Объединение множеств и его свойства. Урок "пересечение и объединение множеств"

Решение некоторых математических задач заставляет находить пересечение и объединение числовых множеств . Мы уже познакомились с принятыми обозначениями числовых множеств , а в этой статье мы тщательно и на примерах разберемся с нахождением пересечения и объединения числовых множеств. Эти навыки пригодятся, в частности, в процессе решения неравенств с одной переменной и их систем.

Навигация по странице.

Простейшие случаи

Под простейшими случаями мы будем понимать нахождение пересечения и объединения числовых множеств, являющихся набором отдельных чисел. В этих случаях достаточно использовать определения пересечения и объединения множеств .

Напомним, что

Определение.

объединением двух множеств является множество, каждый элемент которого является элементом какого-либо из исходных множеств, а пересечением множеств называется множество, состоящее из всех общих элементов исходных множеств.

Из данных определений несложно получить следующие правила нахождения пересечения и объединения множеств:

• Для того чтобы составить объединение двух числовых множеств, содержащих конечное число элементов, нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из второго.
• Для того чтобы составить пересечение двух числовых множеств, надо последовательно брать элементы первого множества и проверять, принадлежат ли они второму множеству, те из них, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Действительно, полученное по первому правилу множество будет состоять из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств, поэтому будет объединением этих множеств по определению. А множество, составленное по второму правилу, будет содержать все общие элементы исходных множеств, то есть, будет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим на конкретных примерах применение озвученных правил для нахождения пересечения и объединения множеств.

Например, пусть нужно найти объединение числовых множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Записываем все элементы, например, множества A , имеем 3 , 5 , 7 , 12 , и к ним добавляем недостающие элементы множества B , то есть, 2 , 8 , 11 и 13 , в результате имеем числовое множество {3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13} . Не помешает упорядочить элементы полученного множества, в итоге получаем искомое объединение: A∪B={2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13} .

Теперь найдем пересечение двух числовых множеств из предыдущего примера A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Согласно правилу, будем последовательно перебирать элементы первого множества A и проверять, входят ли они во множество B . Берем первый элемент 3 , он не принадлежит множеству B , следовательно, он не будет и элементом искомого пересечения. Берем второй элемент множества A , это число 5 . Оно принадлежит множеству B , поэтому принадлежит и пересечению множеств A и B . Так найден первый элемент искомого пересечения – число 5 . Переходим к третьему элементу множества A , это число 7 . Оно не принадлежит B , значит, не принадлежит и пересечению. Наконец, остался последний элемент множества A – число 12 . Оно принадлежит множеству B , следовательно, оно является и элементом пересечения. Итак, пересечение множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} – это есть множество, состоящее из двух элементов 5 и 12 , то есть, A∩B={5, 12} .

Как Вы заметили, выше мы говорили о нахождении пересечения и объединения двух числовых множеств. Что же касается пересечения и объединения трех и большего числа множеств, то его нахождение можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы найти пересечение трех множеств A , B и D можно сначала найти пересечение A и B , после чего найти пересечение полученного результата с множеством D . А теперь конкретно: возьмем числовые множества A={3, 9, 4, 3, 5, 21} , B={2, 7, 9, 21} и D={7, 9, 1, 3} и найдем их пересечение. Имеем A∩B={9, 21} , а пересечение полученного множества с множеством D есть {9} . Таким образом, A∩B∩D={9} .

Однако на практике для нахождения пересечения трех, четырех и т.д. простейших числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, удобно использовать правила, схожие с указанными выше правилами.

Так, чтобы получить объединение трех и большего числа множеств указанного типа, надо к числам первого числового множества добавить недостающие числа второго, к записанным числам добавляем недостающие числа третьего множества и так далее. Чтобы пояснить этот момент возьмем числовые множества A={1, 2} , B={2, 3} и D={1, 3, 4, 5} . К элементам 1 и 2 числового множества A добавляем недостающее число 3 множества B , получаем 1 , 2 , 3 , и к этим числам добавляем недостающие числа 4 и 5 множества D , в итоге получаем нужное нам объединение трех множеств: A∪B∪C={1, 2, 3, 4, 5} .

Что же касается нахождения пересечения трех, четырех и т.д. числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, нужно последовательно перебрать числа первого множества и проверять, принадлежит ли проверяемое число каждому из остальных множеств. Если да, то это число является элементом пересечения, если нет – то не является. Здесь лишь заметим, что целесообразно в качестве первого брать множество с наименьшим числом элементов. В качестве примера возьмем четыре числовых множества A={3, 1, 7, 12, 5, 2} , B={1, 0, 2, 12} , D={7, 11, 2, 1, 6} , E={1, 7, 15, 8, 2, 6} и найдем их пересечение. Очевидно, множество B содержит меньше всего элементов, поэтому для нахождения пересечения исходных четырех множеств будем брать элементы множестваB и проверять, входят ли они в остальные множества. Итак, берем 1 , это число является элементами и множества A , и D и E , так что это первый элемент искомого пересечения. Берем второй элемент множества B – это нуль. Это число не является элементом множества A , поэтому не будет является и элементом пересечения. Проверяем третий элемент множества B – число 2 . Это число является элементом всех остальных множеств, поэтому, является вторим найденным элементом пересечения. Наконец, остается четвертый элемент множества B . Это число 12 , оно не является элементом множества D , поэтому, не является и элементом искомого пересечения. В итоге имеем A∩B∩D∩E={1, 2} .

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

В нашем примере имеем записи

И

для пересечения и объединения числовых множеств соответственно.

Дальше изображают еще одну координатную прямую, ее удобно расположить под уже имеющимися. На ней будет изображаться искомое пересечение или объединение. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств. При этом эти точки сначала отмечают черточками, позже, когда будет выяснен характер точек с этими координатами, черточки будут заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем случае это точки с координатами −3 и 7 .
Имеем

и

Точки, изображенные на нижней координатной прямой на предыдущем шаге алгоритма, позволяют рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек, о чем мы говорили в . В нашем случае координатную прямую рассматриваем как набор следующих пяти числовых множеств: (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) .

И остается лишь по очереди проверить вхождение каждого из записанных множеств в искомое пересечение или объединение. Все сделанные выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: если промежуток входит в пересечение или объединение, то над ним изображается штриховка, если точка входит в пересечение или объединение, то обозначающий ее штрих заменяем на сплошную точку, если не входит – то делаем ее выколотой. При этом следует придерживаться следующих правил:

• промежуток включается в пересечение, если он одновременно включен и в множество A , и в множество B (другими словами, если есть штриховка над этим промежутком над обеими верхними координатными прямыми, отвечающими множествам A и B );
• точка включается в пересечение, если она одновременно входит и в множество A , и в множество B (другими словами, если эта точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обеих числовых множеств A и B );
• промежуток входит в объединение, если он входит хотя бы в одно из множеств A или B (иными словами, если есть штриховка над этим промежутком хотя бы над одной из координатных прямых, отвечающих множествам A и B );
• точка входит в объединение, если она входит хотя бы в одно из множеств A или B (другими словами, если эта точка невыколотая или внутренняя точка какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).

Проще говоря, пересечение числовых множеств A и B представляет собой объединение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно есть штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих одновременно и A , и B . А объединение двух числовых множеств есть объединение всех числовых промежутков, над которыми есть штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

Возвращаемся к нашему примеру. Закончим нахождение пересечения множеств. Для этого последовательно будем проверять множества (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) . Начинаем с (−∞, −3) , для наглядности выделим его на чертеже:

Этот промежуток не включаем в искомое пересечение, так как он не включен ни в A , ни в B (над этим промежутком нет штриховки). Так на этом шаге ничего на нашем чертеже не отмечаем и он сохраняет свой начальный вид:

Переходим к следующему множеству {−3} . Число −3 принадлежит множеству B (это невыколотая точка), но очевидно не принадлежит множеству A , поэтому не принадлежит и искомому пересечению. Поэтому на нижней координатной прямой делаем точку с координатой −3 выколотой:

Проверяем следующее множество (−3, 7) .

Оно входит в множество B (над этим интервалом есть штриховка), но не входит в множество A (над этим интервалом нет штриховки), поэтому, не будет входить и в пересечение. Следовательно, на нижней координатной прямой ничего не отмечаем:

Переходим к множеству {7} . Оно включено в множество B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [−3, +∞)) , но не включено в множество A (эта точка выколотая), поэтому оно не будет включено и в искомое пересечение. Отмечаем точку с координатой 7 как выколотую:

Остается проверить промежуток (7, +∞) .

Он входит и в множество A , и в множество B (над этим промежутком есть штриховка), поэтому входит и в пересечение. Ставим штриховку над этим промежутком:

В результате на нижней координатной прямой мы получили изображение искомого пересечения множеств A=(7, +∞) и B=[−3, +∞) . Очевидно, оно представляет собой множество всех действительных чисел, больших семи, то есть, A∩B=(7, +∞) .

Теперь найдем объединение множеств A и B . Начинаем последовательную проверку множеств (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) на предмет их включения в искомое объединение двух числовых множеств A и B .

Первое множество (−∞, −3) не входит ни в A , ни в B (над этим промежутком нет штриховки), поэтому это множество не будет входить и в искомое объединение:

Множество {−3} входит в множество B , поэтому будет входить и в объединение множеств A и B :

Интервал (−3, 7) тоже входит в B (есть штриховка над этим интервалом), следовательно, он будет составной частью искомого объединения:

Множество {7} тоже будет входить в искомое объединение, так как оно входит в числовое множество B :

Наконец, (7, +∞) входит и в множество A , и в множество B , следовательно, будет входить и в искомое объединение:

По полученному изображению объединения множеств A и B заключаем, что A∩B=[−3, +∞) .

Получив некоторый практический опыт, проверку вхождения отдельных промежутков и чисел в состав пересечения или объединения можно будет проводить устно. Благодаря этому, Вы сможете очень быстро записывать результат. Покажем, как будет выглядеть решение примера, если не давать пояснения.

Пример.

Найдите пересечение и объединение множеств A=(−∞, −15)∪{−5}∪∪{12} и B=(−20, −10)∪{−5}∪(2, 3)∪{17} .

Решение.

Изобразим данные числовые множества на координатных прямых, это позволит нам получить изображения их пересечения и объединения:

Ответ:

A∩B=(−20, −15)∪{−5}∪(2, 3) и A∪B=(−∞, −10)∪{−5}∪∪{12, 17} .

Понятно, что при должном понимании озвученный выше алгоритм можно оптимизировать. Например, при нахождении пересечения множеств нет необходимости в проверке всех промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел, на которые разбивают координатную прямую граничные точки исходных множеств. Можно ограничиться проверкой лишь тех промежутков и чисел, которые составляют множество A или B . Остальные промежутки все равно не будут входить в пересечение, так как не принадлежат одному из исходных множеств. Проиллюстрируем сказанное, разобрав решение примера.

Пример.

Каково пересечение числовых множеств A={−2}∪(1, 5) и B=[−4, 3] ?

Решение.

Построим геометрические образы числовых множеств A и B :

Граничные точки заданных множеств разбивают числовую прямую на следующие множества: (−∞, −4) , {−4} , (−4, −2) , {−2} , (−2, 1) , {1} , (1, 3) , {3} , (3, 5) , {5} , (5, +∞) .

Несложно заметить, что числовое множество A можно «собрать» из только что записанных множеств, объединив {−2} , (1, 3) , {3} и (3, 5) . Для нахождения пересечения множеств A и B достаточно проверить, включены ли последние множества в множество B . Те из них, которые включены в B , и будут составлять искомое пересечение. Выполним соответствующую проверку.

Очевидно, {−2} входит в множество B (так как точка с координатой −2 является внутренней точкой отрезка [−4, 3]) . Интервал (1, 3) тоже входит в B (над ним есть штриховка). Множество {3} также входит в B (точка с координатой 3 является граничной и невыколотой множества B ). А интервал (3, 5) не входит в числовое множество B (над ним нет штриховки). Отметив сделанные выводы на чертеже, он примет такой вид

Таким образом, искомое пересечение двух исходных числовых множеств A и B представляет собой объединение следующих множеств {−2} , (1, 3) , {3} , которое можно записать как {−2}∪(1, 3] .

Ответ:

{−2}∪(1, 3] .

Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств.

Пример.

Найдите пересечение и объединение трех числовых множеств A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪{40} .

Решение.

Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Так координатная прямая оказывается представлена числовыми множествами (−∞, −3) , {−3} , (−3, 12) , {12} , (12, 25) , {25} , (25, 40) , {40} , (40, ∞) .

Начинаем поиск пересечения, для этого по очереди смотрим, входят ли записанные множества в каждое из множеств A , B и D . Во все три исходных числовых множества входит интервал (−3, 12) и множество {12} . Они и составляют искомое пересечение множеств A , B и D . Имеем A∩B∩D=(−3, 12] .

В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3) (входит в A ), {−3} (входит в A ), (−3, 12) (входит в A ), {12} (входит в A ), (12, 25) (входит в B ), {25} (входит в B ) и {40} (входит в D ). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

Ответ:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им.

(10, 27) , {27} , (27, +∞) . Ни одно из записанных множеств одновременно не входит в четыре исходных множества, а это означает, что пересечение множеств A , B , D и E есть пустое множеств.

Ответ:

A∩B∩D∩E=∅.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Операция над множествами - это правило, в результате выполнения которого из данных множеств однозначно получается некоторое новое множество.

Обозначим произвольную операцию знаком *. Множество, получаемое из данных множеств А и В, записывают в виде А*В. Полученное множество и саму операцию принято называть одним термином.

Замечание. Для основных числовых операций используют два термина: один обозначает саму операцию как действие, другой - число, получаемое после выполнения действия. Например, операция, обозначаемая +, называется сложением, а число, полученное в результате сложения, - суммой чисел. Аналогично - знак операции умножения, а результат а b - произведение чисел а и Ь. Тем нс менее часто эту разницу нс учитывают и говорят «Рассмотрим сумму чисел», имея в виду не конкретный результат, а саму операцию.

Операция пересечения. Пересечением множеств А и В АглВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит обоим множествам А и В одновременно.

Другими словами, АсВ - это множество всех.г, таких, что хеА и хеВ:

Операция объединения. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А"иВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству А или В.

Операцию объединения иногда обозначают знаком + и называют сложением множеств.

Операции разности. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых лежит в А, но не лежит В.

Выражение АпВ читают «А в пересечении с В », AkjB- «А в объединении с В», АВ - «А без В».

Пример 7.1.1. Пусть А = {1, 3,4, 5, 8,9}, В = {2,4, 6, 8}.

Тогда AkjB= {1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9}, AcB={ 4,8}, АВ = {1,3, 5, 9}, ЯЛ = {2,6}.»

На основе указанных операций можно определить еще две важные операции.

Операция дополнения. Пусть AqS. Тогда разность SA называется дополнением множества А до S и обозначается A s .

Пусть любое рассматриваемое множество является подмножеством некоторого множества U. Дополнение до такого фиксированного (в контексте решения той или иной задачи) множества U обозначают просто А . Также используются обозначения СА, с А, А".

Пример 7.1.2. Дополнение множества {1, 3,4, 5, 8, 9} до множества всех десятичных цифр равно {0, 2, 6, 7}.

Дополнение множества Q до множества R есть множество 1.

Дополнение множества квадратов до множества прямоугольников есть множество всех прямоугольников, имеющих неравные смежные стороны.

Мы видим, что операции объединения, пересечения и дополнения множеств соответствуют логическим операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Операция симметрической разности. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А®В , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит в точности одному из множеств А и В:

Нетрудно видеть, что симметрическая разность есть объединение двух множеств АВ и ВА. Это же самое множество можно получить, если вначале объединить множества А и В, а затем убрать из множества общие элементы.

Пример 7.1.3. Пусть даны действительные числа а Тогда для соответствующих числовых промежутков имеем:

Заметим, что так как отрезок [а; Ь] содержит число с> а интервал (с; d) точку с не содержит, го число с лежит в разности [а; Ь] без [с; cf. А вот разность, например, (2;5), число 3 не содержит, так как оно лежит в отрезке . Имеем (2;5)=(2;3).

Пусть даны непересекающиеся множества А и В. Поскольку п - знак операции пересечения, то запись А(ЬВ некорректна. Неправильно также говорить, что у множеств нет пересечения. Пересечение есть всегда, оно определено для любых множеств. То, что множества не пересекаются, означает, что их пересечение пусто (то есть, выполнив указанную операцию, мы получаем пустое множество). Если же множества пересекаются, значит, их пересечение не пусто. Делаем вывод:

Обобщим операции объединения пересечения на случай, когда множеств более двух.

Пусть дана система К множеств. Пересечением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит во всех множествах их К.

Объединением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном множестве их К.

Пусть множества системы К занумерованы элементами какого-то семейства индексов /. Тогда любое множество из К можно обозначить А,-, где iel. Если совокупность конечная, то в качестве / используют множество первых натуральных чисел {1,2,...,и}. В общем случае / может быть бесконечным.

Тогда в общем случае объединение множеств А для всех iel обозначают (J А { , а пересечение - f]A i .

Пусть совокупность К конечная, тогда К= В этом случае

пишут AyjA 2 v...KjA„ и АГ4 2 (^---Г4п-

Пример 7.1.4. Рассмотрим промежутки числовой прямой Л| = [-оо;2], Л 2 =Н°; 3], Л 3 =}