Какое множество является пересечением. Урок "пересечение и объединение множеств"

Операция над множествами - это правило, в результате выполнения которого из данных множеств однозначно получается некоторое новое множество.

Обозначим произвольную операцию знаком *. Множество, получаемое из данных множеств А и В, записывают в виде А*В. Полученное множество и саму операцию принято называть одним термином.

Замечание. Для основных числовых операций используют два термина: один обозначает саму операцию как действие, другой - число, получаемое после выполнения действия. Например, операция, обозначаемая +, называется сложением, а число, полученное в результате сложения, - суммой чисел. Аналогично - знак операции умножения, а результат а b - произведение чисел а и Ь. Тем нс менее часто эту разницу нс учитывают и говорят «Рассмотрим сумму чисел», имея в виду не конкретный результат, а саму операцию.

Операция пересечения. Пересечением множеств А и В АглВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит обоим множествам А и В одновременно.

Другими словами, АсВ - это множество всех.г, таких, что хеА и хеВ:

Операция объединения. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А"иВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству А или В.

Операцию объединения иногда обозначают знаком + и называют сложением множеств.

Операции разности. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых лежит в А, но не лежит В.

Выражение АпВ читают «А в пересечении с В », AkjB- «А в объединении с В», АВ - «А без В».

Пример 7.1.1. Пусть А = {1, 3,4, 5, 8,9}, В = {2,4, 6, 8}.

Тогда AkjB= {1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9}, AcB={ 4,8}, АВ = {1,3, 5, 9}, ЯЛ = {2,6}.»

На основе указанных операций можно определить еще две важные операции.

Операция дополнения. Пусть AqS. Тогда разность SA называется дополнением множества А до S и обозначается A s .

Пусть любое рассматриваемое множество является подмножеством некоторого множества U. Дополнение до такого фиксированного (в контексте решения той или иной задачи) множества U обозначают просто А . Также используются обозначения СА, с А, А".

Пример 7.1.2. Дополнение множества {1, 3,4, 5, 8, 9} до множества всех десятичных цифр равно {0, 2, 6, 7}.

Дополнение множества Q до множества R есть множество 1.

Дополнение множества квадратов до множества прямоугольников есть множество всех прямоугольников, имеющих неравные смежные стороны.

Мы видим, что операции объединения, пересечения и дополнения множеств соответствуют логическим операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Операция симметрической разности. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А®В , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит в точности одному из множеств А и В:

Нетрудно видеть, что симметрическая разность есть объединение двух множеств АВ и ВА. Это же самое множество можно получить, если вначале объединить множества А и В, а затем убрать из множества общие элементы.

Пример 7.1.3. Пусть даны действительные числа а Тогда для соответствующих числовых промежутков имеем:

Заметим, что так как отрезок [а; Ь] содержит число с> а интервал (с; d) точку с не содержит, го число с лежит в разности [а; Ь] без [с; cf. А вот разность, например, (2;5), число 3 не содержит, так как оно лежит в отрезке . Имеем (2;5)=(2;3).

Пусть даны непересекающиеся множества А и В. Поскольку п - знак операции пересечения, то запись А(ЬВ некорректна. Неправильно также говорить, что у множеств нет пересечения. Пересечение есть всегда, оно определено для любых множеств. То, что множества не пересекаются, означает, что их пересечение пусто (то есть, выполнив указанную операцию, мы получаем пустое множество). Если же множества пересекаются, значит, их пересечение не пусто. Делаем вывод:

Обобщим операции объединения пересечения на случай, когда множеств более двух.

Пусть дана система К множеств. Пересечением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит во всех множествах их К.

Объединением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном множестве их К.

Пусть множества системы К занумерованы элементами какого-то семейства индексов /. Тогда любое множество из К можно обозначить А,-, где iel. Если совокупность конечная, то в качестве / используют множество первых натуральных чисел {1,2,...,и}. В общем случае / может быть бесконечным.

Тогда в общем случае объединение множеств А для всех iel обозначают (J А { , а пересечение - f]A i .

Пусть совокупность К конечная, тогда К= В этом случае

пишут AyjA 2 v...KjA„ и АГ4 2 (^---Г4п-

Пример 7.1.4. Рассмотрим промежутки числовой прямой Л| = [-оо;2], Л 2 =Н°; 3], Л 3 = или [ - 5 , 4 , + ∞) . При этом множество R будет описываться следующими объединениями: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) или (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞) . .

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал (7 , 32 ] и точка 13 , принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения (7 , 13) ∪ { 13 } ∪ (13 , 32 ] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество (7 , 32 ] можно представить, как (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] или (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] . Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала (7 , 32) и множества из одного элемента { 32 } . Таким образом: (7 , 32 ] = (7 , 32) ∪ { 32 } .

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами - 6 , 0 , 8 , которые разобьют ее на промежутки: (- ∞ , - 6) , (- 6 , 0) , (0 , 8) , (8 , + ∞) . При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Пример 2

Исходные данные: заданы числовые множества А = (7 , + ∞) и В = [ - 3 , + ∞) . Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

Решение

1. Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и

Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами - 3 и 7 .

и

Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) .

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

Промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B);

Точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B);

Промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .

Точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) . Начнем с множества (- ∞ , - 3) , наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество { - 3 } . Число - 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой - 3 делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество (- 3 , 7) .

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку - { 7 } . Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ - 3 , + ∞)), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток (7 , + ∞) .

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = (7 , + ∞) .

1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество (- ∞ , - 3) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество (- ∞ , - 3) не войдет в искомое объединение:

Множество { - 3 } входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B:

Множество (- 3 , 7) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B:

Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество (7 , + ∞) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ - 3 , + ∞) .

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Пример 3

Исходные данные: множества А = (- ∞ , - 15) ∪ { - 5 } ∪ [ 0 , 7) ∪ { 12 } и В = (- 20 , - 10) ∪ { - 5 } ∪ (2 , 3) ∪ { 17 } . Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

Ответ: А ∩ В = (- 20 , - 15) ∪ { - 5 } ∪ (2 , 3) ; А ∪ В = (- ∞ , - 10) ∪ { - 5 } ∪ [ 0 , 7 ] ∪ { 12 , 17 } .

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Пример 4

Исходные данные: множества А = { - 2 } ∪ [ 1 , 5 ] и B = [ - 4 , 3 ] .

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически изобразим числовые множества А и В:

Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: { - 2 } , (1 , 3) , { 3 } и (3 , 5) . Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

Совершенно понятно, что { - 2 } является частью множества B , ведь точка с координатой - 2 – внутренняя точка отрезка [ - 4 , 3) . Интервал (1 , 3) и множество { 3 } также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество (3 , 5) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: { - 2 } ∪ (1 , 3 ] .

Ответ: А ∩ В = { - 2 } ∪ (1 , 3 ] .

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Пример 5

Исходные данные: множества А = (- ∞ , 12 ] , В = (- 3 , 25 ] , D = (- ∞ , 25) ꓴ { 40 } . Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 12) , { 12 } , (12 , 25) , { 25 } , (25 , 40) , { 40 } , (40 , + ∞) .

Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал (- 3 , 12) и множество { - 12 } : они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Объединение заданных множеств составят множества: (- ∞ , - 3) - элемент множества А; { - 3 } – элемент множества А; (- 3 , 12) – элемент множества А; { 12 } – элемент множества А; (12 , 25) – элемент множества В; { 25 } – элемент множества В и { 40 } – элемент множества D . Таким образом, получим: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ { 40 } .

Ответ: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ { 40 } .

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Пример 6

Исходные данные: А = [ - 7 , 7 ] ; В = { - 15 } ∪ [ - 12 , 0) ∪ { 5 } ; D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞) ; Е = (0 , 27) . Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: (- ∞ , - 15) , { - 15 } , (- 15 , - 12) , { - 12 } , (- 12 , - 10) , { - 10 } , (- 10 , - 7) , { - 7 } , (- 7 , 0) , { 0 } , (0 , 5) , { 5 } , (5 , 7) , { 7 } , (7 , 10) , { 10 } , (10 , 27) , { 27 } , (27 , + ∞) .

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

Ответ: A ∩ B ∩ D ∩ Е = Ø .

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter