Konsultation av matematiklärare online. Studie av kvadrattrinomialet. Kvadratisk trinomial och parametrar Plotta ett kvadratiskt trinomium

Definition

parabelär grafen för en kvadratisk funktion $y = ax^(2) + bx + c$, där $a \neq 0$.

Graf för funktionen $y = x^2$.

För en schematisk konstruktion av grafen för funktionen $y = x^2$ finner vi flera punkter som uppfyller denna likhet. För enkelhetens skull skriver vi koordinaterna för dessa punkter i form av en tabell:

Graf för funktionen $y = ax^2$.

Om koefficienten $a > 0$, så erhålls grafen $y = ax^2$ från grafen $y = x^2$ antingen genom vertikal expansion (för $a > 1$) eller genom komprimering mot $x$-axeln (för $0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$	$y = \dfrac(x^2)(2)$

Om $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$	$y = -2x^2$	$y = - \dfrac(x^2)(2)$

Graf över en kvadratisk funktion.

För att plotta funktionen $y = ax^2 + bx + c$ måste du extrahera hela kvadraten från kvadrattrinomialet $ax^2 + bx + c$, det vill säga representera den i formen $a(x - x_0)^2 + y_0$. Grafen för funktionen $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ erhålls från motsvarande graf $y = ax^2$ genom att flytta $x_0$ längs $x$-axeln och $y_0$ längs $y$-axeln. Som ett resultat kommer punkten $(0;0)$ att flyttas till punkten $(x_0;y_0)$.

Definition

höjdpunkt parabel $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ är en punkt med koordinaterna $(x_0;y_0)$.

Låt oss konstruera en parabel $y = 2x^2 - 4x - 6$. När vi väljer hela kvadraten får vi $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Låt oss rita $y = 2x^2$	Flytta den åt höger med 1	Och ner med 8

Resultatet är en parabel med vertex i punkten $(1;-8)$.

Grafen för den kvadratiska funktionen $y = ax^2 + bx + c$ skär $y$-axeln i punkten $(0; c)$ och $x$-axeln vid punkterna $(x_(1,2);0)$, där $x_(1,2)$ är rötterna till andragradsekvationen, då har bx-ekvationen $ + no par 0, rot abola skär inte $x$-axeln).

Till exempel, parabeln $y = 2x^2 - 4x - 6$ skär axlarna i punkterna $(0; -6)$, $(-1; 0)$ och $(3; 0)$.

Inledande kommentarer och enkla exempel

Exempel 1. För vilka värden av a har ekvationen ax 2 + 2x + 1 = 0 två olika rötter?

Lösning.

Denna ekvation är kvadratisk med avseende på variabeln x för a№ 0 och har distinkta rötter när det är diskriminerande

dvs för en< 1.

Dessutom, för a = 0, erhålls ekvationen 2x + 1 = 0, som har en rot.

Alltså en О (– Ґ ; 0) OCH (0; 1).

Regel 1 Om koefficienten vid x 2 för ett polynom av andra graden innehåller en parameter, är det nödvändigt att analysera fallet när det försvinner.

Exempel 2. Ekvationen ax 2 + 8x + c = 0 har en enda rot lika med 1. Vad är a och c?

Lösning. Låt oss börja lösa problemet från specialfallet a = 0, ekvationen har formen 8x + c = 0. Denna linjära ekvation har en lösning x 0 = 1 för c = - 8.

För ett nej. 0 en andragradsekvation har en enda rot if

Dessutom, genom att ersätta roten x 0 \u003d 1 i ekvationen, får vi a + 8 + c \u003d 0.

När vi löser ett system med två linjära ekvationer finner vi a = c = – 4.

Sats 1.

För ett reducerat kvadrattrinomium = x 2 + px + q (under villkoret p 2і 4q)
summan av rötterna x 1 + x 2 \u003d - p, produkten av rötterna x 1 x 2 \u003d q, skillnaden mellan rötterna är
och summan av kvadraterna av rötterna x 1 2 + x 2 2 = p 2 - 2q.

Sats 2.

För ett kvadratiskt trinomium y = ax 2 + bx + c med två rötter x 1 och x 2 har vi
sönderdelning ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), för ett trinomium med en rot x 0 - sönderdelning
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 0) 2.

Kommentar. Ofta sägs en andragradsekvation med en diskriminant lika med noll och som har en rot, ha två sammanfallande rötter (?). Detta är relaterat till faktoriseringen av polynomet som ges i sats 2.(I det här fallet är det nödvändigt att tala och förstå korrekt "en rot av multiplicitet två." - Ungefär red.)

Vi kommer att uppmärksamma denna subtilitet och peka ut fallet med en enda rot av multiplicitet 2.

Exempel 3. I ekvationen x 2 + ax + 12 = 0, bestäm a på ett sådant sätt att skillnaden mellan ekvationens rötter är lika med ett.

Lösning. Rotskillnad
därav a = ± 7.

Exempel 4. För vad a är summan av kvadraterna av rötterna i ekvationen 2x 2 + 4x + a = 0 lika med 6?

Lösning. Vi skriver ekvationen i formen
varav x 1 2 + x 2 2 = 4 - a = 6 och a = - 2.

Exempel 5. För alla a, lös ekvationen ax 2 - 2x + 4 = 0.

Lösning. Om a = 0, så är x = 2. Om a№ 0, då blir ekvationen kvadratisk. Det är diskriminerande
är lika med D = 4 – 16a. Om D< 0, т. е. a > ,
ekvationen har inga lösningar. Om D = 0, dvs a = ,
x = 4. Om D > 0, dvs< ,
ekvationen har två rötter

Placering av rötterna till ett kvadratiskt trinomium

Grafen för andragradsekvationen är en parabel, och lösningarna av andragradsekvationen är abskissorna för skärningspunkterna för denna parabel med Ox-axeln. Grunden för att lösa alla problem i detta avsnitt är studiet av platsen för paraboler med givna egenskaper på koordinatplanet.

Exempel 6. För vad a har rötterna i ekvationen x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 olika tecken?

Lösning (Fig. 1).

En andragradsekvation har antingen inga lösningar (grafen är en parabel av typ D), eller har en eller två positiva rötter (parabel C), eller har en eller två negativa rötter (parabel A), eller har rötter av olika tecken (parabel B).

Det är lätt att se att den sista typen av paraboler, till skillnad från de andra, kännetecknas av att f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Denna lösning medger en generalisering, som vi formulerar som följande regel.

Regel 2. För att ekvationen ax 2 + bx + c = 0

har två olika rötter x 1 och x 2 så att x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Exempel 7. För vad a har ekvationen x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 \u003d 0 två olika rötter av samma tecken?

Lösning. Vi är intresserade av paraboler av typ A och C (se fig. 1). De kännetecknas av

varifrån ett О (- 6; - 2) OCH (3; + Ґ ).

Exempel 8. För vad a har ekvationen x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 \u003d 0 två olika positiva rötter?

Lösning. Vi är intresserade av parabolerna av typ C i fig. 1.

För att ekvationen ska ha rötter kräver vi

Eftersom båda rötterna i ekvationen måste vara positiva av villkoret, är abskissan i parabelns vertex, som ligger mellan rötterna, positiv: x 0 \u003d a\u003e 0.

Vertexordinatan f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, då, på grund av kontinuiteten i funktionen som studeras, finns det en punkt x 1 HANDLA OM (0; x 0) så att f(x 1) = 0. Uppenbarligen är detta en mindre rot av ekvationen.

Så, f(0) = a 2 - a - 6 > 0, och om vi samlar alla villkoren får vi systemet

med lösning a 0 (3; + Ґ ).

Exempel 9. För vad a har ekvationen x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 två olika negativa rötter?

Lösning. Efter att ha studerat parabolerna av typ A i fig. 1, vi får systemet

varifrån ett О (– 6; – 2).

Vi generaliserar lösningen av de tidigare problemen i form av följande regel.

Regel 3. För att ekvationen ax 2 + bx + c = 0 ska ha två olika rötter x 1 och x 2, som var och en är större (mindre) än M, är det nödvändigt och tillräckligt att

Exempel 10. Funktionen f(x) ges av formeln

Hitta alla värden på parametern a för vilka ekvationen f(x) = 0 har minst en lösning.

Lösning. Alla möjliga lösningar till denna ekvation erhålls som lösningar till andragradsekvationen

x 2 - (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

med det ytterligare villkoret att minst en (uppenbarligen större) rot x 2 och a.

Naturligtvis, för att ekvationen ska ha rötter måste den vara = - 5 (a + 2) і 0,
därav en Ј – 2.

Grafen på vänster sida av den valda ekvationen är en parabel, vars abskiss är lika med x 0 = 2a + 7. Två typer av paraboler ger lösningen på problemet (fig. 2).

A: x 0 і a, varifrån ett і – 7. I det här fallet, den större roten av polynomet x 2 i x 0 i a.

B:x0< a, f(a) Ј 0, varifrån .
I detta fall även den större roten av polynomet x 2 och a.

Till sist .

Tre lösningar på en ojämlikhet

Exempel 11. Hitta alla värden för parametern a för vilka olikheten x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 > 0

genomförde:

1) för alla värden på x;
2) för alla positiva värden på x;
3) för alla värden på x O [– 1; 1].

Lösning.

Första sättet.

1) Uppenbarligen gäller denna ojämlikhet för alla x, när diskriminanten är negativ, dvs.

\u003d a 2 - (a 2 + 2a - 3) \u003d - 2a + 3< 0,

varifrån en >.

2) För att bättre förstå vad som krävs i problemets tillstånd tillämpar vi ett enkelt knep: rita några paraboler på koordinatplanet, och sedan ta och stänga halvplanet till vänster i förhållande till Oy-axeln. Den del av parabeln som förblir synlig måste vara ovanför Ox-axeln.

Villkoret för problemet är uppfyllt i två fall (se fig. 3):

< 0, откуда a > ;

B: båda rötterna (kanske en, men dubbla) av ekvationen x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 är till vänster om origo. Enligt regel 3 är detta villkor ekvivalent med systemet med ojämlikheter D i 0, x 0 j 0 och f(0) i 0.

Men när man löser detta system kan den första olikheten utelämnas, eftersom även om något värde a inte uppfyller villkoret Dі 0, då faller den automatiskt i lösningen av punkt A. Därmed löser vi systemet

därav ett Ј – 3.

Genom att kombinera lösningarna av punkterna A och B får vi

svar:

3) Villkoret för problemet är uppfyllt i tre fall (se fig. 4):

A: grafen för funktionen y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 ligger ovanför Ox-axeln, dvs D< 0, откуда a > ;

B: båda rötterna (kanske en av multipliciteten 2) i ekvationen x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 är till vänster - 1. Detta villkor är ekvivalent, som vi vet från regel 3, med systemet av ojämlikheter Dі 0,x0< – 1, f(– 1) > 0;

C: båda rötterna till ekvationen x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 är till höger om 1.
Detta tillstånd är likvärdigt med D i 0, x 0 > 1, f(1) > 0.

Men i punkterna B och C, liksom i lösningen av det tidigare problemet, kan den ojämlikhet som är förknippad med diskriminanten utelämnas.

Följaktligen får vi två system av ojämlikheter

Efter att ha övervägt alla fall får vi resultatet: a >
på pricken
i C.
Svaret på problemet är föreningen av dessa tre uppsättningar.

Det andra sättet. För att villkoret för var och en av de tre punkterna i uppgiften ska uppfyllas, det minsta värdet av funktionen
y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 på var och en av motsvarande luckor måste vara positiva.

1) Toppen av parabeln y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 är vid punkten (a; 2a - 3), därför är det minsta värdet av funktionen på hela den reella linjen 2a - 3, och a >.

2) på halvaxeln x i 0 det minsta värdet på funktionen är f(0) = a 2 + 2a – 3 om a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Genom att analysera båda fallen får vi

3) Den minsta på segmentet [- 1; 1] funktionsvärdet är

Eftersom det minsta värdet måste vara positivt får vi system av ojämlikheter

Lösningen för dessa tre system är uppsättningen

Den tredje vägen. 1) Toppen av parabeln y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3

är vid punkten (a; 2a – 3). Låt oss rita på koordinatplanet en mängd som bildas av hörnen på alla paraboler för olika a (fig. 5).

Detta är linjen y = 2x – 3. Kom ihåg att varje punkt på denna linje motsvarar sitt eget värde på parametern, och från varje punkt på denna linje "kommer en parabel som motsvarar det givna värdet av parametern". Paraboler som är helt ovanför Ox-axeln kännetecknas av tillståndet 2a – 3 > 0.

2) Lösningarna i detta stycke är alla lösningar i första stycket, och dessutom paraboler för vilka a är negativa och f(0) = a 2 + 2a - 3і 0.

3) Från fig. 5 att vi är intresserade av paraboler för vilka antingen a är negativ och f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
eller a är positivt och f(1) = a 2 – 2 > 0.

Ekvationer och ojämlikheter reduceras till kvadrater

Exempel 12. För vilka värden av a har ekvationen 2x 4 - 2ax 2 + a 2 - 2 = 0 inga lösningar?

Lösning. Genom att ersätta y \u003d x 2, får vi den kvadratiska ekvationen f (y) \u003d 2y 2 - 2ay + a 2 - 2 \u003d 0.

Den resulterande ekvationen har ingen lösning när D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Dessa villkor kan skrivas som en uppsättning

var

Exempel 13. För varje värde på parametern a, lös ekvationen cos x sin 2x = asin 3x.

Lösning. Eftersom 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x och sin 3x = 3sin x - 4sin 3 x,

då kommer ekvationen att skrivas på formen sin x (sin 2 x (4a - 2) - (3a - 2)) = 0.

Därför får vi lösningar x = p n, n O Z för något a. Ekvationen

har lösningar

inte sammanfaller med lösningarna i den första ekvationen, endast under villkoret

De sista restriktionerna är likvärdiga

Svar: x \u003d p n, n O Z för valfritt a; Förutom,

Exempel 14. Hitta alla värden för parametern a, för var och en av dem olikheten
a 2 + 2a - sin 2 x - 2acos x > 2 gäller för valfritt tal x.

Lösning. Låt oss transformera olikheten till formen cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

och gör ändringen t = cos x. Det är viktigt att notera att parametern t sträcker sig från -1 till 1, så problemet omformuleras på följande sätt: hitta alla sådana som

t 2 - 2at + a 2 + 2a - 3 > 0

är nöjd för alla t HANDLA OM [- 1; 1]. Vi har redan löst detta problem tidigare.

Exempel 15. Bestäm för vilka värden av a ekvationen log 3 (9 x + 9a 3) = x har lösningar, och hitta dem.

Lösning. Låt oss omvandla ekvationen till formen 9 x - 3 x + 9a 3 = 0

och genom att göra ändringen y = 3 x , får vi y 2 – y + 9a 3 = 0.

Om diskriminanten är negativ har ekvationen inga lösningar. När den diskriminerande

D \u003d 1 - 36a 3 \u003d 0, ekvationen har en enda rot,
och x = – log 3 2. Slutligen, när diskriminanten är positiv, dvs.
den ursprungliga ekvationen har en rot ,
och om uttryck 1 dessutom är positivt,
då har ekvationen en andra rot .

Så får vi äntligen

,

det finns inga lösningar för de återstående a.

Exempel 16. För varje värde på parametern a, lös ekvationen sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Lösning. Därför att
skriv om ekvationen i formen sin 2 x - 2sin x - 2a - 2 = 0.
Låt y = sin 2x, sedan y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | J 1).

Grafen för funktionen på vänster sida av ekvationen är en parabel med en vertex vars abskissa är y 0 = 1; värdet på funktionen i punkten y = – 1 är lika med 1 – 2a; ekvationens diskriminant är 8a + 12. Det betyder att den större roten y 2 av ekvationen y 2 - 2y - 2a - 2 = 0, även om den finns, är större än 1, och motsvarande ekvation sin 2x = y 2 har inga lösningar. 3. För vilka värden av a har ekvationen 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 minst en rot?
4. Ekvationen ax 2 + bx + 5 = 0 har en enda rot lika med 1. Vad är a och b?
5. För vilka värden på parametern a förhåller sig rötterna till andragradsekvationen 5x 2 - 7x + a = 0 som 2 till 5?
6. I ekvationen ax 2 + 8x + 3 = 0, bestäm a på ett sådant sätt att skillnaden mellan ekvationens rötter är lika med ett.
7. För vad a är summan av kvadraterna av rötterna i ekvationen x 2 - 2ax + 2(a + 1) = 0 lika med 20?
8. För vilka b och c har ekvationen c + bx - 2x 2 = 0 en positiv och en negativ rot?
9. Hitta alla värden för parametern a för vilka en rot av ekvationen x 2 - (a + 1)x + 2 = 0 är större än a, och den andra är mindre än a.
10. Hitta alla värden på parametern a för vilka ekvationen x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 har två olika rötter av samma tecken.
11. För vilka värden av a är alla resulterande rötter i ekvationen (a - 3)x 2 - 2ax + 6a = 0 positiva?
12. För vilken a är alla resulterande rötter i ekvationen (1 + a)x 2 - 3ax + 4a = 0 större än 1?
13. Hitta alla värden för parametern a där båda olika rötter till ekvationen x 2 + x + a = 0 kommer att vara större än a.
14. För vilka värden av a är båda rötterna till ekvationen 4x 2 - 2x + a \u003d 0 inneslutna mellan - 1 och 1?
15. För vilka värden av a har ekvationen x 2 + 2(a - 1)x + a + 5 = 0 minst en positiv rot?
16. Funktionen f(x) ges av formeln

Hitta alla värden på parametern a för vilka ekvationen f(x) = 0 har minst en lösning.
17. För vad a är olikheten (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 sann för alla x?
18. För vilka värden på parametern a gäller olikheten ax 2 + 2x > 1 – 3a för alla positiva x?
19. För vilka värden av a har ekvationen x 4 + (1 - 2a)x 2 + a 2 - 1 \u003d 0 inga lösningar?
20. För vilka värden av parametern a har ekvationen 2x 4 - 2ax 2 + a2 - 2 = 0 en eller två lösningar?
21. För varje värde på a, lös ekvationen acos x cos 2x = cos 3x.
22. Hitta alla värden för parametern a, för var och en av vilka olikheten är 2 x + 2asin x – 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. För alla a, lös ekvationen log 2 (4 x + a) = x.
24. För varje värde på parametern a, lös ekvationen sin 2 x + asin 2 2x = sin.

Lektion: hur man bygger en parabel eller en kvadratisk funktion?

TEORETISK DEL

En parabel är en graf över en funktion som beskrivs av formeln ax 2 +bx+c=0.
För att bygga en parabel måste du följa en enkel handlingsalgoritm:

1) Parabolformel y=ax 2 +bx+c,
Om a>0 då riktas parabelns grenar upp,
och sedan riktas parabelns grenar ner.
gratis medlem c denna punkt skär parabeln med OY-axeln;

2) , den hittas av formeln x=(-b)/2a, ersätter vi det hittade x i parabelekvationen och finner y;

3)Funktion nollor eller med andra ord, skärningspunkterna för parabeln med OX-axeln, de kallas också för ekvationens rötter. För att hitta rötterna likställer vi ekvationen med 0 ax2+bx+c=0;

Typer av ekvationer:

a) Den fullständiga andragradsekvationen är ax2+bx+c=0 och löses av diskriminanten;
b) Ofullständig andragradsekvation av formen ax2+bx=0. För att lösa det måste du ta x inom parentes och sedan likställa varje faktor med 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 och ax+b=0;
c) Ofullständig andragradsekvation av formen ax2+c=0. För att lösa det måste du flytta det okända till ena sidan och det kända till den andra. x =±√(c/a);

4) Hitta några ytterligare punkter för att bygga funktionen.

PRAKTISK DEL

Och så nu, med ett exempel, kommer vi att analysera allt genom åtgärder:
Exempel #1:
y=x2 +4x+3
c=3 betyder att parabeln skär OY i punkten x=0 y=3. Parabolens grenar tittar upp eftersom a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 vertex är vid punkten (-2;-1)
Hitta rötterna till ekvationen x 2 +4x+3=0
Vi hittar rötterna hos diskriminanten
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
xl=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Låt oss ta några godtyckliga punkter som är nära toppen x=-2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Vi ersätter istället för x i ekvationen y \u003d x 2 + 4x + 3 värden
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Det kan ses från funktionens värden att parabeln är symmetrisk kring den räta linjen x \u003d -2

Exempel #2:
y=-x 2 +4x
c=0 betyder att parabeln skär OY i punkten x=0 y=0. Parabolens grenar tittar ner eftersom a=-1 -1 Hitta rötterna till ekvationen -x 2 +4x=0
En ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +bx=0. För att lösa det måste du ta x inom parentes och sedan likställa varje faktor med 0.
x(-x+4)=0, x=0 och x=4.

Låt oss ta några godtyckliga punkter som är nära spetsen x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Vi ersätter istället för x i ekvationen y \u003d -x 2 +4x värden
y=02 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3)2 +4*3=-9+13=3
y=-(4)2 +4*4=-16+16=0
Det kan ses av funktionens värden att parabeln är symmetrisk kring den räta linjen x \u003d 2

Exempel #3
y=x 2-4
c=4 betyder att parabeln skär OY i punkten x=0 y=4. Parabolens grenar tittar upp eftersom a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vertex är vid punkten (0;-4)
Hitta rötterna till ekvationen x 2 -4=0
En ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +c=0. För att lösa det måste du flytta det okända till ena sidan och det kända till den andra. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Låt oss ta några godtyckliga punkter som är nära toppen x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Vi ersätter istället för x i ekvationen y \u003d x 2 -4 värden
y=(-2) 2-4=4-4=0
y=(-1) 2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Av funktionens värden kan man se att parabeln är symmetrisk kring den räta linjen x=0

Prenumerera till kanalen på YOUTUBE att hålla sig à jour med alla nyheter och förbereda med oss ​​inför prov.

Det är känt från en skolmatematikkurs att ett kvadratiskt trinomium förstås som ett uttryck för formen

ax 2 + bx + c, där a ≠ 0.

Rötterna till detta trinomial beräknas med formeln: X 1,2 = (-b ± √D) / (2a), där D = b 2 - 4ac.

D samtal diskriminerande. Det är av största vikt för att lösa problem i detta ämne, eftersom det bestämmer antalet rötter till trinomialet.

Det finns två av dem - om D > 0, en - om D = 0(ibland säger de att två är lika, d.v.s. x 1 \u003d x 2 \u003d -b / (2a)), och om D< 0, то действительных корней нет.

En funktion av formen (*) y \u003d ax 2 + bx + c, där a ≠ 0 kallas kvadratisk. Dess graf är en parabel vars grenar är riktade uppåt om a > 0 och nedåt om en< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Skärningspunkten för parabeln med y-axeln - s. Det är lätt att bestämma koordinaterna för parabelns vertex (m ;n).

m = (x 1 + x 2)/2 eller (**) m = -b/(2a).

n kan beräknas genom att ersätta värdet av m istället för x i formeln

y \u003d axe 2 + bx + c, eller använd formeln y \u003d -D / (4a).

Om vi ​​pekar ut en hel kvadrat i ett kvadratiskt trinomium, kommer m och n att vara explicit närvarande i notationen: (***) y = a(x - m) 2 + n.

Den innehåller nästan allt referensmaterial som behövs för att lösa problem i det angivna ämnet. Låt oss titta på några exempel på uppgifter.

Exempel 1

För vilka värden på a ligger spetsen på parabeln y = (x - 13a) 2 - a 2 + 6a + 16 i den andra fjärdedelen av koordinatplanet?

Lösning.

Den kvadratiska funktionen skrivs i form av en förnämlig hel kvadrat (***).

Då är det klart att m = 13a och n = -a 2 + 6a + 16. För att vertexet med koordinater (m; n) ska ligga i andra kvartalet är det nödvändigt att m< 0, n >0. Villkor måste uppfyllas samtidigt. Därför löser vi systemet med ojämlikheter:

(13a< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0

Från den första ojämlikheten har vi en< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

Svar: för alla ett Є (-2:0) eller för -2< a < 0.

Exempel 2

För vilka värden på parametern a är maxvärdet för funktionen y = ax 2 – 2x + 7a lika med 6?

Lösning.

Den kvadratiska funktionen kommer att ha det största värdet endast om parabelns grenar är riktade nedåt (dvs.< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2a. D = 4-28a2.

Då är n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; eller 7a 2 - 1 = 6a.

Efter att ha löst den resulterande ekvationen har vi en \u003d 1 eller en \u003d -1/7. Men a = 1 uppfyller inte det första villkoret.

Svar: när a = -1/7.

Exempel 3

Hitta antalet heltalsvärden för parametern a som ekvationen för
a) |x 2 - 8x + 7| = a2; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 har 4 rötter.

Lösning.

a) Här är det kortaste sättet att lösa grafiskt. Planen är:

1. Vi bygger en graf av funktionen y \u003d x 2 - 8x + 7 (parabel).

2. Då är y = |x 2 - 8x + 7| (vi visar den nedre delen av grafen i förhållande till OX).

Lösningens vidare förlopp framgår av figuren. Linjen kommer att korsa grafen vid fyra punkter om 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

Svar: 4.

b) Lösningen i detta exempel utförs enligt samma schema. Den enda skillnaden är att när man plottar funktionen y = |x 2 – 6|x| – 16| du måste göra två mappningar: relativt OX i den nedre delen av grafen och relativt OU - till höger. Om du ritar grafen rätt hittar du enkelt 7 lösningar:
a = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;

Exempel 4

För vilka värden av a ligger grafen för ett kvadratiskt trinomium y \u003d ax 2 + (a - 3)x + a ovanför abskissan?

Lösning.

Låt oss framföra följande argument. Grafen för ett kvadratiskt trinomium kommer att ligga ovanför OX-axeln endast om parabelns grenar är riktade uppåt, d.v.s.

a > 0 (*), och parabeln skär inte OX-axeln, dvs. D< 0 или

(а – 3) 2 – 4а 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → a Є (-∞; -3) eller (1; ∞). Med hänsyn till villkoret (*) får vi ett Є (1; ∞).

Svar: a Є (1; ∞).

Exempel 5

För vilka värden av a har grafen för ett kvadratiskt trinomium y \u003d ax 2 + (a - 3)x + a två gemensamma punkter med den positiva delen av OX-axeln?

Lösning.

Låt oss ta itu med villkoren för koefficienterna: (se figuren nedan)

1. Vi får två skärningspunkter med OX-axeln if
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0

2. Punkterna kommer att vara på samma sida om noll om grenarna är riktade uppåt och f(0) = a > 0 eller om grenarna är riktade nedåt och f(0) = a< 0

3. Båda rötterna blir positiva om spetsens x-koordinat är positiv, d.v.s. m = -(a - 3)/(2a) > 0.

Baserat på ovanstående kommer våra förutsättningar att reduceras till att lösa två system:

Första systemet:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a > 0,
(-(a - 3)/(2a) > 0

Förenklat får vi:

((3a - 3)(a + 3)< 0,
(a > 0,
((a - 3)< 0

(a Є (-3; 1),
(á Є (0; ∞),
(a Є (-∞; 3)

och systemets allmänna lösning a Є(0; 1).

Andra systemet:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a< 0,
(-(a - 3)/(2a) > 0

Förenklat får vi:

((3a - 3)(a + 3)< 0,
(a< 0,
((a - 3) > 0

Lösningar på var och en av ojämlikheterna:

(a Є (-3; 1)
(a Є (-∞; 0)
(a Є (3; ∞)

och systemet har inga lösningar

Alltså vår parabeln har två gemensamma punkter med OX-axelns positiva riktning om parametern a är Є (0; 1).

Exempel 6

Vid vilka värden av a är rötterna till ekvationen 4a 2 x 2 - 8ax + 4 - 9a 2 \u003d 0 större än 3?

Vi betraktar grafen för ett kvadratiskt trinomium y \u003d 4a 2 x 2 - 8ax + 4 - 9a 2.

Låt oss bygga en plan för att lösa denna uppgift enligt modellen i föregående exempel.

1. Vi får två skärningspunkter med OX-axeln om D > 0 och a ≠ 0.

2. Grenarna här är alltid riktade endast uppåt.
(när a ≠ 0; 4a 2 > 0).

3. Punkterna kommer att ligga på samma sida av 3 om f(3) > 0.
(36а 2 – 24а + 4 – 9а 2 > 0).

4. Båda rötterna blir större än (till höger om) tre om spetsens x-koordinat är större än (till höger om) tre, d.v.s. m \u003d 8a / (8a 2)\u003e 3.

Om du använder dessa termer korrekt, då svar skaffa denna: a Є(0;2/9). Kolla upp.

Jag hoppas att det nu står klart för läsaren hur viktigt det är att väl kunna se egenskaperna hos en parabel när man löser problem av den här typen.

Har du några frågor? Vet du inte hur man löser andragradsekvationer?
För att få hjälp av en handledare – anmäl dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Definieras av formeln $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Siffrorna $a, b$ och $c$ är koefficienterna för ett kvadrattrinomial, de brukar kallas: a - senior, b - andra eller mellersta koefficient, c - fri term. En funktion av formen y = ax 2 + bx + c kallas en kvadratisk funktion.

Alla dessa paraboler har sin vertex i ursprunget; för a > 0 är detta den lägsta punkten i grafen (det minsta värdet på funktionen), och för en< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Som du kan se, för a > 0, är ​​parabeln riktad uppåt, för a< 0 - вниз.

Det finns en enkel och bekväm grafisk metod som låter dig bygga valfritt antal punkter på parabeln y = axe 2 utan beräkningar, om du känner till en annan punkt i parabeln än vertex. Låt punkten M(x 0 , y 0) ligga på parabeln y = ax 2 (Fig. 2). Om vi ​​vill bygga ytterligare n punkter mellan punkterna O och M, så delar vi segmentet ON på x-axeln i n + 1 lika delar och ritar vinkelräta mot x-axeln vid delningspunkterna. Vi delar upp segmentet NM i samma antal lika delar och kopplar delningspunkterna med strålar till origo. De önskade punkterna på parabeln ligger i skärningspunkten mellan perpendikulära och strålar med samma nummer (i fig. 2 är antalet delningspunkter 9).

Grafen för funktionen y =ax 2 + bx + c skiljer sig från grafen y = ax 2 endast i sin position och kan enkelt erhållas genom att flytta kurvan i ritningen. Detta följer av representationen av kvadrattrinomialet i formen

varav det är lätt att dra slutsatsen att grafen för funktionen y = ax 2 + bx + c är en parabel y = ax 2 , vars vertex flyttas till punkten

och dess symmetriaxel förblev parallell med Oy-axeln (fig. 3). Från det resulterande uttrycket för ett kvadratiskt trinomium följer lätt alla dess grundläggande egenskaper. Uttrycket D \u003d b 2 - 4ac kallas diskriminanten för den kvadratiska trinomialen axe 2 + bx + c och diskriminanten för den associerade andragradsekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0. Diskriminantens tecken bestämmer om grafen för det kvadratiska trinomialet skär axis abs eller dess ena sida. Nämligen om D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, då ligger parabeln ovanför Ox-axeln, och om a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 skär grafen för ett kvadratiskt trinomium x-axeln i två punkter x 1 och x 2, som är rötterna till andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0 och är lika, respektive

För D = 0, berör parabeln Ox-axeln vid punkten

Egenskaperna för ett kvadrattrinomial ligger till grund för lösningen av kvadratolikheter. Låt oss förklara detta med ett exempel. Låt det krävas att hitta alla lösningar på ojämlikheten 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, då har motsvarande andragradsekvation 3x 2 − 2x − 1 = 0 två olika rötter, de bestäms av formlerna som givits tidigare:

x 1 \u003d -1/3 och x 2 \u003d 1.

I det betraktade kvadrattrinomialet är a = 3 > 0, vilket betyder att grenarna i dess graf är riktade uppåt och värdena för kvadrattrinomialet är negativa endast i intervallet mellan rötterna. Så alla lösningar av ojämlikheten uppfyller villkoret

−1/3 < x < 1.

Olika olikheter kan reduceras till kvadratiska olikheter genom samma substitutioner genom vilka olika ekvationer reduceras till en kvadratisk.