Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника. Как найти площадь треугольника Равнобедренный треугольник и его площадь

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника , у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

Тогда площадь треугольника равняется

Ответ: $15$.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ - длина стороны, $h$ - высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$

$h^2=γ^2-(\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$

$h^2=\frac{(α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$

$h^2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$

Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h^2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$

$h^2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$

$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Что такое площадь? Странный вопрос - не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Другими словами, площадь квадрата со стороной метр мы считаем одним «метром площади».

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован - «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое? Площадь квадрата со стороной? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной.

А чтобы получить квадратных метра (то есть,), мы должны нарисовать, например так:

А как получить, скажем, ? Ну например так:

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны метров и метров, то в этом прямоугольнике:

Поместится ровно квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть «слоев», в каждом из которых ровно квадратных метров.

Значит, всего в прямоугольнике размером x поместилось квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь .

А если фигура - вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

Удивлю тебя - бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры - невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать,что площадь фигуры - это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много - математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Формулы площади

Квадрат

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Вторая основная формула

Третья формула

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем , скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: .

Ну и формула 4 позволяет по -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников - есть другие формулы.

Параллелограмм

Основная формула

Вторая формула

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится формула:

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

Трапеция

Основная формула

Вторая формула

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ - формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было, значит - площадь увеличилась в раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе.

Рисуем:

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы - и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Прямоугольный треугольник

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Цель:

Сформировать понятие площади треугольника.
Вывести формулу S треугольника.
Повторить основные математические понятия (катеты, гипотенуза, высота…)
Тренировать навыки быстрого счета
Развитие мыслительных операций: (анализ, синтез, сравнение, обобщение)

Ход урока

I этап: Самоопределение к деятельности .

У нас сегодня большое количество гостей, поздороваемся с ними. (Дети здороваются и садятся).

Как думаете, какое количество гостей присутствует на нашем уроке? (Дети не считая отвечают и дают примерный результат).

1/6 часть всего кол-ва, это учителя нашей школы. Сколько их?

Что мы сейчас делали? (Считали гостей).

Всегда ли ваши ответы были точными? (Нет).

Используем ли мы данный прием на уроках? (Да).

В каких ситуациях? (Нехватка времени, нет иного способа действия).

Но математика наука точная, еще древний философ Платон говорил: «Математика приближает разум к истине». А значит ответы все же должны быть верными.

А вот современное высказывание гласит: «Математику изучить нельзя…».

Вы согласны с этим утверждением? (Нет, тогда что мы на уроках делаем?)

Дело в том, что у этой фразы есть продолжение, которое вносит иной смысл, но вот какой и какое же у фразы продолжение мы узнаем в конце урока.

II этап: Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Быстрый счет. (Конечный ответ цепочки примеров дети фиксируют на планшете).
Внимание на экран. Какое из слов может быть лишним и почему?

(Погода,т.к не имеет к математике отношения).

Но и не все оставшиеся слова будут иметь отношение к сегодняшнему уроку математики. Определить круг ключевых слов урока нам поможет арифметический диктант.

Арифметический диктант: (1 за доской, остальные работают в тетради)

Третья часть 18 6, 15, 7, 70, 24

1% числа 700

1/6 часть числа это 4, найди все число

(Проверка числового ряда, на экране исчезают лишние слова и числа).

Что объединяет оставшиеся числа? (Целые, натуральные).

На какие две группы можно разбить? (Дети предлагают варианты).

А вот оставшиеся слова объединены темой сегодняшнего урока. Чтобы нам ее сформулировать как можно точнее, давайте вспомним основные математические понятия и поиграем в математическое лото .
(Детям предлагаются карточки двух цветов, вопросы и ответы).

Основанием треугольника называется	Сторона, на которую опущен перпендикуляр
Сторона треугольника, лежащая против прямого угла называется…	гипотенузой
Площадь…	Это место, которое фигура занимает на плоскости
	Это равенство, устанавливающее взаимосвязь между величинами
Тупоугольным называется треугольник, у которого	Один из углов тупой
Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются	катетами
Перпендикулярные линии это	Линии, которые при пересечении образуют прямой угол
Высота треугольника	Перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону
Остроугольным называют треугольник	У которого все углы острые
В зависимости от длины сторон треугольники бывают	Равносторонние, разносторонние, равнобедренные
Прямоугольным называют треугольник, у которого	Один из углов прямой
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо	Длину умножить на ширину

Предлагаю поиграть еще в одну игру, которую придумали китайцы, всегда слывшие хорошими математиками. Она называется «Танграм».

Суть ее состоит в собирании фигур из более мелких геометрических фигур. Работать будем в парах. Откройте конверт №1 и выложите все фигуры перед собой. Перечислите все, что перед вами. (4 маленьких и 2 больших прямоугольных треугольника разного цвета).

Соберите из всех фигур:
1 ряд – квадрат
2 ряд – прямоугольник
3 ряд – треугольник

(Практическая работа в парах, проверка построений с помощью компьютера).

Что объединяет все получившиеся фигуры? (Многоугольники, состоят из равного кол-ва фигур).

Сравните их по площади. (Равные, т.к. состоят из одинаковых частей).

Как называются такие фигуры? (Равновеликие).

Можете ли вы утверждать, что данные фигуры также равновеликие? (нет, другая ситуация, иной значит способ действия).

Используете знания свои и сравните фигуры по площади).

(Дети без труда по формуле находят S квадрата и прямоугольника, но возникает проблема при работе с треугольником).

III этап: Постановка проблемы, формулирование темы урока.

Почему возникло затруднение? (Не знаем как найти S треугольника, можем только найти неточный результат).

Значит какова цель сегодняшнего урока? (научиться находить S треугольника).

На основе поставленной цели и ключевых слов урока, попробуйте как можно точнее сформулировать тему сегодняшнего урока.
(S прямоугольного треугольника).

IV этап: Проектирование и фиксация нового знания.

Расскажите все о треугольнике, который перед вами. (Прямоугольный, разносторонний).

В группах попробуйте найти способ нахождения S прямоугольного треугольника, создать формулу и прокомментировать свои действия.

(Результаты вывешиваются на доску, в громкой речи проговаривается способ действия).

Что такое стороны а и в ? (Катеты).

Сформулируйте свои выводы в знаковой и словесной форме.

S = (а в) : 2 , Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов).

Сверим свою формулировку с предложенной в учебнике (стр. 95).

Площадь какого треугольника мы находили? (Прямоугольного).

А для других треугольников эта формула будет верна? (Нет, т.к. нет катетов).

Тогда давайте составим алгоритм наших действий.

Алгоритм.

Выдели прямой угол
Измерь длину катетов
Найди S по формуле.

V этап: Первичное закрепление во внешней речи.

Выполняется в парах задание из учебника (стр. 95 № 5).

VI этап: Самостоятельная работа с самопроверкой.

Сравните фигуры по площади.

(Появляются в тетрадях записи:

S = (4 * 3): 2 = 6 кв .см
S = (2 * 6): 2 = 6 кв .см
S = S

VII этап: Включение в систему знаний и повторение.

Вернемся к заданию, вызвавшему затруднение. Выполните расчеты в тетради и сравните площади данных фигур.

S = 2 * 2 = 4 кв .см
S = 1 * 3 = 3 кв .см
S = (3 * 2) : 2 = 3 кв .см

Что можете сказать о S прямоугольника и треугольника? (Она одинаковая, значит фигуры равновеликие).

Что вы можете сказать о данном треугольнике?

(Разносторонний, тупоугольный).

Можем ли мы воспользоваться нашим алгоритмом для нахождения его площади?

(Нет, т.к. должен быть треугольник прямоугольным).

А нельзя ли с помощью построений сделать из данного треугольника два прямоугольных?

(Можно, надо провести высоту).

Чему будет равна площадь всего треугольника?
(Сумме S двух прямоугольных треугольников, их S мы умеем находить).

S = (а* h) : 2
S = (а * h) : 2
S = ((а + а) * h) : 2
(а + а) -основание, значит
S = (а * в) : 2, где а – катет основание; в – катет высота

- Давайте дополним алгоритм.

Алгоритм.

VII этап: Рефлексия деятельности.

Какова была цель урока?

Удалось ли нам ее выполнить?

А теперь узнаем окончание фразы «Математику нельзя изучить, наблюдая как это делает сосед».

Вы согласны с этим утверждением. (да, на уроке мы делали все сами, а не только наблюдали)

Что на уроке было главным, а что интересным?

Д/З: (На выбор). – Найди S фигур и сравни фигуры по S.

(Задание в конвертах, на основе демонстрации дети выбирают нужное для себя, определив уровень понимания темы на данном этапе и берут задание из конверта)

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным. Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах. Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям . Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к. сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника. Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е. правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами. Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны.