Sagot: sa a = -1/7.

Halimbawa 3.

Hanapin ang bilang ng mga halaga ng integer ng parameter a kung saan ang equation
a) |x 2 – 8x + 7| = a 2 ; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 ay may 4 na ugat.

Solusyon.

a) Dito ang pinakamaikling paraan upang malutas ay graphical. Ang plano ay:

1. Bumuo ng graph ng function na y = x 2 – 8x + 7 (parabola).

2. Pagkatapos y = |x 2 – 8x + 7| (ipakita ang ibabang bahagi ng graph na may kaugnayan sa OX).

Ang karagdagang kurso ng solusyon ay halata mula sa figure. Ang tuwid na linya ay magsalubong sa graph sa apat na punto kung 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

Sagot: 4.

b) Ang solusyon sa halimbawang ito ay isinasagawa ayon sa parehong pamamaraan. Ang kaibahan lang ay kapag nag-plot ng function na y = |x 2 – 6|x| – 16| kailangan mong gumawa ng dalawang pagpapakita: nauugnay sa OX sa ibabang bahagi ng graph at nauugnay sa OU - sa kanan. Kung tama mong i-plot ang graph, madali kang makakahanap ng 7 solusyon:
a = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;

Halimbawa 4.

Para sa anong mga halaga ng a ang graph ng quadratic trinomial y = ax 2 + (a – 3)x + a lie sa itaas ng x-axis?

Solusyon.

Isagawa natin ang sumusunod na pangangatwiran. Ang graph ng isang quadratic trinomial ay makikita lamang sa itaas ng OX axis kung ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, i.e.

a > 0 (*), at ang parabola ay hindi sumasalubong sa OX axis, i.e. D< 0 или

(a – 3) 2 – 4a 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → isang Є (-∞; -3) o (1; ∞). Isinasaalang-alang ang kondisyon (*), nakakakuha kami ng Є (1; ∞).

Sagot: a Є (1; ∞).

Halimbawa 5.

Para sa anong mga halaga ng a ang graph ng quadratic trinomial y = ax 2 + (a – 3)x + a ay may dalawang karaniwang puntos na may positibong bahagi ng OX axis?

Solusyon.

Tingnan natin ang mga kondisyon para sa mga coefficient: (tingnan ang figure sa ibaba)

1. Nakukuha namin ang dalawang punto ng intersection sa OX axis kung
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0

2. Ang mga puntos ay nasa parehong bahagi ng zero kung ang mga sanga ay nakadirekta paitaas at f(0) = a > 0 o sa kaso kapag ang mga sanga ay nakadirekta pababa at f(0) = a< 0

3. Magiging positibo ang parehong mga ugat kung positibo ang x-coordinate ng vertex, i.e. m = -(a – 3)/(2a) > 0.

Batay sa itaas, ang aming mga kondisyon ay mababawasan sa paglutas ng dalawang sistema:

Unang sistema:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a > 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0

Pagpapasimple, nakukuha namin ang:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(a > 0,
((a – 3)< 0

(isang Є (-3; 1),
(isang Є (0; ∞),
(a Є (-∞; 3)

at ang pangkalahatang solusyon ng system isang Є(0; 1).

Pangalawang sistema:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a< 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0

Pagpapasimple, nakukuha namin ang:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(a< 0,
((a – 3) > 0

Mga solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay:

(isang Є (-3; 1)
(a Є (-∞; 0)
(isang Є (3; ∞)

at ang sistema ay walang solusyon

Kaya ang aming ang parabola ay may dalawang karaniwang punto na may positibong direksyon ng OX axis kung ang parameter a Є (0; 1).

Halimbawa 6.

Para sa anong mga halaga ng a ang mga ugat ng equation 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2 = 0 na mas malaki kaysa sa 3?

Isaalang-alang ang graph ng quadratic trinomial y = 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2.

Bubuo kami ng isang plano para sa paglutas ng gawaing ito batay sa nakaraang halimbawa.

1. Kumuha kami ng dalawang punto ng intersection sa OX axis kung D > 0 at a ≠ 0.

2. Ang mga sanga dito ay palaging nakadirekta lamang sa itaas
(para sa isang ≠ 0; 4a 2 > 0).

3. Ang mga puntos ay nasa parehong panig ng 3 kung f(3) > 0.
(36a 2 – 24a + 4 – 9a 2 > 0).

4. Ang parehong mga ugat ay magiging mas malaki (sa kanan) ng tatlo kung ang x-coordinate ng vertex ay mas malaki (sa kanan) ng tatlo, i.e. m = 8a/(8a 2) > 3.

Kung gagamitin mo nang tama ang mga kundisyong ito, kung gayon sagot Kunin mo ito: isang Є(0;2/9). Suriin ito.

Umaasa ako na ngayon ay nagiging malinaw sa mambabasa kung gaano kahalaga na malinaw na makita ang mga katangian ng isang parabola kapag nilulutas ang mga problema ng ganitong uri.

May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga quadratic equation?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Tinukoy ng formula na $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Ang mga numerong $a, b$ at $c$ ay ang mga coefficient ng isang quadratic trinomial, sila ay karaniwang tinatawag na: a - ang nangunguna, b - pangalawa o average na koepisyent, c - libreng termino. Ang isang function ng form na y = ax 2 + bx + c ay tinatawag na quadratic function.

Ang lahat ng mga parabola na ito ay may kanilang tuktok sa pinanggalingan; para sa isang > 0 ito ang pinakamababang punto ng graph (ang pinakamaliit na halaga ng function), at para sa a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Tulad ng makikita, para sa a > 0 ang parabola ay nakadirekta paitaas, para sa a< 0 - вниз.

Mayroong simple at maginhawang graphical na paraan na nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng anumang bilang ng mga punto ng parabola y = ax 2 nang walang mga kalkulasyon, kung ang isang punto ng parabola maliban sa vertex ay kilala. Hayaang ang puntong M(x 0 , y 0) ay nasa parabola y = ax 2 (Larawan 2). Kung gusto naming bumuo ng karagdagang n puntos sa pagitan ng mga punto O at M, pagkatapos ay hatiin namin ang segment ON ng abscissa axis sa n + 1 pantay na mga bahagi at sa mga division point ay gumuhit kami ng mga patayo sa Ox axis. Hinahati namin ang segment NM sa parehong bilang ng mga pantay na bahagi at ikinonekta ang mga punto ng paghahati na may mga ray sa pinagmulan ng mga coordinate. Ang mga kinakailangang punto ng parabola ay namamalagi sa intersection ng mga patayo at ray na may parehong mga numero (sa Fig. 2 ang bilang ng mga dibisyon ng mga puntos ay 9).

Ang graph ng function na y = ax 2 + bx + c ay naiiba sa graph na y = ax 2 lamang sa posisyon nito at maaaring makuha sa pamamagitan lamang ng paggalaw ng curve sa drawing. Ito ay sumusunod mula sa representasyon ng quadratic trinomial sa anyo

mula sa kung saan madaling tapusin na ang graph ng function na y = ax 2 + bx + c ay isang parabola y = ax 2, na ang vertex ay inilipat sa punto

at ang axis ng symmetry nito ay nanatiling parallel sa Oy axis (Fig. 3). Mula sa resultang expression para sa isang quadratic trinomial, ang lahat ng mga pangunahing katangian nito ay madaling sundin. Ang expression na D = b 2 − 4ac ay tinatawag na discriminant ng quadratic trinomial ax 2 + bx + c at ang discriminant ng nauugnay na quadratic equation ax 2 + bx + c = 0. Ang tanda ng discriminant ay tumutukoy kung ang graph ng quadratic trinomial intersects ang x-axis o namamalagi sa parehong gilid mula sa kanya. Ibig sabihin, kung si D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, kung gayon ang parabola ay nasa itaas ng axis ng Ox, at kung a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 ang graph ng isang quadratic trinomial ay nag-intersect sa x-axis sa dalawang puntos na x 1 at x 2, na siyang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 at pantay, ayon sa pagkakabanggit

Sa D = 0 ang parabola ay humipo sa Ox axis sa punto

Ang mga katangian ng quadratic trinomial ay bumubuo ng batayan para sa paglutas ng mga quadratic inequalities. Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa. Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, pagkatapos ay ang katumbas na quadratic equation 3x 2 − 2x − 1 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat, ang mga ito ay tinutukoy ng mga formula na ibinigay kanina:

x 1 = −1/3 at x 2 = 1.

Sa quadratic trinomial na isinasaalang-alang, a = 3 > 0, na nangangahulugan na ang mga sanga ng graph nito ay nakadirekta paitaas at ang mga halaga ng quadratic trinomial ay negatibo lamang sa pagitan ng mga ugat. Kaya, lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay nakakatugon sa kondisyon

−1/3 < x < 1.

Ang iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring bawasan sa mga parisukat na hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng parehong mga pagpapalit kung saan ang iba't ibang mga equation ay nababawasan sa mga parisukat.