Все стороны четырехугольника являются к окружности. Вписанный и описанный четырехугольники и их свойства - материалы для подготовки к егэ по математике. Критерий того, что четырехугольник, составленный из двух треугольников, вписан в некоторую окружность

Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.

∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 \(\breve{BCD}\).

∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 \(\breve{BAD}\).

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.

Отсюда ∠А + ∠С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно

∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

∠В + ∠D’ = 2d .

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

∠B + ∠Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

∠D’ = 2d - ∠B;

∠E = 2d - ∠B;

но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (рис. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия.

1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Другие материалы

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Разделы: Математика , Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели.

Образовательная. Создание условий для успешного усвоения понятия описанного четырёхугольника, его свойства, признака и овладения умениями применять их на практике.

Развивающая. Развитие математических способностей, создание условий для умения обобщать и применять прямой и обратный ход мыслей.

Воспитательная. Воспитание чувства красоты эстетикой чертежей, удивления необычным

решением, формирование организованности, ответственность за результаты своего труда.

1. Изучить определение описанного четырёхугольника.

2. Доказать свойство сторон описанного четырёхугольника.

3. Познакомить с двойственностью свойств сумм противоположных сторон и противоположных углов вписанного и описанного четырёхугольников.

4. Дать опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач.

5. Провести первичный контроль уровня усвоения нового материала.

Оборудование:

• компьютер, проектор;
• учебник “Геометрия. 10-11 классы” для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни авт. А.В. Погорелов.

Программные средства: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Использование компьютера при подготовке учителя к уроку.

С помощью стандартной программы операционной системы Windows созданы к уроку:

1. Презентация.
2. Таблицы.
3. Чертежи.
4. Раздаточный материал.

План урока

Организационный момент. (2 мин.)

Проверка домашнего задания. (5 мин.)

Изучение нового материала. (28 мин.)

Самостоятельная работа. (7 мин.)

Домашнее задание.(1 мин.)

Итог урока. (2 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие. Сообщение темы и цели урока. Запись в тетради даты и темы урока.

2. Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

Работа над понятием описанного многоугольника.

Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Вопрос. Какие из предложенных многоугольников являются описанными, а какие не являются и почему?

<Презентация. Слайд №2>

Доказательство свойств описанного четырёхугольника.

<Презентация. Слайд №3>

Теорема. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Учащиеся работают с учебником, записывают формулировку теоремы в тетрадь.

1. Представить формулировку теоремы в форме условного предложения.

2. Каково условие теоремы?

3. Каково заключение теоремы?

Ответ. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.

Проводится доказательство, учащиеся делают записи в тетради.

<Презентация. Слайд №4>

Учитель. Отметим двойственность ситуаций для сторон и углов описанного и вписанного четырёхугольников.

Закрепление полученных знаний.

Задачи.

Противоположные стороны описанного четырёхугольника 8 м и 12 м. Можно ли найти периметр?

Задачи по готовым чертежам. <Презентация. Слайд №5>

Ответ. 1. 10 м. 2. 20 м. 3. 21 м

Доказательство признака описанного четырёхугольника.

Сформулировать обратную теорему.

Ответ. Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. (Вернуться к слайду 2, рис.7) <Презентация. Слайд №2>

Учитель. Уточните формулировку теоремы.

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Работа с учебником. Познакомиться с доказательством признака описанного четырёхугольника по учебнику.

Применение полученных знаний.

3. Задачи по готовым чертежам.

1. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник с противоположными сторонами 9 м и 4 м, 10 м и 3 м?

2. Можно ли вписать окружность в равнобокую трапецию с основаниями 1 м и 9 м, высотой 3 м?

<Презентация. Слайд №6>

Письменная работа в тетрадях

.

Задача. Найти радиус окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 м и 8 м.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Можно ли вписать окружность

1) в прямоугольник со сторонами 7 м и 10 м,

2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 7 м и 10 м.

Найти периметр четырёхугольника.

3. Равнобокая трапеция с основаниями 4 м и 16 м описана около окружности.

1) радиус вписанной окружности,

2 вариант

1. Можно ли вписать окружность:

1) в параллелограмм со сторонами 6 м и 13 м,

2) в квадрат?

2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 9 м и 11 м. Найти периметр четырёхугольника.

3. Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м описана около окружности с радиусом 2 м.

1) основание трапеции,

2) радиус описанной окружности.

5. Домашнее задание. П.86, № 28, 29, 30.

6. Итог урока. Проверяется самостоятельная работа, выставляются оценки.

<Презентация. Слайд № 8>

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

• В евклидовой геометрии , вписанный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все вершины лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью четырехугольника, а вершины, как говорят, лежат на одной окружности. Центр этой окружности и ее радиус называются соответственно центром и радиусом описанной окружности. Другие термины для этого четырехугольника: четырехугольник лежит на одной окружности , стороны последнего четырехугольника являются хордами окружности. Обычно предполагается, что выпуклый четырехугольник является выпуклым четырехугольником. Формулы и свойства, приведенные ниже, действительны в выпуклом случае.
• Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность , то четырёхугольник вписан в эту окружность , и наоборот.

Общие критерии вписанности четырехугольника

• Около выпуклого четырёхугольника $\backslash pi$ радиан), то есть:

$\backslash angle\; A+\backslash angle\; C\; =\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ$

или в обозначениях рисунка:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^\{\backslash circ\}.$

• Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины).
• Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого один внешний угол, смежный с данным внутренним углом , точно равен другому внутреннему углу, противолежащему данному внутреннему углу . По сути это условие есть условие антипараллельности двух противоположных сторон четырехугольника. На рис. ниже показан внешний и смежный с ним внутренний углы зеленого пятиугольника.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Пересечение X может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае получим вписанный четырехугольник является ABCD , а в последнем случае получим вписанный четырехугольник ABDC . При пересечении внутри круга, равенство гласит, что произведение длин сегментов, в котором точка X делит одну диагональ, равна произведению длин сегментов, в котором точка X делит другую диагональ. Это условие известно, как "теорема о пересекающихся хордах". В нашем случае диагонали вписанного четырехугольника являются хордами окружности.
• Еще один критерий вписанности. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан круг тогда и только тогда, когда

$\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}\}=\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\}\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash delta\}\{2\}\}=1.$

Частные критерии вписанности четырехугольника

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым . Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ($\backslash pi$ радиан). Можно описать окружность около:

• любого антипараллелограмма
• любого прямоугольника (частный случай квадрат)
• любой равнобедренной трапеции
• любого четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые.

Свойства

Формулы с диагоналями

$ef=ac+bd$; $\backslash frac\{e\}\{f\}\; =\; \backslash frac\{a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c\}\{a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d\}.$

В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d , b и c опираются своими концами на диагональ длиной e . Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.

• Формулы для длин диагоналей (следствия ):

$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(ac+bd)(ad+bc)\}\{ab+cd\}\}$ и $f\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(ac+bd)(ab+cd)\}\{ad+bc\}\}$

Формулы с углами

Для вписанного четырехугольника с последовательностью сторон a , b , c , d , с полупериметром p и углом A между сторонами a и d , тригонометрические функции угла A даются формулами

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac\{a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2\}\{2(ad\; +\; bc)\},$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac\{2\backslash sqrt\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}\}\{(ad+bc)\},$ $\backslash tan\; \backslash frac\{A\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-a)(p-d)\}\{(p-b)(p-c)\}\}.$

Угол θ между диагоналями есть :p.26

$\backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-b)(p-d)\}\{(p-a)(p-c)\}\}.$

• Если противоположные стороны a и c пересекаются под углом φ , то он равен

$\backslash cos\{\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-b)(p-d)(b+d)^2\}\{(ab+cd)(ad+bc)\}\},$

где p есть полупериметр . :p.31

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника

Формула Парамешвара (Parameshvara)

Если четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром p вписан окружность, то ее радиус равен по формуле Парамешвара :p. 84

$R=\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)\}\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}\}.$

Она была получена индийским математиком Парамешваром в 15 веке (ок. 1380–1460 гг.)

• Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля , вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF .

Критерий того, что четырехугольник, составленный из двух треугольников, вписан в некоторую окружность

$f^2\; =\; \backslash frac\{(ac+bd)(ad+bc)\}\{(ab+cd)\}.$

• Последнее условие дает выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырех его сторон (a , b , c , d ). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см.выше).

Критерий того, что четырехугольник, отрезанный прямой линией от треугольника, вписан в некоторую окружность

• Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
• Следствие. Около антипараллелограмма , у которого две противоположные стороны антипараллельны, всегда можно описать окружность.

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника

Варианты формулы Брахмагупты

$S=\backslash sqrt\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\},$ где p - полупериметр четырёхугольника. $S=\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash sqrt\{-\; \backslash begin\{vmatrix\}$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end{vmatrix}}

Другие формулы площади

$S\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(ab+cd)\backslash sin\{B\}$ $S\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(ac+bd)\backslash sin\{\backslash theta\},$

где θ любой из углов между диагоналями. При условии, что угол A не является прямым, площадь также может быть выражена как :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{4\}(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan\{A\}.$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin\{A\}\backslash sin\{B\}\backslash sin\{\backslash theta\},$

где R есть радиус описанной окружности . Как прямое следствие имеем неравенство

$S\backslash le\; 2R^2,$

где равенство возможно тогда и только тогда, когда этот четырехугольник является квадратом.

Четырехугольники Брахмагупты

Четырехугольник Брахмагупты является четырехугольником, вписанным в окружность, с целыми значениями длин сторон, целыми значениями его диагоналей и с целым значением его площади. Все возможные четырехугольники Брахмагупты со сторонами a , b , c , d , с диагоналями e , f , с площадью S , и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем освобождения от знаменателей следующих выражений, включающих рациональные параметры t , u , и v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Примеры

• Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник , квадрат , равнобедренная или равнобочная трапеция , антипараллелограмм .

Четырехугольники, вписанные в окружность с перпендикулярными диагоналями (вписанные ортодиагональные четырехугольники)

Свойства четырехугольников, вписанных в окружность с перпендикулярными диагоналями

Радиус описанной окружности и площадь

У четырехугольника, вписанного в окружность с перпендикулярными диагоналями, предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длины p 1 и p 2 , а другую диагональ делит на отрезки длины q 1 и q 2 . Тогда (Первое равенство является Предложением 11 у Архимеда " Книга лемм )

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

где D - диаметр cокружности . Это справедливо, потому что диагонали перпендикулярны хорды окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности R может быть записан в виде

$R=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2\}$

или в терминах сторон четырехугольника в виде

$R=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{a^2+c^2\}=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{b^2+d^2\}.$

Отсюда также следует, что

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Для вписанных ортодиагональных четырехугольников справедлива теорема Брахмагупты :

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке $M$, то две пары его антимедиатрис проходят через точку $M$.

Замечание . В этой теореме под антимедиатрисой понимают отрезок $FE$ четырехугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырехугольника.

Напишите отзыв о статье "Четырехугольники, вписанные в окружность"

Примечания

1. Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates , Highperception, с. 179, ISBN 1906338000 , OCLC
2. . Вписанные четырёхугольники.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Trigonometry , Cambridge University Press, с. 202, OCLC
4. Durell, C. V. & Robson, A. (2003), , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum Т. 7: 147–9,
6. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette Т. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, сс. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2 , OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, сс. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometry Revisited , Mathematical Association of America, сс. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, сс. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin of the Australian Mathematical Society Т. 59 (2): 263–9, DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. Co., 2007
21. , с. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", The College Mathematics Journal Т. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, с. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). «» (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Challenging Problems in Geometry (2nd ed.), Courier Dover, сс. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

См. также

По числу сторон Правильные Треугольники Четырёхугольники См. также

Статья содержит короткие («гарвардские ») ссылки на публикации, не указанные или неправильно описанные в библиографическом разделе. Список неработающих ссылок: , , , , , , , , , – Ну, что, казак мой? (Марья Дмитриевна казаком называла Наташу) – говорила она, лаская рукой Наташу, подходившую к ее руке без страха и весело. – Знаю, что зелье девка, а люблю. Она достала из огромного ридикюля яхонтовые сережки грушками и, отдав их именинно сиявшей и разрумянившейся Наташе, тотчас же отвернулась от нее и обратилась к Пьеру. – Э, э! любезный! поди ка сюда, – сказала она притворно тихим и тонким голосом. – Поди ка, любезный… И она грозно засучила рукава еще выше. Пьер подошел, наивно глядя на нее через очки. – Подойди, подойди, любезный! Я и отцу то твоему правду одна говорила, когда он в случае был, а тебе то и Бог велит. Она помолчала. Все молчали, ожидая того, что будет, и чувствуя, что было только предисловие. – Хорош, нечего сказать! хорош мальчик!… Отец на одре лежит, а он забавляется, квартального на медведя верхом сажает. Стыдно, батюшка, стыдно! Лучше бы на войну шел. Она отвернулась и подала руку графу, который едва удерживался от смеха. – Ну, что ж, к столу, я чай, пора? – сказала Марья Дмитриевна. Впереди пошел граф с Марьей Дмитриевной; потом графиня, которую повел гусарский полковник, нужный человек, с которым Николай должен был догонять полк. Анна Михайловна – с Шиншиным. Берг подал руку Вере. Улыбающаяся Жюли Карагина пошла с Николаем к столу. За ними шли еще другие пары, протянувшиеся по всей зале, и сзади всех по одиночке дети, гувернеры и гувернантки. Официанты зашевелились, стулья загремели, на хорах заиграла музыка, и гости разместились. Звуки домашней музыки графа заменились звуками ножей и вилок, говора гостей, тихих шагов официантов. На одном конце стола во главе сидела графиня. Справа Марья Дмитриевна, слева Анна Михайловна и другие гостьи. На другом конце сидел граф, слева гусарский полковник, справа Шиншин и другие гости мужского пола. С одной стороны длинного стола молодежь постарше: Вера рядом с Бергом, Пьер рядом с Борисом; с другой стороны – дети, гувернеры и гувернантки. Граф из за хрусталя, бутылок и ваз с фруктами поглядывал на жену и ее высокий чепец с голубыми лентами и усердно подливал вина своим соседям, не забывая и себя. Графиня так же, из за ананасов, не забывая обязанности хозяйки, кидала значительные взгляды на мужа, которого лысина и лицо, казалось ей, своею краснотой резче отличались от седых волос. На дамском конце шло равномерное лепетанье; на мужском всё громче и громче слышались голоса, особенно гусарского полковника, который так много ел и пил, всё более и более краснея, что граф уже ставил его в пример другим гостям. Берг с нежной улыбкой говорил с Верой о том, что любовь есть чувство не земное, а небесное. Борис называл новому своему приятелю Пьеру бывших за столом гостей и переглядывался с Наташей, сидевшей против него. Пьер мало говорил, оглядывал новые лица и много ел. Начиная от двух супов, из которых он выбрал a la tortue, [черепаховый,] и кулебяки и до рябчиков он не пропускал ни одного блюда и ни одного вина, которое дворецкий в завернутой салфеткою бутылке таинственно высовывал из за плеча соседа, приговаривая или «дрей мадера», или «венгерское», или «рейнвейн». Он подставлял первую попавшуюся из четырех хрустальных, с вензелем графа, рюмок, стоявших перед каждым прибором, и пил с удовольствием, всё с более и более приятным видом поглядывая на гостей. Наташа, сидевшая против него, глядела на Бориса, как глядят девочки тринадцати лет на мальчика, с которым они в первый раз только что поцеловались и в которого они влюблены. Этот самый взгляд ее иногда обращался на Пьера, и ему под взглядом этой смешной, оживленной девочки хотелось смеяться самому, не зная чему. Николай сидел далеко от Сони, подле Жюли Карагиной, и опять с той же невольной улыбкой что то говорил с ней. Соня улыбалась парадно, но, видимо, мучилась ревностью: то бледнела, то краснела и всеми силами прислушивалась к тому, что говорили между собою Николай и Жюли. Гувернантка беспокойно оглядывалась, как бы приготавливаясь к отпору, ежели бы кто вздумал обидеть детей. Гувернер немец старался запомнить вое роды кушаний, десертов и вин с тем, чтобы описать всё подробно в письме к домашним в Германию, и весьма обижался тем, что дворецкий, с завернутою в салфетку бутылкой, обносил его. Немец хмурился, старался показать вид, что он и не желал получить этого вина, но обижался потому, что никто не хотел понять, что вино нужно было ему не для того, чтобы утолить жажду, не из жадности, а из добросовестной любознательности. На мужском конце стола разговор всё более и более оживлялся. Полковник рассказал, что манифест об объявлении войны уже вышел в Петербурге и что экземпляр, который он сам видел, доставлен ныне курьером главнокомандующему. – И зачем нас нелегкая несет воевать с Бонапартом? – сказал Шиншин. – II a deja rabattu le caquet a l"Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Он уже сбил спесь с Австрии. Боюсь, не пришел бы теперь наш черед.] Полковник был плотный, высокий и сангвинический немец, очевидно, служака и патриот. Он обиделся словами Шиншина. – А затэ м, мы лосты вый государ, – сказал он, выговаривая э вместо е и ъ вместо ь. – Затэм, что импэ ратор это знаэ т. Он в манифэ стэ сказал, что нэ можэ т смотрэт равнодушно на опасности, угрожающие России, и что бэ зопасност империи, достоинство ее и святост союзов, – сказал он, почему то особенно налегая на слово «союзов», как будто в этом была вся сущность дела. И с свойственною ему непогрешимою, официальною памятью он повторил вступительные слова манифеста… «и желание, единственную и непременную цель государя составляющее: водворить в Европе на прочных основаниях мир – решили его двинуть ныне часть войска за границу и сделать к достижению „намерения сего новые усилия“. – Вот зачэм, мы лосты вый государ, – заключил он, назидательно выпивая стакан вина и оглядываясь на графа за поощрением. – Connaissez vous le proverbe: [Знаете пословицу:] «Ерема, Ерема, сидел бы ты дома, точил бы свои веретена», – сказал Шиншин, морщась и улыбаясь. – Cela nous convient a merveille. [Это нам кстати.] Уж на что Суворова – и того расколотили, a plate couture, [на голову,] а где y нас Суворовы теперь? Je vous demande un peu, [Спрашиваю я вас,] – беспрестанно перескакивая с русского на французский язык, говорил он. – Мы должны и драться до послэ днэ капли кров, – сказал полковник, ударяя по столу, – и умэ р р рэ т за своэ го импэ ратора, и тогда всэ й будэ т хорошо. А рассуждать как мо о ожно (он особенно вытянул голос на слове «можно»), как мо о ожно менше, – докончил он, опять обращаясь к графу. – Так старые гусары судим, вот и всё. А вы как судитэ, молодой человек и молодой гусар? – прибавил он, обращаясь к Николаю, который, услыхав, что дело шло о войне, оставил свою собеседницу и во все глаза смотрел и всеми ушами слушал полковника. – Совершенно с вами согласен, – отвечал Николай, весь вспыхнув, вертя тарелку и переставляя стаканы с таким решительным и отчаянным видом, как будто в настоящую минуту он подвергался великой опасности, – я убежден, что русские должны умирать или побеждать, – сказал он, сам чувствуя так же, как и другие, после того как слово уже было сказано, что оно было слишком восторженно и напыщенно для настоящего случая и потому неловко. – C"est bien beau ce que vous venez de dire, [Прекрасно! прекрасно то, что вы сказали,] – сказала сидевшая подле него Жюли, вздыхая. Соня задрожала вся и покраснела до ушей, за ушами и до шеи и плеч, в то время как Николай говорил. Пьер прислушался к речам полковника и одобрительно закивал головой. – Вот это славно, – сказал он. – Настоящэ й гусар, молодой человэк, – крикнул полковник, ударив опять по столу. – О чем вы там шумите? – вдруг послышался через стол басистый голос Марьи Дмитриевны. – Что ты по столу стучишь? – обратилась она к гусару, – на кого ты горячишься? верно, думаешь, что тут французы перед тобой? – Я правду говору, – улыбаясь сказал гусар. – Всё о войне, – через стол прокричал граф. – Ведь у меня сын идет, Марья Дмитриевна, сын идет. – А у меня четыре сына в армии, а я не тужу. На всё воля Божья: и на печи лежа умрешь, и в сражении Бог помилует, – прозвучал без всякого усилия, с того конца стола густой голос Марьи Дмитриевны. – Это так. И разговор опять сосредоточился – дамский на своем конце стола, мужской на своем. – А вот не спросишь, – говорил маленький брат Наташе, – а вот не спросишь! – Спрошу, – отвечала Наташа. Лицо ее вдруг разгорелось, выражая отчаянную и веселую решимость. Она привстала, приглашая взглядом Пьера, сидевшего против нее, прислушаться, и обратилась к матери: – Мама! – прозвучал по всему столу ее детски грудной голос. – Что тебе? – спросила графиня испуганно, но, по лицу дочери увидев, что это была шалость, строго замахала ей рукой, делая угрожающий и отрицательный жест головой. Разговор притих. – Мама! какое пирожное будет? – еще решительнее, не срываясь, прозвучал голосок Наташи. Графиня хотела хмуриться, но не могла. Марья Дмитриевна погрозила толстым пальцем. – Казак, – проговорила она с угрозой. Большинство гостей смотрели на старших, не зная, как следует принять эту выходку. – Вот я тебя! – сказала графиня. – Мама! что пирожное будет? – закричала Наташа уже смело и капризно весело, вперед уверенная, что выходка ее будет принята хорошо. Соня и толстый Петя прятались от смеха. – Вот и спросила, – прошептала Наташа маленькому брату и Пьеру, на которого она опять взглянула. – Мороженое, только тебе не дадут, – сказала Марья Дмитриевна. Наташа видела, что бояться нечего, и потому не побоялась и Марьи Дмитриевны. – Марья Дмитриевна? какое мороженое! Я сливочное не люблю. – Морковное. – Нет, какое? Марья Дмитриевна, какое? – почти кричала она. – Я хочу знать! Марья Дмитриевна и графиня засмеялись, и за ними все гости. Все смеялись не ответу Марьи Дмитриевны, но непостижимой смелости и ловкости этой девочки, умевшей и смевшей так обращаться с Марьей Дмитриевной. Наташа отстала только тогда, когда ей сказали, что будет ананасное. Перед мороженым подали шампанское. Опять заиграла музыка, граф поцеловался с графинюшкою, и гости, вставая, поздравляли графиню, через стол чокались с графом, детьми и друг с другом. Опять забегали официанты, загремели стулья, и в том же порядке, но с более красными лицами, гости вернулись в гостиную и кабинет графа. Раздвинули бостонные столы, составили партии, и гости графа разместились в двух гостиных, диванной и библиотеке. Граф, распустив карты веером, с трудом удерживался от привычки послеобеденного сна и всему смеялся. Молодежь, подстрекаемая графиней, собралась около клавикорд и арфы. Жюли первая, по просьбе всех, сыграла на арфе пьеску с вариациями и вместе с другими девицами стала просить Наташу и Николая, известных своею музыкальностью, спеть что нибудь. Наташа, к которой обратились как к большой, была, видимо, этим очень горда, но вместе с тем и робела. – Что будем петь? – спросила она. – «Ключ», – отвечал Николай. – Ну, давайте скорее. Борис, идите сюда, – сказала Наташа. – А где же Соня? Она оглянулась и, увидав, что ее друга нет в комнате, побежала за ней. Вбежав в Сонину комнату и не найдя там свою подругу, Наташа пробежала в детскую – и там не было Сони. Наташа поняла, что Соня была в коридоре на сундуке. Сундук в коридоре был место печалей женского молодого поколения дома Ростовых. Действительно, Соня в своем воздушном розовом платьице, приминая его, лежала ничком на грязной полосатой няниной перине, на сундуке и, закрыв лицо пальчиками, навзрыд плакала, подрагивая своими оголенными плечиками. Лицо Наташи, оживленное, целый день именинное, вдруг изменилось: глаза ее остановились, потом содрогнулась ее широкая шея, углы губ опустились. – Соня! что ты?… Что, что с тобой? У у у!… И Наташа, распустив свой большой рот и сделавшись совершенно дурною, заревела, как ребенок, не зная причины и только оттого, что Соня плакала. Соня хотела поднять голову, хотела отвечать, но не могла и еще больше спряталась. Наташа плакала, присев на синей перине и обнимая друга. Собравшись с силами, Соня приподнялась, начала утирать слезы и рассказывать. – Николенька едет через неделю, его… бумага… вышла… он сам мне сказал… Да я бы всё не плакала… (она показала бумажку, которую держала в руке: то были стихи, написанные Николаем) я бы всё не плакала, но ты не можешь… никто не может понять… какая у него душа. И она опять принялась плакать о том, что душа его была так хороша. – Тебе хорошо… я не завидую… я тебя люблю, и Бориса тоже, – говорила она, собравшись немного с силами, – он милый… для вас нет препятствий. А Николай мне cousin… надобно… сам митрополит… и то нельзя. И потом, ежели маменьке… (Соня графиню и считала и называла матерью), она скажет, что я порчу карьеру Николая, у меня нет сердца, что я неблагодарная, а право… вот ей Богу… (она перекрестилась) я так люблю и ее, и всех вас, только Вера одна… За что? Что я ей сделала? Я так благодарна вам, что рада бы всем пожертвовать, да мне нечем… Соня не могла больше говорить и опять спрятала голову в руках и перине. Наташа начинала успокоиваться, но по лицу ее видно было, что она понимала всю важность горя своего друга. – Соня! – сказала она вдруг, как будто догадавшись о настоящей причине огорчения кузины. – Верно, Вера с тобой говорила после обеда? Да? – Да, эти стихи сам Николай написал, а я списала еще другие; она и нашла их у меня на столе и сказала, что и покажет их маменьке, и еще говорила, что я неблагодарная, что маменька никогда не позволит ему жениться на мне, а он женится на Жюли. Ты видишь, как он с ней целый день… Наташа! За что?… И опять она заплакала горьче прежнего. Наташа приподняла ее, обняла и, улыбаясь сквозь слезы, стала ее успокоивать. – Соня, ты не верь ей, душенька, не верь. Помнишь, как мы все втроем говорили с Николенькой в диванной; помнишь, после ужина? Ведь мы всё решили, как будет. Я уже не помню как, но, помнишь, как было всё хорошо и всё можно. Вот дяденьки Шиншина брат женат же на двоюродной сестре, а мы ведь троюродные. И Борис говорил, что это очень можно. Ты знаешь, я ему всё сказала. А он такой умный и такой хороший, – говорила Наташа… – Ты, Соня, не плачь, голубчик милый, душенька, Соня. – И она целовала ее, смеясь. – Вера злая, Бог с ней! А всё будет хорошо, и маменьке она не скажет; Николенька сам скажет, и он и не думал об Жюли. И она целовала ее в голову. Соня приподнялась, и котеночек оживился, глазки заблистали, и он готов был, казалось, вот вот взмахнуть хвостом, вспрыгнуть на мягкие лапки и опять заиграть с клубком, как ему и было прилично. – Ты думаешь? Право? Ей Богу? – сказала она, быстро оправляя платье и прическу. – Право, ей Богу! – отвечала Наташа, оправляя своему другу под косой выбившуюся прядь жестких волос. И они обе засмеялись. – Ну, пойдем петь «Ключ». – Пойдем. – А знаешь, этот толстый Пьер, что против меня сидел, такой смешной! – сказала вдруг Наташа, останавливаясь. – Мне очень весело! И Наташа побежала по коридору. Соня, отряхнув пух и спрятав стихи за пазуху, к шейке с выступавшими костями груди, легкими, веселыми шагами, с раскрасневшимся лицом, побежала вслед за Наташей по коридору в диванную. По просьбе гостей молодые люди спели квартет «Ключ», который всем очень понравился; потом Николай спел вновь выученную им песню. В приятну ночь, при лунном свете, Представить счастливо себе, Что некто есть еще на свете, Кто думает и о тебе! Что и она, рукой прекрасной, По арфе золотой бродя, Своей гармониею страстной Зовет к себе, зовет тебя! Еще день, два, и рай настанет… Но ах! твой друг не доживет! И он не допел еще последних слов, когда в зале молодежь приготовилась к танцам и на хорах застучали ногами и закашляли музыканты. Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала: – Мама велела вас просить танцовать. – Я боюсь спутать фигуры, – сказал Пьер, – но ежели вы хотите быть моим учителем… И он подал свою толстую руку, низко опуская ее, тоненькой девочке. Пока расстанавливались пары и строили музыканты, Пьер сел с своей маленькой дамой. Наташа была совершенно счастлива; она танцовала с большим, с приехавшим из за границы. Она сидела на виду у всех и разговаривала с ним, как большая. У нее в руке был веер, который ей дала подержать одна барышня. И, приняв самую светскую позу (Бог знает, где и когда она этому научилась), она, обмахиваясь веером и улыбаясь через веер, говорила с своим кавалером. – Какова, какова? Смотрите, смотрите, – сказала старая графиня, проходя через залу и указывая на Наташу. Наташа покраснела и засмеялась. – Ну, что вы, мама? Ну, что вам за охота? Что ж тут удивительного? В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке: – Семен! Данилу Купора знаешь? Это был любимый танец графа, танцованный им еще в молодости. (Данило Купор была собственно одна фигура англеза.) – Смотрите на папа, – закричала на всю залу Наташа (совершенно забыв, что она танцует с большим), пригибая к коленам свою кудрявую головку и заливаясь своим звонким смехом по всей зале. Действительно, всё, что только было в зале, с улыбкою радости смотрело на веселого старичка, который рядом с своею сановитою дамой, Марьей Дмитриевной, бывшей выше его ростом, округлял руки, в такт потряхивая ими, расправлял плечи, вывертывал ноги, слегка притопывая, и всё более и более распускавшеюся улыбкой на своем круглом лице приготовлял зрителей к тому, что будет. Как только заслышались веселые, вызывающие звуки Данилы Купора, похожие на развеселого трепачка, все двери залы вдруг заставились с одной стороны мужскими, с другой – женскими улыбающимися лицами дворовых, вышедших посмотреть на веселящегося барина. – Батюшка то наш! Орел! – проговорила громко няня из одной двери. Граф танцовал хорошо и знал это, но его дама вовсе не умела и не хотела хорошо танцовать. Ее огромное тело стояло прямо с опущенными вниз мощными руками (она передала ридикюль графине); только одно строгое, но красивое лицо ее танцовало. Что выражалось во всей круглой фигуре графа, у Марьи Дмитриевны выражалось лишь в более и более улыбающемся лице и вздергивающемся носе. Но зато, ежели граф, всё более и более расходясь, пленял зрителей неожиданностью ловких выверток и легких прыжков своих мягких ног, Марья Дмитриевна малейшим усердием при движении плеч или округлении рук в поворотах и притопываньях, производила не меньшее впечатление по заслуге, которую ценил всякий при ее тучности и всегдашней суровости. Пляска оживлялась всё более и более. Визави не могли ни на минуту обратить на себя внимания и даже не старались о том. Всё было занято графом и Марьею Дмитриевной. Наташа дергала за рукава и платье всех присутствовавших, которые и без того не спускали глаз с танцующих, и требовала, чтоб смотрели на папеньку. Граф в промежутках танца тяжело переводил дух, махал и кричал музыкантам, чтоб они играли скорее. Скорее, скорее и скорее, лише, лише и лише развертывался граф, то на цыпочках, то на каблуках, носясь вокруг Марьи Дмитриевны и, наконец, повернув свою даму к ее месту, сделал последнее па, подняв сзади кверху свою мягкую ногу, склонив вспотевшую голову с улыбающимся лицом и округло размахнув правою рукой среди грохота рукоплесканий и хохота, особенно Наташи. Оба танцующие остановились, тяжело переводя дыхание и утираясь батистовыми платками. – Вот как в наше время танцовывали, ma chere, – сказал граф. – Ай да Данила Купор! – тяжело и продолжительно выпуская дух и засучивая рукава, сказала Марья Дмитриевна. В то время как у Ростовых танцовали в зале шестой англез под звуки от усталости фальшививших музыкантов, и усталые официанты и повара готовили ужин, с графом Безухим сделался шестой удар. Доктора объявили, что надежды к выздоровлению нет; больному дана была глухая исповедь и причастие; делали приготовления для соборования, и в доме была суетня и тревога ожидания, обыкновенные в такие минуты. Вне дома, за воротами толпились, скрываясь от подъезжавших экипажей, гробовщики, ожидая богатого заказа на похороны графа. Главнокомандующий Москвы, который беспрестанно присылал адъютантов узнавать о положении графа, в этот вечер сам приезжал проститься с знаменитым Екатерининским вельможей, графом Безухим. Великолепная приемная комната была полна. Все почтительно встали, когда главнокомандующий, пробыв около получаса наедине с больным, вышел оттуда, слегка отвечая на поклоны и стараясь как можно скорее пройти мимо устремленных на него взглядов докторов, духовных лиц и родственников. Князь Василий, похудевший и побледневший за эти дни, провожал главнокомандующего и что то несколько раз тихо повторил ему. Проводив главнокомандующего, князь Василий сел в зале один на стул, закинув высоко ногу на ногу, на коленку упирая локоть и рукою закрыв глаза. Посидев так несколько времени, он встал и непривычно поспешными шагами, оглядываясь кругом испуганными глазами, пошел чрез длинный коридор на заднюю половину дома, к старшей княжне. Находившиеся в слабо освещенной комнате неровным шопотом говорили между собой и замолкали каждый раз и полными вопроса и ожидания глазами оглядывались на дверь, которая вела в покои умирающего и издавала слабый звук, когда кто нибудь выходил из нее или входил в нее. – Предел человеческий, – говорил старичок, духовное лицо, даме, подсевшей к нему и наивно слушавшей его, – предел положен, его же не прейдеши. – Я думаю, не поздно ли соборовать? – прибавляя духовный титул, спрашивала дама, как будто не имея на этот счет никакого своего мнения.

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды , которые включают ромбы , которые, в свою очередь, включают квадраты . Дельтоиды - это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными . Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником , он называется бицентральным .

Свойства

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности .

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющийся трапецией) пересекаются в точках E и F , то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда

B E + B F = D E + D F {\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF} A E − E C = A F − F C . {\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.}

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта . Разница только в знаках - в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие - выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга .

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD , принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . {\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.} R a R c = R b R d {\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}} ,

где R a , R b , R c , R d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a , b , c , d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны .

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

K = 1 2 p 2 q 2 − (a c − b d) 2 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}} ,

дающая площадь в терминах диагоналей p , q и сторон a , b , c , d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e , f , g , h , то касательный четырёхугольник имеет площадь

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . {\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h

K = a b c d − (e g − f h) 2 . {\displaystyle K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, получаем, что максимальная площадь a b c d {\displaystyle {\sqrt {abcd}}} может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным . В этом случае K = a b c d {\displaystyle K={\sqrt {abcd}}} , поскольку противоположные углы являются дополнительными . Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ .

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD , использующая два противоположных угла

K = (O A ⋅ O C + O B ⋅ O D) sin ⁡ A + C 2 {\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin {\frac {A+C}{2}}} ,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов

K = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.} K = 1 2 | (a c − b d) tan ⁡ θ | , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,}

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a , b , c , d удовлетворяет неравенству

K ≤ a b c d {\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}}}

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным .

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр s описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

s ≥ 4 r {\displaystyle s\geq 4r} ,

где r - радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом . Это означает, что для площади K = rs , выполняется неравенство

K ≥ 4 r 2 {\displaystyle K\geq 4r^{2}}

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник - квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида ?! .

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами , то эта линия проходит через инцентр .

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a , b , c , d задаётся формулой

r = K s = K a + c = K b + d {\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}} ,

где K - площадь четырёхугольника, а s - полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным .

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности .

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . {\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD . Если u = AO , v = BO , x = CO и y = DO , то

r = 2 (σ − u v x) (σ − v x y) (σ − x y u) (σ − y u v) u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x) {\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}} ,

где σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) {\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)} .

Формулы для углов

Если e , f , g и h отрезки касательных от вершин A , B , C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD , то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (e + f) (e + g) (e + h) , {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},} sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (f + e) (f + g) (f + h) , {\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},} sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (g + e) (g + f) (g + h) , {\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},} sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) (h + f) (h + g) . {\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой (см. рисунок)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) . {\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}

Диагонали

Если e , f , g и h являются отрезками касательных от A , B , C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD , то длины диагоналей p = AC и q = BD равны

p = e + g f + h ((e + g) (f + h) + 4 f h) , {\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big)}}},} q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . {\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big)}}}.}

Хорды точек касания

Если e , f , g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны

k = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , {\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},} l = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , {\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},}

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h , а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e . Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению

k 2 l 2 = b d a c . {\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}

Две хорды

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA .

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P , то отношение отрезков касательных B M D N {\displaystyle {\tfrac {BM}{DN}}} равно отношению B P D P {\displaystyle {\tfrac {BP}{DP}}} отрезков диагонали BD .

Коллинеарные точки

Если M 1 и M 2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD O , а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M 3 - середина отрезка EF , тогда точки M 3 , M 1 , O , и M 2 лежат на одной прямой Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

E и F , а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S , то четыре точки E , F , T и S лежат на одной прямой

AB , BC , CD , DA в точках M , K , N и L соответственно, и если T M , T K , T N , T L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T N T M и T K T L . Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q , "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO . Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника .

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O P , пусть H M , H K , H N , H L являются ортоцентрами треугольников AOB , BOC , COD и DOA соответственно. Тогда точки P , H M , H K , H N и H L лежат на одной прямой.

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке). Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона , которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение , имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD и DA в точках M , K , N , L соответственно, то прямые MK , LN и AC конкурентны.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F , а диагонали пересекаются в точке P , то прямая EF перпендикулярна продолжению OP , где O - центр вписанной окружности .

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . {\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.}

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . {\displaystyle AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD}}.}

Если O - центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD , то

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . {\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . {\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.}

Если M 1 и M 2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , {\displaystyle {\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h}},}

где e , f , g и h - отрезки касательных в вершинах A , B , C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центом вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . {\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном . В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h M , h K , h N и h L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P ), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . {\displaystyle {\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1}{h_{L}}}.}

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r M , r K , r N и r L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . {\displaystyle {\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1}{r_{L}}}.}

Если R M , R K , R N и R L - радиусы описанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA соответственно, то треугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда

R M + R N = R K + R L . {\displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах . Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник . Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника .

Выпуклый четырёхугольник ABCD , в котором диагонали пересекаются в точке P , является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA лежат на одной окружности (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R m , R n , R k и R l - радиусы вневписанных окружностей APB , BPC , CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D , то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . {\displaystyle {\frac {1}{R_{m}}}+{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R_{k}}}+{\frac {1}{R_{l}}}.} m △ (A P B) + n △ (C P D) = k △ (B P C) + l △ (D P A) {\displaystyle {\frac {m}{\triangle (APB)}}+{\frac {n}{\triangle (CPD)}}={\frac {k}{\triangle (BPC)}}+{\frac {l}{\triangle (DPA)}}}

где m , k , n , l – длины сторон AB , BC , CD и DA , а ∆(APB ) - площадь треугольника APB .

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p a и PC = p c . Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p b и PD = p d . Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:

m p c p d + n p a q b = k p a p d + l p c p b {\displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b}} (p a + p b − m) (p c + p d − n) (p a + p b + m) (p c + p d + n) = (p c + p b − k) (p a + p d − l) (p c + p b + k) (p a + p d + l) {\displaystyle {\frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_{c}+p_{d}+n)}}={\frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c}+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}} (m + p a − p b) (n + p c − p d) (m − p a + p b) (n − p c + p d) = (k + p c − p b) (l + p a − p d) (k − p c + p b) (l − p a + p d) . {\displaystyle {\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника

ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны .

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD , DA в точках M , K , N , L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным .

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон .

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:

• Площадь равна половине произведения диагоналей
• Диагонали перпендикулярны
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
• Средние линии имеют одинаковые длины
• Произведения противоположных сторон равны
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.